关于上_下极限的几个定理
上_下极限三种定义的等价证明(精)
x n k
＝ξ，则对一切k ∈N，成立inf n＞n k
－1
｛x n｝≤x n k
≤sup n＞n k
－1
｛x n｝，对k →＋∞取极限，得h ≤ξ≤H．其次证明，存
在｛x n｝的子列
｛x n k
｝与｛x m k
｝，使得lim k →∞
x m k
＝H，lim k →∞
x m k
＝h．事实上，对ε1＝1，
对每个n ∈N，由于有m＞n，
使x m ∈－ε＋ε），所以
－ε≤sup m ≥n
｛x m｝（n ≥1），
（1）
其次由于有［＋ε，＋∞）中只有｛x n｝的有限项，所以存在N，使得当n＞N时，x n＜＋ε，因此当n＞N时，
sup m ≥n
｛x m｝≤＋ε（n＞N）．（2）
综合（1）（2）得到，当n＞N时，－ε≤sup m ≥n
＜εn＝1，易
见lim k →∞
x n k
＝b，即b ∈H 2，于是H 1哿H 2．综合以上两方
面，再由a和b的任意性知H 1＝H2．故最大聚点即为
子极限中之的最大者，最小聚点即为子极限中的最小者，即定义1和定义2等价.
定理2定义1圯定义3．证明设为有界数列｛x n｝的最大聚点，则对坌ε＞0，－ε＋ε）中含有｛x n｝的无限多项，而在＋ε，＋∞）中只含有｛x n｝中有限多项．于是对坌ε＞0，
βk＝supn＞k
｛x n｝＝sup｛x k＋1，…，x k＋i，…｝，
αk＝infn＞k
｛，于是得到数列｛βk｝和数列｛αk｝，显然数列｛βk｝是单调减少的，｛αk｝是单调增加的，所以这两个数列极限都存在，称｛βk｝的极限是｛x n｝的上极限，记作H，称｛αk｝的极限是｛x n｝的下极限，记作h．也就是
上极限和下极限
在概率测度的收敛性研究中，上极限和下极限也发挥了重要作用，例如在研究概率空间的收敛性和概率 测度的弱收敛时。
2023
PART 05
结论
REPORTING
主题总结
上极限和下极限是数学中两个重要的概念，用于描述数列或函数在无穷大 或无穷小的情况下的行为。
上极限和下极限的概念在数学分析、实数理论、函数分析等领域有着广泛 的应用，对于理解函数的性质和行为至关重要。
2023PART 03下极 Nhomakorabea的概念和性质
REPORTING
下极限的定义
• 定义：对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在一个 正整数$N$，使得当$n>N$时，有 $a_n<\alpha+\varepsilon$。则称数$\alpha$为数列 ${a_n}$的下极限。
下极限的性质
唯一性
主题历史背景
上极限和下极限的概念起源于数学分 析的发展，特别是在实数理论的研究 中。
历史上，上极限和下极限的概念在数 学分析中得到了广泛的应用和发展， 为解决一系列数学问题提供了重要的 工具和方法。
2023
PART 02
上极限的概念和性质
REPORTING
上极限的定义
上极限的性质
唯一性
给定数列${ a_n }$的上极限至多有一个。
下极限
下极限是数学中的一个概念，它描述 了一个序列或集合的“下确界”，即 比该序列或集合中所有元素都大的最 小值。
主题重要性
上极限和下极限是数学分析中的重要 概念，它们在研究函数的性质、数列 的收敛性和实数的完备性等方面有着 广泛的应用。
上极限和下极限的概念有助于理解实 数集的完备性，即实数集具有完备性， 意味着实数集的所有子集都有上界和 下界。
上极限与下极限
§3 上极限和下极限1. 求以下数列的上、下极限:(1){1+n)1(-};(2){n)1(-12+n n}; (3){2n+1}; (4){12+n n sin 4πn };(5){n n 12+sin n π}; (6){n n 3cos π};解 记原函数为{x n }. (1) 由于∞→k lim 12-k x =0, k k x 2lim ∞→=2,从而对任给正数ε,存在自然数N,当k>N 时,有x 12-k <0+ε,2-ε<x k 2可见小于ε+0的x n 有无限项，大于ε-2的也有无限项，又设有一项x n 使得εε+>-<20n n x x 或,故由定义可知 ∞→∞→=n n n x lim ,0lim x n =2.注：一般地，若p 为自然数，且0lim A x kp k =∞→， ,lim 11A x kp k =+∞→,11lim --+∞→=p p kp k A x 存在，则有min lim =∞→n {A 0，A 1 ，A 1-P }，，，10max{lim A A x n k =∞→ ，A 1-P }。
