1.2数列的极限
证明
lim
n
xn
C.
证 任给 0, 对于一切自然数 n,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明: 常数列的极限等于同一常数.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
a 2
a 2
0.
推论2：设 lim n
xn
A, lim n
yn
B
且存在正整数
N，当
n N 时，有 xn yn，则
A B.
1.2.3 数列极限存在的准则
（1）夹逼准则
定理4： 设数列 {xn}, {yn}, {zn}, 满足
1） 存在正整数 N， 当n N时， 有 yn xn zn
只有有限个(至多只有N个)落在其外.
问题1
• 根据极限定义,猜想下列数列的极限
11, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......,1 ,.....
23456
n
0
2 1, 1 , 1 ,
23
1 , 1 , 1 ,......, 456
1 ,..... n
0
3 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......, (1)n ,..... 0
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
对于
xn
1
=
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 由 1 1 , 100 n 100
只要 n 100时,
有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
所以：
而：
由夹逼准则
=1
（2）单调有界准则
定义3
若数列 an的各项满足不等式
an an1 (an an1 ) ，
则称 an 为递增（递减）数列。 递增和递减数列统称为单调数列．
例如：
1 n
为递减数列；
n2为递增数列；
(1) n
n
不是单调数列。
数列一 1, 2, 3,…, n, …
无界
数列二 1/2, 2/3, 3/4, … , n/(n+1),… 有界
数列三 1, -1, 1, -1,…
有界
数轴上对应于有界数列的点 xn都落在闭区间[ M , M ]上.
定理2 若数列{xn}收敛，则数列{xn}必有界。
证：
设
lim
n
xn
A
取 1
n
n
证
xn
1
n (1)n1 n
1
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或 n 1,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
例2
设xn
C(C为常数),
2） 极限 lim yn,limzn都存在，且 lim yn limzn A
n
n
n
n
则：limxn 也存在且 limxn A
n
n
注意： lim yn limzn
n
n
则夹逼准则不存在
例求
解：因
1 11 n2 n n2 i n2 1
(i 1,2,3,....n)
2
xn
b
;
取N maxN1 , N2,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
xn b xn a
上式仅当a b时才能成立.
2.
2、有界性
定义: 对数列xn , 若存在正数 M, 使得一切自然数 n ,
恒有 xn M 成立, 则称数列 xn有界, 否则, 称为无界.
如果lim n
xn
a,且
a
0
(或 a 0),那么存在正整数N 0,当 n N 时,都有
xn 0 (或 xn 0 ).
证 就 a 0的情形证明.
由数列极限的定义, 对 a 0, N 0,
2 当 n N时, 有
a xn a 2 ,
从而
xn
a
, 2n ,
;
1 {2n }
1,1,1,,(1)n1 ,;
{(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
23
n
n (1)n1
{
}
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注： 1。数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在
数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
证明数列 xn (1)n1是发散的.
事实上,{xn }是有界的, 但却发散.
3、比较性
定理3：设
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B且
A
B ，则存在正整数N，当
n N 时，有 xn yn .
证：取 A B 0 2
lim
n
xn
A
N1,当n N1时有
或者称数列 xn 收敛于 A , 记为
lim
n
xn
A
或 xn A (n )
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1、是任意给定的正数，着意味着具有两重性：
a. 任意性. 即 可以任意选取，因为只有这样，不等式
xn A 才能刻画 xn无限接近A
b.相对固定性. 一经选取就相对固定下来，这样我们才 可根据 找N ，否，则无法进行.
其中 2 ，证明 {an } 收敛。
证明：{an } 递增显然，下面证明有上界，事实上：
11
1
an 1 22 32 ... n2
1 1 1 ... 1
12 23
(n 1) n
1 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
lim
n
xn
a.
证 任给 0, 取1 a
lim n
xn
a,
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn
a
xn a xn a 1
xn a
a
a
故 lim n
xn
a.
注：在利用数列极限的定义来证明数列的极限时，重
高等数学
主讲：谭宏
1.2 数列的极限
1.2.1 数列极限的概念
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产 生的，它是微积分学中最基本的概念，极限方法是解 决近似与精确这对矛盾的基本方法，由它可引出微积 分学的其它基本概念，由极限的运算法则又可以推导 出微分法与积分法，所以掌握极限概念及其运算法则 就显得十分重要了.
