数列的极限讲解
数列的极限-高中数学知识点讲解
数列的极限1．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）푛→∞2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．푛→∞（2）1/ 3【典型例题分析】典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛和．则푙푖푚푎푛=（）푛→∞1A．0 B．1 C．2D．2解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，∴a n＝2n﹣1．푛푛1∴푙푖푚2푛―1=푙푖푚2―1푎푛=푙푖푚푛→∞푛→∞푛→∞푛=12．故选：C．典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设 c n =1푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)的值；푛→∞（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，∴b n＝2a n+1，a1＝0，∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．2/ 3∴c n =1푛|푃1푃푛|=15푛⋅(푛―1)=115(푛―1―1푛)，∴c2+c3+…+c n =15[(1―112)+(2―113)+⋯+(푛―1―1푛)]=15(1―1푛)，∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚푛→∞푛→∞15(1―1푛)=5；5（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），∴数列{d n+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为 2，∴푑푛+푛=2푛，∴푑푛=2푛―푛．【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）1（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以n m 或a n．②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．③利用已知数列极限（如等）．④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．∞⑤∞﹣∞，∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．3/ 3。
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
数列的极限知识点归纳总结
数列的极限知识点归纳总结数列的极限是高中数学中重要的概念之一，它在解析几何、微积分等数学领域中起着重要的作用。
本文将对数列的极限进行知识点归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、定义和概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数的集合。
数列可以用公式表示，常用的表示方式为{an}或{an}∞n=1。
2. 数列的极限定义：对于数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε，那么称数列{an}的极限为a。
3. 数列的收敛和发散：如果数列{an}存在极限，称该数列收敛；否则，称该数列发散。
二、极限的性质1. 极限唯一性：如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：对于收敛数列{an}，存在一个正数M，使得对于任意的n，有|an| ≤ M。
3. 夹逼定理：如果{an} ≤ {bn} ≤ {cn}，并且lim an = lim cn = a，那么lim bn = a。
4. 四则运算法则：若数列{an}和{bn}收敛，并且lim an = a，lim bn = b，则有以下运算结果：- lim(an ± bn) = a ± b- lim(an · bn) = a · b- lim(an / bn) = a / b (b ≠ 0)三、重要的数列极限1. 常数数列：对于常数c，数列{an} = c（n为正整数）的极限为c。
2. 等差数列：对于等差数列{an} = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，极限为lim an = a1。
3. 等比数列：对于等比数列{an} = a1 · q^(n - 1)，其中a1为首项，q为公比，当|q| < 1时，极限为lim an = 0；当|q| > 1时，极限不存在。
4. 幂函数数列：对于幂函数数列{an} = n^p，其中p为实数，当p >0时，极限为正无穷大；当p < 0时，极限为0。
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
§1.1数列的极限讲解
数列的变化趋势.
1 2 3 n ， ， ， ， ， 2 3 4 n1
1 1 1 ( 1)n1 1， ，， ， ， ， 2 3 4 n
1，，， 3 5 ， (2n 1)，
1 ( 1)n 0，， 1 0，， 1 ， ， 2
什么叫数列的极限？
lim xn a 0， N Z ， 当 n N 时，
n
有 xn a .
关键:正整数N的存在性证明. 其基本思路： 从
不等式 xn a 反解 n， 再确定 N .
注： 证明极限常用的方法是放缩法.
n a 思考题 (1)证明 lim n n 1; (2) lim 0( a 0). n n n !
此时也称数列{ xn }是收敛的，否则称其发散.
注：
(1)定义中的正整数 N 是与任意给定的 有关的， 它随着 的给定而选定， 是不唯一的. (2)定义的等价形式：
定义 设 { xn }为一数列， 如果存在常数a， 对于任 意给定的正数 (无论它多么小)， 总存在正整数 N ， 使 当 n N时， 不等式 | xn a | k
1 2 3 n ， ， ， ， ， 2 3 4 n1
1 1 1 n 1 1 1， ，， ， ， ( 1) ， 2 3 4 n
1，，， 3 5 ， (2n 1)，
1 ( 1)n 0，，，， 1 0 1 ， ， 2
数列的几何表示(一)
n1
( n 1, 2,
) 是发散的.
1 取 ， 则存在 N ， 使当n N 时， 有 2
1 1 a xn a 2 2
但因 xn 交替取值 1 与－1， 而此二数不可能同时落在长度
§1.3 数列的极限
例3
证明 lim
n
n→ ∞
a = 1, 其中 a > 0.
