关于上下极限的一些问题(特选内容)
上极限和下极限
n
n
聚点, 所以存在 { ynk },
lim
k
ynk
B.
又 { xnk } 有界，
故存在 { xnk } 旳一种收敛子列{ xnk j },
lim
j
xn
k
j
A.
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又因 xnk j ynk j ,
取 j 旳极限,便得A B. 因为 A 也是 { xn } 旳聚点, 它与{ xn } 旳最小聚点 A 理应满足
二、上(下)极限旳基本性质
由上、下极限旳定义, 立即得出:
定理7.5 对任何有界数列 { xn }, 有
lim
n
xn
lim
n
xn .
(1)
下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间旳关
系.
定理7.6
有界数列 { xn } 存在极限旳充要条件是:
lim
n
xn
lim
n
xn .
(2)
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证
设
lim
lim
k
xnk
lim (
k
xnk
ak
)
lim
k
ak
A
,
即证得 A 也是 { xn}的一个聚点, 所以
同理可证 A E.
A E.
定义 2 有界数列 { xn } 旳最大聚点 A 与最小聚点 A 分别称为 { xn } 旳上、下极限, 记为
A
lim
n
xn
,
A lim xn.
n
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注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 这么, 上、下极限旳优越性就显现出来了: 一种 数列若有界, 它旳极限能够不存在, 此时想经过 极限来研究该数列往往是徒劳旳; 但是有界数列 旳上、下极限总是存在旳, 这为研究数列旳性质 提供了一种新旳平台.
上极限和下极限
在概率测度的收敛性研究中，上极限和下极限也发挥了重要作用，例如在研究概率空间的收敛性和概率 测度的弱收敛时。
2023
PART 05
结论
REPORTING
主题总结
上极限和下极限是数学中两个重要的概念，用于描述数列或函数在无穷大 或无穷小的情况下的行为。
上极限和下极限的概念在数学分析、实数理论、函数分析等领域有着广泛 的应用，对于理解函数的性质和行为至关重要。
2023PART 03下极 Nhomakorabea的概念和性质
REPORTING
下极限的定义
• 定义：对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在一个 正整数$N$，使得当$n>N$时，有 $a_n<\alpha+\varepsilon$。则称数$\alpha$为数列 ${a_n}$的下极限。
下极限的性质
唯一性
主题历史背景
上极限和下极限的概念起源于数学分 析的发展，特别是在实数理论的研究 中。
历史上，上极限和下极限的概念在数 学分析中得到了广泛的应用和发展， 为解决一系列数学问题提供了重要的 工具和方法。
2023
PART 02
上极限的概念和性质
REPORTING
上极限的定义
上极限的性质
唯一性
给定数列${ a_n }$的上极限至多有一个。
下极限
下极限是数学中的一个概念，它描述 了一个序列或集合的“下确界”，即 比该序列或集合中所有元素都大的最 小值。
主题重要性
上极限和下极限是数学分析中的重要 概念，它们在研究函数的性质、数列 的收敛性和实数的完备性等方面有着 广泛的应用。
上极限和下极限的概念有助于理解实 数集的完备性，即实数集具有完备性， 意味着实数集的所有子集都有上界和 下界。
上极限与下极限
§3 上极限和下极限1. 求以下数列的上、下极限:(1){1+n)1(-};(2){n)1(-12+n n}; (3){2n+1}; (4){12+n n sin 4πn };(5){n n 12+sin n π}; (6){n n 3cos π};解 记原函数为{x n }. (1) 由于∞→k lim 12-k x =0, k k x 2lim ∞→=2,从而对任给正数ε,存在自然数N,当k>N 时,有x 12-k <0+ε,2-ε<x k 2可见小于ε+0的x n 有无限项，大于ε-2的也有无限项，又设有一项x n 使得εε+>-<20n n x x 或,故由定义可知 ∞→∞→=n n n x lim ,0lim x n =2.注：一般地，若p 为自然数，且0lim A x kp k =∞→， ,lim 11A x kp k =+∞→,11lim --+∞→=p p kp k A x 存在，则有min lim =∞→n {A 0，A 1 ，A 1-P }，，，10max{lim A A x n k =∞→ ，A 1-P }。
事实上，对任一正数ε，存在自然数N ，使得当k>N 时 A i —ε<x j kp +<A i +ε )1,,2,1(-=p i设 min{A 0,A 1, ,A 1-P }=A 0,则小于A 0+ε的x n 有无限项，若对某个正数ε，数列{x n }中小于A 0—ε的有无穷项，设他们是x 1n ,x 2n , ,x j n , 其中n 1<n 2< <n j < ,由于自然数集N 可分为有限个子集 {kp }N k ∈,{kp+1 ,}N k ∈, {kp+p-1}N k ∈且n j 有无限个，从而以上p 个子集中，必有一个（设为第j 个）含有无限个n j ,因而 n 1j =k 1p+j ),2,1( =j于是 j j p k l n l A x x j ==+∞→∞→11lim lim .可见A j ≤A 0—ε<A 0.这与A 0为最小者矛盾，因此A 0=n n x ∞→lim .同理 max{A 0,A 1, ,A 1-P }=n n x ∞→lim .(2) 由于21142limlim 2=+=∞→∞→k k x k k k ，21lim 12-=+∞→k k x ，从而由（1）后的注知21lim -=∞→n n x ，n n x ∞→lim =21(3) 由于+∞=+∞→)12(lim n n ，从而+∞==∞→∞→n n n x lim lim .(4) 由于2lim lim lim 38188===+∞→+∞→∞→k k k k k k x x x ，2lim lim ,2lim 785828-===+∞→+∞→+∞→k k k k k k x x x2lim 68-=+∞→k k x从而由（1）题证明之后的注知2lim -=∞→n ，n n x ∞→lim =2.(5)ππππ=•+==∞→∞→∞→nn nn x x n n n n n sin)1(lim lim lim 22 (6)由于)2,1,0(121lim 3cos lim lim 3133===+∞→+∞→+∞→i i x j k k k k j k k π 从而 1lim lim ==∞→∞→n n n n x x .2．设{a n }.{b n }为有界数列，证明： （1）);(lim lim n n n n a a --=∞→∞→(2) );(lim lim lim n n n n n n n b a b a +≤+∞→∞→∞→(3) 若a n >0, b n >0(n=1,2, ),则n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≤lim lim lim ，n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≥lim lim lim ；（4）若a n >0,n n a ∞→lim >0,则.lim 11limnn n n a a ∞→∞→=证 （1）设A n =∞→lim ，则对任给正数ε，小于A —ε的a n 至多有限项，小于A+ε的a n 有无限项，即{—a n }中大于—A+ε的至多有限项，大于—A —ε的有无限项，所以A a n n -=-∞→)(lim ，即)(lim lim n n n n a a --=∞→∞→(2)设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，c b a n n n =+∞→)(lim ，假设c b a >+,由下极限充要条件知对任给正数ε，有无限个n,使得a n +b n <c+ε,今取ε0=)(21c b a -+>0,则有无限个n,使得a n +b n <c+0)(21)(21ε-+=++=-+b a c b a c b a .