《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第8章 电磁辐射

第8章 电磁辐射前面讨论了电磁波的传播问题，本章讨论电磁波的辐射问题。

时变的电荷和电流是激发电磁波的源。

为了有效地使电磁波能量按所要求的方向辐射出去，时变的电荷和电流必须按某种特殊的方式分布，天线就是设计成按规定方式有效地辐射电磁波能量的装置。

本章先讨论电磁辐射原理，再介绍一些常见的基本天线的辐射特性。

8.1滞后位在洛仑兹条件下，电磁矢量位A 和标量位ϕ满足的方程具有相同的形式222t ϕρϕμεε∂∇-=-∂ （8.1.1）J A A μμε-=∂∂-∇222t（8.1.2）我们先来求标量位ϕ满足的方程式（8.1.1）。

该式为线性方程，其解满足叠加原理。

设标量位ϕ是由体积元'V ∆内的电荷元'q V ρ∆=∆产生的，'V ∆之外不存在电荷，则由式（8.1.1）'V ∆之外的标量位ϕ满足的方程2220tϕϕμε∂∇-=∂ （8.1.3）可将q ∆视为点电荷，它所产生的场具有球对称性，此时标量位ϕ仅与r 、t 有关，与θ和φ无关，故在球坐标下，上式可简化为222210r r r r tϕϕμε∂∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂∂⎝⎭ （8.1.4） 设其解()(),,U r t r t rϕ=，代入式（8.1.4）可得 0122222=∂∂-∂∂tUv r U （8.1.5） 其中，με1=v 。

该方程的通解为(),()()r rU r t f t g t v v=-++ （8.1.6）式中的()r f t v -和()r g t v +分别表示以()r t v -和()rt v+为变量的任意函数。

所以q ∆周围的场为()11,()()r rr t f t g t r v r vϕ=-++ （8.1.7） 式（8.1.7）中第一项代表向外辐射出去的波，第二项代表向内汇聚的波。

在讨论发射天线的电磁波辐射问题时，第二项没有实际意义，取0=g ，而f 的具体函数形式需由定解条件来确定。

此时()1,()rr t f t r vϕ=- （8.1.8）为得到()r f t v-的具体形式，将式(8.1.8)与同样位于原点的准静态电荷元'V ρ∆产生的标量位()(0,)'4t V r rρϕπε∆∆=比较，可以看出应取()1(0,)',()4r t r v V r t f t r v r ρϕπε-∆∆=∆-=（8.1.9） 若电荷元'V ρ∆不是位于原点，而是位于'r ，则在场点r 处产生的标量位为()(,)1,'4t v t V ρϕπε''--∆=∆'-r r r r r r由场的叠加性可得体积V 内分布的电荷产生的标量位为()(,)1,'4Vt v t dV ρϕπε''--='-⎰r r r r r r （8.1.10）上式表明，t 时刻场点r 处的标量位，不是决定于同一时刻的电荷分布，而是决定于较早时刻t t v ''=--r r 的电荷分布。

换句话说，观察点的位场变化滞后于源的变化，所推迟的时间v '-r r 恰好是源的变动以速度με1=v 传播到观察点所需要的时间，这种现象称为滞后现象，故将式（8.1.10）表示的标量位(),t ϕr 称为滞后位。

由于矢量位A 所满足的方程在形式上与标量位ϕ所满足的方程相同，我们可将矢量位(),t A r 分解为三个分量，因而每个分量都应具有与式（8.1.10）相似的解。

故矢量滞后位可由下式表示()(,),'4Vt v t dV μπ''--='-⎰J r r r A r r r （8.1.11）对于正弦时变场，则式（8.1.10）和（8.1.11）的复数形式为1()()'4jk Ve dV ρϕπε'--'='-⎰r rr r r r （8.1.12）()()'4jk Ve dV μπ'--'='-⎰r r J r A r r r （8.1.13）式中2k πλ==为波数。

至此可以看出，根据天线上的电流分布来计算由其产生的电磁场的步骤是：利用式（8.1.13），由给定的J 求出A ，再根据=∇⨯B A 求得B ，最后由j ωε∇⨯=H E 求得E 。

