极限的四则运算(数列极限、函数极限)

a
k
，lim（C n

an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1

x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）

3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2

3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn

3 5
[ 1
1
2

5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an

bn
)

185（3an

2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
= -3 .
∴ lnim(2an bn ) = -3 .
例2、求下列数列的极限
1
lim (
n
1 n2

2) n
2lim n
2n2 3n2

n 2
3
lim
n
3n3 2n4
那么 xlimxo（f(x)±g(x)）=a+b；
xlimxo（f(x) ·g(x)）=a·b；
lim
x xo
f(x) g(x)
=
a b
(b≠0)
例1、求 lim x
x2 3 3 x3 1
，lim x
x2 3 3 x3 1
及
lim
x
3
x2 3 x3 1
。
解： lim x
极限的四则运算
一、数列极限的四则运算法则：
如果：
lim
n
an

a
lim
n
bn
b
那么： lnim(an bn ) a b
lnim(an bn ) a b
lim an a (b 0)
b n n
b
注：1）可推广到有限个数列的极限运算；
2）由此可得： lnim(an )k
1lim 1 2 3 n
n
n2
2lim ( 1
n 2n

3 4n

7 8n


2n 2n
1) n
3lim[ 1
n 2 5

1 58
1 8 11

3n

1
13n

2]
注：对于无穷项数列的极限，不能直接使用运算法则 计算每一部分的极限之和，只能先求和再求极限。
n
nan Sn

lim
n

2d 2(a1 d ) n
d 2a1 d

2。
n
2、等差数列{an}与{bn}的前项和分别为Sn和Tn，
若
Sn Tn

2n 3n 1
，求
lim an b n
n
的值.
解：∵数列{an}与{bn}都是等差数列，
∴ an S2n1 2(2n 1) 4n 2 , bn T2n1 3(2n 1) 1 6n 2
2
sin2 x cos2 x )

x 2
1
2
。
（4）若 lim ( x2 1 ax b) 0 ，求a,b。
x x 1
（提示：通分。a=1,b=-1)
例5、若
lim
x2
x2 ax b x2 x 2

2 ，求a,b的值。
解：x 2 时，分式的分母 x2 x 2 0 ，同时分母 中有因式 x 2。又由于分式的极限值是常数2，所以 分子中也应该有因式 x 2 ，需约去公因式 x 2 后，
第三个正方形，……，依次无限地进行下去，求所有这 些正方形面积之和。
解正：方设形第边n长个an正+1方= 形2边an长，为面a积n，bn面+1=积1为bbnn，，则第n+1个
2
2
1
∴数列{bn}是一个首项为1，公比为 的等比数列，
2
∴所有正方形面积之和为S=
1 1 1

2。
2
极限综合练习
1、的已前知n{a项n}和是，公求差不lnim为 n0Sa的nn 等的差值数。列，如果Sn是{an}
x2 3 3 x3 1
lim
1
3 x2
x
3
1
1 x3
lim
x
3
x2 x3
3 1
lim
1
3 x2
x
3
1
1 x3
x2 3
∵
lim
x
3 x3 1
≠ lim x2 3 x 3 x3 1
lim x
1
3 x2
lim
x
3
1
2 an an1 5 an (n N

)
∴又数由列S{nan}1是 32一a个n首a项1 为15332
a1

a1

3. 5
，公比为 2
5
的等比数列，
∴
an

3 5

(
2 5
)
n1，Sn
1
2 3
an 1
2 3
3 ( 2)n1 55
1 (2)n. 5
∴
an S n
1 x3

3
1 0 1 0
1
;
lim x
1
3 x2
lim
x
3
1
1 x3


3
1 0 1 0
1
;
x2 3
∴
lim x 3 x3 1
不存在。
例2、求极限：
1) lim x3 x 1 x 2x4 x 2
2) lim ( x2 1 x2 1) x
sin in2 x
x)
)
2
(3) lim ( sin x tan2 x)
x
cos2 x
lim ( sin x ) x 1 sin x
2
2
lim（sin x）
提示：（1）分子有理化。
x
（2）通分。

2
lim（1
sin
x）
（3）原式
sin x
lim
x
( c os2
x
lim (1 1 )n3 lim (1 1 )3
n n 3
n n 3
e1 e.
二、函数数列极限的四则运算法则：
（1）、当x时，函数f(x)极限的运算法则：
如果 xlimf(x)=a, xlimg(x)=b,
那么 xlim（f(x)±g(x)）=a+b；
例6、已知 lim (1 1)n e (e为常数),
n
n
求lim (1 1 )n 的值。 n n 3
解：∵ lim (1 1)n e ， n n
∴ lim (1 1 )n n n 3
lim (1 1 )n3 (1 1 )3
n n 3
n3
lim
n
5n an2 bn c
lim 25n2 (an2 bn c) n 5n an2 bn c
（25 a)n b c
lim
n 2
n
5
a

b n

c n2
25 a 0

b 2
5 a
解得： a=25,b=20。
例5、求下列数列的极限：
•
（1）0.9
••
（2）0. 21
••
（3）0.2 3 2
•
解： 0.9 0.9 0.09 0.009
0.9
1 ;
1 0.1
••
0.21 0.21 0.0021 0.000021
0.21 21 7 1 0.01 99 33
;
••
0.232 0.2 0.032 0.00032
例3、已知
2n an
lim
n
2n

an
1
，其中a∈R,则a的
取值范围为________.
(-2＜a＜2)
例4、已知 lim (5n an2 bn c ) 2 ，求a,b。 n
解：lim (5n an2 bn c ) n
(5n an2 bn c )(5n an2 bn c)
∴ lim an lim 4n 2 2。 n bn n 6n 2 3
lim ( 3 x2 2 3 x 4) x8 ( 1 x 3)