另一方面，由于a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，故至多有有限个n 和有限个m ，使得a n <2ε-a ，b m <2ε-b ,设{a n }满足关系式bm<2ε-b 的项数为p ，{bm}满足关系式bm<2ε-b 的项数为q,则满足an+bn<b a +0ε-的n 至多为p+q 个，这与上面得到的结论：“有无限个n 使a n +b n <b a +0ε-”相矛盾，所以只可能的b a +≤c,即)(lim lim lim n n n n n n n b a b a +≤+∞→∞→∞→(3)先证第一式,设a a n n =∞→lim ,b b n n =∞→lim ,c b a n n n =∞→lim ,若a=0(或b=0),则因a n >0,b n >0,故c 0≥,所以有.lim lim lim 0n n n n n n n b a c b a ab ∞→∞→∞→=≤==当0.0>>b a 时,假设.c ab >任取正数ε使0>>-εc ab ,则有无限多项满足)(212)(2c ab c ab c c b a n n +=-+<+<ε2ε-<ab . 另一方面,至多有有限项(设为p 项)满足;4ba a n ε-<也至多有有限项(设为q 项)满足,4ab b m ε-<从而至多有p+q 项能满足.abab ab ba b a n n 162)4)(4(2εεεε+-=--<.这样又导致了与前面有无限项满足abab ab b a n n 16222εεε+-<-<相矛盾的结果,所以只能是,c ab ≤即.lim lim lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≤第二个不等式的证明:设,lim c b a n n n =∞→则存在下列}{k k n n b a ,使.lim c b a k k n n k =∞→因为}{k n a 与}{k n b 都是有界数列,可以假设它们都收敛(必要时,取收敛子列).记,lim ,lim b b a a k k n n n n ==∞→∞→则 ,lim ,lim n n n n b b a a ∞→∞→≤≤从而.lim lim lim n n n n n n n b a ab c b a ∞→∞→∞→≤==(4)设,0lim >=∞→a n 欲证,11lima a nn =∞→对任给正数(ε取ε充分小,使,a <ε且).1<εa 令,121εεεa a -= εεεa a +=122,则0,021>>εε且}{n a 中小于εεa aa -=+11的项有无限多个,}{n a 中小于εεa a a +=-12的项至多有限多个,从而}1{n a 中大于εε-=-aa a 11的项有无限多个,}1{n a 中大于εε+=+aa a 11的项至多有限个.所以 .lim 111limn n nn a a a ∞→∞→==3.证明:若}{n a 为递增数列,则.lim lim n n n n a a ∞→∞→=证 若}{n a 有界,则由单调有界定理,极限n n a ∞→lim 存在,从而有n n n n a a ∞→∞→=lim lim ,若}{n a 无界,则+∞=∞→n n a lim ,从而对任给正数M,}{n a 中大于M 的项有无限多个,设M a N >,由}{n a 的递增性,当N n >时,有M a a N n >≥,所以.lim +∞=∞→n n a4.证明:若且),,2,1(0 =>n a n ,11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a 则数列}{n a 收敛.证 因),.2,1(0 =>n a n 故0lim ≥∞→n n a ,若0lim =∞→n n a ,则对任给的正数M,}{n a 中小于M 1的项有无限多个,的项有无限多个，中大于即M a n }1{所以,1lim +∞=∞→n n a 这与11limlim =∞→∞→n n n n a a 相矛盾,故,0lim >∞→n n a 由习题2(4),有nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim ,从而由已知11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a 知1lim 1lim =⋅∞→∞→n n n n a a ,所以.lim lim n n n n a a ∞→∞→=.于是}{n a 收敛.5.证明定理7.8 证 1︒设.lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→假设b a >,取02>-=ba ε,则}{n a 中大于εε+=--=-b ba a a 2的项有无限多个,由于)(0N n a b n n >≥,故}{n b 中大于ε+b 的项有无限多个,这与b b n n =∞→lim 矛盾,同理可证n n n n b a ∞→∞→≤lim lim .2︒由定理7.5知.lim lim n n n n a a ∞→∞→≥令α=n c (),N n ∈∀)(N n d n ∈∀=β,则有)(0N n d a c n n n >≤≤,从而由1︒知:βα=≤≤≤=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n d a a c lim lim lim lim6.证明定理7.9.证 (1)必要性 设).(lim 为有限值A A x n n =∞→则对任给正数ε,}{n x 中大于2ε+A 的项至多有限个,设这有限项下标最大者为N,则当1+≥N n 时,2ε+≤A x n 所以εε+<+≤+≥A A x k N k 2}{sup 1,又对上述,0>ε}{n x 中大于ε-A 的项有无限多个,故对一切n,有,}{sup ε->≥A x k nk 于是,当N n >时,有εε+<<-≥A x A k nk }{sup .所以 .}{sup lim A x k nk n =≥∞→充分性 设).(}{sup lim 为有限值A A x k kn n =≥∞→设},{sup k nk n x A ≥=则}{n A 递减,故}inf{n A A =,从而对任给正数ε,存在N,使A N ε+<A ,于是当时N n ≥,有ε+<A x n ,即}{n x 中大于ε+A 的项至多有限个;又对一切n,有ε->≥A A A n ,所以,}{n x 中大于ε-A 的项有无限个,因此.lim A x n n =∞→(2)由习题2的(1)得)(lim lim n n n n x x --=∞→∞→由该题(1),得}.{inf lim }{sup lim )(lim k nk n k nk n n n x x x ≥∞→≥∞→∞→-=-=-所以,有}.{inf lim lim k nk n n n x x ≥∞→∞→=。
数列的上极限和下极限-最新年精选文档
数列的上极限和下极限在数学分析课程中，数列的敛散性判别非常重要，而证明数列收敛的方法也有很多方法[1]，比如ε-N定义、柯西收敛准则、两个重要准则、归结原理和子列原理等。
