第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案

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函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，C sin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解： {}n x收敛时，数列n x有界（即nx M≤），反之不成立，（如(){}11n--有界，但不收敛，选A6．当n→∞时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k= （）A12B 1C 2D -2解：2211sinlim lim111n nk kn nn n→∞→∞==，2k=选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f xx=+，则()f f x⎡⎤⎣⎦的定义域为解：∵()f f x⎡⎤⎣⎦()111111f xx==+++112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y =的反函数是解：（1）4log y =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -= 10．n =解：原式32n =有理化11．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =解：左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---==故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解：当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsinx y -=解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔ 或∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求()f x 解：22sin 2cos21sin 222x x x f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x 解: （1）求22():1x g x y x +=- ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+- 互换,x y 位置得()22g x x x =+- (2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+-16．判别()fx (ln x =的奇偶性。

高等数学第1章函数与极限练习册解答(10月19修改)

时,就有
2. 极限 l i m f (x ) A的定义是 : 对于 0 , 存在 X 0 , 当 x
f x A .
时,就有
3. 对于任意的正数 , 存在正数 =
，当
时 5x 2 12 , 因此
lim (5x 2) 12.
x2
解答：
1、当 0 x x0 时； 2、 x X 时；
1.设
xn
n n
1 ,则当 1
n
大于正整数
N
时, | xn 1| 104 , 对于任意正数 ,
当 n 大于正整数 N
时,
|
xn
1|
,所以
lim
n
xn
1.
2. 对于任意正数 , 存在正整数 N
cos n
, 当 n N 时,
2 0 , 所以
n
cos n lim 2 0 . n n
3. 设 xn 为任一数列, 又设对于任意正数 , 存在正整数 N1, N2 , 当 n N1 时,
第 1 章函数与极限
V.同步练习
第 1 章函数、极限与连续
1.1 函数及其性质
一、填空题
1.已知 f x ax2 bx 5 且 f x 1 f x 8x 3 , 则 a
；b
；
2. y cos 2x 1 的周期为
；
3.
函数
f
(x)
sin
1 x
,
x
0;
的定义域为
；值域为
.
解. 设圆锥的半径与高分别为r, h , 则 2 r R 2 , 即 r R 2 , 从而
2
h
R2 r2

数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题

数列的极限一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作l i m n n a a →∞=．（注：a 不一定是｛a n ｝中的项）2几个重要极限：（1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→1,11,110lim a a a a a nn 或不存在，（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 011101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在3.数列极限的运算法则:如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→0(lim≠=∞→B B Ab a nn n4．无穷等比数列的各项和⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞=⑵1lim ,(0||1)1n n a S S q q→∞==<<- 二、方法与技巧⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为()N m nm ∈1或()1<q q n型的极限.⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a .②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. ③利用已知数列极限（如() 01lim,10lim =<=∞→∞→nq q n n n 等）. ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.⑤∞－∞,∞∞,0－0,0等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解例1 求下列式子的极限： ①nnn )1(lim-∞→； ②∞→n lim 112322+++n n n ； ③∞→n lim 1122++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2）∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n +…+22n n ）例2()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值;例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim 1122+-+-n n n n a a 的值．数列极限课后检测1下列极限正确的个数是（）①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数） A 2 B 3 C 4D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（）A 若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB 若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C 若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D 若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n5若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（） A 11 B 17 C 19 D 256数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（）A 52B 72C 41D 254 7．∞→n lim n n ++++ 212=__________∞→n lim 32222-+n nn =____________∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn c an ++=2,∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是（）9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =_____________10等比数列{a n }公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=38,则a 1=_____________11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）（1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21, 求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值例题解析答案例1n的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；②112322+++n n n 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比； ③∞→n lim1122++n n 的分子次数小于于分母次数，极限为0解：①0nn =； ②2222213321lim lim 3111n n n n n n n n→∞→∞++++==++； ③∞→n lim 2222121lim lim 0111n n n n n n n→∞→∞++==++ 点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（5）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++52 （2）∞→n lim （n n +2－n ）=∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n21（3）原式=∞→n lim22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim （1+n1）=1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim（2n 2+n +7）,∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞不存在对于（3）要避免出现原式=∞→n lim 22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误例2 B例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为解：由nnn b a ∞→lim=3⇒d 1=3d 2，∴n n n nb a a a 221lim +++∞→ =2121114])12([2)1(limd d d n b n d n n na n =-+-+∞→43 点评：化归思想例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);解：nnnn n a a a a --∞→+-lim =⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<-=+-=>=+-∞→∞→).10(111lim ),1(0),1(11111lim 2222a a a a a a a n nn n n n 点评：注意分类讨论例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 解：11)()1(lim 2++-+--∞→n b n b a n a n =1，∴⎩⎨⎧=+-=-1)(01b a a ⇒a=1,b=─1例6已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围解:∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在∴0＜|q |＜1或q =1当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3 当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q ∴0＜|2a 1－1|＜1∴0＜a 1＜1且a 121 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim1122+-+-n n n n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2）∞→n lim1122+-+-n nn n a a ＝∞→n lim n n n n c 3211--- ①当c =2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c cc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c 21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用试卷解析 1 答案:B3解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ；取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C 5 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn nnn n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C6 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n ∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ） ∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0∴∞→n lim a n =0答案:C7解析:原式=∞→n lim2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nnn ++=0∞→n lim 32222-+n n n =∞→n lim 23221nn -+21 解析:∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim 22+n n=2 答案:C 8解析:答案:D 由∞→n lim cbn can ++=2,得a =2b由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b ∴c a =6∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22na c n ca ++=ca =69析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）∴{n a }是公差为3的等差数列，1a∴n a =3+（n －1）·3=3n ∴a n =3n 2∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3 10析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a 38∴a 1=2 11 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1n =2时，a 2=6代入得a 3=15同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1） =11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1） ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］8312 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）,∴2d 2－3d 1=2又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）∴原式=∞→n lim 41（1－121+n ）=41。