8.2 电偶极子的辐射在几何长度远小于波长的线元上载有等幅同相的电流，这就是电偶极子。

关于电偶极子产生的电磁场的分析计算，是线形天线工程计算的基础。

设线元上的电流随时间作正弦变化，表示为()cos Re j ti t I t Ie ωω⎡⎤==⎣⎦如图8.2.1所示，电偶极子沿z 轴放置，中心在坐标原点。

元的长度为l 、横截面积为S ∆，故有d 'd d zz IV S z I z S '''=∆='∆J e e 用d 'z I z e 替换d 'V J ，得载流线元在点P 产生的矢量位为d 'z '-r r（8.2.1）考虑到l <<r ，故式（8.2.1）可近似为0()4jkrzIl r e rμπ-=A e （8.2.2） 它在球坐标系中的三个坐标分量为00cos cos 4sin sin 40jkrrz jkr z Il A A e rIl A A e r A θφμθθπμθθπ--⎧==⎪⎪⎪=-=-⎨⎪=⎪⎪⎩（8.2.3） 点P 的磁场强度为200sin sin 11sin r rr r r rA rA r A φθθφθθμμθφθ∂∂∂=∇⨯=∂∂∂e e e H A 将式（8.2.3）代入上式，得+q t -图8.2.1 电偶极子2200sin 14()r jkrH H k Il j H e kr kr θφθπ-⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎡⎤⎪=+⎢⎥⎪⎣⎦⎩（8.2.4）由麦克斯韦方程，P 点的电场强度200sin sin 11sin r rr r r j j rH rH r H φθθφθθωεωεθφθ∂∂∂=∇⨯=∂∂∂e e e E H将式（8.2.4）代入上式，得323032302cos 14()()sin 14()()0jkr r jkr Ilk j E e kr kr Ilk j j E e kr kr kr E θφθπωεθπωε--⎧⎡⎤=-⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎪=+-⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪=⎪⎪⎩（8.2.5）由式（8.2.4）和（8.2.5）可看出，电偶极子产生的电磁场，磁场强度只有H φ分量，而电场强度有r E 和E θ两个分量。

每个分量都包含几项，且与距离r 有复杂的关系。

8.2.1 电偶极子的近区场r λ<<即1kr <<的区域称为近区，在此区域中()()23111kr kr kr <<<< 且 1jkr e -≈ 故在式（8.2.4）和（8.2.5）中，主要是1kr的高次幂项起作用，其余各项皆可忽略，故得 3030cos 2sin 4rIl E j r Il E jr θθπωεθπωε⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（8.2.6） 2sin 4Il H r φθπ= （8.2.7）考虑到电偶极子两端的电荷与电流的关系()()d d q t i t t=，即I j q ω=，式（8.2.6）可表示为33003300cos cos 22sin sin 44e r e p ql E r r p ql E r r θθθπεπεθθπεπε⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩（8.2.8）式中的e p ql =是电偶极矩e q =p l 的振幅。

从以上结果可以看出，在近区内，时变电偶极子的电场表示式与静电偶极子的电场表示式相同；磁场表示式则与静磁场中用毕奥－沙伐定律计算出的恒定电流元的磁场表示式相同。

因此把时变电偶极子的近区场称为准静态场或似稳场。

由式（8.2.6）和（8.2.7）可计算出近区场的平均功率流密度1Re 02av *⎡⎤=⨯=⎣⎦S E H 此结果表明电偶极子的近区场没有电磁功率向外输出。

应该指出，这是忽略了场表示式中的次要因素所导致的结果，而并非近区场真的没有净功率向外输出。

8.2.2电偶极子的远区场r λ>>即1kr >>的区域称为远区，在此区域中()()23111kr kr kr >>>> 在式（8.2.4）和（8.2.5）中，主要是含1kr的项起作用，其余项均可忽略。

故得 20sin 4sin 4jkr jkrIlk E j e rIlk H j e r θφθπωεθπ--⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（8.2.9）将k =2k πλ=以及0η=代入式（8.2.9）得 0sin 2sin 2jkrjkr Il E j e rIl H j e r θφηθλθλ--⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（8.2.10） 可见，远区场与近区场完全不同。

我们根据式（8.2.10）对远区场的性质作如下讨论：（1）远区场是辐射场，电磁波沿径向辐射。

远区的平均坡印廷矢量为111Re Re Re 222av r E H E H θθφφθφ***⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯=⨯=⎣⎦⎣⎦⎣⎦S E H e e e 可见，有电磁能量沿径向辐射。

（2）远区场是横电磁波（TEM 波）。

远区的电场和磁场都只有横向分量()E H θθφφ==E e H e 、，E 与H 相互垂直，且垂直于传播方向。

E θ和H φ的比值为0120E H θφηπ==Ω（3）远区场是非均匀球面波。

相位因子jkr e -表明波的等相位面是r =常数的球面，在该等相位面上，电场（或磁场）的振幅并不处处相等，故为非均匀球面波。

（4）场的振幅与r 成反比，这是由于电偶极子由源点向外辐射，其能量逐渐扩散，（5）远区场分布有方向性。

方向性因子sin θ表明在r =常数的球面上，θ取不同的数值时，场的振幅是不相等的。

在电偶极子的轴线方向上(0)θ=，场强为零；在垂直于电偶极子轴线的方向上0(90)θ=，场强最大。

通常用方向图来形象地描述这种方向性。

图8.2.2是用极坐标绘制的E 面（电场矢量E 所在并包含最大辐射方向的平面）方向图，角度表示方向，矢径表示场强的相对大小。

图8.2.3是 H 面（磁场矢量H 所在并包含最大辐射方向的平面）方向图，由于电偶极子的轴对称性，因此在这个平面上各方向的场强都等于最大值。

图8.2.4是根据sin θ绘制的立体方向图。

显然，E 面方向图和H 面方向图就是立体方向图分别沿E 面和H 面这两个主平面的剖面图。

最后我们讨论电偶极子的辐射功率，它等于平均坡印廷矢量在任意包围电偶极子的球面上的积分，即1d Re d 2r av rs s P E H θφ*⎡⎤==⎣⎦⎰⎰S S eS2220001(sin )sin d 22r r Il r d rππηθθθφλ=⎰⎰e e 22320015()d sin d Il πππφθθλ=⎰⎰ 22240()lI πλ=可见，电偶极子的辐射功率与电长度lλ有关。