函数的上下极限及其应用【毕业,绝对极品】
上极限和下极限
n
n
聚点, 所以存在 { ynk },
lim
k
ynk
B.
又 { xnk } 有界，
故存在 { xnk } 旳一种收敛子列{ xnk j },
lim
j
xn
k
j
A.
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又因 xnk j ynk j ,
取 j 旳极限,便得A B. 因为 A 也是 { xn } 旳聚点, 它与{ xn } 旳最小聚点 A 理应满足
二、上(下)极限旳基本性质
由上、下极限旳定义, 立即得出:
定理7.5 对任何有界数列 { xn }, 有
lim
n
xn
lim
n
xn .
(1)
下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间旳关
系.
定理7.6
有界数列 { xn } 存在极限旳充要条件是:
lim
n
xn
lim
n
xn .
(2)
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证
设
lim
lim
k
xnk
lim (
k
xnk
ak
)
lim
k
ak
A
,
即证得 A 也是 { xn}的一个聚点, 所以
同理可证 A E.
A E.
定义 2 有界数列 { xn } 旳最大聚点 A 与最小聚点 A 分别称为 { xn } 旳上、下极限, 记为
A
lim
n
xn
,
A lim xn.
n
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注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 这么, 上、下极限旳优越性就显现出来了: 一种 数列若有界, 它旳极限能够不存在, 此时想经过 极限来研究该数列往往是徒劳旳; 但是有界数列 旳上、下极限总是存在旳, 这为研究数列旳性质 提供了一种新旳平台.
函数的上下限极限及应用
公元3世纪，我国古代杰出数学家刘徽成功地把极限思想应用于实践之中，其中最被人所熟知的方法是在计算圆的面积时所建立的“割圆术”。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李广民研究了用中值定理求函数极限的方法；曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。
刘永莉和石蕊在《函数极限的Stolz定理及其应用》【2】中将数列极限的Stolz定理推广到函数极限，并且用Stolz定理证明了L'Hospital法则，金少华、张建和宛艳萍在《求极限的若干方法》【3】中整理归纳了求取极限的多种方法，并给出了相应的证明，董仲超的《上、下限集的思考》【7】讨论了实变函数中上、下限集的定义，对数列极限和函数极限概念间的关系做了比较，冯适在《浅谈高等数学中极限定义的研究和应用》【8】中提出极限定义在高等数学中的实际应用，常瑞玲和郭新在《利用投影法选取积分的上、下限》【9】中对利用投影法求解函数上下限给出了详细的证明。
吕梁学院2019届毕业论文开题报告
（学生用表）
系（部）：数学系专业：数学与应用数学班级：1501(专升本)
课题名称
函数的上下限极限及应用
指导教师
王小二李花花
学生
吴平
学号
201502022101
1.课题的来源及意义
极限理论在数学学科中是最基础、但却是最重要的内容之一，它以各种各样的形式出现，并贯穿于高等数学中。极限是数学中由常量到变量、有限到无限、近似到精确思想转变的重要概念，在整个现代数学中，极限理论是最基本的概念之一，是解决与处理数学问题的一种重要的数学思想和方法。
3.2研究内容
数学分析第五讲 上下极限定义与基本性质与应用
能否用数列 极限保序性？
1 N lim sup yn A lim( xk A ) . n n n k 1
由 任意性: limsup yn A 0.
n
因此 lim inf yn A limsup yn A 0
n n
所以 lim yn A.
n
数列上下极限的定义与基本性质
例3 证明:
xn 0, lim xn A 0, 证明:lim n x1 x2
n n
xn A.