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分）3．若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是（） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦ B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦ C ． ()()01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞ ∴选D6．当n →∞时，1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（） A ．12B ．1C ．2D ．-2 解：2211sin lim lim 1,211n n k kn n k n n →∞→∞=== 选C 二、填空题（每小题4分，共24分）8．2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 10．n =解：原式n ≡有理化 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x xx →→== 故原式=112．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x→=-,则正整数n = 解：()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x→→+⋅= 20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分）14．求0x → 解：原式有理化16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x→ 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 17．求02lim sin x x x e e x x x-→--- 解：原式0020lim 1cos x x x e e x-→+-- 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭解： (1) 拆项，111...1223(1)n n +++⋅⋅+ 1111111...122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝⎭(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭20．求21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解：原式()201ln 11lim t t t x t t →=+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、证明题（共18分）21．当x →∞时且()()lim 0,lim x x u x v x →∞→∞==∞, 证明()()()()lim lim 1x u x v x v x x u x e →∞→∞+=⎡⎤⎣⎦ 证：()()lim 1v x x u x →∞+⎡⎤⎣⎦ ()()lim x u x v x e →∞⋅=证毕22．当0x →时，证明以下四个差函数的等价无穷小。

函数与数列的极限的强化练习题答案28页word文档

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===Q，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=Q的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，Csin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解：Q {}n x 收敛时，数列n x 有界（即n x M ≤），反之不成立，（如(){}11n --有界，但不收敛，选A6．当n →∞时，21sin n 与1k n为等价无穷小，则k = （）A 12B 1C 2D -2解：Q 2211sin lim lim 111n n k kn n n n →∞→∞==，2k = 选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f x x=+，则()f f x ⎡⎤⎣⎦的定义域为解： ∵()f f x ⎡⎤⎣⎦()111111f x x==+++ 112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y =的反函数是解：（1）4log y =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -= 10．n =解：原式32n =有理化11．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =解：左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---== 故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解：Q 当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsinx y -=解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔Q 或 ∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin 1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 求()f x解：22sin 2cos 21sin 222x x x f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x 解: （1）求22():1x g x y x +=-Q ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+- 互换,x y 位置得()22g x x x =+-(2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+- 16．判别()fx (ln x =的奇偶性。