但是有时也可以用上极限和下极限来判断。
本文主要介绍数列上极限和下极限的定义，性质以及其应用。
数列聚点的定义[2]：如果在a∈R的任何邻域内都有数列x 的无限项，称a为数列x的一个聚点。
例1：数列{（-1）}的聚点是±1；例2：数列{sin}的聚点是±1，±和0；例3：数列有聚点0；例4：数列，，，，，，，，，，…的聚点是整个闭区间[0，1]；例5：数列1，1，2，，3，，…，n，，…的聚点是0。
注：（1）收敛数列的聚点必唯一，为数列的极限（证明见定理2），如例3。
反之不真，如例5。
一般情况下，数列的聚点是不唯一的，如例1、例2、例4。
（2）数列的聚点和数集的聚点是有区别的。
数{sin|n∈Ν}的聚点是空集；数集{（-1）|n∈Ν}的聚点为±1。
容易证明：聚点的等价定义[3]：若数列x的子列x有极限a，则称a为数列x的一个聚点。
聚点的存在性定理[2]：有界数列x至少有一个聚点，且存在最大聚点和最小聚点。
下面是数列上、下极限的定义：上极限和下极限的定义[2]：有界数列x的最大聚点a与最小聚点a称为数列x的上极限和下极限，记作a=xa=x.上极限和下极限的等价定义1[2]：若x为有界数列，则？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得n>N时，有xa-ε，k=1，2，3，…则称a为数列x的上极限。
若x为有界数列，则？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得当n>N时，有x>a-ε；（2）存在子列x，x 上极限和下极限的等价定义2[2，4]：若x为有界数列，则x={x}，x={x}.定理1[2]：对任何有界数列x，有x≤x，x=-（-x）.注：容易证明x≤x≤x≤x，其中x为有界数列x的一个子列。
上下极限的等价性定义及应用
上、下极限的等价性定义及其应用摘要数列上、下极限的概念，是数学分析中的两个重要概念．在不同版本的数学分析教材中，往往以不同形式给出其定义．关于数列上、下极限的概念，常用的表示方法有三种（文中的定义1、2、3）．除此之外，本文又给出了两种定义方式（文中的定义4、5）．接着利用实数完备性和极限理论知识，如：聚点定理，闭区间套定理，数列极限的定义以及收敛数列的性质等，严格论证了这五种定义的等价性．在此基础上又探讨了数列上、下极限的一些性质，并给出了其证明过程．其次，借助上、下极限的定义及性质，给出了有关上、下极限的若干命题．最后，举例说明了上、下极限在极限运算及数列与级数论中的应用．关键词：上极限，下极限，聚点，上确界About the Equivalence of the Definitions of Superior Limitand Inferior Limit and Its applicationsYu Li(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractThe concept of the superior and inferior limit on sequence is two important concepts in mathematical analysis．In different versions of textbooks of mathematical analysis，often give different forms of its definition．On the sequence of the superior and inferior limit of the concept，there are three commonly used methods (the definition of paper 1、2、3 )．In addition，this article gives two definitions (the definition of article 4、5)．By using of knowledge of completeness of real and limit theory，such as：theorem of the point of accumulation，theorem of nested interval，definitions of sequence limit and the properties of convergence sequence，this article strictly proofs the equivalence of the five definitions．On these bases，we discuss some properties of the superior and inferior limit，and give the proof．Secondly，using the definitions and properties of the superior and inferior limit，we give some propositions about the superior and inferior limit．Finally，this paper gives examples to illustrate the application of the operation of limit and the theory of series of the superior and inferior limit．Keywords: superior limit，inferior limit，accumulation，least upper bound目录引言 (1)一、上、下极限的定义 (1)（一）上、下极限的5种定义 (1)（二）上、下极限定义的等价性证明 (2)二、上、下极限的相关应用 (5)（一）上、下极限的性质 (5)（二）有关上、下极限的若干命题 (8)（三）上、下极限在极限教学中的作用 (12)1．上、下极限在极限运算中的作用 (12)2．上、下极限在数列与级数论中的作用 (13)结论 (14)参考文献 (14)致谢 (15)引言一个有界数列{}n x 不一定有极限，但它却有上极限和下极限.数列的上、下极限是极限概念的自然推广，它是本科教学和学生学习的难点问题.由于目前普遍受教学计划总时数的限制，现行一般本科教材中关于数列上、下极限部分的教学内容大多是不做具体要求，有的即使写进数分教材里也是作为选学内容，况且，大多数教材对上、下极限也讨论的不细致、不深入，这样无疑更加淡化了上、下极限的教学.事实上，上、下极限的概念在许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用，例如：实变函数论，概率论，测度论等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念，所以对上、下极限有个清楚的认识是必要的.本文将从上、下极限的定义、性质、定理、应用四个方面作深入细致的探讨，期望对数学分析的教学有所帮助.关于上、下极限的概念，我们常常在不同的教材看到其定义各不相同，为了深刻认识其内涵，本文给出了上、下极限的五种定义方式，并证明了五种定义的等价性.一、上、下极限的定义（一）上、下极限的5种定义定义1（用“数列的聚点”来定义） 若()a b 表示数列{}n x 的最大（小）聚点，则lim n n x →∞=a (lim n n x b →∞=).定义2（用“数列的收敛子列”来定义） 设{}n x 是有界数列，若()a b 表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者，则lim n n x →∞=a （lim n n x →∞=b ）.