因为 lim xn A, 所以
n
0, N N * , n N : A xn A
n
8n +3
8n
8n
sinΒιβλιοθήκη 8n+3 4
1 2 = 1 8n 2
8n
lim x8n e
n n
lim x8n 1
n
2 e 2 2 2
lim x8n 2 e 1
lim x8n 3 e
总习题课
2 2
lim x8n 4 e , lim x8n 5 e
n n
2 , 2
lim x8n 6 e 1, lim x8n 7 e
2 n n 2 2 lim sup xn e 1,lim inf xn e n n 2
斯笃茨定理的应用
例3 1p 2 p 求极限 lim p n n
p p 1 2 n
np
n , p N *. p1
解:原式 lim
数列、函数上下极限的性质及其应用文献综述
文献综述数列、函数上下极限的性质及其应用一、前言部分极限的概念是数学分析中最基本的概念之一,也是高等数学中的一个最重要的理论部分.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.” 极限思想 揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。
借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从直线形认识曲线形从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确.极限思想是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代,在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽.但从现在的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数 学上,当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题.直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学 家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”．由于他所采用的圆的半径为1,这样 圆的面积在数值上即等于圆周率,所说刘徽成功地创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6边形、正12边形、… 、直至562⨯(192)边形的面积。
他利用公式22n n r l s n ⋅=⋅(n l 为内接正n 边形的边长，2n s 为内接2n 边形的面积)来求正多边形的面积.他的极限思想是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域.这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用:古希腊人的穷竭 法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明．到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观运用极限思想思考问题 ，放弃 了归谬法的证明.如此,他在无意中将极限发展成为一个实用概念．从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。
第8节 上极限下极限的概念及应用
n N
k 1
两边取上极限
, 则有
能否用夹 逼定理？
lim
n
sup y n A
lim
n
(
n
1
N
xk A ) .
k 1
由 任意性，
lim
n
sup y n A 0 .
从而
lim
n
inf y n A
lim
n
sup y n A 0 .
A.
能否用夹 逼定理？
由 任意性， A
lim
n
inf
an bn
lim
n
sup
an bn
A.
b a inf( A )( 1 N ) N A lim bn bn n bN aN lim sup( A )( 1 b ) b A n n n
n sup x n , x n 1 , sup { x k },
kn
则， n }单调递增， { n }单调递减， {
且 lim n a * ,
n
lim n a .
* n
应用举例
例1.
设
lim
n
x n A ，证明
lim
n
k
0,
n 2 k 1,
lim
a n a n1 bn bn1
n
lim
k
例3.
设 lim a n a ，
n
求证 lim
a1 a 2 a n n
n
a.
解：
数学分析——上下极限经典讲义
37第二章 极限论§2.1 上极限与下极限设{}n x 是有界数列,E 是{}n x 的聚点之集, 由Weierstrass 定理可知E ≠Φ, 且对任意∈a E , 有{}n x inf ≤a ≤{}n x sup , 这表明E 是有界集合。
定义1. α＝sup E , β＝inf E 分别称为数列{}n x 的上极限、下极限，记作 α＝_____lim ∞→n n x , β＝∞→n lim n x由定义可得定理1. 对任意有界数列{}n x , 有 ∞→n lim n x ≤_____lim ∞→n n x定理2. 设α,β是有界数列{}n x 的上、下极限，则α,β是{}n x 的聚点。