事实上，对任一正数ε，存在自然数N ，使得当k>N 时 A i —ε<x j kp +<A i +ε )1,,2,1(-=p i设 min{A 0,A 1, ,A 1-P }=A 0,则小于A 0+ε的x n 有无限项，若对某个正数ε，数列{x n }中小于A 0—ε的有无穷项，设他们是x 1n ,x 2n , ,x j n , 其中n 1<n 2< <n j < ,由于自然数集N 可分为有限个子集 {kp }N k ∈,{kp+1 ,}N k ∈, {kp+p-1}N k ∈且n j 有无限个，从而以上p 个子集中，必有一个（设为第j 个）含有无限个n j ,因而 n 1j =k 1p+j ),2,1( =j于是 j j p k l n l A x x j ==+∞→∞→11lim lim .可见A j ≤A 0—ε<A 0.这与A 0为最小者矛盾，因此A 0=n n x ∞→lim .同理 max{A 0,A 1, ,A 1-P }=n n x ∞→lim .(2) 由于21142limlim 2=+=∞→∞→k k x k k k ，21lim 12-=+∞→k k x ，从而由（1）后的注知21lim -=∞→n n x ，n n x ∞→lim =21(3) 由于+∞=+∞→)12(lim n n ，从而+∞==∞→∞→n n n x lim lim .(4) 由于2lim lim lim 38188===+∞→+∞→∞→k k k k k k x x x ，2lim lim ,2lim 785828-===+∞→+∞→+∞→k k k k k k x x x2lim 68-=+∞→k k x从而由（1）题证明之后的注知2lim -=∞→n ，n n x ∞→lim =2.(5)ππππ=•+==∞→∞→∞→nn nn x x n n n n n sin)1(lim lim lim 22 (6)由于)2,1,0(121lim 3cos lim lim 3133===+∞→+∞→+∞→i i x j k k k k j k k π 从而 1lim lim ==∞→∞→n n n n x x .2．设{a n }.{b n }为有界数列，证明： （1）);(lim lim n n n n a a --=∞→∞→(2) );(lim lim lim n n n n n n n b a b a +≤+∞→∞→∞→(3) 若a n >0, b n >0(n=1,2, ),则n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≤lim lim lim ，n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≥lim lim lim ；（4）若a n >0,n n a ∞→lim >0,则.lim 11limnn n n a a ∞→∞→=证 （1）设A n =∞→lim ，则对任给正数ε，小于A —ε的a n 至多有限项，小于A+ε的a n 有无限项，即{—a n }中大于—A+ε的至多有限项，大于—A —ε的有无限项，所以A a n n -=-∞→)(lim ，即)(lim lim n n n n a a --=∞→∞→(2)设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，c b a n n n =+∞→)(lim ，假设c b a >+,由下极限充要条件知对任给正数ε，有无限个n,使得a n +b n <c+ε,今取ε0=)(21c b a -+>0,则有无限个n,使得a n +b n <c+0)(21)(21ε-+=++=-+b a c b a c b a .另一方面，由于a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，故至多有有限个n 和有限个m ，使得a n <2ε-a ，b m <2ε-b ,设{a n }满足关系式bm<2ε-b 的项数为p ，{bm}满足关系式bm<2ε-b 的项数为q,则满足an+bn<b a +0ε-的n 至多为p+q 个，这与上面得到的结论：“有无限个n 使a n +b n <b a +0ε-”相矛盾，所以只可能的b a +≤c,即)(lim lim lim n n n n n n n b a b a +≤+∞→∞→∞→(3)先证第一式,设a a n n =∞→lim ,b b n n =∞→lim ,c b a n n n =∞→lim ,若a=0(或b=0),则因a n >0,b n >0,故c 0≥,所以有.lim lim lim 0n n n n n n n b a c b a ab ∞→∞→∞→=≤==当0.0>>b a 时,假设.c ab >任取正数ε使0>>-εc ab ,则有无限多项满足)(212)(2c ab c ab c c b a n n +=-+<+<ε2ε-<ab . 另一方面,至多有有限项(设为p 项)满足;4ba a n ε-<也至多有有限项(设为q 项)满足,4ab b m ε-<从而至多有p+q 项能满足.abab ab ba b a n n 162)4)(4(2εεεε+-=--<.这样又导致了与前面有无限项满足abab ab b a n n 16222εεε+-<-<相矛盾的结果,所以只能是,c ab ≤即.lim lim lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≤第二个不等式的证明:设,lim c b a n n n =∞→则存在下列}{k k n n b a ,使.lim c b a k k n n k =∞→因为}{k n a 与}{k n b 都是有界数列,可以假设它们都收敛(必要时,取收敛子列).