数列极限的性质和运算法则
数列极限的性质
如果 lim xn = a , ∃n0 , n > n0时有xn ≥ 0, 那么a ≥ 0.
4.保不等式性 (保序性 ) 保不等式性 保序 保序性 保不等式 命题4 命题 如果 lim xn = a , lim yn = b均存在,
n →∞ n →∞
且有a > b, 那么∃N , ∀n > N ,有xn > yn . 有
仿照上面命题 的推论 可得命题 的推论2. 仿照上面命题3的推论 可得命题 的推论 命题 的推论1可得命题4的推论
5. 极限的四则运算法则 定理 1 设limxn = a,limxn = b,
n→ ∞ n→ ∞
(1) lim xn ± yn ) = a ± b; ( 则 (2) lim( xn ⋅ yn ) = a⋅ b;
n→ ∞ n→ ∞
xn a (3) lim = , 其 b ≠ 0. 中 n→ y ∞ b n xn a 对 (3) lim = ( b ≠ 0) 的 明 以 于 证 予 n→ y ∞ b n
视 明 到 极 的 号 . 重 ,证 用 了 限 保 性
a0 nm + a1nm −1 + L + am 例1 求 lim n →∞ b n n + b n n −1 + L + b 0 1 n
n→∞
例3 求 lim ( n→ ∞
1 n +1
2
n +2 n +n 1 解 倘若我们由 lim = 0 ( k = 1, 2,L , n ) , n →∞ n2 + k 根据极限的四则运算法则得 1 1 1 + +L+ lim( ) n →∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n 1 1 1 = lim + lim + L + lim =0 2 2 2 n →∞ n →∞ n + 1 n→∞ n + 2 n +n 那就错了.
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
数列的极限性质与计算方法
数列的极限性质与计算方法数列在数学中起着重要的作用，它们与极限的关系密切相关。
本文将介绍数列的极限性质以及常用的计算方法。
通过了解数列的极限性质，我们可以更好地理解和处理数学问题。
一、数列的极限性质数列的极限是指数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。
数列的极限性质包括数列的有界性、单调性和收敛性。
1. 数列的有界性对于数列{an}，如果存在常数M，使得对所有的n，有|an| ≤ M，那么数列{an}是有界的。
数列的有界性是指数列中的所有项都不会无限增加或减小，而是有一个上界和下界。
2. 数列的单调性对于数列{an}，如果对于所有的n，都有an ≤ an+1 或an ≥ an+1，那么数列{an}是单调的。
数列的单调性是指数列中的项是否按照一定的规律递增或递减。
3. 数列的收敛性对于数列{an}，如果存在常数L，使得当n趋向于无穷大时，an趋向于L，那么数列{an}收敛于L。
数列的收敛性是指数列是否有一个确定的极限值。
二、数列的计算方法在计算数列的极限时，我们常用的方法包括通项公式、夹挤准则以及数列的运算法则。
1. 通项公式有些数列可以通过通项公式来表示，通项公式可以帮助我们计算数列的任意一项。
例如，斐波那契数列可以通过通项公式an = (φ^n - (1-φ)^n)/√5来计算。
2. 夹挤准则夹挤准则是一种常用的计算数列极限的方法。
如果存在数列{bn}和数列{cn}，满足对于所有的n，有bn ≤ an ≤ cn，并且{bn}和{cn}的极限都为L，那么数列{an}的极限也是L。
3. 数列的运算法则数列的运算法则包括数列的加法、减法、乘法和除法的性质。
例如，如果数列{an}和{bn}都收敛于L，那么它们的和数列{an + bn}也收敛于2L。
总结：数列的极限性质和计算方法是数学中的重要知识点。
通过了解数列的有界性、单调性和收敛性，我们可以判断数列的特性。
在计算数列的极限时，可以运用通项公式、夹挤准则和数列的运算法则等方法。
高中数学数列极限的性质与计算方法详解
高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。
在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。
本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。
2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。
3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。
二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。
2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。
3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则
2021/3/22
1
极限存在准则
1.定理３（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,
且
lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
2021/3/22
11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
2021/3/22
15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b
《应用高等数学》极限的四则运算法则
《应用高等数学》极限的四则运算法则应用高等数学中的极限的四则运算法则是指在计算数列或函数极限时，可以利用四则运算的运算规则进行运算，以便更方便地求出极限值。
四则运算法则主要包括极限和、极限差、极限积和极限商四种情况。
1.极限和法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的和函数[f(x)+g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的和，即：lim (x→a) [f(x) + g(x)] = lim (x→a) f(x) + lim (x→a) g(x) 2.极限差法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的差函数[f(x)-g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的差，即：lim (x→a) [f(x) - g(x)] = lim (x→a) f(x) - lim (x→a) g(x) 3.极限积法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的积函数[f(x)*g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的积，即：lim (x→a) [f(x) * g(x)] = (lim (x→a) f(x)) * (lim (x→a)g(x))4.极限商法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且g(x)≠0，则它们的商函数[f(x)/g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的商，即：lim (x→a) [f(x) / g(x)] = (lim (x→a) f(x)) / (lim (x→a) g(x))需要注意的是，上述四则运算法则只适用于函数在点x=a处极限存在的情况，且在使用这些法则时应保持合理性，并且注意避免除以零等错误操作。
这些四则运算法则在高等数学中被广泛应用于求解各种极限问题，通过利用这些法则，可以更简洁、方便地求出函数的极限值，从而帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
数列的极限及运算法则
数列的极限及运算法则
1．数列极限的定义
(1)描述性定义：对于数列{a n}，如果存在一个常数A，当n无限增大时，数列{a n}中的项无限趋近于常数A(即a n无限趋近于A)，则称常数A为数列{a n}的极限．