洛必达法则例题

习题3−21. 用洛必达法则求下列极限:(1)xx x )1ln(lim 0+→; (2)xe e xx x sin lim 0−→−; (3)ax a x a x −−→sin sin lim ; (4)xx x 5tan 3sin lim π→; (5)22)2(sin ln lim x xx −→ππ; (6)n n mm a x ax a x −−→lim ;(7)x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→; (8)xx x 3tan tan lim2π→; (9)xarc x x cot )11ln(lim ++∞→; (10)xx x x cos sec )1ln(lim 20−+→; (11)x x x 2cot lim 0→; (12)2120lim x x e x →; (13)−−−→1112lim 21x x x ; (14)x x xa )1(lim +∞→; (15)x x x sin 0lim +→; (16)x x xtan 0)1(lim +→.解 (1)111lim 111lim )1ln(lim 000=+=+=+→→→xx x x x x x . (2)2cos lim sin lim 00=+=−−→−→xe e x e e xx x x x x . (3)a x ax a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==−−→→. (4)535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2−==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222−=−−−=−⋅−=−→→→x x x x x x x x πππππ. (6)n m n m n m a x n n mm a x a nm na mx nx mx a x a x −−−−−→→===−−1111lim lim . (7)177sec 22sec lim 277tan 2tan lim 2722sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 22002200=⋅⋅==⋅⋅⋅⋅=+→+→+→+→x x x x x xx x x x x x x x . (8))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim 31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x −⋅−==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=−−−=−=→→x x x x x x ππ. (9)122lim 212lim 1lim 11)1(111lim cot arc )11ln(lim 2222==+=++=+−⋅+=++∞→+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x x x x . (10)x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim −=−+=−+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) 1sin lim )sin (cos 22lim 00==−−=→→xx x x x x x . (11)2122sec 1lim 2tan lim 2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x . (12)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 21012022t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ).(13)2121lim 11lim 1112lim 12121−=−=−−= −−−→→→x x x x x x x x . (14)因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x e x a +∞→∞→=+, 而 a a a x ax xx ax a x x a x a x x x x x x ==+=−−⋅+=+=+∞→∞→∞→∞→∞→1lim lim 1)(11lim 1)1ln(lim )1(ln(lim 22, 所以 a x a x x x x e e x a ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . .(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=, 而 0cos sin lim cot csc 1lim csc ln lim ln sin lim 20000=−=⋅−==+→+→+→+→xx x x x x x x x x x x x x , 所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x . (16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim −+→=, 而 0sin lim csc 1lim cot ln lim ln tan lim 202000=−=−==+→+→+→+→xx x x x x x x x x x x , 所以 1lim )1(lim 0ln tan 0tan 0===−+→+→e e x x x x x x . 2. 验证极限x x x x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出. 解 1)sin 1(lim sin lim =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限xx x x sin lim +∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (lim x x x x x x x x +=+=′′+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则. 3. 验证极限xx x x sin 1sin lim 20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin lim sin 1sinlim 020=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sin lim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos 1sin 2lim )(sin )1sin (lim 020−=′′→→不存在, 不能用洛必达法则. 4. 讨论函数≤>+=−0 0 ])1([)(2111x e x ex x f x x 在点x =0处的连续性. 解 21)0(−=e f , )0(lim )(lim 212100f e e x f x x ===−−−→−→,因为 ]1)1ln(1[101100lim ])1([lim )(lim −+−→−→+→=+=x x x x x x x x e e x x f ,而 21)1(21lim 2111lim )1ln(lim ]1)1ln(1[1lim 00200−=+−=−+=−+=−++→+→+→+→x x x x x x x x x x x x x , 所以 )0(lim ])1([lim )(lim 21]1)1ln(1[101100f e e ex x f x x x x x x x x ===+=−−+−→−→+→. 因此f (x )在点x =0处连续.。

两个重要极限习题答案

一 1、3sin tan limx xx x -→; 解：“00”型。

若用“洛必达法则”，佑计分子求导会越求越复杂；若用“等价无穷小法”，分子会出现“0”；因此，先对式子进行恒等变形,)cos 1(sin lim sin cos sin lim sin tan lim 33030x x x x xx xx x x x x x -=-=-→→→至此，观察式子，重要极限公式和“等价无穷小法”综合运用，即2121121lim sin lim )cos 1(sin lim 220030=⋅=⋅=-→→→x xx x x x x x x x 故21sin tan lim 30=-→x x x x 。

2、x x xx sin cos 1lim-→; 解：“00”型。

方法一，“洛必达法则”。

xx x x sin cos 1lim0-→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x sin cos cos cos lim )cos (sin )(sin lim cos sin sin lim )sin ()cos 1(lim 0000-+='+'=+=''-=→→→→ 因为1sin ≤x ，为有界函数，故sin lim =→x x x ，所以21sin cos cos cos lim＝x x x x x x -+→，即21sin cos 1lim=-→x x x x 。