记,lim ,lim b b a a k k n n n n ==∞→∞→则 ,lim ,lim n n n n b b a a ∞→∞→≤≤从而.lim lim lim n n n n n n n b a ab c b a ∞→∞→∞→≤==(4)设,0lim >=∞→a n 欲证,11lima a nn =∞→对任给正数(ε取ε充分小,使,a <ε且).1<εa 令,121εεεa a -= εεεa a +=122,则0,021>>εε且}{n a 中小于εεa aa -=+11的项有无限多个,}{n a 中小于εεa a a +=-12的项至多有限多个,从而}1{n a 中大于εε-=-aa a 11的项有无限多个,}1{n a 中大于εε+=+aa a 11的项至多有限个.所以 .lim 111limn n nn a a a ∞→∞→==3.证明:若}{n a 为递增数列,则.lim lim n n n n a a ∞→∞→=证 若}{n a 有界,则由单调有界定理,极限n n a ∞→lim 存在,从而有n n n n a a ∞→∞→=lim lim ,若}{n a 无界,则+∞=∞→n n a lim ,从而对任给正数M,}{n a 中大于M 的项有无限多个,设M a N >,由}{n a 的递增性,当N n >时,有M a a N n >≥,所以.lim +∞=∞→n n a4.证明:若且),,2,1(0 =>n a n ,11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a 则数列}{n a 收敛.证 因),.2,1(0 =>n a n 故0lim ≥∞→n n a ,若0lim =∞→n n a ,则对任给的正数M,}{n a 中小于M 1的项有无限多个,的项有无限多个，中大于即M a n }1{所以,1lim +∞=∞→n n a 这与11limlim =∞→∞→n n n n a a 相矛盾,故,0lim >∞→n n a 由习题2(4),有nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim ,从而由已知11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a 知1lim 1lim =⋅∞→∞→n n n n a a ,所以.lim lim n n n n a a ∞→∞→=.于是}{n a 收敛.5.证明定理7.8 证 1︒设.lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→假设b a >,取02>-=ba ε,则}{n a 中大于εε+=--=-b ba a a 2的项有无限多个,由于)(0N n a b n n >≥,故}{n b 中大于ε+b 的项有无限多个,这与b b n n =∞→lim 矛盾,同理可证n n n n b a ∞→∞→≤lim lim .2︒由定理7.5知.lim lim n n n n a a ∞→∞→≥令α=n c (),N n ∈∀)(N n d n ∈∀=β,则有)(0N n d a c n n n >≤≤,从而由1︒知:βα=≤≤≤=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n d a a c lim lim lim lim6.证明定理7.9.证 (1)必要性 设).(lim 为有限值A A x n n =∞→则对任给正数ε,}{n x 中大于2ε+A 的项至多有限个,设这有限项下标最大者为N,则当1+≥N n 时,2ε+≤A x n 所以εε+<+≤+≥A A x k N k 2}{sup 1,又对上述,0>ε}{n x 中大于ε-A 的项有无限多个,故对一切n,有,}{sup ε->≥A x k nk 于是,当N n >时,有εε+<<-≥A x A k nk }{sup .所以 .}{sup lim A x k nk n =≥∞→充分性 设).(}{sup lim 为有限值A A x k kn n =≥∞→设},{sup k nk n x A ≥=则}{n A 递减,故}inf{n A A =,从而对任给正数ε,存在N,使A N ε+<A ,于是当时N n ≥,有ε+<A x n ,即}{n x 中大于ε+A 的项至多有限个;又对一切n,有ε->≥A A A n ,所以,}{n x 中大于ε-A 的项有无限个,因此.lim A x n n =∞→(2)由习题2的(1)得)(lim lim n n n n x x --=∞→∞→由该题(1),得}.{inf lim }{sup lim )(lim k nk n k nk n n n x x x ≥∞→≥∞→∞→-=-=-所以,有}.{inf lim lim k nk n n n x x ≥∞→∞→=。
物理中的八大定律