n
证 任给 ε > 0, 要使
n
a − 1 < ε,
n
ln a , 若a < 1, 只要 1 − a < ε, a > 1 − ε, 即 : n > ln(1 − ε ) ln a ], 取N 1 = [ ln(1 − ε ) ln a n n , 若a > 1, 只要 a − 1 < ε , a < 1 + ε , 即 : n > ln(1 + ε ) ln a ], N = max{ N 1 , N 2 }, 则当 n > N时, 取N 2 = [ ln(1 + ε )
第三节
数列的极限
1
一、数列的极限的概念
1、数列的定义 、
定义:按 自 数 定义 按 然 1,2,3,L 号 次 列 一 数 编 依 排 的 列
x1 , x2 ,L, xn ,L
(1)
称为无穷数列 简称数列.其中的每个数称为数 称为无穷数列,简称数列 其中的每个数称为数 无穷数列 简称数列 的 , 列(1)记 列 项 xn 称 通 (一 项 数 为 项 一 项).数 般 列 记 { xn }. 为
xk +1 = 6 + xk > 6 + xk +1 = xk + 2
故由归纳法，对一切正整数 ， 故由归纳法，对一切正整数n，都有 x n > x n +1 即 {xn }为单调减少数列，且xn > 0, ( n = 1, 2, L) 为单调减少数列， 所以 lim x n 存在为 ， a = 6 + a a ≥ 0 存在为a 有 解得 lim xn = 3. n→ ∞
数列与函数的极限公式概念
极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列{x n }，如果当n A ，则称数列{x n }以A 为极限，记作：lim n→∞x n =A 或者x n →A (n →∞)2、当数列{x n }以实数A 为极限时，称数列{x n }收敛于A ，否则称数列{x n }发散。
二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若 lim n→∞x n =a ，则lim n→∞x n+1=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列： ,12,,432,322,212++n n则它的极限为3即：3121lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n nn n n n n三、几个需要记忆的常用数列的极限 01lim =∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(<q )(lim 为常数a a a n =∞→四、运算法则：如果 A a n =∞→lim B b n =∞→lim则： B A b a n ±=±∞→)(lim B A b a n ⋅=⋅∞→)(lim )0(,lim≠=∞→B BA b a n二、函数极限：▪函数极限lim x→∞f(x)=A 的充分必要条件是lim x→−∞f(x)=lim x→+∞f(x)=A▪函数极限lim x→x 0f(x)=A 的充分必要条件是lim x→x 0−f(x)=lim x→x 0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关. 即 lim x→x 0f (x )存在⇌ lim x→x 0−f (x )= lim x→x 0+f (x )▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x →x 0（或x →∞）时有极限，则其极限惟一.▪极限运算法则： 设limf(x)=A,limg(x)=B,则 1)lim[f(x)±g(x)]=A ±B 2)lim[f(x)g(x)]=AB 3)当B ≠0时，lim f(x)g(x) =AB 4)lim[cf(x)]=climf(x) (c 为常数) 5）lim[f(x)]k = [limf(x)]k (k 为常数)▪小结．．：．当a 0≠0, b 0≠0时，有lim x→∞a 0x n +a 1x n−1+⋯+a nb 0x m +b 1x m−1+⋯+b m= {a 0b 0 当n =m 时 0 当 n <m 时 ∞ 当n >m 时▪复合函数运算法则：lim x→x 0f[φ(x )]=lim u→u 0f (u )▪数列的夹逼准则：设有3个数列{x n }{y n }{z n },满足条件： 1）y n ≤x n ≤z n （n=1,2,…）；2）lim n→∞y n =lim n→∞z n =a ，则数列{x n }收敛，且lim n→∞x n =a▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的某去心邻域内有定义，且满足条件： 1）g(x) ≤f(x) ≤h(x);2) lim x→x 0g(x)=A, lim x→x 0h (x )=A . 则极限lim x→x 0f (x )存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪两个重要的极限： ▪重要极限Ⅰ：lim x→0sinx x=1▪重要极限Ⅱ：lim x→∞(1+1x )x=e , lim x→0(1+x )1x=e▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小. 2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小. 3)常量与无穷小的乘积为无穷小. 4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小. 5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+α(x). 其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x) ，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若lim βα=c (c ≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小. 2.若lim βα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α. 3.若lim βα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α) 4.若lim βαk =c(c ≠0,k 是正整数), 则称β与α是k 阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β−α=o (α)或β=α+o(α)6.α,β, α′,β′,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 α~α′,β~β′,lim β′α′存在，则有lim βα= lim β′α′ ▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能] x →0时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e x −1; 1-cosx~x 22；(1+x )a -1~ax(a ≠0) ;a x-1~xlna(a >0,a ≠1);√1+x n- 1~ xn常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-√1+x - 1~ 12x~,(1)1~x x x αα+-．▪无穷大：函数无穷大 ⇀↚无界 x ⟶x 0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x⟶x0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x) ≠0, 则1为无穷大.f(x)[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.f(x)=f(x0).如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limx→x0最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) ≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)= μ.零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)∙f(b)<0)，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=01、0/0型：方法：将分子分母分解因式（消去公因子）或者将分子有理化（有理化），再求极限。
数列的极限
如
1，−1，1，−1，
{x2 k −1} 收敛于1；
{x2k }收敛于 −1；
但此数列发散.
【注 2】对于 {xn}，若 x2k−1 → a，x2k → a，则 xn → a.