方法二，“等价无穷小方法”和“重要极限公式法”综合运用。

x x x x sin cos 1lim 0-→21sin lim 21sin 21lim 020==→→x x x x xx x 。

3、x xx x sin tan 2lim 0-→; 解：“00”型。

方法一，“洛必达法则”。

1cos sec 2lim )(sin )tan 2(lim sin tan 2lim 2000=-=''-=-→→→xx x x x x x x x x x ；方法二，“重要极限公式法”。

极限定理习题及答案

极限定理习题及答案极限定理习题及答案引言：极限定理是微积分中的重要概念，它描述了函数在某个点附近的行为。

通过研究极限，我们可以揭示函数的性质，解决各种数学问题。

本文将介绍一些常见的极限定理习题，并给出详细的答案。

一、极限的定义在开始解答具体习题之前，我们先来回顾一下极限的定义。

对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近某个常数a时，如果函数值f(x)也无限接近一个常数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

二、习题及解答1. 求函数f(x)=2x^2-3x+1在x趋于2时的极限。

解答：根据极限定义，我们要求当x趋于2时，函数f(x)的极限。

将x代入函数f(x)，得到f(2)=2(2)^2-3(2)+1=7。

因此，当x趋于2时，函数f(x)的极限为7。

2. 求函数f(x)=sinx/x在x趋于0时的极限。

解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。

首先，我们可以观察到当x等于0时，函数的值为0/0，这是一个未定义的情况。

但是，我们可以利用泰勒展开将函数转化为可求解的形式。

对于sinx，我们可以将其展开为x-x^3/3!+x^5/5!-...。

将展开后的形式代入函数f(x)，得到f(x)=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。

当x趋于0时，我们可以发现除了第一项1之外，其他各项都趋于0。

因此，当x趋于0时，函数f(x)的极限为1。

3. 求函数f(x)=ln(1+x)/x在x趋于0时的极限。

解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。

将x代入函数f(x)，得到f(0)=ln(1+0)/0=ln(1)/0。

我们可以发现ln(1)=0，而0/0是一个未定义的情况。

为了解决这个问题，我们可以利用洛必达法则。

对函数f(x)求导，得到f'(x)=(1/(1+x)-ln(1+x))/x^2。

2023届高考数学专项练习洛必达法则含解析

洛必达法则思路引导“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。

法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=0及limx→ag(x)=0；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=∞及limx→ag(x)=∞；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.例题讲解类型一：用洛必达法则处理00型函数【例1】已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.【方法总结】用洛必达法则处理00型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“0”型式子；3.运用洛必达法则求值2023届高考数学专项练习【针对训练】若∀x∈[1,+∞)，不等式ln x≤m x-1 x恒成立，求实数m的取值范围.类型二：用洛必达法则处理∞∞型函数【例2】已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1)，若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．【方法总结】用洛必达法则处理∞∞型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“∞∞”型式子；3.运用洛必达法则求值【针对训练】设函数f(x)=e x-1-x-ax2，若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围模拟训练1.已知函数f(x)=a ln x+bx(a,b∈R)在x=12处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直.(1)求实数a,b的值；(2)若∀x∈[1,+∞)，不等式f(x)≤(m-2)x-m x恒成立，求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2.(1)若f(x)在x=-1时有极值，求函数f(x)的解析式；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.3.已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。

专题05 洛必达法则(解析版)

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇专题五洛必达法则一、问题指引“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。

二、方法详解法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)()()limx af x lg x →'='，那么 ()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='。

法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=；(2)0A∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g'(x)≠0；(3)()()limx f x l g x →∞'='，那么 ()()lim x f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='。

法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()limx a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()limx a f x l g x →'='。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a ，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。