证明：设E 是{}n x 的聚点之集, 只需证对任意ε＞0,存在无穷多个n x , 满足|n x －α|＜ε. 事实上, α＝sup E , 对任意ε＞0, 存在α0∈E , 满足α－2ε＜α0≤α＜α＋2ε,对于α0∈E 以及如上的ε＞0, 存在无穷多个n x 满足 α0－2ε＜n x ＜α0＋2ε从而存在无穷多个n x 满足 α－ε＜n x ＜α＋ε, 这表明α是{}n x 的聚点。
同理可证β是{}n x 的聚点。
证毕。
定理3. α是有界数列{}n x 的上极限, 充分必要条件是对任意ε＞0, 有:(1) 存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋ε;38(2) 对任意自然数k , 存在k n k ≥, 使k n x ＞α－ε.证明: 设E 是有界数列{}n x 的聚点之集, 由定理2, 若α是{}n x 的上极限, 则α∈E⇐：由条件可知，α是{}n x 的聚点, 即α∈E , 若α＜sup E ＝α',则对0ε＝α'－α＞0, 由(1)存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋0ε＝α'＋α另一方面, 由于α'E ∈, 对如上的自然数N, 存在≥N n N, 使 N n x ＞α'－0ε＝α'＋α 引出矛盾, 因此必有 α＝α'＝sup E .⇒：由定理2, α是{}n x 的聚点, 因而(2)成立。
上、下极限的性质与应用
毕业论文题目上、下极限的性质与应用学生姓名王丹丹学号 **********所在学院数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学数教1101班指导教师洪洁 __ ____ _ 完成地点陕西理工学院 _ __2015年6月10日上、下极限的性质与应用王丹丹（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班,陕西 汉中 723000）指导教师:洪洁[摘要]本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例阐明了上、下极限在数列敛散性、极限运算以及级数论中的作用,并且具体论述了上、下极限在实变函数以及测度论中的应用.[关键词]上极限; 下极限; 数列;收敛性1 引言极限思想是数学分析中重要思想,极限思想方法贯穿于数学分析课程的始终.上、下极限的概念[1]是极限概念的延伸,由于上、下极限的引入,对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路,例如,上、下极限在数列的敛散性的证明和数列运算问题上的作用;并且,上、下极限的引入能使极限问题的分析更加细致深入,对于正确地理解和认识数列、函数的上、下极限、更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态有非常重要的作用;另外,上、下极限的概念在数列与级数论以及许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用,例如:实变函数论[2],概率论[3],测度论[4]等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的.为了使大学生和即将考研的学生能够全面的认识与理解上、下极限以及它的相关应用,本文将从上、下极限的性质、应用两个方面作深入细致的探讨.2 上、下极限的概念2.1 数列的上、下极限的概念定义2.1.1[5] 若()a b 表示数列{}n x 的最大（小）聚点,则lim n n x a →∞=(lim )n n x b →∞=.定义2.1.2[6] 设{}n x 是有界数列,若()a b 表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者,则lim n n x a →∞=(lim )n n x b →∞=.注 数列{}n x 的上极限lim n n x →∞的特征是（1）∃子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞→∞=(1,2,3)k =.（2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞→∞≤.同样,下极限lim n n x →∞的特征是（1）∃子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞→∞=(1,2,3)k =.（2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞→∞≥.（3）若{}k n x 是{}n x 的子列,则lim lim k n n n n x x →∞→∞≤ , lim lim k n n n n x x →∞→∞≥.利用这些,可以将上、下极限的问题,通过选子列的方法解决.定义2.1.3[7] limsup{}k n k n x a →∞≥=称为数列{}n x 的上极限,liminf{}k n k nx b →∞≥=称为数列{}n x 的下极限.注 由于定义2.1.2 设{}n x 是有界数列,下面讨论关于定义2.1.1-2.1.3数列{}n x 无界的情况: （1）数列{}n x 有下界而无上界按定义2.1.1,扩充聚点也可为-∞,+∞,显然,数列{}n x 的最大聚点为+∞,而最小聚点可能为有限数,可能为-∞.按定义2.1.2, -∞,+∞可为极限点,显然,数列{}n x 所有收敛子列的极限组成数集的上确界为+∞,而其下确界可能为有限数,可能为-∞.