X1
1 2n
Xn
1 2n
0
……
著名诗人李白的《送孟浩然之广陵》：
故人西辞黄鹤楼， 烟花三月下扬州． 孤帆远影碧空尽， 唯见长江天际流．
“孤帆远影碧空尽”一句，让大家体会一个变量趋 向于0的动态意境，更有诗情画意．如果说，“一尺之 棰”的例子是离散的无穷小量，那么 “孤帆”的例子则 是连续的无穷小量．
定理5 (单调有界准则)
在实数系中，有界且单调数列必有极限。
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A
M
x
几点说明：
通常该准则变通为： 1） 单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。
本定理只是证明了存在性。 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在
性。
例设
11
1
an 1 2 3 ... n , n 1,2,...
定义1 按自然数 1 , 2 , 3 , …. 编号依次排列的一列数
x 1 , x 2 ,… , xn ,….
(1)
称为无穷数列, 简称 数列. 其中的每个数称为数列
的项，xn 称为通项（一般项）. 数列 (1) 记为 {xn }
例如 2, 4,8, , 2n , ;
{2n}
111 1
,,, 248
有
xn
1
1, 10000
给定 0, 只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
定义2 如果对于任意给定的正数 （不论它多么小），
总存在正数 N , 使得对于 n > N 时的一切 xn , 不等式
| xn A | 都成立, 那末就称常数 A是数列 xn 的极限，
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , n ln q ln ,
n ln , 取N [ ln ], 则当n N时,
ln q
ln q
就有qn 0 ,
limqn 0. n
例4
设xn
0, 且 lim n
xn
a
0, 求证
A1, A2 , A3,..., An ,...
S（圆的面积）
一《
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2024/9/27
17
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
2024/9/27
12
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1.2 数列的极限
2. (收敛数列的有界性). 若数列 收敛，则该数列一定有界.
即, M 0, 使 xn M ( n 1, 2 , ) . 逆
否
若数列 无界，则该数列发散.
说明: 此性质反过来不一定成立. 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
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3. (收敛数列的保号性).
例如,
1 , 2 , 3 , , n ,
234
n 1
xn
n n 1
1
(n )
收
xn
n
(1)n1 n
1
(n )
敛
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn 2n (n ) 发
xn (1)n1 趋势不定 散
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定义: 若数列
及常数 a 有下列关系 :
lim
n
xn
极限 , 则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
lim
k
x
2k
1
发散数列可能存在收敛子列.
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
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思考与练习
1. 如何判断极限不存在?
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作业 P47 1
Thanks for your attention!
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
N
[
1
]
也可由
xn 0
1 (n1)2
取N
1
1
N 与 有关, 但不唯一.
数列极限的概念及定义性质
局部 保号性
定理 3（收敛数列的 保号性）如果
lim
n
xn
a
且a>0(或a<0), 则总存在正整数N, 当n>N 时, 有
xn>0 (或 xn<0) .
xN +1, xN +2, xN+3,···
(
)x
a− a a+
推论 如果数列{xn}从某项起有 xn 0 (或 xn0), 且
lim
n
xn
a
则 a 0(或 a 0)
n n
lim(1)n 1 ? 0 .
n
n
例2
证明
(1)n
lim
n
(
n
1)2
0.
证 对 > 0,
取N
[1] 1 ,
则当
n>N
时,
有
|xn−0 |=
(1)n (n 1)2
0
1 (n 1) 2
1 n
<
,
(1)n
故
lim
n
(n
1)2
0.
为了简化解不 等式的运算,常 常把 | xn−a| 作 适当地放大.
给定0.001, 给定0.0001,
只要 n>1000时, 有 |xn−1|< 0.001, 只要 n>10000时, 有 |xn−1|< 0.0001,
给定 >0, 当 n N ( [1] )时, 有 |xn−1|< 成立.
