上极限与下极限
§3 上极限和下极限1. 求以下数列的上、下极限:(1){1+n)1(-};(2){n)1(-12+n n}; (3){2n+1}; (4){12+n n sin 4πn };(5){n n 12+sin n π}; (6){n n 3cos π};解 记原函数为{x n }. (1) 由于∞→k lim 12-k x =0, k k x 2lim ∞→=2,从而对任给正数ε,存在自然数N,当k>N 时,有x 12-k <0+ε,2-ε<x k 2可见小于ε+0的x n 有无限项，大于ε-2的也有无限项，又设有一项x n 使得εε+>-<20n n x x 或,故由定义可知 ∞→∞→=n n n x lim ,0lim x n =2.注：一般地，若p 为自然数，且0lim A x kp k =∞→， ,lim 11A x kp k =+∞→,11lim --+∞→=p p kp k A x 存在，则有min lim =∞→n {A 0，A 1 ，A 1-P }，，，10max{lim A A x n k =∞→ ，A 1-P }。
事实上，对任一正数ε，存在自然数N ，使得当k>N 时 A i —ε<x j kp +<A i +ε )1,,2,1(-=p i设 min{A 0,A 1, ,A 1-P }=A 0,则小于A 0+ε的x n 有无限项，若对某个正数ε，数列{x n }中小于A 0—ε的有无穷项，设他们是x 1n ,x 2n , ,x j n , 其中n 1<n 2< <n j < ,由于自然数集N 可分为有限个子集 {kp }N k ∈,{kp+1 ,}N k ∈, {kp+p-1}N k ∈且n j 有无限个，从而以上p 个子集中，必有一个（设为第j 个）含有无限个n j ,因而 n 1j =k 1p+j ),2,1( =j于是 j j p k l n l A x x j ==+∞→∞→11lim lim .可见A j ≤A 0—ε<A 0.这与A 0为最小者矛盾，因此A 0=n n x ∞→lim .同理 max{A 0,A 1, ,A 1-P }=n n x ∞→lim .(2) 由于21142limlim 2=+=∞→∞→k k x k k k ，21lim 12-=+∞→k k x ，从而由（1）后的注知21lim -=∞→n n x ，n n x ∞→lim =21(3) 由于+∞=+∞→)12(lim n n ，从而+∞==∞→∞→n n n x lim lim .(4) 由于2lim lim lim 38188===+∞→+∞→∞→k k k k k k x x x ，2lim lim ,2lim 785828-===+∞→+∞→+∞→k k k k k k x x x2lim 68-=+∞→k k x从而由（1）题证明之后的注知2lim -=∞→n ，n n x ∞→lim =2.(5)ππππ=•+==∞→∞→∞→nn nn x x n n n n n sin)1(lim lim lim 22 (6)由于)2,1,0(121lim 3cos lim lim 3133===+∞→+∞→+∞→i i x j k k k k j k k π 从而 1lim lim ==∞→∞→n n n n x x .2．设{a n }.{b n }为有界数列，证明： （1）);(lim lim n n n n a a --=∞→∞→(2) );(lim lim lim n n n n n n n b a b a +≤+∞→∞→∞→(3) 若a n >0, b n >0(n=1,2, ),则n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≤lim lim lim ，n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≥lim lim lim ；（4）若a n >0,n n a ∞→lim >0,则.lim 11limnn n n a a ∞→∞→=证 （1）设A n =∞→lim ，则对任给正数ε，小于A —ε的a n 至多有限项，小于A+ε的a n 有无限项，即{—a n }中大于—A+ε的至多有限项，大于—A —ε的有无限项，所以A a n n -=-∞→)(lim ，即)(lim lim n n n n a a --=∞→∞→(2)设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，c b a n n n =+∞→)(lim ，假设c b a >+,由下极限充要条件知对任给正数ε，有无限个n,使得a n +b n <c+ε,今取ε0=)(21c b a -+>0,则有无限个n,使得a n +b n <c+0)(21)(21ε-+=++=-+b a c b a c b a .