数列极限的性质与运算(上交)
数列极限的判定与运算
n2 − n + 5 例 证明 lim 2 =． 1 n →∞ n + n − 1
证
∀ε > 0 ，因
n2 − n + 5 2n − 6 2n 2 −1 = 2 < 2 = <ε， 2 n + n −1 n + n −1 n n
2 故取 N = max 3, , 当 n > N 时，有 ε
0 ( a < 1 ) n lim a = 1 ( a = 1 ) n →∞ 既的的 ( a > 1 或 a = −1 )
1 .下列数列的的极限的是 (1)1,1,1, L ,1; (2)an = −
_________ . (3) a n = 2 n ;
1 ; n 3 2 n ,1 ≤ n ≤ 1000 , (4)an = 1, n > 1000 .
n→∞ n→∞ n→∞
D.若无穷数列 {a n }有极限 A, 则 lim a n = lim a n +1 .
n→∞ n→∞
4.若数列 {a n }的极限的的 , 且 lim (5n + 4) a n = 5,
n→∞
则 lim a n = ________; lim na n = __________ .
解
n → ∞时, 是无穷小之和． 先变形再求极限. 是无穷小之和． 先变形再求极限
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→∞ 2 n n 2
高中数学数列与数列极限的性质及定理总结
高中数学数列与数列极限的性质及定理总结数列是高中数学中的重要概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
数列的研究对于理解数学的发展和应用具有重要意义。
本文将总结数列的性质及定理，并通过具体题目的分析，说明其考点和解题技巧，以帮助高中学生和家长更好地理解和应用数列。
一、数列的性质1. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界数列是指其所有项都在某个范围内，无界数列则相反。
例如，数列{1, 2, 3, ...}是无界的，而数列{(-1)^n}是有界的，其项的取值范围在-1和1之间。
2. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
单调递增数列是指其后一项大于或等于前一项，单调递减数列则相反。
例如，数列{1, 2, 3, ...}是单调递增的，而数列{3, 2, 1, ...}是单调递减的。
3. 有界单调性：数列既有界又单调，即既满足有界性，又满足单调性。
例如，数列{(-1)^n/n}既是有界的，其项的取值范围在-1和1之间，又是单调递减的。
二、数列极限的性质及定理1. 数列极限的定义：数列{a_n}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项a_n趋向于某个常数L。
用数学符号表示为lim(a_n) = L。
例如，数列{1/n}的极限是0，即lim(1/n) = 0。
2. 数列极限的唯一性：如果数列{a_n}的极限存在，那么它是唯一的。
即数列的极限不依赖于数列的前几项，只与数列的性质有关。
例如，数列{(-1)^n/n}的极限是0，无论数列的前几项是多少。
3. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限的重要定理之一，它用于求解一些复杂的极限问题。
夹逼定理的核心思想是通过夹逼数列来确定数列的极限。
例如，对于数列{1/n^2}，我们可以通过夹逼定理得出其极限为0。
4. 递推数列的极限：递推数列是指通过前一项或前几项来确定后一项的数列。
递推数列的极限可以通过求解递推关系式来确定。
例如，对于数列{a_n = a_(n-1) +1/n}，我们可以通过求解递推关系式得出其极限为无穷大。
大学数列的极限知识点归纳总结
大学数列的极限知识点归纳总结数列是数学中常见且重要的概念之一，它含有很多有趣而具有挑战性的性质。
其中，数列的极限是数学分析中的重要内容之一，它在微积分、实变函数等领域中有广泛的应用。
本文将对大学数列的极限知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、数列的定义及性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一串数字。
2. 数列的记法：一般用 {an} 表示数列，其中 an 表示数列的第n项。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的。