按定义2.1.3,显然lim n n x →∞=+∞,而inf{}n n kx >单调增加,但可能没有上界,故lim n n x →∞可能为有限数,可能为+∞.（2）数列{}n x 有上界而无下界,同上.（3）数列{}n x 既无上界又无下界,此时按定义2.1.1,定义2.1.2,定义2.1.3,都有lim n n x →∞=+∞,lim n n x →∞=-∞.据上,对无界数列情形,以上三种定义也等价. 定义2.1.4[8] ()1inf sup{}1,2,3k n k nx k ≥≥=称为数列{}n x 的上极限,1supinf{}k k nn x ≥≥称为数列{}n x 的下极限.定义2.1.5[9] 设a 是一个实数（1）若对0ε∀>,有无穷多个n 使得n x a ε>-,同时至多有有限个n 使得n x a ε>+,数a 称为数列{}n x 的上极限,记作lim n n x a →∞=.（2）若对0ε∀>,有无穷多个n 使得n x b ε<+,同时至多有有限个n 使得n x b ε<-,数b 称为数列{}n x 的下极限,记作lim n n x b →∞=.注1 由文献[6]可知定义2.1.1-2.1.5是等价的.注2 由于其优点各异（定义2.1.1、定义2.1.2容易想象,定义2.1.3、定义2.1.4便于运用,定义2.1.5介乎其间）,不同的教材侧重于不同的优点,自然就会出现不同形式的定义了.推论 当lim n n x a →∞=的充分必要条件是lim lim n n n n x x a →∞→∞==.注1 若{}n x 是无界数列,则它的上、下极限至少有一个不存在.当{}n x 没有上界时,我们可以认为它的上极限为+∞,记为lim n n x →∞=+∞;当{}n x 没有下界时,它的极限为-∞,记为lim n n x →∞=-∞.但当数列单方有界时,却不能导出上、下极限之一存在的结论. 2.2 函数的上、下极限定义2.2.1[10] 设()f x 在点x a =的某去心邻域内有定义,如果存在点列()n n x a x a →≠使lim ()()n n f x A A →∞=∈,则称x a →时,()f x 存在子极限A .或者说A 是当x a →时()f x 的一个子极限.与数列情形类似,可以证明子极限必有最大者M *与最小者M *,分别称作上极限与下极限记为lim ()x af x →以及lim ()x af x →.同样有lim ()x af x →存在且仅当lim ()lim ().x ax af x f x →→=2.3集合列的上、下极限定义2.3.1[11]设{}n A 是一个集合列,记lim limn k n n k nA A ∞→∞→∞==;lim limn k n n k nA A ∞→∞→∞==.它们分别称为集合列{}n A 的上极限与下极限.3 上、下极限的性质性质3.1[12]（保序性） lim lim .n n n n x x →∞→∞≤性质3.2[13]（控制性质） 若{}k n x 为{}n x 的子列,则有lim lim k n n n n x x →∞→∞≤lim lim .k n n n n x x →∞→∞≤≤性质3.3[5](保不等式性) 设数列{}n x 和{}n y 是两个有界数列且有0N >,使当n N >时,有n n x y ≤则lim lim n n n n x y →∞→∞≤,lim lim n n n n x y →∞→∞≤.注1 若0n n ∀≥有n x α≤(常数),则有lim n n x α→∞≤;若0n n ∀≥有n x β≥,则有lim n n x β→∞≥.注2 若,αβ为常数,又存在0N >,时有n x αβ≤≤则lim lim n n n n x x αβ→∞→∞≤≤≤.性质3.4[14]（符号性质） lim lim()n n n n x x →∞→∞=--,lim lim()n n n n x x →∞→∞=--.性质3.5[15]（符号性质）（1）若0c <,则lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=,lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=.（2）若0c >,则lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=,lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=.性质3.6 若{}n x 为有界递增数列,则lim lim .n n n n x x →∞→∞= 相比极限运算,上极限和下极限的优点在于不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段.但是另一方面,相比极限运算,上极限和下极限运算又存在一个缺点,就是它们不存在类似于极限的四则运算那样的公式.但仍然成立下列一系列相对较弱的结论. 性质3.7 (加减运算性质)若{}n x ,{}n y 为有界数列,则 lim()lim lim ,n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+ (3.1)lim()lim lim .n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≥+.(3.2)注1 不等式（3.1）和（3.2）中的严格不等号有可能成立.例如,取(1)n n a =-,1(1)n n b -=-,n N +∈,则有lim lim 1n n n n x y →∞→∞==-,lim lim 1n n n n x y →∞→∞==,lim()lim()0n n n n n n x y x y →∞→∞+=+=.