第八章 波动(含电磁波)

t x y A cos[ 2 ( ) ] T

*三、平面波动方程的微分形式
x 由波动方程： y A cos [ ( t ) ] u 2 2 y x A 2 cos [ ( t ) ] 2 u x u
得：
2 y x 2 A cos [ ( t ) ] 2 u t
★ 波动
— 振动在空间的传播过程。
★ 声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波，它对应一种物
质波。波即可以是运动状态的传递 ( 而非物质的自身运动)，也 可以是物质本身的运动结果，甚至把波直接看作一种粒子。
★ 各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如声波需
要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，而光波有时可直 接把它看作粒子 — 光子的运动。
Байду номын сангаас
★ 简谐波具有空间和时间周期性：
空间上每隔λ的距离出现振动状态相同的点； 时间上每隔 T 的时间波形重复一次。
★ 平面简谐波的波动方程既适用于横波，也适用于纵波。
3. 波线上各质点的振动速度和加速度
x ) ] 得： 根据波动方程 y A cos [ ( t u y x ★ 速 度： v A sin [ ( t ) ] t u 2 y x 2 ★ 加速度： a A cos [ ( t ) ] 2 u t

x1
]
y A cos ( t 2

)
常量
波动方程波表示 x1 处质点的振动方程，
y
O 振动曲线
该质点的相位落后于O点
对应 y
2
x1

，
t
~ t 曲线为该质点振动曲线。
(2)
t 一定： t = t1 (常量) x x y A cos ( t1 2 ) A cos ( 2 t1 )
O
t
t + t
波动方程表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况。
y
u
x y A cos[ ( t ) ] u
t + t
x
O
t
★ 波动方程的物理意义
— 波动方程既描述了波线上各质点振动状态及相位差异， 又描述了随着时间的推移，波形以波速 u 沿传播方向传播的
情况，具有完整的波动意义。
一维波动方程的一般表示：
y y ( x, t )
(波函数)
x：质点平衡位置的坐标； y：质点 t 时刻的振动位移。
若波速 u 为恒量，则从整体上看，整个波以速度 u 向前
推进，所以又称这种波为行波（traveling waves）。 下面以横波为例说明平面简谐波的波动方程：
1. 沿 x 轴正向传播的波动方程
5.
λ、T、ν、u 的关系
u

T
(7-55)
★ 该式将波的空间周期性和时间周期性联系在一起。 ★ 波速 u 决定于介质； 频率ν决定于波源。 ★ 同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，
频率ν不变，波速不同， 因而波长 不同。
二、平面简谐波的波动方程
★ 波动方程 — 描述介质中各点振动位移随时间和平衡位置 变化的函数关系。
— 波传播过程中遇到障碍物能绕过其边缘传播的现象。
·
a
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3. 波的反射和折射
★ 波的反射(略) ★ 波的折射
用作图法求出折射波的传播方向： 折射定律的证明：
BC u1Δt sin i1 AC AC AD u2 Δt sin i2 AC AC
2. 波前 — 波源最初振动状态传播到各点所连成的面。
3. 波线 — 沿波的传播方向的射线。
在各向同性的均匀介质中：波线⊥波面。 根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波、柱面波等。
波面
波面 波线 波线
平面波
球面波
三、机械波的传播速度
1. 弹性绳或弦线上的横波波速
u横
2. 固体中的横波波速
T

P
★ 沿 －x 方向传播的波动方程：
x x O x Δ 2 u x 故 P点的振动方程为： y P A cos[ ( t ) ] u
t 时刻 P 点比 O 点相位超前：
x
x y A cos[ ( t ) ] u x y A cos[ 2 ( t ) ]
(3) 写出P点的振动方程：
x y P A cos[ ( t ) ] u
该式代表任意位置处质点的振动规律，即为波动方程。
波动方程：
利用关系式：
x y A cos [ ( t ) ] u 2 2 , u T T
(7-5 6)
得下述等价形式的波动方程：
★ 注意 振动速度 v 与波速 u 的区别：
v — 介质中各质点振动速度，是时间的周期函数； u — 波在各向同性的均匀介质中传播速度，是常数。
4. 波线上两质点之间的相位差
y1 A cos[ t 2
y2 A cos[ t 2
★ 相位差：Δ

x1
]
]
O

x2
x x
(7-52)
B－容变模量； －液体或气体的质量体密度。
电磁波的传播不需要介质,由电磁学可以导出电磁波在真空中 的传播速度(光速)是
c
1
0 0
0
真空磁导率
0
真空介电常数
四、惠更斯原理
1. 惠更斯原理
— 介质中波动到达的各点都可以看作发射子波的波源，
在其后任一时刻，这些子波的包络面就是新的波前。
y A cos [2 ( t
x