定义3（用“数列的确界”来定义） lim n →∞sup k k nx ≥=a 称为数列{}n x 的上极限，lim n →∞inf k k nx ≥=b 称为数列{}n x 的下极限.定义4 1inf n ≥sup k k n x ≥称为数列{}n x 的上极限，1sup n ≥inf k k nx ≥称为数列{}n x 的下极限.定义5 （1）若对ε∀>0,有无穷多个n 使得n x >a ε-,同时至多有有限个n 使得n x >a ε+,数a 称为数列{}n x 的上极限，记作lim n n x →∞=a .（2）若对ε∀>0,有无穷多个n 使得n x b ε<+，同时至多有有限个n 使得n x b ε<-，数b 称为数列{}n x 的下极限，记作lim n n x →∞=b .（二）上、下极限定义的等价性证明为了方便起见，仅就上极限的情形予以证明，下极限的情形依此即可.证明 1⇒2 因为a 是数列{}n x 的聚点的充要条件是：存在子列{}n x 收敛于a ，由此可见{}n x 的最大聚点，便是{}n x 的收敛子列极限的最大值.2⇒3 令n h =sup k k nx ≥，由2必存在子列{}k n x 收敛于a .因为k k n n x h ≤，于是有a =lim lim kkn n k k x h →∞→∞≤，我们说后面的不等式只能取等号. 如若不然，设lim k n k h →∞=a 'a >，那么由k n h a '→，必∃1k n 使111k n a h a ''-<<+.依k n h 的定义，必∃1k n '>1k n ,使111kn a x a '''-<<+.由k n h a '→，又必∃2k n >1k n ',使21122k n a h a ''-<<+.依2k n h 的定义，必∃2k n '>2k n ,使21122k n a x a '''-<<+.如此类推，一般地由k n h a '→，必∃i k n >1i k n -',使11k in a h a i i''-<<+.依k in h 的定义，必∃i k n '>i k n ,使11k in a x a i i'''-<<+.令i →+∞可见a '也是n x 的收敛子列的极限，这就与已知a 是最大的子列极限矛盾，于是只有a =lim k n k h →∞.又因为{}n h 递减且有下界，{}n h 必收敛，从而{}n h 必与其子列{}k n h 同极限， 所以a =lim n n h →∞=lim n →∞sup k k nx ≥.3⇒4 因为{}n x 非空且有下界，从而{}n h 也非空且有下界.因而{}n h 的下确界存在，记为a '=1inf n n h ≥.于是有a 'n h ≤且ε∀>0，必N ∃使N h a ε'<+.又因为{}n h 递减，故当n N >时，必有n N h h ≤，从而n N a a h h a εε'''-<≤≤<+.可见n h a '→，但由3已知n h a →，故a a '=， 既是lim n n h →∞=1inf n ≥n h ，亦即lim n →∞sup k k nx ≥=1inf n ≥sup k k nx ≥.4⇒5 已知a =1inf n n h ≥=1inf n ≥sup k k nx ≥，由此先证ε∀>0,必有无穷多个n ,使得n x >a ε-，如若不然，则ε∀>0,必N ∃，对∀n N >有n x a ε≤-，取1ε=，则a 1-便是从第n 项起以后的项的上界，于是有n h =sup k k nx ≥≤a 1-，及1inf n n h ≥≤a 1-.再由已知得a ≤a 1-矛盾.今再证至多有有限个n ,使得n x >a ε+.因为已知a =1inf n n h ≥，由下确界定义并注意到{}n h 递减，ε∀>0,必N ∃，对∀n N >有n h a ε<+.而n h {}1sup ,,n n x x += ，于是当n N >时，对一切自然数都有n k x +≤n h a ε<+，这意味着大于a ε+的n x 就至多有有限项.5⇒1 由5可知，ε∀>0,必有无穷多个n ,使n x (,)a a εε∈-+，这意味着a 便是{}n x 的聚点.今证{}n x 再无大于a 的聚点，否则，设a '是大于a 的又一聚点.取2a aε'-<,即 a a εε'+<-， 由所设a '是聚点，必有无穷多个n ,使得n x >a a εε'->+,这与已知至多有有限个n 使得n x >a ε+矛盾.至此已证完了一个圈，因此本文所给出的数列上下极限的5种定义是等价的.既然等价，任取其一作为上极限的定义（记作lim n n x →∞=a ）也就未尝不可，而由于其优点各异（1、2容易想象，3、4便于运用，5介乎其间），不同的教材侧重于不同的优点，自然就会出现不同形式的定义了.这里只证了一个圈，我们还可证其它的圈，还可写出并证明相应的下极限的等价命题.同时我们还可以尝试用其它的方法来描述上、下极限的概念.这样做，不仅可以加深对上、下极限概念的理解，而且对训练自己的发散思维和创造思维能力等都有一定的帮助.对于一般的数列，在此约定1、如果{}n x 是无上界数列，其上极限为+∞.记为lim n n x →∞=+∞2、如果{}n x 是无下界数列，其下极限为-∞.记为lim n n x →∞=-∞于是，任一数列的上下极限都存在.今用部分极限证明如下：1）先证任一数列都有子列极限，因为若{}n x 无上界，则必有子列以+∞为极限，若{}n x 有上界但无下界，则必有子列以-∞为极限，若{}n x 上下都有界，并且有无穷多项取同一数值a ，则便是一个常数列的子列极限，若{}n x 上下有界，但至多只有有限项相同，则由致密性定理知{}n x 必有收敛的子列存在.2）再证任一数列的子列极限必有一个是最大的，一个是最小的，因为若+∞是{}n x 的子列极限，当然它就是最大的，若+∞不是子列极限，则{}n x 必有上界.这时若{}n x 无有限的子列极限，则由1），{}n x 必以-∞为唯一的子列极限，所以-∞也就是{}n x 的最大的子列极限（当然也是最小的子列极限）.若{}n x 有有限的子列极限，那么这些子列极限的集合A 必有上界，从而有上确界，记为a .今证a A ∈，若a A ∉，即a 非子列极限，则0ε∀>，在a 的领域(),a a εε-+中，必只含{}n x 的有限项.但因sup a A =，对上述0ε>，必x A ∃∈，使a x a a εε-<<<+，而x A ∈，表明x 是{}n x 的子列极限，于是必存在子列{}k n x 收敛于x ，从而必存在充分大的0k ， 使得0k k >的一切项有k n x ∈(),a a εε-+，这就产生矛盾，故只有a A ∈，这样，a 便是最大的子列极限.同理可证{}n x 有最小的子列极限.3）将2用于2），便得任一数列的上、下极限都存在.二、上、下极限的相关应用（一）上、下极限的性质性质1 lim lim n n n n x x →∞→∞≤，当且仅当lim n n x →∞存在时取等号.证明 因为 inf sup n n k nk nx x ≥≥≤,从而 liminf limsup n n k nn k nx →∞≥→∞≥≤.此即 lim lim n n n n x x →∞→∞≤.下证取等号的条件：当lim n n x →∞=lim n n x →∞时，因为inf sup n n n k nk nx x x ≥≥≤≤,由迫敛性便知lim n n x →∞存在.当lim n n x →∞存在时，设lim n n x →∞=a . 若a <+∞，则0,,N n N ε∀>∃∀>有n a x a εε-<<+,从而 inf sup k n k nk na x x a εε≥≥-≤≤≤+.可见 liminf limsup k k n k nn k nx a x →∞≥→∞≥==.此即 lim lim n n n n x x →∞→∞=.