数列极限的基本性质
数列极限的性质
如果 lim xn = a , ∃n0 , n > n0时有xn ≥ 0, 那么a ≥ 0.
4.保不等式性 (保序性 ) 保不等式性 保序 保序性 保不等式 命题4 命题 如果 lim xn = a , lim yn = b均存在,
n →∞ n →∞
且有a > b, 那么∃N , ∀n > N ,有xn > yn . 有
仿照上面命题 的推论 可得命题 的推论2. 仿照上面命题3的推论 可得命题 的推论 命题 的推论1可得命题4的推论
5. 极限的四则运算法则 定理 1 设limxn = a,limxn = b,
n→ ∞ n→ ∞
(1) lim xn ± yn ) = a ± b; ( 则 (2) lim( xn ⋅ yn ) = a⋅ b;
n→ ∞ n→ ∞
xn a (3) lim = , 其 b ≠ 0. 中 n→ y ∞ b n xn a 对 (3) lim = ( b ≠ 0) 的 明 以 于 证 予 n→ y ∞ b n
视 明 到 极 的 号 . 重 ,证 用 了 限 保 性
a0 nm + a1nm −1 + L + am 例1 求 lim n →∞ b n n + b n n −1 + L + b 0 1 n
n→∞
例3 求 lim ( n→ ∞
1 n +1
2
n +2 n +n 1 解 倘若我们由 lim = 0 ( k = 1, 2,L , n ) , n →∞ n2 + k 根据极限的四则运算法则得 1 1 1 + +L+ lim( ) n →∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n 1 1 1 = lim + lim + L + lim =0 2 2 2 n →∞ n →∞ n + 1 n→∞ n + 2 n +n 那就错了.
数列的极限
二、数列的定义
定义: 按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的 项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为 { x n }.
例如
2,4,8,,2 n ,;
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
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问题: 当 n 无限增大时, x n 是否无限接近于某 一确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察: ( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n ( 1)n1 我们就称当n 时, xn 1 的极限为1. n 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
推论： 数列{ xn } 收敛于 a 的充要条
-邻域U (a , ) ， 件是对a 的任意 只有有限
项 xn U ( a , ) 。
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注意：
数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1
证
n ( 1)n1 证明 lim 1. n n
1 n ( 1) n 1 1 xn 1 n n
n
则当n N时,
就有 q n 0 ,
lim q n 0.
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例4
设xn 0, 且 lim xn a 0,
1 有 xn 1 , 10000
1 给定 0, 总存在正整数N , 只要 n N ( [ ]) 时,
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
大学数列的极限知识点归纳总结
大学数列的极限知识点归纳总结数列是数学中常见且重要的概念之一，它含有很多有趣而具有挑战性的性质。
其中，数列的极限是数学分析中的重要内容之一，它在微积分、实变函数等领域中有广泛的应用。
本文将对大学数列的极限知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、数列的定义及性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一串数字。
2. 数列的记法：一般用 {an} 表示数列，其中 an 表示数列的第n项。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的。
二、数列极限的概念1. 数列极限的定义：对于数列 {an}，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，那么称数列的极限为A，记作lim (n→∞) an = A。
2. 数列极限的几何解释：数列的极限可以理解为当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于某个常数。
三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：对于一个数列，如果其极限存在，则该极限是唯一的。
2. 数列极限与数列项的关系：如果数列的极限存在，那么对于任意大于极限的数M，存在正整数N，使得当n>N时，an>M。
3. 数列极限与数列的有界性的关系：如果数列的极限存在，那么这个数列一定是有界的。
四、常见数列的极限1. 等差数列的极限：对于等差数列 {an} = a1, a1+d, a1+2d, ...，其中a1为首项，d为公差，其极限为lim (n→∞) an = a1。
2. 等比数列的极限：对于等比数列 {an} = a1, a1r, a1r^2, ...，其中a1为首项，r为公比（r≠0），其极限存在的条件是|r|<1，极限为lim(n→∞) an = 0。
3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列 {Fn} = 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，其中每一项等于前两项之和。
斐波那契数列的极限不存在，即lim (n→∞) Fn 不存在。
数列的极限
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ) ( n 1)! n1 n1 n1
正
比较可知
又
xn xn1 ( n 1, 2 , )