物理中的八大定律一、大道至简原则：即古人所说的“大道至简”，也称“简道至大”，一切物质存在的宇宙和万物融入一起，从简到复的发展规律，它的结果就是自然界的复杂性。
超越理性的直觉，就在于：大道至简，即所有精细的物质都经由一个简单的本原联系起来，最后形成一个宇宙大一统。
二、牛顿力学定律：牛顿力学，或称牛顿运动定律，乃描述物体运动及物体间相互作用的物理学定律。
一般而言，牛顿力学定律可分为三大原理，即物体的定向运动论、物体的圆周运动论及物体间的受力论。
其实这三大原理，也就是被称为牛顿三大定律的“法定”：牛顿第一定律、牛顿第二定律及牛顿第三定律。
三、能量、质量守恒定律：其实这两个定律实际上可以视为物理学中的“孪生兄弟”。
简而言之：即能量守恒定律：所有物质在转化过程中，能量是不会消失或减少的；质量守恒定律：绝无芥蒂，物质及其各种元素在发生变化的自然过程中，本质的性质仍保持不变。
这两个定律暗合了法国著名的“物质物理学旨本”：“质量和能量能够相互转化，但不可消失。
”四、物理学布尔沃定理：物理学布尔沃定理又称“四分定理”，是由美国物理学家布尔沃于1856年提出的重要定理。
它表明：在自由空间中，一定电荷列组合，所获得磁场与其它定义相关的牢固概念相结合，共振出了物体磁场的完整模型，这又反过来可以揭示出宇宙本质的一些牢固的物质性质。
该定理尤其在今天的电子计算机科学、磁波学上占有很重要的地位，而它衍生出来的各种非凡的设计便构成了电子技术的新领域和新范式。
五、有关于大发现相对论的定律：相对论是指印度物理学家阿尔伯特·爱因斯坦制定的一种物理学理论，其大体思想主张：宇宙中物理量是相对的，而非绝对的，不同的观测者，会由于观测系统的移动而获得不同测量结果。
相对论的四大定律如下：一、爱因斯坦アルトギット速度不可超越定律。
二、爱因斯坦全等定义定律。
三、万有引力学定律。
四、平行空间定律。
六、理想气体定律：经典物理学中的“理想气体定律”，乃由德国物理学家克拉克提出的，指的是在较低温度及较低压强下，物质无论多辛苦，往往它们都可以以一定的方式把它们融成一体，这称为“理想气体状态”，它以一定方式把所有物质连接起来。
数学分析——上下极限经典讲义
37第二章 极限论§2.1 上极限与下极限设{}n x 是有界数列,E 是{}n x 的聚点之集, 由Weierstrass 定理可知E ≠Φ, 且对任意∈a E , 有{}n x inf ≤a ≤{}n x sup , 这表明E 是有界集合。
定义1. α＝sup E , β＝inf E 分别称为数列{}n x 的上极限、下极限，记作 α＝_____lim ∞→n n x , β＝∞→n lim n x由定义可得定理1. 对任意有界数列{}n x , 有 ∞→n lim n x ≤_____lim ∞→n n x定理2. 设α,β是有界数列{}n x 的上、下极限，则α,β是{}n x 的聚点。
证明：设E 是{}n x 的聚点之集, 只需证对任意ε＞0,存在无穷多个n x , 满足|n x －α|＜ε. 事实上, α＝sup E , 对任意ε＞0, 存在α0∈E , 满足α－2ε＜α0≤α＜α＋2ε,对于α0∈E 以及如上的ε＞0, 存在无穷多个n x 满足 α0－2ε＜n x ＜α0＋2ε从而存在无穷多个n x 满足 α－ε＜n x ＜α＋ε, 这表明α是{}n x 的聚点。
同理可证β是{}n x 的聚点。
证毕。
定理3. α是有界数列{}n x 的上极限, 充分必要条件是对任意ε＞0, 有:(1) 存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋ε;38(2) 对任意自然数k , 存在k n k ≥, 使k n x ＞α－ε.证明: 设E 是有界数列{}n x 的聚点之集, 由定理2, 若α是{}n x 的上极限, 则α∈E⇐：由条件可知，α是{}n x 的聚点, 即α∈E , 若α＜sup E ＝α',则对0ε＝α'－α＞0, 由(1)存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋0ε＝α'＋α另一方面, 由于α'E ∈, 对如上的自然数N, 存在≥N n N, 使 N n x ＞α'－0ε＝α'＋α 引出矛盾, 因此必有 α＝α'＝sup E .⇒：由定理2, α是{}n x 的聚点, 因而(2)成立。
关于实数完备性的6个基本定理
1. 确界原理； 2. 单调有界定理； 3. 区间套定理； 4. 有限覆盖定理; 5. 聚点定理; 6. 柯西收敛准则； 在实数系中这六个命题是相互等价的 。
在有理数系中这六个命题不成立 。
1. 确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集
必有上（下）确界。
反例：S {x | x2 2, x Q},sup S 2, inf S 2, 即S在有理数集没有确界。确界原理在有理数域不成立。
5. 聚点定理 实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。
反例： S {(1 1 )n | n Z }, n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,
