数列极限的基本性质
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高数上第一章§1.2.2数列极限的性质
（ 2 ） lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
解： lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
n ( n + 1) n ( n −1) = lim 1 [ n 2 + n − n 2 − n ] ] = lim [ − n→∞ 2 2 2 n→∞
n→∞ n→ ∞
则 lim y n = a 。
n→∞
证明：∵ lim x n = lim z n = a ，∴ ∀ε > 0 ， ∃ N 1 , N 2 ∈ N + ， 证明
n→∞ n→∞
夹逼定理在肯定 y n < ε ，从而 a − ε < x n ， 当 n> N 1 时，有 xn{− a }收敛 的同时也给出了其极 >
单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单 单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单 单调数列。 调减少）的数列统称为单调数列 调减少）的数列统称为单调数列。
定理3 单调有界原理） 定理3（单调有界原理）：
单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。 单调增加（减少）有上（ 界的数列必定有极限。
1 3 5 2n −1 2 4 6 2n 解：令 x = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ，y = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ， 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1
1 1 即 0< x < ， 从而 0< x < 。 2n + 1 2n + 1 1 ∵ lim 0= 0 ， lim =0 ， n→∞ n→∞ 2n + 1
数列极限的性质
如果 lim xn = a , ∃n0 , n > n0时有xn ≥ 0, 那么a ≥ 0.
4.保不等式性 (保序性 ) 保不等式性 保序 保序性 保不等式 命题4 命题 如果 lim xn = a , lim yn = b均存在,
n →∞ n →∞
且有a > b, 那么∃N , ∀n > N ,有xn > yn . 有
仿照上面命题 的推论 可得命题 的推论2. 仿照上面命题3的推论 可得命题 的推论 命题 的推论1可得命题4的推论
5. 极限的四则运算法则 定理 1 设limxn = a,limxn = b,
n→ ∞ n→ ∞
(1) lim xn ± yn ) = a ± b; ( 则 (2) lim( xn ⋅ yn ) = a⋅ b;
n→ ∞ n→ ∞
xn a (3) lim = , 其 b ≠ 0. 中 n→ y ∞ b n xn a 对 (3) lim = ( b ≠ 0) 的 明 以 于 证 予 n→ y ∞ b n
视 明 到 极 的 号 . 重 ,证 用 了 限 保 性
a0 nm + a1nm −1 + L + am 例1 求 lim n →∞ b n n + b n n −1 + L + b 0 1 n
n→∞
例3 求 lim ( n→ ∞
1 n +1
2
n +2 n +n 1 解 倘若我们由 lim = 0 ( k = 1, 2,L , n ) , n →∞ n2 + k 根据极限的四则运算法则得 1 1 1 + +L+ lim( ) n →∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n 1 1 1 = lim + lim + L + lim =0 2 2 2 n →∞ n →∞ n + 1 n→∞ n + 2 n +n 那就错了.
《数列极限》课件
性。
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
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微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
数列极限的基本性质
数列极限的基 本性质
三、 收敛数列的性质.
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
若极限
lim
n
xn存在，
则极限唯一.
即若
lim
n
xn
a
且
lim
n
xn
b
则必有 a b.
证法1 ( 用反证法) 假设
lim
n
xn
a
及
lim
n
xn
b
且
a b.
因
lim
n
xn
a
取 ba,
2
使当 n > N1 时,
(<)
且
lim
n
xn
a,
则
a 0. ()
证 (1) 对 a > 0 , 取 a,
则 N N , 当n N 时,
xn a a
(2) 用反证法证明.
xn a a 0
注
由 xn 0 (n
N0 )，且
lim
n
xn
a
如：
xn
1 n
0,
但
lim
n
xn
lim 1 n n
0.
a 0.
从而
使当 n >
N2 时, 有
xn
ab 2
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时,
既有xn
a
2
b，又有xn
ab 2
矛盾！故假设不真 !
2. 有界性
定义 对数列xn , 若存在正数 M , 使得一切正整 数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn 有界； 否则, 称为{ xn }无界.
三、 收敛数列的性质.
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
若极限
lim
n
xn存在，
则极限唯一.
即若
lim
n
xn
a
且
lim
n
xn
b
则必有 a b.
证法1 ( 用反证法) 假设
lim
n
xn
a
及
lim
n
xn
b
且
a b.
因
lim
n
xn
a
取 ba,
2
使当 n > N1 时,
(<)
且
lim
n
xn
a,
则
a 0. ()
证 (1) 对 a > 0 , 取 a,
则 N N , 当n N 时,
xn a a
(2) 用反证法证明.
xn a a 0
注
由 xn 0 (n
N0 )，且
lim
n
xn
a
如：
xn
1 n
0,
但
lim
n
xn
lim 1 n n
0.
a 0.
从而
使当 n >
N2 时, 有
xn
ab 2
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时,
既有xn
a
2
b，又有xn
ab 2
矛盾！故假设不真 !
2. 有界性
定义 对数列xn , 若存在正数 M , 使得一切正整 数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn 有界； 否则, 称为{ xn }无界.
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。
数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。
在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。
本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。
二、数列的极限1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。
2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。
3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。
如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。
三、数列极限的计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式进行计算，得到数列的极限。
2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。
3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。
夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。
四、数列极限的性质1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。
2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。
3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。
五、数列极限的应用1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。
2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。
第一节 数列极限的定义与性质
,
xn f (n)
然而，从二维角度考察，数列{ x n}可以看作XOY面
表现为一个散点图。
二、数列极限
1、数列极限定义 (1) 数列的散点图 在XOY平面上画出如下数列的散点图：
n （1） { n 1}
1 （ 3） { n } 2
n (1) n } （ 5） { n
n { 2 } （ 2） n {( 1 ) } （ 4）
( 0) . (用反证法证明)
（4）. 夹逼准则
(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 ,
当
当
时, 时,
令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
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例3. 证明数列 证: 用反证法. 假设数列
是发散的.
xn 收敛 ,
2
则有唯一极限 a 存在 .