另一方面，由于a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，故至多有有限个n 和有限个m ，使得a n <2ε-a ，b m <2ε-b ,设{a n }满足关系式bm<2ε-b 的项数为p ，{bm}满足关系式bm<2ε-b 的项数为q,则满足an+bn<b a +0ε-的n 至多为p+q 个，这与上面得到的结论：“有无限个n 使a n +b n <b a +0ε-”相矛盾，所以只可能的b a +≤c,即)(lim lim lim n n n n n n n b a b a +≤+∞→∞→∞→(3)先证第一式,设a a n n =∞→lim ,b b n n =∞→lim ,c b a n n n =∞→lim ,若a=0(或b=0),则因a n >0,b n >0,故c 0≥,所以有.lim lim lim 0n n n n n n n b a c b a ab ∞→∞→∞→=≤==当0.0>>b a 时,假设.c ab >任取正数ε使0>>-εc ab ,则有无限多项满足)(212)(2c ab c ab c c b a n n +=-+<+<ε2ε-<ab . 另一方面,至多有有限项(设为p 项)满足;4ba a n ε-<也至多有有限项(设为q 项)满足,4ab b m ε-<从而至多有p+q 项能满足.abab ab ba b a n n 162)4)(4(2εεεε+-=--<.这样又导致了与前面有无限项满足abab ab b a n n 16222εεε+-<-<相矛盾的结果,所以只能是,c ab ≤即.lim lim lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≤第二个不等式的证明:设,lim c b a n n n =∞→则存在下列}{k k n n b a ,使.lim c b a k k n n k =∞→因为}{k n a 与}{k n b 都是有界数列,可以假设它们都收敛(必要时,取收敛子列).记,lim ,lim b b a a k k n n n n ==∞→∞→则 ,lim ,lim n n n n b b a a ∞→∞→≤≤从而.lim lim lim n n n n n n n b a ab c b a ∞→∞→∞→≤==(4)设,0lim >=∞→a n 欲证,11lima a nn =∞→对任给正数(ε取ε充分小,使,a <ε且).1<εa 令,121εεεa a -= εεεa a +=122,则0,021>>εε且}{n a 中小于εεa aa -=+11的项有无限多个,}{n a 中小于εεa a a +=-12的项至多有限多个,从而}1{n a 中大于εε-=-aa a 11的项有无限多个,}1{n a 中大于εε+=+aa a 11的项至多有限个.所以 .lim 111limn n nn a a a ∞→∞→==3.证明:若}{n a 为递增数列,则.lim lim n n n n a a ∞→∞→=证 若}{n a 有界,则由单调有界定理,极限n n a ∞→lim 存在,从而有n n n n a a ∞→∞→=lim lim ,若}{n a 无界,则+∞=∞→n n a lim ,从而对任给正数M,}{n a 中大于M 的项有无限多个,设M a N >,由}{n a 的递增性,当N n >时,有M a a N n >≥,所以.lim +∞=∞→n n a4.证明:若且),,2,1(0 =>n a n ,11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a 则数列}{n a 收敛.证 因),.2,1(0 =>n a n 故0lim ≥∞→n n a ,若0lim =∞→n n a ,则对任给的正数M,}{n a 中小于M 1的项有无限多个,的项有无限多个，中大于即M a n }1{所以,1lim +∞=∞→n n a 这与11limlim =∞→∞→n n n n a a 相矛盾,故,0lim >∞→n n a 由习题2(4),有nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim ,从而由已知11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a 知1lim 1lim =⋅∞→∞→n n n n a a ,所以.lim lim n n n n a a ∞→∞→=.于是}{n a 收敛.5.证明定理7.8 证 1︒设.lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→假设b a >,取02>-=ba ε,则}{n a 中大于εε+=--=-b ba a a 2的项有无限多个,由于)(0N n a b n n >≥,故}{n b 中大于ε+b 的项有无限多个,这与b b n n =∞→lim 矛盾,同理可证n n n n b a ∞→∞→≤lim lim .2︒由定理7.5知.lim lim n n n n a a ∞→∞→≥令α=n c (),N n ∈∀)(N n d n ∈∀=β,则有)(0N n d a c n n n >≤≤,从而由1︒知:βα=≤≤≤=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n d a a c lim lim lim lim6.证明定理7.9.证 (1)必要性 设).(lim 为有限值A A x n n =∞→则对任给正数ε,}{n x 中大于2ε+A 的项至多有限个,设这有限项下标最大者为N,则当1+≥N n 时,2ε+≤A x n 所以εε+<+≤+≥A A x k N k 2}{sup 1,又对上述,0>ε}{n x 中大于ε-A 的项有无限多个,故对一切n,有,}{sup ε->≥A x k nk 于是,当N n >时,有εε+<<-≥A x A k nk }{sup .