若a =+∞，则0,,M N n N ∀>∃∀>有n x M >，从而inf ,sup k k k nk nx M x M ≥≥≥>.于是 liminf limsup k k n k nn k nx x →∞≥→∞≥=+∞=.也得 lim lim n n n n x x →∞→∞=.若a =-∞，同理可证.总之，当且仅当{}n x 收敛时，lim lim n n n n x x →∞→∞=.性质2 若n n x y ≤()1,2,n = ，则lim lim n n n n x y →∞→∞≤，lim lim n n n n x y →∞→∞≤.证明 设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=.假设a b >，取02a b ε-=>，则{}n x 中大于2a ba ab εε--=-=+的项有无限多个，由于n n y x ≥()1,2,n = ，故{}n y 中大于b ε+的项有无限多个，这与lim n n y b →∞=矛盾. 同理可证lim lim n n n n x y →∞→∞≤.性质3（1）若0c <，则()lim lim n n n n cx c x →∞→∞=，()lim lim n n n n cx c x →∞→∞=.（2）若0c >，则()lim lim n n n n cx c x →∞→∞=，()lim lim n n n n cx c x →∞→∞=.证明 仅证0c <的情况.由确界的定义知()inf sup k k k nk ncx c x ≥≥=， ()sup inf k k k nk ncx c x ≥≥=令n →∞即可得证.性质4 lim lim n n n n x y →∞→∞+≤()lim n n n x y →∞+≤lim lim n n n n x y →∞→∞+≤()lim n n n x y →∞+≤lim lim n n n n x y →∞→∞+.式中只要不出现()+∞+-∞就成立，并且当{}n x 与{}n y 之一收敛时取等号. 证明 仅证明 lim lim n n n n x y →∞→∞+≤()lim n n n x y →∞+.设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，()lim n n n x y →∞+c =.用反证法，假设c a b <+，则根据下极限的定义知，对002a b cε+-=>， {}n n x y +中有无穷多项小于0c ε+2a b c++=. 另一方面，由于lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=， 故{}n x 中至多只有有限项小于02a ε-，{}n y 中至多只有有限项小于02b ε-，从而{}n n x y +中至多只有有限项小于02a b ca b ε+-+-=， 这与前面所述矛盾.所以c a b ≥+，即lim lim n n n n x y →∞→∞+≤()lim n n n x y →∞+.证毕.性质5 若0n x >()1,2,n = ，则1limn nx →∞=1lim n n x →∞.证明 设lim n n x a →∞=()0a >.则ε∀>0,至多只有有限项小于a ε-，而有无穷多项小于a ε+.因此至多只有有限项满足：1n x >111a aεε=+-， 而有无穷多项满足：1n x >211a aεε=-+， 其中10ε>，20ε>，且由于ε可以任意小，因而12,εε也可以任意小. 故有1limn nx →∞1a ==1lim n n x →∞.证毕. 性质6 若0n x ≥，0n y ≥()1,2,n = ，则lim n n x →∞lim n n y →∞≤()lim n n n x y →∞≤lim lim n n n n x y →∞→∞≤()lim n n n x y →∞≤lim lim n n n n x y →∞→∞.式中只要不出现()0⋅+∞就成立，并且当{}n x 与{}n y 之一收敛时取等号. 证明 先证明 lim n n x →∞lim n n y →∞≤()lim n n n x y →∞（1） 若lim n n x →∞0=，则因lim n n y →∞存在，故0M ∃>，使得0n y M ≤≤()1,2,n = .当lim n n x →∞0=，及0n x ≥，因此ε∀0>，有无穷多个n ，使得0n x Mε≤<.从而对于这样的无穷多个n ，有0n n n x y x M ε≤≤≤，故()lim n n n x y →∞0=.（2） 若lim 0n n y →∞=，则化归为（1）.（3） 若lim n n x →∞0a =>，lim 0n n y b →∞=>，用反证法，假设c ab <.则根据下极限的定义知， 对于0ab c ε<<-，有无穷多个n ,使得22n n x y c ab εε<+<-.又因至多只有有限个n ,使得2n x a b ε<-以及2n y b aε<-，从而至多只有有限个n ,使得22n n x y a b b a εε⎛⎫⎛⎫<--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭24ab ab εε-+. （4） 取ε如此之小使它同时满足142abε<， 则至多只有有限个n ,使得2n n x y ab ε<-，由此得到矛盾，故c ab ≥，即lim n n x →∞lim n n y →∞≤()lim n n n x y →∞.性质7若{}n x 为递增数列，则lim lim n n n n x x →∞→∞=.证明 若{}n x 有界，则由单调有界定理，极限lim n n x →∞存在，从而有lim lim n n n n x x →∞→∞=.若{}n x 无界，则lim n n x →∞=+∞，从而对任给正数M ，{}n x 中大于M 的项有无限多个，设N x M >，由{}n x 的递增性，当n N >时，有n N x x M ≥>，所以lim n n x →∞=+∞.（二）有关上、下极限的若干命题定理[]21 若0n x >()1,2,n = ，则1l i m n n n x x +→∞≤l i m n nn x →∞≤l i m n n n x →∞≤1l i m n n nx x +→∞. 证明 仅证明后一部分. 假设1limn n nx x +→∞a =.只须证明0a ≤<+∞.因1limn n nx x +→∞a =，所以0ε∀>，N ∃，使当i N >有1i i xa x ε+<+.任取n N >，令,1,,2,1i N N n n =+--将所得的n N -个不等式相乘得 121121N N n n N N n n x x x x x x x x ++-+--()n Na ε-<+.此即 ()()()Nnn n N x x a a M a εεε-<++=+，其中()NN M x a ε-=+.从而 nn x <()n M a ε+.令n →∞取上极限得lim n n n x →∞≤()n M a ε+a =ε+.由ε的任意性得lim n n n x →∞≤a .定理2 若0n x >()1,2,n = ，且1lim lim1n n n nx x →∞→∞=，则{}n x 收敛. 证明 根据性质5知：1limn nx →∞=1lim n n x →∞， 又因1lim lim1n n n nx x →∞→∞=，所以lim lim n n n n x x →∞→∞=.故{}n x 收敛. 定理3 若0n x >()1,2,n = ，则11lim 11n n n x n x +→∞⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭.证明 用反证法.假设此结论不成立，则N ∃，使当n N ≥时，有1111n n x n x +⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.