数列极限与函数极限习题

lim
x→1
x2−1 2x2−x−1
；
(3)
lim
x→0
(x−1)3+(1−3x) x2+2x3
；
(4)
lim
x→1
x2√−√x x
；
6
√
(5) lim
x→3
1+x−2 x−3
；
(6)
lim
x→3
x2−5x+6 x2−8x+15
；
(7)
lim
x→1
xn−1 xm−1
（n,
m为正整数）；
√
(8) lim
(3) lim
n→∞
1
+
1 2n
n；
(4) lim
n→∞
1
+
1 n2
n.
§3 函数的极限
1．用极限定义证明下列极限：
(1)
lim
x→−1
x−3 x2−9
=
1 2
；
(2)
lim
x→3
x−3 x2−9
=
1 6
；
(3)
lim
x→1
√xx−−11
=
2；
(4)
lim
x→1
(x−2)(x−1) x−3
=
0；
√ (5) lim x2 + 5 = 3；
(5)
lim
x→∞
x2+3x x2
；
(6)
lim
x→+∞
x sin x x2−4
；
(7)
lim
x→−∞
x−cos x
x；
(8) lim
x→+∞
x+√x+√x
x+1
.
7．用变量替换求下列极限：
(1)
lim
x→0+
x[
1 x
]；
(2) lim xa ln x(a > 0)；
x→0+
(3)
lim
x→+∞
ln x xa
x→+∞
(17) lim
x→∞
1
−
2 x
−x；
(18)
lim
(1
+
nx)
1 x
(n为整数)；
x→0
(19) lim (1 + tan x)cot x；
x→0
(20)
lim (
x→0
1+x 1−x
)
1 x
；
(21)
lim (
x→+∞
3x+2 3x−1
)2x−1；
(22) lim (sin x)tan x；
n→∞
an+k
=
a；
(2)
若 lim
n→∞
an
=
a，则 lim
n→∞
|an|
=
|a|.反之是否成立？
(3)
若 lim
n→∞
an
=
a，且a
>
b
，则存在N ，当n
>
N 时，有an
>
b；
(4)
若 lim
n→∞
an
=
a，且an
>
0，则 lim
n→∞
√an
=
√a.
4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“∃”是逻辑符号，表 示“存在”.）
lim
n→∞
n
an1 + an2 + · · · + anm
=
max(a1, a2, · · ·
, am).
12．设 lim
n→∞
an
=
a，证明：
(1)
lim
n→∞
[nan] n
=
a；
(2)
若a
>
0,
an
>
0，则 lim
n→∞
√n an
=
1.
13．利用单调有界原理，证明 lim
n→∞
xn存在，并求出它：
(1)
x1
=
√ 2,
x2
=
√2xn−1,
n
=
2,
3,
·
·
·
；
(2) x1 = √c > 0, xn = √c + xn−1, n = 2, 3, · · · ；
(3)
xn
=
cn n!
(c
>
0)；
(4)
x0
=
1,
xn
=
1
+
, xn−1
1+xn−1
n
=
1,
2, ·
·
·
.
14．若x1 = a > 0, y1 = b > 0(a < b),
+
···
+
1 (2n)2
)；
(3)
lim (
n→∞
√1 n2+1
+
√1 n2+2
+
·
··
+
√1 n2+n
)；
(4)
lim (
n→∞
1 2
+
3 22
+
···
+
2n−1 2n
)；
(5)
lim (1 −
n→∞
√n12 ) cos n；
(6) lim
n→∞
1
−
1 n
；
(7)
lim
√√√ ( 2 4 2 8 2···
2
(3)
lim
n→∞
1+
1 2
+···+
1 2n
1+
1 4
+···+
1 4n
；
√√
√
(4) lim ( n 1 + n 2 + · · · + n 10).
n→∞
8．求下列极限：
(1)
lim (
n→∞
1 1·2
+
1 2·3
+
···
+
1 n(n+1)
)；
(2)
lim (
n→∞
1 n2
+
1 (n+1)2
x→
π 2
9
(23) lim
x→∞
x2−1 x2−1
x2
；
(24) lim
x→+∞
n+x n−1
n.
11．证明 lim
x→0
cos
1 x
不存在.
12．证明 lim D(x) 不存在，其中
x→x0
1, x有理数, D(x) = 0, x无理数.
13．求极限
lim
n→+∞
cos
x 2
cos
x 4
第三章 极限与函数的连续性
§1 极限问题的提出
§2 数列的极限
1. 用定义证明下列数列的极限为零：
(1)
lim
n→∞
n+1 n2+1
；
(2)
lim
n→∞
sin n
n
；
(3)
lim
n→∞
π n
；
(4)
lim
n→∞
n+(−1)n n2−1
；
(5)
lim
√ (n
+
1
−
√n)；
n→∞
(6)
lim
n→∞
10n n!
在xn
∈
X, n
=
1, 2, · · ·
，使 lim |f (x)| =
n→∞
+∞.
10．利用重要极限求极限：
(1)
lim
x→0
sin 2x x
；
(2)
lim
x→0
sin (sin
x2 x)2
；
(3)
lim
x→0
tan 3x sin 5x
；
8
(4)
lim
x→0
2
sin
x−sin x3
2x
；
(5)
lim
n→∞
9． 证 明 ： 若{an}，{bn}中 一 个 是 收 敛 数 列 ， 另 一 个 是 发 散 数 列 ，
则{an ± bn}是发散数列；又问{anbn}和
an bn
(bn = 0)是否也是发散数列？
为什么？
10．设xn = (−1)n，证明{xn}发散.
3
11．若a1, a2, · · · , am为m个正数，证明：
x→a
x→a
x→a
15．若 lim f (x) = A， lim g(x) = B，证明： lim [f (x)g(x)] = AB.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
16．证明 lim f (x)
x→+∞
=
A的 充 要 条 件 是 ： 对 任 何 数 列xn
→
+∞(n
→
∞)，有
f (xn) → A(n → ∞).
x→0
cos
5x−cos x2
3x
；
(6)
lim
x→0
tan
x−sin x3