所以 .}{sup lim A x k nk n =≥∞→充分性 设).(}{sup lim 为有限值A A x k kn n =≥∞→设},{sup k nk n x A ≥=则}{n A 递减,故}inf{n A A =,从而对任给正数ε,存在N,使A N ε+<A ,于是当时N n ≥,有ε+<A x n ,即}{n x 中大于ε+A 的项至多有限个;又对一切n,有ε->≥A A A n ,所以,}{n x 中大于ε-A 的项有无限个,因此.lim A x n n =∞→(2)由习题2的(1)得)(lim lim n n n n x x --=∞→∞→由该题(1),得}.{inf lim }{sup lim )(lim k nk n k nk n n n x x x ≥∞→≥∞→∞→-=-=-所以,有}.{inf lim lim k nk n n n x x ≥∞→∞→=。
上极限和下极限
11.06.2020
上上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质 例（ 3p175#2)
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二 上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质 例（ 3p175#2)
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二 上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
证 明 ： 设 lni m xn=A， lni m xn=A )
同理，小于A的项也至多只有有限多项， 从而(A,A)之外含数列至多有限项，
由数列极限的定义，得证。
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二 上极限与下极限的性质与判断方法 2 数列的上下极限的判断方法
若 {a n}{b n}之 一 收 敛 ， 如 {b n}收 敛 ， 则 ln i m a n+ln i m b nln i m （ a n+ b n ） ln i m （ a n+ b n ） ln i m a n+ln i m b n
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一 上极限与下极限的定义 3 数列的聚点的性质
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一 上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
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一 上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
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上极限和下极限
n
n
聚点, 所以存在 { ynk },
lim
k
ynk
B.
又 { xnk } 有界，
故存在 { xnk } 旳一种收敛子列{ xnk j },
lim
j
xn
k
j
A.
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又因 xnk j ynk j ,
取 j 旳极限,便得A B. 因为 A 也是 { xn } 旳聚点, 它与{ xn } 旳最小聚点 A 理应满足
二、上(下)极限旳基本性质
由上、下极限旳定义, 立即得出:
定理7.5 对任何有界数列 { xn }, 有
lim
n
xn
lim
n
xn .
(1)
下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间旳关
系.
定理7.6
有界数列 { xn } 存在极限旳充要条件是:
lim
n
xn
lim
n
xn .
(2)
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证
设
lim
lim
k
xnk
lim (
k
xnk
ak
)
lim
k
ak
A
,
即证得 A 也是 { xn}的一个聚点, 所以
同理可证 A E.
A E.
定义 2 有界数列 { xn } 旳最大聚点 A 与最小聚点 A 分别称为 { xn } 旳上、下极限, 记为
A
lim
n
xn
,
A lim xn.
n
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注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 这么, 上、下极限旳优越性就显现出来了: 一种 数列若有界, 它旳极限能够不存在, 此时想经过 极限来研究该数列往往是徒劳旳; 但是有界数列 旳上、下极限总是存在旳, 这为研究数列旳性质 提供了一种新旳平台.