这个不等式等价于 1111n n x x n n n +<-++. 依次取n 为N , 1,,1N N k ++- 并把所得结果相加，得11112N N N k ++++++ N N k N x x x N N k N+<-<+. 这与调和级数11i i∞=∑的发散相矛盾.为证1不能以更大的数代替，设n x kn =()1,2,n = ，则111n n x n x +⎛⎫+- ⎪⎝⎭1kk +=， 此式对于大的k 可任意靠近1，或者若设ln n x n n =，则有lim n →∞111n n x n x +⎛⎫+- ⎪⎝⎭1=.定理[]24 若0n x >()1,2,n = ，则11lim nn n n x x e x +→∞⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 证明 不妨设11x =.用反证法.假设此结论不成立，则N ∃2≥，使当n N ≥时，有11nn n x e x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()11n n x n x +>+.依次取n 为N , 1,,1N N k ++- 得：N x ()11N N x +>+,()()1211N N x N x ++>++,()()111N k N k x N k x +-+>+-+ . 因此有()()2111N N x N N x +>+++⎡⎤⎣⎦>()221N N x ++()()23121N N N x +>+++⎡⎤⎣⎦>()()3311k k N N k N x N x N +++>+>.注意到k 为任意正整数，N 2≥，这与N x 是有限数相矛盾.证毕.定理5 设满足条件：0n m n m x x x +≤≤+，证明lim nn x n→∞存在. 证明 因为1110n n x x x nx -≤≤+≤≤ ，可见10n x x n ≤≤，即n x n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭有界，从而其上、下极限必都是有限数. 下证它们相等即可.为此固定m ，并定义00x =，当n 充分大时，由已知有()0n q m rm r x x q x x r m +=≤+≤<, 即 0n m rx x x qm n m qm r qm r≤=⋅+++. 从而 0s u p k m r k n x x x qmkm qm r qm r ≥≤≤⋅+++.令n →∞，这时q →∞，于是得0limn mn x x n m→∞≤≤. 再让m →∞并对右端取下极限得 l i m l i m l i m n m nn n n x x x n m n→∞→∞→∞≤=.所以limnn x n→∞存在. 定理[]26 若数列{}n x 有界且1lim()0n n n x x +→∞-=.则此数列的聚点之集合是区间[,]l L ，其中lim n n l x →∞=，lim n n L x →∞=.证明 因为数列{}n x 有界，故由聚点定理知，此数列至少有一个聚点.设l 为最小聚点，L 为最大聚点.若l L =，则此命题不证自明，故设l L <，(,)a l L ∀∈.由于1lim()0n n n x x +→∞-=，故0ε∀>，N ∃，使当n N >时，有1||2n n x x ε+-<，即当n 充分大时，数列{}n x 之相邻两项的距离小于2ε. 由于lim n n x l →∞=，故必存在1n N >，使1n x 落在l 的ε邻域内.又因lim n n x L →∞=，故必存在2n N >，使2n x 落在L 的ε邻域内.不妨设12n n <，且12n n x a a x εε<-<+<.所要证明的就是存在3132()n n n n <<，使3n a x a εε-<<+.今若112121,,,n n n x x x ++- 无一落在a 的ε邻域内，则因1n x a ε<-，而2n x a ε>+， 不妨设11212,,,n n n x x x ++ 中第一个大于a ε+的为1n p x +， 即 111n p n p x a a x εε+-+<-<+<. 从而 111||2n p n p x x ε++-->，由此得出矛盾.故3n x 落在a 的ε邻域内，此即a 为{}n x 的聚点.证毕.注 若数列{}n x 无下界，则lim n n x →∞=-∞；若数列{}n x 无上界，则lim n n x →∞=+∞.定理7 证明柯西收敛准则（充分性）证明 由已知，0ε∀>，N ∃，,n m N ∀>，有||n m x x ε-<.固定m 得m n m x x x εε-<<+.从而有 i n f s u p m k n km k nknx x x x x εε≥≥-≤≤≤≤+.因而 s u p i n f 2k k k nk nx x ε≥≥-≤.令n →∞得 l i m l i m 2n n n n x x ε→∞→∞≤+.为进一步理解上极限的含意，特作如下对比：lim n n x a →∞=，即是ε∀>0,N ∃，∀n N >，有n a x a εε-<<+.lim n n x a →∞=，即是ε∀>0,N ∃，∀n N >，有n x a ε<+,N '∀,n N ''∃>,使n x a ε'>-.可见后者不同之处是：n x 不必满足a 的双侧邻域(),a a εε-+，它从第1N +项起可以而且只可以溢出(),a a εε-+的左端，但又不能全部溢出左端，在(),a a εε-+中仍需含有无穷项，这样a 就必是{}n x 的最大聚点，从而必有子列收敛于a ，使a 为最大子列极限.类似地可以对比函数极限与函数的上极限，从而发现它们的不同之处.还可将函数的上极限与函数的右极限对比，从而可见所谓“右”不过是对自变量x 而言，所谓“上”不过是对因变量即函数值而言.（三）上下极限在极限教学中的作用1.上下极限在极限运算中的作用例1 已知lim n n s s →∞=，求证01lim 1nn s s s s n →∞+++=+ . 这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误： 由于对任一0ε>，存在常数N ，当k N >时，有k s s s εε-<<+，所以011N s s s n +++++ ()1n N s n ε--+ 011ns s s n +++<<+ 011N s s s n +++++ ()1n Ns n ε-++ (1)令n →∞，得到()()01lim1nn s s s s s n εε→∞+++-≤≤++ . 再由ε的任意性得到01lim 1nn s s s s n →∞+++≤+ . 错误是预先认定了极限01lim 1nn s s s n →∞++++ 的存在.这里如应用上、下极限，就可绕开极限是否存在这个问题.正确的做法是：由（1），令n →∞，得到()s ε-≤01lim 1n n s s s n →∞++++ 01lim 1n n s s s n →∞+++≤+ ()s ε≤+. 再由ε的任意性得到01lim 1n n s s s n →∞++++ 01lim 1n n s s s s n →∞+++==+ .于是推得 01lim 1nn s s s s n →∞+++=+ . 类似上述过程，不少书中直接写为：“令n →∞，（1）式的左右两边分别趋于s ε-和s ε+.”由于ε的任意性可得01lim 1n n s s s s n →∞+++=+ . 学生如无上、下极限的知识，就可能误解为前面指出过的错误过程.2.上、下极限在数列与级数论中的作用一个数列收敛，说明数列中的项，当n 充分大时有大致相差不多的大小.一个发散数列是没有这个性质的.上下极限正好用来补充说明一个发散数列，当n 充分大时，数列中的项大致的变化幅度.