n xn (1 1 ) 11 n
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又
n 1 xn (1 n )
11
11
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xn 1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 ) (1 2 ) 3! n 2! n n
1 (1 1 ) (1 2 ) (1 n1) n ! n n n 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 ) xn1 1 1 2 ! n1 3! n1 n1
n
1 a a 解： xn 1 (xn ) xn a 2 xn xn 1 a xn 1 1 a (1 2 ) ( 1 ) 1 2 a xn 2 xn
∴数列单调递减有下界， 设 lim xn A 故极限存在， n 1 a A a 则由递推公式有 A ( A ) 2 A x1 0 , xn 0 , 故 lim xn a
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
第一章
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知
π n
r
无限逼近 S . (刘徽割圆术)
当 n 无限增大时,
数学语言描述: 0 , 正整数 N , 当 n > N 时, 总有
3 1 2
第二讲 极限的定义与基本性质
第二讲 极限的定义与基本性质一、数列极限及其性质1．数列极限的定义：{}n x 收敛于a⇔0ε∀>，N ∃∈N ，s.t. ,n x a n N ε-<∀>。
值得注意的是：1）N 依赖于ε，但不唯一，而ε事先给定；2）不等式n x a ε-<中的ε可以用K ε来代替，其中0K >不依赖于,N ε； 3）N 可以通过n x a ε-<得到，需要解不等式或作适当的放大。
例1 证明：0a ∀>，0!nan →。
分析：直接求解不等式0!nan ε-<是不现实的。
用放大法。
记[]m a =，则当n m >时!12(1)(1)(1)n mn m n m n m -=⋅⋅⋅+>+≥+ ，从而(1)!1nnmaa m n m ⎛⎫<⋅+ ⎪+⎝⎭， 注意到[]11a a m <+=+，因此011a m <<+，从而只要解(1)1nmam m ε⎛⎫⋅+< ⎪+⎝⎭即可。
证明：0ε∀>，不妨设1ε<。
记[]m a =，取ln(1)ln ln(1)ln m m N m a ε⎡⎤+-=⎢⎥+-⎣⎦，则当n N >时有0(1)!1nnmaa m n m ε⎛⎫-<⋅+< ⎪+⎝⎭， 因此由极限定义得0!nan →。
□2．用定义证明极限存在的方法1）放大法：如前。
2）分步法与拟合法 例2 设n x a →，证明1nx x a n++→ 。
分析：若把{}n x 中每项看成a ，则1nx x n++ 的值恰为a ，因此11111()nnnii i i x x a xa x a nnn==++-=-≤-∑∑ 。
其余要借助假设n x a →来证明。
给定0ε>，N ∃，当n N >时n x a ε-<，因此不能控制的项为12,,,N x a x a x a --- 。
但好在这种项只有N 项，从而可以调整n 来控制它们。
极限的基本性质
a 1
2
a
a 1
2
区间长度为1
于是推得
x2 N x2 N 1 1,
这与 x2 N x2 N 1 (1) 1 2
x x0 o
o
则
A 0 ( . A 0 ).
问题若 f (x) < g(x),
x x0 x x0
据此，可由极限符 号推得函数在该点 邻域内的符号
能否推出 lim f ( x ) lim g( x ) ？
1 1 设 f ( x ) , g ( x ) , 例如: 2x x
n x
y sinx x
sin n sin x (1) lim lim 0. 例如: n n x x
sin x (2) 若已知 lim 1，则 x 0 x
1 1 sin x n lim n sin lim 1 ( xn 0) n n x n n
1 lim sin(2n ) 1 lim sin 2 n x n n
(n 1, 2 , L )
二者不 相等,
由定理1.5 ， 知
1 lim sin 不存在 . x 0 x
(2) 若 N N
且 lim x n a , 使当n > N 时，恒有 lim x n b ， 则 a b .
x n yn
n n
定理1.3' (函数极限的局部保号性) (1) 如果 lim f ( x ) A , 且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在
《数列极限的性质》课件
不存在的情况
如果极限不存在，例如 $lim_{n to infty} (frac{1}{n})$，则不能直接 应用四则运算性质。
03
单调有界定理
定理内容
定理
如果数列${ a_{n}}$是单调增加（或减少）的，并且存在一个正数$M$，使得 对于所有$n$，都有$a_{n} leq M$（或$a_{n} geq M$），则数列${ a_{n}}$ 收敛。
举例说明
解：根据极限的四则 运算性质，我们有
• $\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = 2 - 3 = 1$
• $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = 2 + 3 = 5$
举例说明
01
• $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = 2 \cdot 3 = 6$
04
柯西收敛准则
柯西收敛准则的内容
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于所有的$n>N$，都有$|a_n a|<varepsilon$，则称数列${a_n}$收敛于$a$。
柯西收敛准则的数学表达
如果对于任意正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，则数 列${a_n}$收敛。
极限的四则运算性质
极限的加法性质
若$lim_{n to infty} a_n = A$且$lim_{n to infty} b_n = B$，则$lim_{n to infty} (a_n + b_n) = A + B$。
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三、 收敛数列的性质.