推论 若{}n x 和{}n y 中有一个收敛,则有:lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+,lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≥+.性质3.8(加减运算性质) 若{}n x ,{}n y 为有界数列,则lim()lim lim lim()n n n n n n n n n n x y x y x y →∞→∞→∞→∞+≤+≤+.性质3.9(乘法运算性质) 若0n x ≥,()01,2n y n ≥=,则lim()lim lim ,n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞≤lim()lim lim n n n n x x x x y x y →∞→∞→∞≤.特别地,若{}n x 与{}n y 之一收敛时取等号.性质3.10（倒数运算性质） 若0(1,2)n x n >=lim 0n n x →∞>,则11limlim n nn n x x →∞→∞=.推论 若0n x >,1,2,3n =,且1lim lim1n n n nx x →∞→∞=则数列{}n x 收敛.4 上、下极限的应用4.1上、下极限在数列敛散性中的作用上面我们总结了上、下极限的概念以及它的相关性质,下面就利用上、下极限的概念和性质来解决数列的敛散性.例4.1.1若0(1,2,)n x n >=1limn n nx x +→∞≤. 分析 有界数列{}n x 的极限不存在,即有界数列{}n x 发散时,但有界数列{}n x 的上极限和下极限一定是存在的;又由定义2.1.5的推论可知当一个数列收敛时,它的极限值与上、下极限之间的关系.这个例子就是利用这个数列本身的结构及其与上、下极限的关系来证明它的敛散性.证 设1limn n nx x x +→∞=,当x =+∞时,结论必然成立. 当0x ≤<+∞时,由数列极限的定义可知,0ε∀>,0N ∃>当k N >时,有1n nx x x ε+<+, 任取n N >,令,1,,1k N N n =+-,将所得n N -个不等式相乘,由k N >可得:121121()n N N N n nN N n n x x x x x x x x x ε-++-+--⋅⋅<+, 即()n N nNx x x ε-<+, 则()n n x M x ε<+.其中()N N M x x ε-=+,于是有)x ε<+,由此得)x x εε≤+=+.由ε的任意性可知,所证结论成立.例4.1.2设{}n x 为有界数列,{}k n x (1,2,)k =是它的一个子列,1,1a a <≠- ,证明,如果()lim k k n k x ax A →∞+= ,则{}n x 收敛并求其极限.证 由上,下极限的性质3.7有()()lim lim k k k n k n k k A x ax x a →∞→∞=+=+lim lim k k n k k x a x →∞→∞≤+lim lim n n n n x a x →∞→∞≤+,()()lim lim k k k n k n k k A x ax x a →∞→∞=+=+lim lim k k n k k x a x →∞→∞≤+lim lim n n n n x a x →∞→∞≤+,于是lim lim lim lim n n n n n n n n x a x x a x →∞→∞→∞→∞+≥+ .由1a < 可得lim lim n n n n x x →∞→∞≥,从而{}n x 收敛,令 lim n n x c →∞=.则()()lim lim lim 1k k n n k n n n n A x ax x a x a c →∞→∞→∞=+=+=+ ,由于1a ≠- ,因此 lim 1n n A x a→∞=+ . 利用上、下极限讨论问题的方便之处在于,不需要在数列是否有极限的问题上花费太多的功夫,而可以直接利用给定条件来讨论上、下极限的关系,从而少绕了不少弯．下面就是一个例子,如果不使用上、下极限的工具,论证将会比较繁琐.例4.1.3 设非负数列{}n x 满足条件0(1,2,)m n m n x x x m +≤<+=,(1,2,)n = ,证明数列liminf{,1,2,}n n n x xn n n→∞== .证 对任意的1,2,n = 有1121102n n n x x x x x nx --≤≤+≤+≤≤,于是,10n x x n ≤≤,因此数列{}n xn是有界数列,从而上、下极限以及上、下界都是有限数.令 inf{,1,2,}n xn nβ==,则有lim nn x nβ→∞≥.取定正整数m ,对于任意的正整数n ,必有(,,)n pm q p q q m =+∈<,于是n m q a pa a ≤+,因此q n mx x px n pm q n≤++. 对于固定的,m n p →∞⇔→∞,取上极限便得limlim lim q n m m n n n x x px xn pm q n m→∞→∞→∞≤+=+.对于每一个m 都成立,因而liminf{,1,2,}inf{,1,2,}n m n n x x xm n n m nβ→∞≤====,从而有limlim n n n n x xn n→∞→∞≤.又根据limlim n n n n x xn n→∞→∞≥所以liminf{,1,2,}n n n x xn n n→∞==.