非单调数列上极限和下极限
非单调数列上极限和下极限非单调数列是指数列中的元素不按照递增或递减的顺序排列的数列。
在数学中，我们常常研究数列的极限，即数列随着项数的增加而趋向的某个值。
而对于非单调数列来说，它的上极限和下极限并不总是存在，因此需要特殊的讨论和分析。
我们来定义非单调数列的上极限和下极限。
对于一个非单调数列，我们可以找到一个子数列，使得其中的元素递增或递减。
这样，我们定义非单调数列的上极限为这个递减子数列的极限，下极限为递增子数列的极限。
如果递减子数列不存在，则上极限为正无穷；如果递增子数列不存在，则下极限为负无穷。
对于一个非单调数列来说，它的上极限和下极限并不一定相等。
这是因为非单调数列的元素可以在趋近无穷大或无穷小的过程中，经历多次的递增和递减。
这种情况下，数列的上极限和下极限分别代表了数列趋近无穷大和无穷小时的极限值。
下面我们以一个具体的实例来说明非单调数列的上极限和下极限。
考虑数列{-1, 2, -3, 4, -5, 6, ...}，其中正数项递增，负数项递减。
这个数列的递增子数列为{2, 4, 6, ...}，其极限为正无穷；递减子数列为{-1, -3, -5, ...}，其极限为负无穷。
因此，这个非单调数列的上极限为正无穷，下极限为负无穷。
在实际应用中，非单调数列的上极限和下极限具有一定的重要性。
它们可以用来描述数列的趋势和发展方向。
当上极限和下极限存在且相等时，说明数列趋向于一个确定的值；当上极限和下极限存在但不相等时，说明数列在不同的方向上趋向于不同的值；当上极限或下极限不存在时，说明数列的趋势不明确或者在趋向于无穷大或无穷小的过程中震荡不定。
为了更好地理解非单调数列的上极限和下极限，我们可以通过数列的图像来进行观察。
在数学软件或者绘图工具中，我们可以将数列的元素按照其在数轴上的位置绘制出来。
通过观察数列图像的变化，我们可以更加直观地理解数列的递增和递减过程，从而推测出数列的上极限和下极限的可能取值。
数列上下极限的不同定义方式及相关性质
目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要 (01)一、数列的上极限、下极限的定义 (01)1. 用“数列的聚点”来定义 (01)2. 用“数列的确界”来定义 (02)3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)参考文献 (14)英文摘要 (15)数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a 的任一邻域都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列{}n x 的一个聚点.例1 数列{(1)}1n nn -+有聚点1-与1； 数列{sin}4n π有1,-和1五个聚点； 数列1{}n 只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作lim n a →+∞=大;lim n n a x →∞=小.例2 lim (1)11nn n n →+∞-=+(),lim 111n n n →∞-=-+lim sin14n n π→+∞=,limsin 14n n π→∞=- 11lim lim 0n n n n →+∞→∞==2. 用“数列的确界”来定义定义3 任给数列{}n x ，定义lim lim sup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥=;lim liminf{}n k n k nn x x →∞≥→∞= （1）分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.例3 lim ((1)1)n n n →+∞-+=+∞,lim (1)n n n →+∞-=-∞,lim(1)n n n →∞-=-∞3. 数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==大；lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.证明：如果limsup{}k n k nx →∞≥=+∞，由于sup{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k nx ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈（自然数）1..1n s t x >,又可取2,n ∈221,..2,,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}()n k x k →+∞→+∞.这就证明了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得lim lim sup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==+∞=大;如果limsup{}k n k nx →∞≥<+∞，则limsup{}k n k nx →∞≥=-∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈,,i i n n i n ≥≥≥当时有sup{}i n k k nx x ≥≤，lim sup{}i n k i k na x x →∞≥=≤，limsup{}k n k na x →∞≥≤,所以，数列{}n x 的最大聚点满足lim lim sup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥≤.另一方面， lim ,n n y x →+∞∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有sup{},k k nx y ≥≤由此可得limsup{}k n k nx y →∞≥≤.令()lim nn y x +→+∞→，推出lim sup{}lim k n n n k nx x →∞→+∞≥≤.综合上述，有lim lim sup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==.类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.如果lim inf{}k n k nx →-∞≥=-∞，由于inf{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k nx ≥=-∞，对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-<n x ,又可取自然数2n 12n n >使得22-<n x ……所以，得到数列{}n x 的子列{k n x }-∞→.这就证明了∞-为数列的聚点，且为最小聚点小a .由此可得lim lim inf{}n k n k nn a x x →-∞≥→∞==小;如果lim inf{}k n k nx →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k nx →-∞≥=+∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有k n x ≥inf{}k k nx ≥lim inf{}i n k i k na x x →∞≥=≥lim inf{}k n k na x →+∞≥≥所以，数列{}n x 的最小聚点满足lim n n x →∞≥lim inf{}k n k nx →+∞≥.另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有inf{}k k nx ≥y ≥，由此可得lim inf{}k n k nx →+∞≥y ≥.令y →[lim n n x →∞]-，推出lim inf{}k n k nx →+∞≥≥lim n n x →∞.