(2)ε－N定义：对于数列{a n}，如果存在一个常数A，无论预先给定一个多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N，使得这一项以后的所有项与A的差的绝对值都小于ε(即当n＞N时，|a n－A|＜ε恒成立)，就称常数A为数列{a n}的极限，
2．只有无穷数列才能讨论它的极限．
3．若数列{a n}的极限是A，数列{a n}中的项在趋近A的过程中，可能始终大于
6．在运用数列极限的四则运算法则时，应注意，只有在数列{a n}、{b n}的极限存在的前提下，才能运用，否则会产生错误．
7．常用的几个极限：
8．数列{a n}的前n项和S n的极限如果存在，则称这个极限值为数列{a n}的所有
加所得的和的概念，而是一个极限值．。
数列与函数的极限公式概念
极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列{x n }，如果当n A ，则称数列{x n }以A 为极限，记作：lim n→∞x n =A 或者x n →A (n →∞)2、当数列{x n }以实数A 为极限时，称数列{x n }收敛于A ，否则称数列{x n }发散。
二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若 lim n→∞x n =a ，则lim n→∞x n+1=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列： ,12,,432,322,212++n n则它的极限为3即：3121lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n nn n n n n三、几个需要记忆的常用数列的极限 01lim =∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(<q )(lim 为常数a a a n =∞→四、运算法则：如果 A a n =∞→lim B b n =∞→lim则： B A b a n ±=±∞→)(lim B A b a n ⋅=⋅∞→)(lim )0(,lim≠=∞→B BA b a n二、函数极限：▪函数极限lim x→∞f(x)=A 的充分必要条件是lim x→−∞f(x)=lim x→+∞f(x)=A▪函数极限lim x→x 0f(x)=A 的充分必要条件是lim x→x 0−f(x)=lim x→x 0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关. 即 lim x→x 0f (x )存在⇌ lim x→x 0−f (x )= lim x→x 0+f (x )▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x →x 0（或x →∞）时有极限，则其极限惟一.▪极限运算法则： 设limf(x)=A,limg(x)=B,则 1)lim[f(x)±g(x)]=A ±B 2)lim[f(x)g(x)]=AB 3)当B ≠0时，lim f(x)g(x) =AB 4)lim[cf(x)]=climf(x) (c 为常数) 5）lim[f(x)]k = [limf(x)]k (k 为常数)▪小结．．：．当a 0≠0, b 0≠0时，有lim x→∞a 0x n +a 1x n−1+⋯+a nb 0x m +b 1x m−1+⋯+b m= {a 0b 0 当n =m 时 0 当 n <m 时 ∞ 当n >m 时▪复合函数运算法则：lim x→x 0f[φ(x )]=lim u→u 0f (u )▪数列的夹逼准则：设有3个数列{x n }{y n }{z n },满足条件： 1）y n ≤x n ≤z n （n=1,2,…）；2）lim n→∞y n =lim n→∞z n =a ，则数列{x n }收敛，且lim n→∞x n =a▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的某去心邻域内有定义，且满足条件： 1）g(x) ≤f(x) ≤h(x);2) lim x→x 0g(x)=A, lim x→x 0h (x )=A . 则极限lim x→x 0f (x )存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪两个重要的极限： ▪重要极限Ⅰ：lim x→0sinx x=1▪重要极限Ⅱ：lim x→∞(1+1x )x=e , lim x→0(1+x )1x=e▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小. 2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小. 3)常量与无穷小的乘积为无穷小. 4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小. 5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+α(x). 其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x) ，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若lim βα=c (c ≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小. 2.若lim βα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α. 3.若lim βα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α) 4.若lim βαk =c(c ≠0,k 是正整数), 则称β与α是k 阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β−α=o (α)或β=α+o(α)6.α,β, α′,β′,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 α~α′,β~β′,lim β′α′存在，则有lim βα= lim β′α′ ▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能] x →0时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e x −1; 1-cosx~x 22；(1+x )a -1~ax(a ≠0) ;a x-1~xlna(a >0,a ≠1);√1+x n- 1~ xn常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-√1+x - 1~ 12x~,(1)1~x x x αα+-．▪无穷大：函数无穷大 ⇀↚无界 x ⟶x 0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x⟶x0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x) ≠0, 则1为无穷大.f(x)[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.f(x)=f(x0).如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limx→x0最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) ≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)= μ.零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)∙f(b)<0)，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=01、0/0型：方法：将分子分母分解因式（消去公因子）或者将分子有理化（有理化），再求极限。