上、下极限的概念与性质的引入,为很多问题的证明都开辟了一条简便的思路,尤其是对于柯西收敛原则的证明上表现最为突出.如果没有上、下极限的概念与性质,在证明柯西收敛原则的充分性时,就要分三步证明:（1）证明{}n x 有界;（2）证明{}n x 有收敛子列{}k n x 收敛到某个常数a ;（3）证明{}n x 也收敛到a .而利用上、下极限的概念的性质,在证明柯西收敛原则的充分性时就提供了很多方便之处.定理4.1.4 设{}n x 是有界数列.（1）lim n n x a →∞=的充分必要条件是对任何0ε>都存在N ,使当n N ≥ 时,就有n x a ε>- 且在{}n x 的一个子列{}k n x ,使得,1,2,k n x a k ε-<= ;(2)lim n x x a →∞= 的充分必要条件是对任何0ε>都存在N ,使当n N ≥ 时,就有n x a ε>+ 且存在{}n x 的一个子列{}k n x ,使得,1,2,k n x a k ε-<=.定理4.1.5 若{}n x 是有界数列且有lim n n x a →∞= 和lim n x x b →∞=,则有（1） 存在{}n x 的一个子序列收敛于 a ; （2） 存在{}n x 的一个子序列收敛于 b ;（3）存在{}n x 的任一收敛子列,若其极限为 c ,则有a c b ≤≤ .定理4.1.6（柯西收敛原则） 数列收敛的充分必要条件是它是一个柯西数列.证 必要性 设lim n x x a →∞= .于是对于任给的0ε> ,都有N ,使当n N > 时,就有2n x a ε-<.于是当,m N n N >> 时,就有m n m n x x x a x a ε-≤-+-< ,即{}n x 为柯西数列.充分性 设{}n x 是柯西数列.于是有N ,使当,m N n N >> 时,就有1m n x x -< .特别地,当1m N =+ 时,有()1111,,N n N x x x n N ++-<<+>可见,{}n x 有界.对于任给的0ε> ,存在N ' ,使当n N '> 时,就有1n N x x ε'+-< ,11,N n N x x x n N εε''++'-<<+> .在上式中分别取上,下极限,由定理4.1.4得到11lim lim N n n N x n x x x x εε''++→∞→∞-≤≤≤+ .因此有0lim lim 2n n n n x x ε→∞→∞≤-≤ .由0ε> 的任意性即得lim lim n n n n x x →∞→∞≤ .再由定理4.1.5即知{}n x 收敛.注1 柯西数列[10]:设{}n x 是一个数列,如果对于∀0ε>,都存在自然数N ,使当m N >,n N >时,就有m n x x ε-<,则称{}n x 为柯西数列或基本数列.注2 柯西收敛原则的证明为数列的敛散性的证明又提供了一条快速有效的思路,即要证明一个数列是收敛数列,只要证明它是柯西数列便可. 4.2上、下极限在极限运算中的作用例4.2.1已知lim n n x x →∞=,求证01lim1nn x x x x n →∞+++=+.分析 这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误:由于对任意0ε>,存在(1,2,)N N =,当k N >时,有k x x x εε-<<+,所以011N x x x n ++++()1n N x n ε-+-+011n x x x n +++<<+ 011N x x x n ++++()1n Nx n ε-+++(4.1) 令n →∞,得到01()lim ()1nn x x x x x n εε→∞+++-≤≤++.再由ε的任意性得到01lim 1n n x x x x n →∞+++≤+. 错误是预先认定了极限01lim 1nn x x x n →∞++++的存在.如果应用上、下极限,就可绕开极限是否存在这个问题.证 由（1）,令n →∞,得到0101()limlim ()11n nn n x x x x x x x x n n εε→∞→∞++++++-≤≤≤+++, 再由ε的任意性得到0101limlim 11n n n n x x x x x x x n n →∞→∞++++++==++. 于是推得01lim1nn x x x x n →∞+++=+.类似上述过程,不少书中直接写为:“令n →∞,（4.1）式的左右两边分别趋于x ε-和x ε+.”由于ε的任意性可得01lim1nn x x x x n →∞+++=+.不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段．下面就是一个利用上极限与下极限运算解决极限问题例子.例4.2.2 设1a >,x >1,1,2,31nn na x x n x ++==+ , (4.2)试证 lim n n x →∞=证 易得到01n x a <<+.因而lim n n x β→∞=与lim n n x α→∞=存在,而且0α≥.由此可得到0β>,令()1xf x x α+=+则()()2211()011x x aaf x x x +---'==<++.故()f x 单调递减.在(1)中取上限可得1a a βαααβββ+≥⇒+≥++, 所以有a a αβαβα+≥+⇒≥≥,故αβ=,因而lim n n x →∞存在,在(1)中取极限,可得出lim n n x →∞=注 如果0β≤,则有αβ=,因而{}n x 的极限存在且等于零,在(4.2)中令n →∞,便得到矛盾. 求解函数的上、下极限,有利于认清函数本身的结构. 例4.2.3 设1()sinf x x=,求0lim ()x f x →,0lim ()x f x →.