综合上述，有lim lim inf{}n k n k nn a x x →+∞≥→∞==小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 lim lim n n n n x x →+∞→∞≥； （2）性质 2 lim lim lim n n n n n n x A x x A →+∞→+∞→∞=⇔==例 4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞→∞≠，于是存在{}n x 的两个子列{}{}''',k k n n x x ，使'lim lim k n n n n x x →+∞→+∞=，''lim lim k n n n n x x →+∞→∞=，即存在{}n x 的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足：存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则lim lim n n n n x y →+∞→+∞≤;lim lim n n n n x y →∞→∞≤;特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则lim lim n n n n a a αβ→+∞→∞≤≤≤性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥=，则lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞⋅≤≤⋅ （3）lim lim lim lim lim n n n n n nn n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅（4）例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅(0)n x ≥证明：分三种情况讨论1、 若lim 0n n y →+∞>，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>⎧==⎨≤⎩当时，当时则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞→+∞=，对{}n x {}n y +应用（4）有lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅因{}n x 收敛，所以 lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，故上式表明 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅=⋅但 lim lim lim n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞==（）0n x ≥（因）所以 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=2、 若lim n n y →+∞=-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞>，因此n 充分大时有0n x >，这时等式明显成立.3、 若lim 0n n y →+∞-∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得lim ()0n n y C →+∞+>，如此应用1、的结果， lim ()lim lim ()n n n n n n n x y C x y C →+∞→+∞→+∞+=⋅+再根据（3），此即 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x C x y x C →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅=⋅+⋅从而 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅，证毕.性质 5 在不发生()±∞∞)+(情况下，有如下不等式成立：1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+≤+事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}n x =； {}{0,2,0,2,0,2,}n y =，这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y +=lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+=<+=lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=<+=例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=+证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+注意{}n x 收敛，因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，所以上式即为 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+即成立.例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞+≤+≤+（2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+证： 先证： lim ()lim n n n n x x →+∞→+∞-=-（1） 设lim n n x a →+∞=，则依上极限定义，0ε∀>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于a ε-，即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+，所以依下极限定义，有 lim()n n x a →∞-=-，即lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-.设 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，lim()n n n x y a b →∞+=+用反证法，设c a b <+，依下极限定义，0ε∀>，N ∃,当n N >时，有n n x y c ε+<+不妨设 1()2a b c ε=+-，则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+- 又有 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε<-，由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+，又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞→∞→∞+-≤，由于 lim()lim n n n n y y →+∞→∞-=-，所以 lim lim()lim lim n n n n n n n n n d x y x y →+∞→∞→∞→∞≤+≤+（2） 以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞→∞→∞→∞→∞-+-≤-+≤+-，由 lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-得 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞--≤-+≤--，即 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+，当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6lim ()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;性质 7 若 lim 0n n x →∞>，则1lim lim1n n n nx x →+∞→∞⋅=; （7）例7 证：若0,(1,2,)n a n >=且1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=，则数列{}n a 收敛.证明：若lim 0n n a →∞=，则∃子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞=，于是有1limkk n a →+∞=+∞，这与1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞>，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0⋅∞型）时，有lim lim n n n n n x y a y →∞→∞=;lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=.证明：以第二式为例给出证明首先设 lim 0n n y b →+∞=>，其中b 为有限数或+∞.令 ,00,0.n n n n y y z y >⎧=⎨≤⎩当；当则lim lim n n n n z y b →+∞→+∞==;lim lim n n n n n n x z x y →+∞→+∞=.由0,0n n x z ≥≥得lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞→+∞→+∞→+∞→∞≤≤⋅，即lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞→+∞→+∞≤≤⋅，也就是lim lim n n n n n x z a z →+∞→+∞=⋅，代回到n y 就得到lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=⋅.