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第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
3．若()0lim x x f x →=∞，()0
lim x x g x →=∞，则下列正确的是（） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣
⎦ B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣
⎦ C ． ()()
01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0
lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：
()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞ ∴选D
6．当n →∞时，
1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（） A ．12
B ．1
C ．2
D ．-2 解：2
211sin lim lim 1,21
1n n k k
n n k n n →∞→∞=== 选C 二、填空题（每小题4分，共24分）
8．2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝
⎭ 解：原式()()()112lim
11x x x x →∞-∞+--+ 111lim 12
x x →==+ 10
．n =
解：原式n ≡有理化
32n ==无穷大分裂法 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝
⎭ 解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x
x →→== 故原式=1 12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+=
且0sin lim 01cos n x x x
→=-,则正整数n = 解：
()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x
→→+⋅= 20420,lim 02
n x n x n x
→<>2,4,n n ∴><
故3n = 三、计算题（每小题8分，共64分）
14．求0
x → 解：原式有理化 0x →0tan (1cos )1lim (1cos )2
x x x x x →-=⋅- 0tan 111lim
lim 222
x x x x x x →∞→=⋅==
16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x
→ 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形
0cos 21lim cos31
x x x →--等价 ()()2021242lim 1932x x x →-
=-等价注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x →∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭
-⨯- 49=⋯⋯=
17．求02lim sin x x x e e x x x
-→--- 解：原式0020lim 1cos x x x e e x
-→+-- 0000
00lim lim 2sin cos x x
x x x x e e e e x x
--→→++= 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭
解： (1) 拆项，111...1223(1)
n n +++⋅⋅+ 1111111...122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝⎭(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭
20．求21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
解：原式()201ln 11lim t t t x t t →=+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
()20ln 1lim t t t t →-+通分
01101lim 2t t t
→⎛⎫ ⎪-
⎝⎭+0 ()001111lim lim 2112
t t t t t t →→+-===++ 四、证明题（共18分）
21．当x →∞时且
()()lim 0,lim x x u x v x →∞→∞
==∞, 证明()()()()lim lim 1x u x v x v x x u x e
→∞→∞+=⎡⎤⎣⎦ 证：()()
lim 1v x x u x →∞+⎡⎤⎣⎦ ()()()()1lim 1u x v x u x x u x ⋅⋅→∞=+⎡⎤⎣⎦
()()lim x u x v x e →∞⋅=证毕
22．当0x →时，证明以下四个差函数的等价无穷小。

（1）()3
tan sin 02
x x x x -→等价于（2）()3
tan 03
x x x x -→等价于（3）3
sin 6
x x x -等价于()0x → （4）()3
arcsin 06
x x x x -→等价于证：()30tan sin 1lim 2
x x x x
→- ()3000tan 1cos lim 2x x x x
→⎛⎫ ⎪-⎝⎭
2
302lim 12
x x x x
→⋅
== 当0x →时，3
tan sin 2x x x - ()22003tan sec 12lim lim 13
x x x x x x x →→--= 22
2200tan lim lim 1x x x x x
x →→=== 当0x →时，2
tan 3
x x x - ()03sin 3lim 16x x x x →-021cos lim 12
x x x →-= 20212lim 112
x x x →== 当0x →时，31sin :6x x x - ()
03arcsin 4
lim 16
x x x
x →- 0021lim 122
x x x x →→-== 20212lim 1112
x x
x →==⋅ 当0x →时，31arcsin 6
x x x -等价于五、综合题（每小题10分，共20分）
23
．求(lim 3x x →∞ 解：原式
229921x x x x -++
有理化 x =
1
221333x --
-===-+ 24．已知()22281lim 225
x x mx x n x n →-+=-++，求常数,m n 的值。

解：（1）∵原极限存在且
()22
lim 220x x n x n →⎡⎤-++=⎣⎦ ()22
lim 80,4280x x mx m →∴-+=-+= 212,6m m ==
（2）()22268lim 22x x x x n x n
→-+-++ ()()2002646lim 2242x x x n n →⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-+-+ 2125
n -==- 102n ∴-=- 12n = 答6,12m n == 选做题
求()1
101lim x x x x e →⎡⎤+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
解：原式()11
011lim 1x x x x e e ∞→⎡⎤+-⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()()
110011lim lim x x x x x x e x e e e e →→⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢
⎥+-⎣
⎦⋅==
令()()1
1ln 11x x x y x e +=+=
()
()121ln 111x x x x y x x
-++'=+ ()()()()1
21ln 111x x x x x x x -++=++ 原式()()()
()20201ln 10ln 1lim lim 123x x x x x x x x x x e e →→-++-+++== 201
lim 232x x x x e e →--+==。