20
1.2 数列的极限
一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
1
一、数列极限的定义
1.引例 割圆术
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
2
割圆术过程：
……
3
记 正六边形的面积为 A1；
正十二边形的面积为 A2；
R
正 6 × 2n−1 边形的面积为 An.
=
a
或 xn → a（n → ∞）
如果数列没有极限，就说数列是发散的.
【注1】不等式 xn − a < ε 刻划了xn 与a的接近程度； 【注2】 】lim n→∞
xn
=
a 的几何意义：
注意到 xn − a < ε ⇔ a − ε < xn < a + ε.
∀ε > 0，可找到一个 N，只要 n > N，所有 xn 都落在
的极限为0.
证明: ∀ε > 0 (设 ε < 1)， 要使 xn − 0 < ε ，
由于 xn − 0 = qn−1 − 0 = q n−1，只要 q n−1 < ε，
即 (n −1) ln q < ln ε ，亦即，n > 1+ ln ε ，
ln q
因此，取
N=
[1
+
ln ln
ε
q
]，
当n
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a = (1 n )n 1 nn n n
a λn n
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立, 那末就称常数 a 是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近 ;
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
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2. N与任意给定的正数有关.
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xn a N定义 : lim n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
; : 至少有一个或存在. 其中 : 每一个或任给的
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
x n1 , x n2 ,, x nk ,
而 x nk 在原数列 x n 中却是第 x k 项，显然，nk k .
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定理4 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限 相同． 证
设数列 x nk 是数列 x n 的任一子数列．
n
lim x n a ,
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
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数列极限的定义未给出求极限的方法. 注意：
n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n 1 n ( 1) n 1 1 证 xn 1 n n
0, N 0, 使 n N 时, 恒有 xn a .
取 K N,
则当 k K 时, nk nk nK N .
lim x nk a . xnk a . k
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证 毕．
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三、收敛准则
定义5 数列{xn}的项若满足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,则称 数列{xn}为单调增加数列; 若满足 x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…, 则称数列 {xn} 为单调 减少数列;
[ M , M ]上.
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收敛数列的有界性
如果数列xn 收敛,那么数列
xn 一定有界.
问题
xn
对于无限多项
( n 1, 2, ...)，
如何求 M ？
可取 M
max{ x1 , x2 ,..., x N , a 1}.
定理1
收敛的数列必定有界.
n
当上述不等式中等号都不成立时,则分别称{xn} 是
严格单调增加和严格单调减少数列.
收敛准则
单调增加且有上界的数列必有极限;
单调减少有下界的数列必有极限.
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1 n 例5 证明数列 {(1 ) }收敛. n 1 n 证 只需证明 {(1 ) }单调增加且有上界 . n 当a b 0时, 有 a n 1 b n 1 (a b )( a n a n 1b ab n 1 b n ) ( n 1)( a b )a n a n [( n 1)b na ] b n 1 1 1 取a 1 , b 1 代入, 得 n n1 1 n 1 n 1 (1 ) (1 ) , n n1 1 n 即数列{(1 ) }是单调增加的 . n 即
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3、子数列的收敛性
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn , 注意：在子数列 x nk 中，一般项 x nk 是第 k 项，
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
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3、保号性
定理3 若 lim xn=a,a＞0（或a＜0），则N＞0,
当n＞N时, xn ＞0（或
n
xn ＜ 0 ） .
a 证 由极限定义 ，对 0 ，N 0，当 n N 2 时， xn a a ，即 a xn 3 a ，故当 n N 2 2 2 时 ， xn a 0 . 2 类似可证 a 0 的情形.
n
n 则 lim q lim 0 0; 若 q 0 , 任给 0 , 证 n n
若0 q 1,
xn 0 q n , n ln q ln ,
ln 取N [ ], 则当n N时, ln q
lim q n 0.
n
ln n , ln q
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
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1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
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2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2
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n
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim xn C .
n
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
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q 0, 其中 q 1. 例3 证明 lim n
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 注 无界数列必定发散. 关系：
xn 收敛
xn 有界
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极限的唯一性
2、唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
n n
证 设 lim xn a, 又 lim xn b,
由定义,
0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 xn a ;
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数 xn f ( n).
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观察上述数列 当 n 时的变化趋势：
1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
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一、数列极限的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列, 简称数列. 其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
就有 q n 0 ,
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例4 设x n 0, 且 lim x n a 0,
n
求证 lim x n a .
n
xn a, 证 任给 0, lim n
N使得当n N时恒有 x n a 1 ,
从而有 x n a xn a xn a 1 xn a a a
例5 证明数列x n ( 1) n 1 是发散的.
1 xn a , 由定义, 对于 , 证 设 lim n 2 1 则N , 使得当n N时, 有 x n a 成立, 2 1 1 即当n N时, x n (a , a ), 区间长度为1. 2 2 而xn无休止地反复取 1, 1两个数,
可以看到, 随着n 趋于无穷, 数列的 通项有以下两种变
化趋势:
(1) 通项无限趋近于
一个确定的常数;
(2) 通项不趋近于任何确定的常数.
问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察: