数列的极限及运算法则
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
极限的概念和运算法则
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
x2 1 例 4 讨论函数 y f ( x ) 当 x 无限趋近于 1 时的变化趋势. x 1 解 该函数的图像是直线 y x 1上除去点 （1， 以外的部分， 2）
如图可以看到， 此函数在 x ＝1 处虽然没有定义， 但是当 x 从 x ＝ x2 1 1 处的左右两边分别越来越接近 1 时，函数 f ( x) 的值越 x 1 来越趋近于 2。
推论2
lim f ( x) lim f ( x) . 如果 lim f ( x)存在, n为正整数, 则 x x x x0 0 x x0
n
x x0
x x0
n
例7
x 1
求 lim(3x 2 2 x 1).
x 1
解 lim(3x 2 2 x 1) lim3x 2 lim 2 x lim1
x x0 x x0 0 x x0 0
1, x 0. 例6 求函数 f ( x) sgn x 0, x 0, 1, x 0
当x 0时的左右极限, 并讨论极限 lim f ( x)是否存在.
x 0
解
y
x 0, f (0 ) lim f ( x) lim ( 1) 1,
y
2 1
x2 1 y x 1
Ｏ
1
x
定义
设函数f ( x)在点x0的某一邻域内( x0可以除外)有定义.
如果当x无限接近于定值x0 ,即x x0 ( x不等于x0 )时,函数f ( x)
的值无限接近于一个确定的常数A, 则A叫作函数f ( x)当x x0
时的极限, 记做
x x0
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明work Information Technology Company.2020YEAR数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(An·Bn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn) (法则1)=limAn+(-1)limBn (引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε=ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A) (法则1)=A-A (引理2) =0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB (引理3、引理2)=B×0+A×0+AB (引理1) =AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B≠0时(这是必要条件),正整数N1和正实数ε0,使得对正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对ε>0,正整数N2和N3,使得:当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次) =(limAn)的k次方=A的k次方.。
高中数学数列极限的性质与计算方法详解
高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。
在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。
本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。
2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。
3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。
二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。
2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。
3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。
数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则
2021/3/22
1
极限存在准则
1.定理３（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,
且
lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
2021/3/22
11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
2021/3/22
15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明数列极限四则运算法则是数学中非常重要的一条定理，它可以帮助我们在进行数列极限运算时更加方便和简化计算。
本文将从定理的定义、证明思路、具体证明过程以及应用等方面进行详细介绍和阐述。
让我们来了解一下数列极限四则运算法则的定义。
数列极限四则运算法则是指在满足一定条件的情况下，对数列的极限进行加、减、乘、除运算，得到的结果仍然是一个数列，并且这个数列的极限等于对原数列的极限进行相应的运算得到的结果。
简单来说，就是对数列的极限进行四则运算，可以直接对数列的极限进行运算，而不需要对数列的每一项进行运算。
接下来，我们来探讨数列极限四则运算法则的证明思路。
证明数列极限四则运算法则的关键在于如何证明对于两个数列极限的和、差、乘积和商，它们的极限分别等于原数列极限的和、差、乘积和商。
我们可以通过数学归纳法来证明这一点，即先证明对于两个数列极限的和，它们的极限等于原数列极限的和，然后再逐一证明差、乘积和商的情况。
然后，让我们来具体证明数列极限四则运算法则。
首先，考虑两个数列{a_n}和{b_n}，它们的极限分别为A和B。
我们要证明数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N 时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。
那么对于n>N，有|a_n+b_n-(A+B)|=|(a_n-A)+(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。
由此可得，数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
接下来，我们来证明数列{a_n-b_n}的极限为A-B。
同样地，假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。
那么对于n>N，有|a_n-b_n-(A-B)|=|(a_n-A)-(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。
极限的四则运算
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
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数列的极限及其运算法则学习要求：1．理解数列极限的概念。
正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）lim 0nn a →∞= (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1nn a →∞=；当1a =-或1a >时，lim nn a →∞不存在。