其次设 lim 0n n y b →+∞=≤ （b 为有限数）只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 lim n n y →+∞=-∞，这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0⋅∞型），显然n n x y →-∞.下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）. 定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞与下极限lim n n x →∞;（2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞=+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚点;如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=,此时lim n n x →+∞=-∞;② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞;（3） 如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞=-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点;如果数列{}n x 有下界a① 若[],,b a a b ∀>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=+∞=,此时lim n n x →+∞=+∞;② 若[],,b a a b ∃>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞.证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈⊂-=n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且 ()221112b a b a M -=-=； 再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=； 如此下去得到一个递降闭区间套:[][][]1122,,,k k a b a b a b ⊃⊃⊃⊃；10()2k k k Mb a k --=→→+∞， 且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项.由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈对0x 的任何开领域U，0,..s t ε∃> 000(;)(,)B x x x Uεεε=-+⊂，则N ∃∈，当k N >时，00[,](,)k k a b x x U εε⊂-+⊂，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列{}n x 的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中()1111111()022k k k k k b a b a b a ----=-==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈.下证0x 为数列{}n x 的最大聚点.（反证） 若不然，设另有数列{}n x 的聚点*00,x x >令*001()0,3x x δ=->则有 ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时，***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多含有数列{}n x 的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x .（2） 如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,..lim k n n s t x →+∞=+∞,因此,+∞ 为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞=+∞.如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知,lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=；② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列{}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞； (3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x .定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞→+∞→∞=⇔==.证明：()⇒ 设lim n n x a →+∞=，则对a 的任一邻域U ，N ∃∈，当n N >时，n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点.b a ∀≠， 则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，..a b s t U U φ= . 由于lim n n x a →+∞=，故N ∃∈，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ∉，从而b U 中至多含有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点.综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.或者，因lim n n x a →+∞=，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞=.因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.()⇐ 设lim lim n n n n x x a →+∞→∞==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当{}1max ,,1k n N n n >=时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞=.定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 大为数列{}n x 的上极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε>-∀∈大；(3) ,a a ∀>大 数列{}n x 于a 的项至多有限个;,b a ∀<大 数列{}n x 于b 的项有无限多个.证明：(1)(2)⇒:因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε∀>在()a a a εεε=-+大大大；（，）含有数列{}n x 的无限多项{}12|knx n n <<，则有,kn xa k ε>-∀∈大.又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大.(2)(3)⇒:,a a ∀>大令a a ε=-大，由（2）知，N ∃∈，当n N >时，有n x a ε<+大()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 于a 的项至多有限个.b a ∀<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{}k n x ，,k n x a b ε>-=大 k ∀∈，故数列{}n x 于b 的项有无限多个.(3)(1)⇒:设U 为a 大的任一开邻域，则0,..(;).s t B a a a U εεεε∃>=-+⊂大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 于a a ε=-大有无限多项.因此a a ε-+大大（， ε）中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点.另一方面，a a ∀>大，记1()2a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 于()a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限.定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 小为数列{}n x 的下极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t ,k n x a k ε<+∀∈小；(3) b a∀<小，数列{}n x中小于b的项至多有限个;a a∀>小，数列{}n x中小于a的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用{}n x-代替{}n x.