定义2 设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给
定的正数 , 总存在正整数N, 使得当n>N时, 不等式
定义2 “ −N ” 定义
极限
1.2 极限的概念 1.2.1 数列的极限 一、数列的极限 1、数列的定义定义:按自然数 ,3,2,1编号依次排列的一列数 ,,,,21n x x x ，称为无穷数列，简称数列。
其中的每个数称为数列的项，n x 称为通项(一般项)，记为}{n x 。
例如： ;,21,,81,41,21 n }21{n ;,2,,8,4,2 n }2{n;,)1(,,1,1,11+--n })1{(1--n ;,)1(,,34,21,21 n n n --+ })1({1nn n --+,333,,33,3++++2、数列的极限问题: 当 n 无限增大时，数列是否无限接近于某一确定的数值？如果是，如何确定？【注意】三、例题选讲例1 ,131211n，，，，→ 0例2 ,)1(1 , 54 45 32 ,23 0nn-+，，，，→1例3 1，－1，1，－1，…，(－1)n +1，…分析：正负交错，n 无限增大，数列不趋于任何定数，无极限.四、课堂练习（1） ,21,212121032n，，，， 分析：021lim =∞→n n （2） 1，3，5，…，2n －1，…分析：随n 增大数 列的项也无限增大，也不趋于任何定数,无极限.1.2.2函数的极限一、当x →∞时，函数f(x)的极限例1 .21)(时的变化趋势当观察函数∞→⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x.0)(,,21)(→∞→⎪⎭⎫⎝⎛=x f x x f x 时当函数例2 已知函数xx f 1)(=(x < 0)，试由函数的图象，判断x 趋向负无穷大时函数y 的变化趋势。
因为，x →+∞和x →-∞可以写为x →∞ 01lim=∞→x 所以 定理1思考：已知函数y=arctanx,试讨论当x →∞时，y=arctanx 否有极限，为什么？ 分析：不存在所以因为arctanx lim .arctanx lim arctanx lim ∞→-∞→+∞→≠x x x例4已知函数y=sin x,判断当x →∞时，y=sin x 是否有极限，为什么？分析：由图可见，x →+∞时，y →某一固定常数 A ，x →-∞时，y →某一固定常数 A不存在因此均不存在和所以sinx lim ,sinx lim sinx lim +∞→+∞→+∞→x x x课堂练习:观察下列极限是否存在，如存在请写出极限：二、当x →x 0时，函数f(x)的极限 1、当x →x 0时，函数f(x)的极限注意：（１）定义中“x →x 0”表示x 从小于x 0和大于x 0的两个方向趋近于x 0； （2）定义考虑的是x →x 0时函数f(x)的变化趋势,并不考虑在x 0处f(x)的情况 .（3 ） 由极限的定义1．9容易得到以下两个结论：例1考察下列函数，写出当2→x 时函数的极限，并作图验证。
1.2数列和函数的极限
n2 1
n2 n
n2 1
又 lim n 1, lim n 1
n n2 n
n n2 1
根据夹挤定理，原式极限为1
(5)
lim (1
n
1 22
)(1
1 32
) (1
1 n2
)
解：1
1 k2
(k 1)(k 1) k2
k 1 k 1 kk
1 2n
0.
证 0,
由1 2n
0
1 2n
2n 1 ,可得
n
log
2
(
1
)(限定0
1).
N
1
[log 2( )]
1.
n N ,
有
1 2n
0
.
lim n
1 2n
0.
三、收敛数列的性质
性质1（唯一性） 若数列 {xn} 收敛，则其极限必唯一 . 性质2（有界性） 若数列 {xn} 收敛，则 {xn} 必有界 .
x : 0 x x0 , A f (x) A .
是任意小
当 x 在 U O (x0 , ) 时, y
y f (x)的图形完全 落在以直线 y A 为
A
A
A
y f (x)
中心线, 宽为 2 的带
形区域内.
o
x0 x0 x0
16 8
4
2
1
一、数 列
自变量为正整数的函数xn f (n) , n Z , 函数值按自变量n从小到大排成一列，表示为：
高等数学微积分习题册上册答案
|
x2 − 2x2 +1
1 |= 2
1 2(2 x2
+ 1)
<
1 x2
<ε
→
x>
1 ε
取X =
1 ε
，当| x |>
X
,
|
2
x2 x2 +
1
−
1 2
|<
ε
，所以
lim
x→∞
x2 2x2 +
1
=
1。 2
四、证明 lim x = 1，并求正数 X ，使得当 x > X 时，就有| x −1|< 0.01 .