二、数列极限的概念1. 数列极限的定义：对于数列 {an}，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，那么称数列的极限为A，记作lim (n→∞) an = A。
2. 数列极限的几何解释：数列的极限可以理解为当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于某个常数。
三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：对于一个数列，如果其极限存在，则该极限是唯一的。
2. 数列极限与数列项的关系：如果数列的极限存在，那么对于任意大于极限的数M，存在正整数N，使得当n>N时，an>M。
3. 数列极限与数列的有界性的关系：如果数列的极限存在，那么这个数列一定是有界的。
四、常见数列的极限1. 等差数列的极限：对于等差数列 {an} = a1, a1+d, a1+2d, ...，其中a1为首项，d为公差，其极限为lim (n→∞) an = a1。
2. 等比数列的极限：对于等比数列 {an} = a1, a1r, a1r^2, ...，其中a1为首项，r为公比（r≠0），其极限存在的条件是|r|<1，极限为lim(n→∞) an = 0。
3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列 {Fn} = 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，其中每一项等于前两项之和。
斐波那契数列的极限不存在，即lim (n→∞) Fn 不存在。
沪教版(上海)数学高二上册-7.7 数列极限的运算法则 课件 精选课件
评析：这是一个求待定常数的极 限逆向问题，一般都是从求极限
入手建立关于 a, b 的方程组求
解
课堂练习2：
已知lim n
an2 cn bn2 c
2,
求
lim
n
an2 c cn2 an
lim bn c 3, n cn a
例3、计算lnim（ n12
+
4 n2
+
7 n2
能胜，以其无以易之。天长地久。天地所以能长且久者，以其不自生，故能长生。是以圣人後其身而身先；外其身而身存。非以其无故能成其私。譬道之在天
所以能为百谷王者，以其善下之，故能为百谷王。是以圣人欲上民，必以言下之；欲先民，必以身後之。是以圣人处上而民不重，处前而民不害。是以天下乐
，能了解别人心灵活动的人永远不必为自己的前途担心。志当存高远。绳锯木断，水滴石穿让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧！锲而舍之，朽木
没有天生的信心，只有不断培养的信心。路曼曼其修远兮，吾将上下而求索天行健，君子以自强不息。会当凌绝顶，一览众山小。丈夫志四海，万里犹比邻。
美言不信。善者不辩，辩者不善。知者不博，博者不知。挫其锐，解其纷，和其光，同其尘，是谓“玄同”。故不可得而亲，不可得而疏；不可得而利，不可
1) 2
(2)设
lim
n
an2 4n2
bn 5n
1 1
1 b
,
求a b
3
lim（
n
1 n2 +1
+
2 n2 +1
+
3 n2 +1
+...+
n） n2 +1
(4) lim 1-2+3-4+...+(2n-1)-2n
数列的极限性质与计算方法
数列的极限性质与计算方法数列在数学中起着重要的作用，它们与极限的关系密切相关。
本文将介绍数列的极限性质以及常用的计算方法。
通过了解数列的极限性质，我们可以更好地理解和处理数学问题。
一、数列的极限性质数列的极限是指数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。
数列的极限性质包括数列的有界性、单调性和收敛性。
1. 数列的有界性对于数列{an}，如果存在常数M，使得对所有的n，有|an| ≤ M，那么数列{an}是有界的。
数列的有界性是指数列中的所有项都不会无限增加或减小，而是有一个上界和下界。
2. 数列的单调性对于数列{an}，如果对于所有的n，都有an ≤ an+1 或an ≥ an+1，那么数列{an}是单调的。
数列的单调性是指数列中的项是否按照一定的规律递增或递减。
3. 数列的收敛性对于数列{an}，如果存在常数L，使得当n趋向于无穷大时，an趋向于L，那么数列{an}收敛于L。
数列的收敛性是指数列是否有一个确定的极限值。
二、数列的计算方法在计算数列的极限时，我们常用的方法包括通项公式、夹挤准则以及数列的运算法则。
1. 通项公式有些数列可以通过通项公式来表示，通项公式可以帮助我们计算数列的任意一项。
例如，斐波那契数列可以通过通项公式an = (φ^n - (1-φ)^n)/√5来计算。
2. 夹挤准则夹挤准则是一种常用的计算数列极限的方法。
如果存在数列{bn}和数列{cn}，满足对于所有的n，有bn ≤ an ≤ cn，并且{bn}和{cn}的极限都为L，那么数列{an}的极限也是L。
3. 数列的运算法则数列的运算法则包括数列的加法、减法、乘法和除法的性质。
例如，如果数列{an}和{bn}都收敛于L，那么它们的和数列{an + bn}也收敛于2L。
总结：数列的极限性质和计算方法是数学中的重要知识点。
通过了解数列的有界性、单调性和收敛性，我们可以判断数列的特性。
在计算数列的极限时，可以运用通项公式、夹挤准则和数列的运算法则等方法。
高中数学数列极限的性质与计算方法详解
高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。
在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。
本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。
2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。
3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。
二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。
2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。
3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。
数列极限的性质与计算
数列极限的性质与计算数列是数学中一种重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
在数学中，我们经常会遇到数列的极限问题。
数列极限是指当数列中的数趋于无穷时，数列的某个特定值。
本文将探讨数列极限的性质与计算方法。
一、数列极限的定义与性质数列极限的定义：设有数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an-a|<ε成立，那么数a就是数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
数列极限的性质：1. 极限的唯一性：如果数列{an}存在极限，那么该极限是唯一的，不会有其他极限存在。
2. 极限的有界性：如果数列{an}存在极限，那么这个数列必然是有界的，即对于某个正数M，对于任意的n，有|an|≤M成立。
3. 极限的保序性：如果数列{an}存在极限，且由an≤bn（n为任意正整数）可得an的极限不大于bn的极限；由an≥bn可得an的极限不小于bn的极限。
二、数列极限的计算方法根据数列极限的定义，可以通过以下几种方法来计算数列的极限。
1. 递推法：对于一些简单的数列，可以通过递推公式来计算其极限。
例如，斐波那契数列的递推公式是an = an-1 + an-2，初始值为a1=1，a2=1。
通过递推公式计算，可以得到斐波那契数列的极限为黄金分割比（约为1.618）。
2. 常用极限法则：利用一些已知的数列极限的性质，可以计算复杂数列的极限。
例如，对于数列an=(n+1)/(3n+2)，可以利用极限的四则运算法则，将该数列拆分成两个已知的数列的极限，从而计算得到极限为1/3。
3. 夹逼准则：夹逼准则也是一种常用的计算数列极限的方法。
它可以用来证明极限的存在，并且在计算极限时也非常有用。
夹逼准则的思想是通过找到两个数列，一个比待求数列始终大，另一个比待求数列始终小，且两个数列的极限相等，从而确定待求数列的极限。
例如，对于数列an=sin(πn/2)，可以利用夹逼准则证明其极限不存在。
1.3数列极限的性质
n
n
1.
2
例 2．求 lim [ 1 1 1 1 ] . n 12 23 34 n(n1)
解： 由于 1 1 1 ，所以 n(n1) n n1
1 1 1 1
12 23 34
n(n1)
(1 1 )(1 1 )(1 1)( 1 1 ) 1 1 ,
2 23 34
n n1
n1
lim [ 1 1 1 1 ] lim (1 1 ) 1.
2 23
n1 n n
故xn 是单调增加且有上界的数列，必收敛.
例 5．设 x1
1,
xn
1 xn1 (n 2, 3, ), 1 xn1
求 lim xn.
n
解 先证xn单调增加.
∵ x1分1析，:且由递xn推1公 1式x得nxn1数1 (列n的2前, 3,几项) ，：
∴ ∵
∴
xxx2n猜2想0xx1(11此,n.23数,11,58列2,1,单123x31,1调x,1增53)54.加1, 且1有x1上x1界 .12
由 lim xn
n
a
xn 必有界,
即M 0, n N , 有 xn M.