从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:[1] 华东师大学数学系编.数学分析（上册）.:高等教育，2001[2] 复旦大学数学系传璋等编.数学分析（下册）.:高等教育出版，1979[3] 成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学，1998[4] 程其蘘.实变函数与泛函分析基础[M] .2版.：高等教育，2003[5] 朱成熹.近世实分析基础[M].:南开大学，1993[6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].:高等教育，2002[7] 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上[M].:高等教育，1997[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.:高等教育，1993[9] 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.:高等教育，2004[10] 胡适耕,显文著.数学分析原理与方法.:科学，2008[11] 纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.:高等教育.2004The sequence about limit with gathers the row on lower limit collectionHao Li-jiao2007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematicsprofessions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of natureKey words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function。
数学分析7.3上极限和下极限
第七章 实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。
定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项； 将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项； 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而 其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项， 且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。
数列上,下极限的新定义及其应用
数列上,下极限的新定义及其应用
极限是计算数学中一个重要的概念，它的定义是：当一个函数的变量不断接近某一确定值（或不断增大或不断减小）时，函数值不断接近某一确定值，那么这个确定值叫做函数在
这一点上的极限值。
或者说，对一个变量趋近某一值时函数值无限逼近的某一数值叫做函
数的极限值。
极限的概念被应用于非常广泛的领域，有时甚至可以用来求解问题不可解的
函数的行为。
有时在满足一定条件的情况下，可以定义一个序列的上极限，它是表示当序列中n正无穷
大时，序列的值不再增加，此时所对应的值就为序列的上极限。
也可以定义序列的下极限，表示当序列中n正无穷大时，序列的值不再减小，此时所对应的值就为序列的下极限。
新定义了序列上下极限之后，这个概念就可以被广泛应用到数学中。
比如在分析分形几何
中有非常全面的应用，可以用来计算复杂的图形的边界线。
例如，海龟的脊背上有一个矩形，当海龟不断放大时，该矩形的边界线可以表示为序列的上限和下限极限。
此外，极限
还可以应用在微积分中，用于表示值的无穷加线性逼近，有助于分析曲线周围的空间区域。
因此，新定义的序列上下极限在有限的数学中有重要的作用，不仅可以帮助求解和分析更
多的数学问题，还可以应用在更多的领域，更有利于计算机的更多应用。
数学分析——上下极限经典讲义
37第二章 极限论§2.1 上极限与下极限设{}n x 是有界数列,E 是{}n x 的聚点之集, 由Weierstrass 定理可知E ≠Φ, 且对任意∈a E , 有{}n x inf ≤a ≤{}n x sup , 这表明E 是有界集合。
定义1. α＝sup E , β＝inf E 分别称为数列{}n x 的上极限、下极限，记作 α＝_____lim ∞→n n x , β＝∞→n lim n x由定义可得定理1. 对任意有界数列{}n x , 有 ∞→n lim n x ≤_____lim ∞→n n x定理2. 设α,β是有界数列{}n x 的上、下极限，则α,β是{}n x 的聚点。
证明：设E 是{}n x 的聚点之集, 只需证对任意ε＞0,存在无穷多个n x , 满足|n x －α|＜ε. 事实上, α＝sup E , 对任意ε＞0, 存在α0∈E , 满足α－2ε＜α0≤α＜α＋2ε,对于α0∈E 以及如上的ε＞0, 存在无穷多个n x 满足 α0－2ε＜n x ＜α0＋2ε从而存在无穷多个n x 满足 α－ε＜n x ＜α＋ε, 这表明α是{}n x 的聚点。
同理可证β是{}n x 的聚点。
证毕。
定理3. α是有界数列{}n x 的上极限, 充分必要条件是对任意ε＞0, 有:(1) 存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋ε;38(2) 对任意自然数k , 存在k n k ≥, 使k n x ＞α－ε.证明: 设E 是有界数列{}n x 的聚点之集, 由定理2, 若α是{}n x 的上极限, 则α∈E⇐：由条件可知，α是{}n x 的聚点, 即α∈E , 若α＜sup E ＝α',则对0ε＝α'－α＞0, 由(1)存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋0ε＝α'＋α另一方面, 由于α'E ∈, 对如上的自然数N, 存在≥N n N, 使 N n x ＞α'－0ε＝α'＋α 引出矛盾, 因此必有 α＝α'＝sup E .⇒：由定理2, α是{}n x 的聚点, 因而(2)成立。
集合列的上下极限
集合列的上下极限
集合列的上下极限是指在一个集合中，最大值和最小值的概念。
它们是集合中最重要的概念，可以用来描述集合的范围和边界。
上极限是指集合中的最大值，它表示集合中的最大值不会超过上极限。
例如，如果一个集合的上极限是10，那么集合中的最大值不会超过10。
下极限是指集合中的最小值，它表示集合中的最小值不会低于下极限。
例如，如果一个集合的下极限是5，那么集合中的最小值不会低于5。
上极限和下极限可以用来描述集合的范围和边界。
它们可以帮助我们更好地理解集合中的数据，并且可以用来检测数据是否超出了集合的范围。
总之，集合列的上下极限是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解集合中的数据，并且可以用来检测数据是否超出了集合的范围。
上极限与下极限
上极限与下极限
上极限和下极限是数学中重要的概念，常常出现在极限和微积分的学习中。
它们是描述数列或函数在趋向某一点时的行为的指标。
首先我们来定义一下数列的上极限和下极限：
设有一个数列{an}，它的所有项都是实数。
数列{an}的下极限，又称为极限下确界，定义为数集{a1, a2, ……, an, ……}的下确界，记为lim inf an。
对于一个函数f(x)，其下极限和上极限的定义与数列类似：
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义。
函数f(x)在点x趋向a时的下极限，定义为：lim inf f(x) (x → a) = inf{f(x)：x∈(a, a + δ)，δ > 0}。
1. 若数列{an}收敛，则它的上极限和下极限相等，都等于该数列的极限值。
3. 若数列{an}无界，则它的上极限和下极限均为无穷大或负无穷大。
4. 若函数f(x)在点x=a处存在左右极限，则该函数的上极限和下极限均存在。
数学分析7.3上极限和下极限
第七章 实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。
定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项； 将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项； 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而 其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项， 且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。