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
若极限
lim
n
xn存在，
则极限唯一.
即若
lim
n
xn
a
且
lim
n
xn
b
则必有 a b.
证法1 ( 用反证法) 假设
lim
n
xn
a
及
lim
n
xn
b
且
a b.
因
lim
n
xn
a
取 ba,
2
使当 n > N1 时,
(<)
且
lim
n
xn
a,
则
a 0. ()
证 (1) 对 a > 0 , 取 a,
则 N N , 当n N 时,
xn a a
(2) 用反证法证明.
xn a a 0
注
由 xn 0 (n
N0 )，且
lim
n
xn
a
如：
xn
1 n
0,
但
lim
n
xn
lim 1 n n
0.
a 0.
从而
使当 n >
N2 时, 有
xn
ab 2
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时,
既有xn
a
2
b，又有xn
ab 2
矛盾！故假设不真 !
2. 有界性
定义 对数列xn , 若存在正数 M , 使得一切正整 数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn 有界； 否则, 称为{ xn }无界.
例如, 数列 {(1 )n1} 虽有界，但不收敛 . 推论 无界数列必发散.
3. 保号性、保序性
(1)
若
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b , 且 a b,
则 N N , 当n N 时, 有 xn yn.
(2) 若 N N ， 使当n > N 时，恒有
xn yn
且 lim xn a , lim yn b，则 a b.
例如: 数列 xn （ 1）n1 有界
数列 xn 2n
无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间 [ M , M ]上.
定理2.2 (收敛数列的有界性)
收敛的数列必定有界.
即若
lim
n
xn
a,
则常数 M 0,
使 xn M (n =1,2,…).
证
设
lim
n
xn
a,
取 1 ,则 N ,当n N 时, 有
4. 收敛数列与其子数列的关系
(1) 子数列的概念
在数列{ xn }中任意选取无穷多项，按原来在{ xn }
中的次序排列 xn1 , xn2 , ..., xnk , ... 其中 1 n1 n2 ... nk ... 则 {xnk }：称为数列 { xn }的一个子数列(或子列)。
例如, 从数列 { 1 } 中抽出所有的偶数项 n
xn a 1,
从而有
xn ( xn a) a xn a a 1 a
取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a
则有 xn M ( n 1 , 2 , ) .
即收敛数列必有界.
注 有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件.
关系： { xn } 收敛
{ xn } 有界
yn
b
ba, 2
从而
yn
b
b
2
a
a
2
b
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时, 便有
xn
a
2
b
yn ,
与已知矛盾, 于是定理得证.
推论：
(收敛数列的保号性)
(1)
若
lim
n
xn
a,
且 a 0,
(<)
则 N N ，使当n > N 时，
恒有 xn 0.
(<)
(2) 若 xn 0(n N0 ),
n
n
证（1）：a b.
取
a
2
b
,
因
lim
n
xn
a,
故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
xn
a
ba, 2
即
b
2
a
xn
a
b
2
a
,
从而
xn
a
b
2
a
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
ab 2
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理,
因
lim
n
yn
b,
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
xn a
ba, 2
N1 N+,
即当 n > N1 时,
b
2
a
xn
a
b
2
a
3a 2
b
xn
a
2
b
,
从而
使当
n
>
N1 时,
xn
a b, 2
从而
使当
n
>
N1
时,
xn
a
2
b,
同理,
因
lim
n
xn
b
故
N2 N+,
使当
n
>
N2
时,
有
xn
b
b
2
a
,
b
2
a
xn
b
b
2
a
a
2
b
xn
3b 2
a
注 1° 某{xnk }收敛
{xn} 收敛
例如，
数列 xn
（
1）n1，虽然
lim
k
x2k
1
但{xn} 发散.
2° 若数列有两个子数列收敛于不同的极限， 则原数列一定发散 .
定理
lim
n
xn
a
lim
k
x2k
lim
k
x2k 1
a.
例如， x n (1)n1 ( n 1, 2, ) 发散 !
lim
k
x2k
1
lim
k
x
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是
xnk
x2k
1 2k
(k 1, 2, 3，)
(2) 收敛数列与其子数列的关系
结论：（1)：
若数列lim n
xn
a,
（2)：
则{xn}的任意子数列
{xnk }
也收敛，且
lim
k
xnk
a.
数列lim n
xn
a,
若数列{x2k } {x2k1}都收敛于a