因为 xn yn a b (xn yn xnb) (xnb ab) xn yn xnb xnbab
xn yn b b xn a
M b ( M b ) ,
所以 lim (xn yn ) lim xn lim yn a b.
故A 0, 即 lim xn 0.
n
作业
习 题 二 （P26）
4（1）（3）（4）（6）（9）(10)； 5； 6（1）（4）； 8（1）.
则n N , 有 xn M ,即xn有界.
性质 3（保序性） 若 lim xn a ， lim yn b ，且a b ，
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由定义, 取 1,
则N , 使得当 n N时，恒有xn a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数n,皆有 x n M , 故x n 有界.
推论
无界数列必定发散.
n n
2 取 N max N 1 , N 2 , n N :
n N 1 : xn a
; n N 2 : yn a
2
( x n yn ) (a b) x n a yn b
2
2
.
(2) xn yn ab ( xn a) yn a( yn b)
第二节 数列极限的性质与运算
一、收敛数列的性质 二、极限的四则运算
1/28
本学期助教联系信息
高等数学（A类）（1）
助教：欧阳纬菲
电话：18202165580 邮箱：weifeiouyang@
一、收敛数列的性质
1、有界性
定理1 证 收敛的数列必定有界 .
设 lim x n a ,
n sin n (6) lim n n1
n2 lim 0, 为 无Fra bibliotek穷 小 ，sin n 1, 有界量 . n n 1
3
3
2
7. lim(1 x )(1 x )(1 x
2 n
2 n1
), (其中x 1)
2 n1
解 lim(1 x )(1 x )(1 x
其中 yn M .
a M x n a a yn b ( M ) , 即得证. 2
b 0, N 1 , n N 1 : yn b , 2 b 又 lim yn b 0, 由保号性 , N 2 , n 2 b n N 2 : yn , 取 N max N 1 , N 2 , n N : 2 yn b 2 yn b 1 1 . 2 yn b yn b
定理4 数列{ xn}收敛于a {xn}的任一子数列 都收敛于a．
证 “ ” 设数列 x nk 是数列 x n 的任一子数列． lim xn a ,
n
任给定 0，N 0，使 n N 时, 恒有 xn a .
取 K N,
则当 k K 时, 有nk nK nN N，
x , x n ,, x n , { xnk } k 1： n
1 2 k
0 1 注意： 下标数列nk 一定是严格单调增的正无穷大量；
显然，nk k . 而 x nk 在原数列 x n 中却是第 x k 项，
25/28
20 在子数列 xnk 中，一般项 x n 是第 k 项，
k
2 n
2
)
2 n1
(1 x )(1 x )(1 x ) (1 x lim n 1 x 2 2 2 n1 (1 x )(1 x )(1 x ) lim n 1 x 2 1 1 x lim . n 1 x 1 x
1 1 1 (5) lim( 2 ) n 2 15 4n 1
解
1 1 1 2 ( ), 4n 1 2 2 n 1 2 n 1
1
1 1 1 1 1 1 )] 原式 lim[(1 ) ( ) ( 2n 1 2n 1 2 n 3 3 5 1 1 1 lim(1 ) . 2 n 2n 1 2
2 此命题常用于证明一个 数列的收敛性 .
下面不加证明的介绍一 个实数连续性定理：
0
0
致密性定理 ( Bolzano Weierstrass定理 )
有界数列必有收敛的子 数列.
注 无界数列必存在无穷大的子数列.
二. 数列极限的四则运算
定理4
n
若 lim xn a , lim yn b , 则
12 2 2 3 2 n 2 n (4) lim( ) 2 n n 3
解
1 2 3 n n lim( ) 2 n n 3
2 2 2 2
n( n 1)(2n 1) n lim( ) 2 n 6n 3
＝
3n 1 1 lim n 6n 2
1 1 ( 3) 由(2)知, 只要证 lim . n y b n
2
即得证.