这一点在不少问题中很有用处.例如，一般分析教科书中均提到当极限lim ||n n n a ρ→∞= （8）存在时，幂级数0n n n a z ∞=∑ （9）的收敛半径就是1ρ.这反映了幂级数的收敛半径是由其系数n a 的绝对值大小来决定的.而实际上，幂级数的收敛半径只由其绝对值最大的那一部分系数决定，即幂级数（9）式的收敛半径等于1lim ||n n n R a -→∞= (10)事实上，设（9）式收敛，则当n 充分大时可有||1n n a Z <.亦即 1||||n n z a -<. 令n →∞，就得到||z R ≤，所以收敛半径不超过R . 另一方面，由下极限的定义，对充分大的n ,可有1||n n a R ε->-.亦即 ()||nn a R ε-<-.于是当幂级数（9）式收敛时，所以（9）式的收敛半径是R .结 论目前，一些教科书和数学杂志上面对上、下极限的研究还不深入，需要探究和解决的问题还很多.为了充分的运用上、下极限的相关知识，这就需要我们多角度、全方位的对其探讨.总之，在《数学分析》课程中引入上、下极限的相关知识是非常必要的.不仅可以提高学生对极限的理解，以及相关的解题能力，而且上、下极限的概念在许多后继课程中也起着很大作用.例如：实变函数中大家所熟知的，关于Lebesgue 积分有三大收敛定理，其中Faton 引理的表述就用到了下极限的概念，如果学生没有学习过有关下极限的知识，那么，学生在理解这个定理时就会感到困难.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的，它所起的作用是不可替代的.参考文献：[1][美]G.克莱鲍尔.数学分析[M].上海：科学技术出版社,1983：50-52.[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,2001：51-64. [3]许万银.数列上、下极限的五种定义及其等价性[J].庆阳师专学报,1990,(1)：85-87. [4]华东师范大学数学系.数学分析（上册）（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2001：172-176.[5]高等师范院校数学分析教学大纲[M].北京：人民教育出版社,1980.6. [6]陈传璋,等.数学分析[M].北京：高等教育出版社,1983.5.[7]郑维行,王声望.实变函数与泛函分析概要[M].北京：高等教育出版社,1989.1. [8]叶常青.数列上、下极限的新定义及其应用[J].漳州师院学报,1996：48-52.。
数学分析7.3上极限和下极限
第七章 实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。
定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项； 将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项； 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而 其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项， 且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。
数学分析——上下极限经典讲义
37第二章 极限论§2.1 上极限与下极限设{}n x 是有界数列,E 是{}n x 的聚点之集, 由Weierstrass 定理可知E ≠Φ, 且对任意∈a E , 有{}n x inf ≤a ≤{}n x sup , 这表明E 是有界集合。
定义1. α＝sup E , β＝inf E 分别称为数列{}n x 的上极限、下极限，记作 α＝_____lim ∞→n n x , β＝∞→n lim n x由定义可得定理1. 对任意有界数列{}n x , 有 ∞→n lim n x ≤_____lim ∞→n n x定理2. 设α,β是有界数列{}n x 的上、下极限，则α,β是{}n x 的聚点。
证明：设E 是{}n x 的聚点之集, 只需证对任意ε＞0,存在无穷多个n x , 满足|n x －α|＜ε. 事实上, α＝sup E , 对任意ε＞0, 存在α0∈E , 满足α－2ε＜α0≤α＜α＋2ε,对于α0∈E 以及如上的ε＞0, 存在无穷多个n x 满足 α0－2ε＜n x ＜α0＋2ε从而存在无穷多个n x 满足 α－ε＜n x ＜α＋ε, 这表明α是{}n x 的聚点。
同理可证β是{}n x 的聚点。
证毕。
定理3. α是有界数列{}n x 的上极限, 充分必要条件是对任意ε＞0, 有:(1) 存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋ε;38(2) 对任意自然数k , 存在k n k ≥, 使k n x ＞α－ε.证明: 设E 是有界数列{}n x 的聚点之集, 由定理2, 若α是{}n x 的上极限, 则α∈E⇐：由条件可知，α是{}n x 的聚点, 即α∈E , 若α＜sup E ＝α',则对0ε＝α'－α＞0, 由(1)存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋0ε＝α'＋α另一方面, 由于α'E ∈, 对如上的自然数N, 存在≥N n N, 使 N n x ＞α'－0ε＝α'＋α 引出矛盾, 因此必有 α＝α'＝sup E .⇒：由定理2, α是{}n x 的聚点, 因而(2)成立。
7.3上极限和下极限
《数学分析》教案 第七章 实数的完备性1 §7.3 上极限和下极限一、上（下）极限的定义对于数列,我们最关心的是其收敛性；如果不收敛,我们希望它有收敛的子列,这个愿望往往可以实现.例如：{}(1)n -.一般地,数列{}n x ,若{}k n x ：k n x a →（k →∞）,则称a 是数列{}n x 的一个极限点.如点例{}(1)n -有2个极限点.数列{}n x 的最大（最小）极限点如果存在,则称为该数列的上（下）极限,并记为lim n n x →∞（lim n n x →∞）.如lim(1)1n n →∞-=,lim(1)1n n →∞-=-. 例1 求数列sin 3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭的上、下极限. 例2 [1(1)]n n x n =+-,求上、下极限.二、上（下）极限的存在性下面定理指出,对任何数列{}n x ,它的上（下）极限必定存在.定理1 每个数列{}n x 的上极限和下极限必定唯一,且lim n n x →∞＝1sup{,,}limsup n n k n k n x x x +→∞≥= ,lim n n x →∞＝1inf{,,}lim inf n n k n k nx x x +→∞≥= . 三、上下极限和极限的关系lim n n x →∞≥lim n n x →∞. 定理2 {}n x 存在极限则{}n x 的上极限和下极限相等,即lim n n x →∞＝lim n n x →∞＝lim n n x →∞. 四、上（下）极限的运算普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立.例如：11lim[(1)(1)]0lim(1)lim(1)2n n n n n n n ++→∞→∞→∞-+-=<-+-= . 一般地有：lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+,当{}n x 收敛时,等号成立.。
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关于上下极限的一些问题