因而在必含有收敛子列。
反例：
{
xn
}
{(1
1 )n n
}是有理数系中的有界无穷数列,
实数完备性基本定理的等价性
实数基本定理等价性的路线 : 证明按以 下三条路线进行:
Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套 定理 Cauchy 收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限 复盖定理 区间套定理 .
任取H的有限个元素，构成集合H *,
H * {( x1 r1, x1 r1 ),( x2 r2 , x2 r2 ) ( xn rn , xn rn )}
由于H *中的开区间都不含 2，且2n个端点都是有理数， 设这2n个有理数中与 2最靠近的数为 r, 则在r与 2之间所有有理数都在上述n个区间之外。 即H的任意有限覆盖不能盖住[1,2]Q .
则 有理数域内构成闭区间套 [an,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公共点为 2 Q.
土力学经典问题的极限分析上、下限解
— —塑性力学的上、 下限定理 " 理论基础—
"#! 一般提法 土体稳定分析的基本提法和求解固体力学问题是 一致的， 即在一个确定的荷载条件下， 寻找一个应力场 以及相应的应变场""# ， 它们满足下列 !"# 和位移场 $" ， 条件 （以张量形式表达） 。 （.） 静力平衡
!"#，# E %"
其边界条件是
（#） 本构关系
数。这一方案在边坡问题中较适用，因为大多数的边 坡问题中不存在表面荷载。 （(） （*） 采用方案 （!） ， （"） ， ’. 或’/ 通常可以直接通过一 个公式求得， 不需迭代。同时， 这两种处理与塑性力学 上、 下限定理中的加载概念一致， 因此， 可以获得较坚 实的理论基础。 （#） 方案 # 定义安全系数 0 是这样的一个数值， 如果材料的抗剪强度指标 -6 和$ 6 按下式降低为 - 76 和 那么，边坡处于极限状态。 $76 ， -7 % -1 0 （!)）
（.）
（F） !"#，# & # E ’" 其中， %" 为体积力，’" 为作用于表面 ( 上的边界力， & # 为 ( 面法线的方向导数。 变形协调 （F） $"，# G $ #， " F （H）
""# E
第!期
陈祖煜 < 土力学经典问题的极限分析上、 下限解
#
虚功原理是反映静力平衡和变形协调的另一个表 ， （"）的应力场和式 （#） 达形式， 即相应任一满足式 （!） 的位移场， 有 $" ・ %" $ ! & （’）
@A?B CD:ED
21)$,%/$： 9"* :*("+1’ +, ’;#0*’ 5#(" <*.(#0%; %$1 #$0;#$*1 #$(*.,%0*’ 1*’0.#=*1 #$ ("#’ 4%4*. %.* =%’*1 +$ ("* )44*. =+)$1 %$1 ;+5*. =+)$1 ("*+.*:’ +, 4;%’(#0#(3 .*’4*0(#<*;3 F 9"* :*("+1 +, <*.(#0%; ’;#0*’ 0%$ =* *>(*$1*1 (+ ("* %.*% +, %0(#<* *%.(" 4.*’’).*，5"#;* ("%( +, #$0;#$*1 ’;#0*’ 0%$ =* %44;#*1 #$ =*%.#$8 0%4%0#(3 %$%;3’#’ F 9"* $):*.#0%; %4? 4.+%0"*’ #$0;)1*1 #$ ("#’ :*("+1 ,+. ,#$1#$8 ("* 0.#(#0%; ,%#;).* :+1*’ %;;+5’ ("* :*("+1 (+ =* %44;#*1 (+ 4.+=;*:’ 5#(" 0+:4;#0%(*1 8*+:*? (.3，;%3*.*1 0.+’’ ’*0(#+$ %$1 8.+)$1 5%(*. 0+$1#(#+$’ F 3.( 4+,5)： ’;+4* ’(%=#;#(3； ’+#; 4.*’’).*； =*%.#$8 0%4%0#(3 +, 8.+)$1； ;#:#( %$%;3’#’
数学分析7.3上极限和下极限
第七章 实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。
定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项； 将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项； 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而 其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项， 且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。
上极限和下极限
xn
,
A lim xn.