例12.试求下列数列的极限 n3 3n2 1 (1) xn 3 ; 4n 2n 3
3 1 3 1 1 3 1 lim lim 3 1 n n n n n n xn lim . 解 lim n n 2 3 2 3 4 4 2 3 4 lim 2 lim 3 n n n n n n
n
)
x 1
三、小结
1. 收敛数列的性质: 有界性，唯一性，数列与子数列的收敛性的关系。 2. 数列极限的运算：
28/28
作业 P 89 12. （ 1 ） , (4), (5), (6), (7)
证毕.
21/28
例8
{n+(-1)nn}:
0, 4, 0, 8, 0, 12, …
是无界的, {n+(-1)nn} 发散.
1 ( 1)n 但不收敛。 又 : 0,1,0,1,,0,1, 有界， 2
注意
收敛有界; 发散无界. 收敛有界; 发散无界.
22/28
x nk a . lim xnk a .
k
“ ”易证(略)。 证毕。
26/28
推论
若{xn}有发散子列或有两个收敛于不同
极限的子列 {xn}发散.
1 ( 1)n 例10 (1) xn 2
n n
lim x2n 1, lim x2 n1 0 xn 发散
1 1 1 4 n 0 ( ) 5 n ( 4) n 1 5 5 5 5 解 lim n 1 lim n 1 n n n 5 4 n1 4 1 0 5 1 ( ) 5
(3) xn n( n 1 n );
n xn lim lim 解 lim n n n 1 n n 1 1 2 1 1 1 n
2
xn a , x n a
ba a b a 2 2
ba 又 lim yn b, 对 0, N 2 , n N 2 : n 2 ba a b yn b , yn b b 2 2
ba 故对 0, 取 N max N 1 , N 2 , 当n N时， 2 ab 有 xn yn . 2
a0 , a0 n l a1n l 1 al b0 一般有 lim m m 1 n b n b n bm 0, 0 1 , 若l m; 若l m; 若l m .
5 n ( 4 ) n ( 2) x n n 1 5 4 n1
4、子数列的收敛性
这样得到 这些项在原数列xn 中的先后次序，
定义： 在数列 xn 中任意抽取无限多项并保持
的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）
例如，{ x n } x1 , x 2 , , x n1 , x n2 , , , x nk , n 1：
推论1 若 lim xn a, 且 a 0, 则N , n N : n (保号性) a xn 0 . 2 推论2 设数列xn , 若N , n N : xn 0, 且
lim xn a, 则 a 0 .
n
注意 推论2中条件改为xn 0, 结论仍为a 0.
n n
xn a xn lim ( 3) lim n , (b 0). n y lim yn b n
n
证 (1) xn yn xn ( yn ), 故只证加法情况.
lim xn a , lim yn b ,按定义 有 0, N 1 , N 2 :
( 2) xn n
n
( 1 ) n
1 1 : , 2, , 4,, 1 3
lim x2 n , xn 发散
27/28
例11 lim xn a lim x2n lim x2n1 a.
n n n
注 1 证明参见教材 P 46，例2.8;
2、唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限 .
n n
证 设 lim x n a , 又 lim x n b,
由定义,
任给定 0，N 1 , N 2，使得 n N1时，恒有xn a ;
当n N 2时，恒有xn b ; 取N maxN 1 , N 2 , 则当n N时，有 a b ( x n b) ( x n a ) x n b x n a 2.
n n
n n
(1) lim( xn yn ) lim xn lim yn a b; (2) lim( xn yn ) lim xn lim yn a b;
n n n
(2) c R, lim(c xn ) c lim xn c a;
上式仅当a b时才能成立.
故收敛数列极限唯一.证毕。
24/28
3、保序性(保号性)
定理3 若 lim xn a, lim yn b, 且 a b, 则N ,
n N :
n
n