取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时 , 有 2
a 1 xn a 1
但因
2
xn 交替取值 1 与－1 ,
2
而此二数不可能同时落在
2、收敛数列的性质
（1）. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
n
xn f (n)
然而，从二维角度考察，数列{ x n}可以看作XOY面
表现为一个散点图。
二、数列极限
1、数列极限定义 (1) 数列的散点图 在XOY平面上画出如下数列的散点图：
n （1） { n 1}
1 （ 3） { n } 2
n (1) n } （ 5） { n
n { 2 } （ 2） n {( 1 ) } （ 4）
( 0) . (用反证法证明)
（4）. 夹逼准则
(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 ,
当
当
时, 时,
令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
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例3. 证明数列 证: 用反证法. 假设数列
是发散的.
xn 收敛 ,
2
则有唯一极限 a 存在 .
取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时 , 有 2
a 1 xn a 1
但因
2
xn 交替取值 1 与－1 ,
2
而此二数不可能同时落在
2、收敛数列的性质
（1）. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
n
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a b.
证法1 ( 用反证法) 假设
n n
lim xn a 及 lim xn b 且 a b.
n
因 lim xn a 使当 n > N1 时, 即当 n > N1 时,
ba 取 , N1 N+, 2
ab xn , 2 ab 从而 使当 n > N1 时, xn , 2
a,
a
(2) 用反证法证明.
注 由 xn 0 ( n N 0 )，且 lim xn a
n
a 0.
如： x 1 0, 但 lim x lim 1 0. n n n n n n
4. 收敛数列与其子数列的关系 (1) 子数列的概念
xn , xn , ..., xn , ...
xn M ( n 1 , 2 , ) .
即收敛数列必有界.
注
有界性是数列收敛的必要条件，
但不是充分条件. 关系：
{ xn } 收敛
{ xn } 有界
例如, 数列 {( 1 )n 1 } 虽有界，但不收敛 . 推论 无界数列必发散.
3. 保号性、保序性 (1) 若
时, 有
(2) 若 N N ， 使当n > N 时，恒有
ab 从而 使当 n > N1 时, xn , 2 同理, 因 lim xn b
n
故 N2 N+, 使当 n > N2 时, 有
ab xn 2 ab 从而 使当 n > N2 时, 有 xn 2 取 N max N1 , N 2 , 则当 n > N 时, ab ab 既有xn ，又有xn 矛盾！故假设不真 ! 2 2
1 2 k
其中 1 n1 n2 ... nk ...
则 { xnk }：称为数列 { xn }的一个子数列(或子列)。
1 例如, 从数列 { } 中抽出所有的偶数项 n
1 组成的数列： 2k
是其子数列. 它的第k 项是 1 xn x2 k ( k 1, 2, 3， ) k 2k
2. 有界性
定义 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切正整 数 n , 恒有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界； 否则, 称为{ x n }无界.
n1 例如: 数列 xn （ 1 ）
有界
无界
数列 xn 2
[ M , M ] 上.
n
数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 xn 都 落 在 闭 区 间
第二章
三、 收敛数列的性质
1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、Байду номын сангаас序性 4. 收敛数列与其子列的关系
三、 收敛数列的性质.
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性) 若极限 lim xn 存在，
n
则极限唯一. 即若 lim xn a
n
且 lim xn b
n
则必有
2
当 n > N1 时,
ab xn 2
同理, 因 lim yn b , 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有 从而
取 N max N 1 , N 2 , 则当 n > N 时, 便有
ba ab yn b 2 2
ab xn yn , 2 与已知矛盾, 于是定理得证.
(2) 收敛数列与其子数列的关系 结论：（1)：
若数列 lim xn a,
n
则{xn }的任意子数列
{ xn } 也收敛，且 lim xn a .
k
k
k
（2)：
数列 lim xn a,
n
若数列{x2 k } {x2 k 1} 都收敛于a
注 1° 某{ x n }收敛 k
定理2.2 (收敛数列的有界性)
收敛的数列必定有界. 即若
n
lim xn a,
则常数 M 0,
使
xn M (n =1,2,…).
证 设 取 1 , 则
N , 当 n N 时, 有
xn a 1 ,
从而有
xn a a 1 a
取 则有
M max x1 , x2 , , x N , 1 a
x n yn
且
n
lim xn a ,
n
lim yn b，则 a b .
证（1）：a b. 取 ab , 2 因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
n
从而
ba ab xn a 2 2
当 n > N1 时, x a b n
推论： (收敛数列的保号性)
且 a 0, (<) 则 N N ， 使当n > N 时， lim xn a , (1) 若 n
恒有
x n 0.
(<)
(2) 若 xn 0 ( n N 0 ), (<)
且
n
lim xn a, 则 a 0.
( )
证 (1) 对 a > 0 , 取
但 { x n } 发散.
{ xn } 收敛
k
n1 例如， 数列 xn （ 1 ） ，虽然 lim x2 k 1
2° 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ， 则原数列一定发散 . 定理 例如，
k k
n
lim xn a
k
lim x2 k lim x2 k 1 a .
k
发散 !
lim x2 k 1 lim x2 k 1 1