n
注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过 极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 提供了一个新的平台.
例1 考察以下两个数列的上、下极限:
an
A
2
,
bn
B
2
,
故
an bn A B .
再由定理 7.8 的 (4) 式, 得
nlim(an bn ) A B . 因为 是任意的, 故
nlim(an
bn )
A
B
lim
n
an
lim
n
bn
.
注 这里严格不等的情形确实会发生, 例如
an (1)n1, bn (1)n.
lim
这样就得到了 { xn } 的一个子列
满足: { xnk },
lim
k
xnk
lim (
k
xnk
ak
)
lim
k
ak
A
,
即证得 A 也是 { xn}的一个聚点, 所以
同理可证
A E.
A E.
定义 2 有界数列
{ xn } 的最大聚点
A 分别称为
{ xn } 的上、下极限, 记为
A 与最小聚点
A
lim
n
定理7.9 设 { xn } 为有界数列. 则有
(i) A 是 { xn } 的上极限的充要条件是
A
lim
n
sup
k n
{
xk
集列的上下极限
表 １ １０ 个二维随机样本的三种聚类结果对比
法，利用了蚁群分布式搜索的特性，来 改善传统的 Ｋ－ｍｅａｎｓ 算法常常易于陷入局 部最优的缺陷。
参考文献 ［１］张惟皎，刘春煌，尹晓峰．蚁群算法在 数据挖掘中应用研究．计算机工程与应用． ２００４．４０（２８）： １７１一１７３． ［２］高尚，杨靖宇，吴小俊．聚类问题的蚁 群算法．计算机工程与应用．２００４．４０（８）： ９０－９２． ［３］杨燕，靳蕃，Ｍ Ｋａｍｅｌ．一种基于蚁群算 法的聚类组合方法［［Ｊ］．铁道学报．２００４，２６ （４）：６４－６９ ［４］刘波．一种利用信息嫡的群体智能聚类 算法［［Ｊ］．计算机工程与应用，２００４，３５： １８０－１８２ ［５］马军建，董增川，王春霞，等．蚁群算 法研究进展［［Ｊ］．河海大学学报，，２００５，３３ （２）：１３９－１４３ 作者简介 王鹤，女，１ ９ ７ ８ 年生，辽宁工程技术大学 实验实训中心 讲师，硕士生，主要从事计算 机基础教学和研究工作。
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值低于 Ｋ－ｍｅａｎｓ 算法所得到的最终结果，
同时也在一定程度上证明了这种算法是合
理的。
２ ．３ 实验描述 下面以一组随机生成的１０个（（０， １）间 的二维数据集合为例来分析聚类性能。 令待聚类的数Ｘ＝｛（０．４４，０．２８），（０．０５，０．
３ ．结论
蚁群聚类算法最大的特定是：不需 要设定最终产生的簇的数目，簇的中心 是动态变化且可以发现任意形状的簇。 本节提出是基于信息素的 Ｋ－ｍｅａｎｓ 改进算
，由
可知存在 Ｎ，使得 ｎ ＞ Ｎ
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偏离误差ζｊ： （公式４）
总偏离误差ζ： （公式５）
ＰＣＢＰ 算法伪代码：
４２），（０．７７，０．３１），（０．４１，０．９９），