解 据函数的有界性可知,任何子极限都介于-1和1之间. 选取数列1022n x n =→+则()1()n f x n →→∞.若选取10322n y n =→+则()1()n f y n →-→∞.因此可知0lim ()1x f x →=,0lim ()1x f x →=-.可以证明,任何介于[1,1]-之间的实数都是0x →时1()sin f x x=的子极限. 4.3 上、下极限在级数论中的作用上、下极限在级数理论中将会使一些结果更为完整.例如,利用上、下极限改进了达朗贝尔判别法[10]（比值判别法）,柯西判别法[10]（根值判别法）,使得它们的结论更加完整.而利用改进型的判别法,可以得到幂级数收敛半径的完整性结果.定理4.3.1 对于正项级数1nn u∞=∑,令ρ=那么（1）当1ρ<时,级数1nn u∞=∑收敛;（2）当1ρ>或无穷大时,级数1nn u∞=∑发散;（3）当1ρ=时,级数1nn u∞=∑可能收敛也可能发散.注 改进型的判别法就是针对达朗贝尔判别法（比值判别法）,柯西判别法（根值判别法）这两个判别法中的极限1limn n nu u ρ+→∞=与n ρ=不存在的情形给出的.幂级数收敛半径的结论如下 对于幂级数nn n a x∞=∑,如果1limn n na a ρ+→∞=或n ρ=, （4.3）则幂级数的收敛半径1,0;,0;0,.R ρρρρ⎧≠⎪⎪+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩如果（4.3）的极限不存在,利用上、下极限就可以得到完整的结论.定理4.3.2 对于幂级数nn n a x∞=∑,ρ=,则幂级数的收敛半径1,0;,0;0,.R ρρρρ⎧≠⎪⎪+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩注 定理4.3.2是对幂级数收敛半径的结论的进一步补充,得到幂级数收敛半径完整性的结果. 4.4 上、下极限在后续教程中的应用引入上、下极限的概念在一些后续课程中也有很大的作用.特别是在实变函数的教学中.如大家所知,关于Lebesgue 积分有三大收敛定理,其中Faton 引理的表述就要用到上、下极限的概念. 如果在教学中没有预先引进下极限的概念,理论在这里就将是无法处理的.定理4.4.1（Fatou 引理） 若{()}n f x 是可测集E 上非负可测函数列,则lim ()lim ()nm n x E En n f x d f x d →∞→∞≤⎰⎰.证 非负函数()inf{()}n j g x f x j n =≥显然有1()()n n g x g x +≤,1,2k =,而且lim ()lim ()n n n n g x f x →∞→∞=,x E ∈.由Levi 定理得lim ()lim ()nn E n n E f x dx g x dx →∞→∞=⎰⎰lim ()lim ()n n EEn n g x dx f x dx →∞→∞=≤⎰⎰.注1 Levi 定理[11]:设{()}k f x 是可测集E 上的非负可测函数列,满足12()()()k f x f x f x ≤≤≤≤,且有lim ()()k k f x f x →∞=,x E ∈,则lim()()k EEk f x dx f x dx →∞=⎰⎰.注2 由Faton 引理推导Lebesgue 控制收敛定理时,上、下极限的作用也是不可替代的,最后必须由不等式lim ()()lim ()n x m n m EEn n f x d f x d f x d →∞→∞≤≤⎰⎰⎰.推出 lim()()n m n m EEn f x d f x d →∞=⎰⎰．上、下极限的概念的引入在测度论中也有很重要的作用. 定理4.4.2[2]设集列{}i E 是单调增加的可测集列,1lim i k k i E E E ∞→∞===,则lim (lim )k k k k mE m E mE →∞→∞==.定理4.4.3[2] 设集列{}i E 是单调减少的可测集列,1lim i k k i E E E ∞→∞===,且1mE <+∞,则lim (lim )k k k k mE m E mE →∞→∞==.例4.4.4 设{}n E 是pR 中一列可测集,证明: （1）(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≤;（2）若存在0n ,使0()n n n m E ∞=<+∞,则(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≥.证 （1）因为1lim n k n n k nE E ∞∞→∞===.记n k k nA E ∞==,则12n A A A ⊂⊂⊂.由定理4.4.3得1(lim )()lim ()n k k n n n k nk nm E m E m E ∞∞∞→∞→∞=====.由于对任何(1,2,)N N =,()k n k nm E mE ∞=≤成立,所以(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≤.（2）因为1lim n k n n k nE E ∞∞→∞===,记n k k nB E ∞==,则12n B B B ⊃⊃⊃.又已知存在0n ,使00()()n k k n m B m E ∞==<+∞,由定理4.4.2得1(lim )()lim ()n k k n n n k nk nm E m E m E ∞∞∞→∞→∞=====.