;
根据
lim
k→∞
x2k
= a ,存在 N2>0,
当 k>N2 时 | x2k
− a |< ε
.
取N
=
2max( N1, N 2) + 1，当
n>N
时|
xn
− a |<
ε
，所以
lim
n→∞
xn
=
a。
四川大学数学学院高等数学教研室编
2
学院
姓名
学号
一、根据函数极限的定义证明下列极限：
日期
1.3 函数的极限
证明：对任意ε，解不等式 | 2n − 3 − 2 |= 17 < 1 < ε → n > 1
5n + 1 5 5(5n + 1) n
ε
取 N = [ 1 ]，当 n>N 时| 2n − 3 − 2 |< ε ，所以 lim 2n − 3 = 2 。
ε
1.2数列的极限及运算-同济大学高数(第七版)上册
0 ; 当a
0时，xn
a 2
0.
推论
若数列{xn}从某项起有xn
（ 0 或xn
0），且 lim n
xn
a
,
那么a （ 0 或a 0）. (用反证法证明)
第18页，共24页。
子数列的概念
定义 在数列{xn}: x1 , x2 , , xn , 中，任意抽取无限多项,并保持它们在 原数列中的先后次序,这样得到的一个数列成为原数列的子数列 .
n
xn
yn
0
.
第17页，共24页。
定理3 （保号性）
若 lim n
xn
a
, 且a
0(或a
0)，那么存在正
整数N，当n N 时，都有xn （0 或xn 0）.
证
lim n
xn
a
0, N
N ,当n
N时，有 xn
-a
.
取
a 2
，有
xn
a
a ，从而a 2
a 2
xn
a
a 2
,
当a
0时，xn
a 2
数列是整标函数: xn f (n) , n 1,2,,可表示为 {xn}：x1 , x2 , , xn , ；其中，为数列的通项 .
例如： 2,4,8,,2n ,;通项为2n ;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,; 通项为
1 2n
在几何上： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次 取x1，x2，x3，… xn，…
x3 o x1 x2 x4 xn x
第4页，共24页。
问题：当n无限增大时，对应的f(n)能否无限接近于某个确定的数值？
数列极限
2、数列的极限 、
( −1)n−1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n
2、数列的极限 、
( −1)n−1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n
2、数列的极限 、
( −1)n−1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n
2、数列的极限 、
二、概念的引入
1、割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
二、概念的引入
1、割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
二、概念的引入
1、割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
二、概念的引入
1、割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
二、概念的引入
1、割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
二、概念的引入
1、割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
高等数学上册 1.2 数列的极限
ln
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
《高等数学》第一章函数与极限第二节 数列的极限
所失矣”
——(魏晋)刘徽
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第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
n 1
R
正62
形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
刘徽从圆内接正六边形开始，逐次边数加倍到 正3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416
6
第1 章 函数与极限
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
三、数列极限的定义
定义 已知数列 xn , A是一个常数. 如果当n无限增大时,
也称数列 xn收敛于A.
记作
n
xn无限接近于A, 则称当n 时, 数列 xn的极限为A,
lim xn A 或 xn A (n )
说明 这是数列极限的描述性定义。按照定义，通过观察
n n
证
任给 0,
lim xn a ,
n
N 使得当n N时, 恒有 xn a ,
从而有
n
xn a
xn a xn a
xn a a
a
故 lim xn a .
23
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
四、极限存在的两个准则 准则Ⅰ 夹逼准则
如果数列 xn, yn , zn 满足条件：
(1) xn yn zn ( n 1, 2, 3 ) (2) lim xn A, lim zn A
n n
yn A 那么数列 yn 收敛, 且 lim n
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第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
1 1 1 1 1 1 xn 2 2 1 2 2 3 nn 1 2! 3! n! 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n