利用上下极限我们可以更加完整地刻画和分析序列的性态。
正确理解这个概念的
精细之处并不容易。
深入把握并熟练运用上下极限的技巧已超出了我们的教学要求。
因此同
学们可根据自己的情况对这部分内容做出适当的安排。
通常有两种方式定义上下极限。
课本里给出的定义（第一章总复习题题15，第24页）
称为上下极限的确界定义。
此外，我们还可以定义序列的上下极限分别为序列的最大和最
小的聚点。
我们称这种定义为聚点定义。
（序列的任意一个收敛子列的极限称作为序列的一
个聚点，也称序列的极限点。
）我们在课堂里已经证明了这两种定义的等价性。
上下极限的聚点定义似乎更容易直观理解和把握。
而确界定义则更具有实际操作意义。
以下我们列出一些关于上下极限的性质。
它们的证明有些比较容易，如(i)的证明。
根据
上下极限的聚点定义，结论是显而易见的。
有些不太容易，但也不太难，努力一下可以证出
来。
如(ii)的证明。
所有证明在这里均从略。
在吉米多维奇习题解答的书中，可以找到相
关的证明。
设序列}{n x ，}{n y 均有界，则下列结论成立。
(i) 若n n y x ≤，0n n ≥∀ ，则n n y x lim lim ≤，n n y x lim lim ≤。
（保序性）
(ii) n n n n n n n n y x y x y x y x lim lim )(lim )(lim lim lim +≤+≤+≤+。
(iii) n n x x lim )(lim -=-，n n x x lim )(lim -=-。
(iv) 若0,≥n n y x ，则()())lim )(lim ()(lim )(lim lim lim n n n n n n n n y x y x y x y x ≤≤≤ (v) 若极限n n x +∞
→lim 存在，则 n n n n y x y x lim lim )(lim +=+，n n n n y x y x lim lim )(lim +=+
(vi) 若0≥n x ，则n n x x lim 11lim =， n
n x x lim 11lim =
(vii) 若0>≥a x n ，且极限n n x +∞
→lim 存在，则 )lim )((lim )(lim n n n n y x y x =， )lim )((lim )(lim n n n n y x y x =。
以下四道题均涉及到序列极限的存在性。
我们将利用上下极限的技术来证明极限的存
在性，以显示上下极限技术很给力。
题1. 设数列}{n x 满足m n m n x x x +≤≤+0，1,≥∀m n 。
证明极限n
x n n +∞→lim 存在。
（这道题与第一章总复习题题14第24页类似。
）
注: 如果哪位同学能够证明所述极限的存在性，但不使用上下极限技术，请一定和老师取得
联系。
这说明你真的很厉害。
证明：根据关系式 m n m n x x x +≤≤+0，我们容易得到
10nx x n ≤≤。
这表明10x n x n ≤≤，1≥∀n ， 即序列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n x n 有界。
因此其上下极限满足 1lim lim 0x n
x n x n n ≤≤≤。
任意固定正整数m 。
则每个正整数n 均可表为r km n +=，其中m r <≤0。
仍根据m n m n x x x +≤≤+0，我们得 r m n x kx x +≤≤0。
因此
n
x n kx n x r m n +≤。
现在我们取上极限（关于指标n 取） 得 n
x n kx n x r m n lim lim lim +≤。
注意正整数m 固定， 数r 虽然随着n 在变化，但m r <≤0。
于是 m x n m r n x n k x n kx m m m m =-==/)(lim lim lim ，并且0lim =n x r 。
这就得到对于任意固定的正整数m ， 我们得到
m
x n x m n ≤lim 。
对这个不等式左边关于m 取下极限得 m x n x m n lim lim ≤。
这表明n
x n x n n lim lim =。
因此极限n x n n +∞→lim 存在。
证毕。
题2：设数列}{n a 由递推关系式n
n a a 111+=+，1≥∀n ，11=a 确定。
讨论数列}{n a 的收敛性。
（这是课本的习题1.4题14， 第19页）。
解：不难确定21≤≤n a ，1≥∀n 。
利用性质(vi), 对关系式n
n a a 111+=+两边分别取上极限和下极限， 我们可以得到 n n a a lim 11lim +=，n
n a a lim 11lim +=。
记n a lim :=λ，n a lim :=μ， 则有μλ1
1+=，λ
μ1
1+=。
由此得到1+=μλμ和1+=λλμ。
从而有μλ=。
此即序列}{n a 的上下极限相等。
因此它的极限存在。
进一步可确定其极限值为二次方程12+=λλ的正根2/)51(0+=λ。
解答完毕。
注：当然可以用其他方法证明序列}{n a 极限的存在性。
不难证明↑-12n a 有上界0λ，↓n a 2有下界0λ。
因此它们均有极限。
不难确定它们的极限值相等。
细节略。
题3：利用上下极限技术，证明Stolz 定理（∞∞/型）：考虑极限n
n n b a +∞→lim 。
假设+∞↑n b 严格，且极限11lim --+∞→--n n n n n b b a a 存在，记作l （这里允许+∞=l 和-∞=l ），则极限l b a n
n n =+∞→lim 。
证明：以下只证明l 为有限的情形。
其它情形的证明类似。
根据假设l b b a a n n n n n =----+∞→11lim
知，对于0>∀ε，0>∃N ，使得
εε+<--<
---l b b a a l n n n n 1
1， N n >∀。
于是 εε+<--<-++l b b a a l N
N N N 11， εε+<--<
-++++l b b a a l N N N N 1212，
εε+<--<---l b b a a l n n n n 1
1，N n >∀。
根据分数不等式（见第一次习题课讨论题）可知，
εε+<--<-l b b a a l N
n N n ，N n >∀。
将上式写作
εε+<--<-l b b b a b a l n
N
n N n n 1，N n >∀。
（*） 由假设+∞↑n b 知，0lim =+∞→n N n b a ，0lim =+∞→n
N n b b 。
于不等式（*）分别取上极限和下极限得 εε+≤≤-l b a l n n lim ，εε+≤≤-l b a l n
n lim 。
由于上下极限均为确定的常数，且正数0>ε可以任意小，因此必有n n n n b a l b a lim lim
==。
这就证明了定理的结论。
证毕。
题4：设两个序列}{n a ，}{n b 由关系式12++=n n n a a b 相联系。
证明，若序列}{n b 收敛，则序列}{n a 也收敛。
证明：我们将证明序列}{n a 的上下极限相等。
为此，我们先证明序列}{n a 有界。
由假设序列}{n b 收敛知，序列}{n b 有界。
将关系式 12++=n n n a a b 写作2/)(1n n n b a a -=+。
这样不难由归纳法证明序列}{n a 有界。
记n a A lim :=，n a A lim :=，n b B lim :=。
将关系式12++=n n n a a b 写作
n n n a b a -=+12。
（**）
对等式（**）分别取上下极限，并利用上下极限的性质(iii)和(v)，就得到
A B A -=2，A B A -=2。
由此立刻得到A A =。
即序列}{n a 的上下极限相等。
从而序列}{n a 收敛。
证毕。