由于对任何(1,2,)N ,有()k n k nm E mE ∞=≥,所以(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≥.参考文献[1]隋廷芳.上、下极限的七个等价定义 [J].呼盟电大分校学报,1994:10. [2]胡长松.实变函数[M].北京:科学出版社,2002.11:56-57.[3]Robert Ely.Nonstandard Student Conceptions About Infinitesimals[J].Journal For Research in Mathematics Education,2010,41;117-146.[4]Ryszard Engelking.General Topology[M].London:Warszarva,1977:27-47.[5]华东师范大学数学系编:数学分析（第三版）（上）[M].北京:高等教育出版社,2001:172-176. [6]杜其奎,陈金茹.数学分析精读讲义（上）[M].北京:科学出版社,2012:236-237. [7]崔尚斌.数学分析教程（上）[M].北京:科学出版社,2013:70-71.[8]毛羽辉,韩士安,吴畏.数学分析学习指导书（第四版）(上) [M]. 北京:高等教育出版社,2011.6:249-252. [9]马建国.数学分析（上）[M].北京:科学出版社,2011.5:53-55.[10]郭林,王学武,刘柏枫.数学分析（3）[M]. 北京:清华大学出版社,2012.4:13-15. [11]郭懋正.事变函数与泛函分析[M].北京:北京大学出版社,2005.2:117-118. [12]李成章,黄玉民.数学分析（第二版）（上）[M]. 北京:科学出版社,2007:40-41. [13]叶常青.数列上、下极限的新定义及其应用[J].漳州师院学报,1996:48-52. [14][美]G.克莱鲍尔.数学分析[M].上海:科学技术出版社,1983:50-52.[15]王振福,张建军.数列的上极限与下极限探析[J]. 包头:包头职业技术学院学报,2008.3（1）:12-14.The Nature Of the Superior and Inferior Limits and theApplicationWangDanDan（Grade110, Class1, Major Mathematics and applied mathematics, Mathematics Dept, Shaanxi Universityof Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi ）Tutor: Hong JieAbstract :This article introduced the concept of the superior and inferior limits and superior and inferior limits ofisotony, protecting the inequality and some properties in the arithmetic, an example is given to illustrate the role of thesuperior and inferior limits in the sequence convergence and divergence, equivalent and theory of series and discussed the superior and inferior limits in real functions of real variable and the application of the theory of seies.Key words:Superior Limit; Inferior Limit; Sequence; Convergence。
利用确界的极限描述序列的上下极限
Stolz公式讲解介绍其中的Stolz公式（也被称为Stolz定理或施笃兹定理）的相关内容：1.基本概念：•Stolz公式是一种求数列极限的方法。
•具体而言，设有数列An和Bn，若Bn>0且递增，当n→+∞时Bn→+∞，则有：若lim(n→+∞)（(A(n+1）-An)/(B(n+1）-Bn)）=L（L可以是0，有限数，+∞或-∞），则lim(n→+∞)（An/Bn）=L。
2.应用场景：•Stolz公式常用于在数列极限中处理一些用常规方法难以解答的问题。
例如，当需要求解形如lim(An/Bn)的极限，且An和Bn满足Stolz公式的条件时，就可以使用该方法。
•Stolz公式与Cauchy命题（平均值定理）有紧密的联系，有时可以互相转化应用。
3.使用方法：•首先，确认数列An和Bn满足Stolz公式的条件，即Bn>0且递增，当n→+∞时Bn→+∞。
•然后，计算lim(n→+∞)（(A(n+1）-An)/(B(n+1）-Bn)）的值，记为L。
•根据Stolz公式，lim(n→+∞)（An/Bn）=L。
4.注意事项：•在使用Stolz公式前，务必确认数列An和Bn满足其条件。
如果不满足，则不能使用该方法求极限。
•Stolz公式是一种充分条件，而非必要条件。
即使不满足Stolz公式的条件，lim(An/Bn)的极限也可能存在，但此时不能用Stolz公式求解。
•在实际应用中，有时需要对An或Bn进行适当的变形或处理，以满足Stolz 公式的条件。
总之，Stolz公式是求解数列极限的一种有效方法，但使用时需要注意其适用条件和限制。
通过掌握其基本概念、应用场景、使用方法和注意事项，可以更好地理解和应用该公式。