) ]
(7-57) 等。
t x y A cos [2 ( ) ] T x y A cos [ t 2 ]

2. 波动方程的物理意义
y A cos [ t 2
(1)
x
x 一定： x = x1 (常量)
T波 T振
波线上各质点每隔 T 时间完成一次全振动，T 反映了
波的时间周期性。
3. 频率
— 周期的倒数。
波 振
即单位时间内波传播的距离中包含的波长的数目(波数)。
4. 波速 u — 单位时间内波动所传播的距离。 即同相面或波前前进的速度，亦称 相速。
在各向同性的均匀弹性介质中，简谐波的u是常数， 仅由介质本身的性质决定。
波动方程表示 t1 时刻各质点位移分布， 称 t1 时刻的波形方程。


常量
y ~ x 曲线为该时刻波形曲线。
★ 波形曲线反映了横波、纵波的
y
u
P Q
各质点位移情况。
O
x
x
(3) x，t 皆为变量
x y P ( x , t ) A cos[ ( t ) ] u x uΔ t yQ ( x Δ x , t Δ t ) A cos [ ( t Δ t ) ] u
2 y 1 2 y 2 2 x u t2
得出平面波动方程的微分形式：
(7-65)
四、波动方程应用举例
例1：一平面简谐波沿x 轴正向传播，已知 A=1.0 m，T = 2.0 s，
= 4.0 m。t = 0 时坐标原点处质点位于平衡位置沿 y 轴正 向运动。求：(1) 波动方程； (2) t = 1.0 s 时波形方程并画 出波形图；(3) x = 1.0m 处质点的振动方程并画出振动图。
T －绳或弦中的张力； μ － 绳或弦的质量线密度。
u横
G
(7-50)
G －切变模量； －固体的质量体密度。

F切
3. 固体中的纵波波速
u纵
Y－杨氏模量；
Y

(7-51)
－固体的质量体密度。
∵ G < Y， 固体中 4. 液体和气体中的纵波波速
u横 < u纵 。
u纵
B

1. 波长 — 波线上两个相邻的相位差为 2 的质点间的距离。 横波波长： 相邻的波峰(或波谷)间距离； 纵波波长： 相邻的密部(或疏部) 中心间距离。 波线上每隔λ的距离出现相位差 2 、振动状态相同
的质点，λ反映了波的空间周期性。
2. 周期 T — 波前进一个λ的距离所需的时间。
§7－4 关于波动的基本概念
★ 机械波
— 机械振动在弹性介质中的传播。
一、产生机械波的条件
1. 产生机械振动的振源 (波源)
2. 传播这种机械振动的弹性介质 波动是波源的振动状态或能量在介质中的传播，介质中 质点并不随波前进，只在各自的平衡位置附近往复运动。
二、机械波的类型
横波 纵波 线性波 非线性波 脉冲波 持续波 简谐波 非简谐波
障碍物右边的 波的波源 好像在孔径处
5. 原理的局限性 ★ 没有说明子波的强度分布 ★ 没有说明子波不向后传播的问题
五、惠更斯原理的应用
解释波的传播、衍射(绕射)、散射、 反射、折射等现象。 1. 波的传播 平面波 球面波
t 波面
t + t 波面
t + t t
传播方向 传播方向
u t
2. 波的衍射 ( 绕射 )
2. 原理的核心 ★ 介质中波动到达的各点可视作新波源 ★ 提出了子波概念 3. 原理的依据 ★ 波动在介质中是逐点传播的 ★ 各质点作与波源完全相同的振动 4. 原理的应用 已知某时刻的波面和波速， 可确定下时刻的波面和传播方向。
★ 适用于各种波，如机械波、电磁波等 ★ 适用于非均匀的、各向异性的介质