3. 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞→∞==g g推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}na ，{}nb ，{}nc 有极限，则n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim二、基本题目1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，21，31，…，n 1，… ； （2）3452,,,,234--…，1(1)n n n+-，…； （3）1010100(10)1(10)n n a n n⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 2.（1）若1lim()02nn a a→∞-=，则a 的取值范围是 。
（2）数列}{n a 的前n 项和为n S ，且213n n S a =-，求lim n n a →∞的值。
3． 已知,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞→解：因为,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，所以 lim(34)lim3lim43lim 4lim 15123n n n n n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞-=-=-=-=4． 求下列极限：（1）)45(lim n n +∞→；（2）2)11(lim -∞→n n 解：（1）44lim(5)lim5lim 505n n n n n →∞→∞→∞+=+=+=；（2）22211lim(1)(lim lim1)(01)1n n n n n →∞→∞→∞-=-=-=5． 求下列极限：(1))21(lim 2n n n +∞→. (2)nn n 23lim -∞→. (3)232lim 22++∞→n n n n . (4)24323lim n n n n n -+∞→. 解：(1)0001lim 202lim 1lim )21(lim 22=+=+=+=+∞→∞→∞→∞→n nn n n n n n n .(2) (方法一)3031lim 232lim 3lim )23(lim 23lim=-=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→∞→n nn n n n n n n n .(方法二)∵n →∞，∴0n ≠.分子、分母同除n 的最高次幂.3131lim )23(lim 123lim23lim==-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn . 第二个题目不能体现“分子、分母同除n 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是232n +，有常数项，所以 (2)的方法一就不能用了.(3)3203022lim 3lim 1lim2lim )23(lim )12(lim 2312lim 232lim22222=++=++=++=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n n n n .规律一：一般地，当分子与分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个公式在n →∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比.(4)分子、分母同除n 的最高次幂即4n ，得.002001lim 2lim 1lim 3lim 1213lim 23lim 2323243=-+=-+=-+=-+∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n nn n n n n n n n n n n n .规律二：一般地，当分子、分母都是关于n 的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当n →∞时，这个分式极限为0. 6．求下列极限.(1))13(lim 2n n n n -+-∞→. (2)21323lim -++-∞→n n n . (3)1513lim ++-∞→n n n .解：(1)11131lim 13lim 13lim )13(lim 222=+--=+--=+---=-+-∞→∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n n n . (2)30103211323lim21323lim =-+=-++-=-++-∞→∞→nnn nn n n n .(3)001001lim1lim 5lim13lim 11513lim 1513lim 22=++=++-=++-=++-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n n n n n n n n .说明：当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在7． 求下列极限：（1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n K ；（2）)39312421(lim 11--∞→++++++++n n n K K 解：先求和再求极限 （1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n K 222222[3(21)]1357(21)22lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞+++++++++=====++++L（2）11212[()]1242212(21)33lim()lim lim lim 011139331(31)123n n nnn n n n n n n n n --→∞→∞→∞→∞-++++--====++++---K K 8． 公比绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和.设无穷等比数列ΛΛ,,,,,112111-n qa q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为qa S -=11)1(<q （1） 求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和.解：0.3， 0.03， 0.003，…的首项10.3a =，公比0.1q =所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+…=0.3110.13=-（2）将无限循环小数。
92.0化为分数.解：0.290.290.00290.000029=+++&&L ＝224621111291029()29110101099110+++==-L 练习：如图，在边长为l 的等边ABC ∆中，圆1O 为ABC ∆的内切圆，圆2O 与圆1O 外切，且与,AB BC 相切，…，圆1n O +与圆n O 外切，且与,AB BC 相切，如此无限继续下去，记圆n O 的面积为*()n a n N ∈.(Ⅰ)证明{}n a 是等比数列；（Ⅱ）求12lim()n n a a a →∞+++L 的值.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。