数列的极限

数列的极限

【知识概要】

1. 数列极限的定义

1）数列的极限，在n 无限增大的变化过程中，如果数列{}n a 中的项n a 无限趋向于某个常数A ，那么称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞

=. 换句话说，即：对于数列{}n a ，如

果存在一个常数A ，对于任意给定的0ε>，总存在自然数N ，当n N >时，不等式

n a A ε-<恒成立，把A 叫做数列{}n a 的极限，记为lim n n a A →∞

=.

注：① 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； ② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ③ 这里的常数A 是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(1)}n

-；

④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限；

⑤ “无限趋近于A ”是指数列{}n a 后面的项与A 的“距离”可以无限小到“零”.

例1 判断下列结论的正误

（1）若lim 0n n a →∞

=，则n a 越来越小；

（2）若lim n n a A →∞

=，且{}n a 不是常数数列，则n a 无限接近A ，但总不能达到A ；

（3）在数列{}n a 中，如果对一切n N ∈总有1n n a a +>，则{}n a 没有极限； （4）若lim n n a A →∞

=，则lim 0n n a A →∞

-=.

解：（1）不正确，例如：1

n a n

=-

，1n n a a +> （2）不正确，例如：2)21

n n a n n n ⎧⎪

=⎨⎪+⎩，（为偶数，（为奇数），lim 2n n a →∞

=.

（3）不正确，例如：1

1n a n

=-，1n n a a +>，但lim 1n n a →∞=.

（4）正确

2. 数列极限的运算性质

1）数列极限的运算性质

如果lim n n a A →∞

=，lim n n b B →∞

=，那么

① lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞

→∞

→∞

±=±=±；

② lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞

→∞

→∞

⋅=⋅=⋅；

③ lim lim (0)lim n n n n n n

n a a A B b b B →∞

→∞→∞

==≠. 特别地，如果C 是常数，那么lim()lim lim .n n n n n C a C a C A →∞

→∞

→∞

⋅=⋅=⋅

2）四种常见的重要极限

（1）lim n C C →∞

= （2）1

lim

0n n →∞= （3）lim 0(11)n

n q q →∞=-<< （4）1lim(1)n n e n

→∞+=

例2 下列命题中正确的命题是（ ） （A ）若lim n n a A →∞

=，lim n n b B →∞

=，则lim

n n n

a A

b B →∞=

（B ）若lim 0n n a →∞

=，则lim()0n n n a b →∞

=

（C ）若22

lim n n a A →∞

=，则lim n n a A →∞

=

（D ）若lim n n a A →∞

=，则22

lim n n a A →∞

=

解：选（D ）

例3 已知lim[(21)]2n n n a →∞

-=，求lim n n na →∞

.

解：1

lim lim(21)lim

21212

n n n n n n na n a n →∞

→∞

→∞=-⋅=⨯=-

例4 求下列数列的极限

（1）若*6

21,16()1,72

n n n n a n N n --≤≤⎧⎪

=∈⎨≥⎪⎩，则lim 0n n a →∞= ， lim 37n n S →∞=. （2）22

211

lim 232

n n n n n →∞+-=-+；

（3）1n =；

（4）211

lim 21n

n n n e

→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭； （5）1111

lim(1)(1)(1)(1)0;234n n →∞----=

（6）21231

lim 2

n n n →∞++++=.

3.数列极限常见的解题技巧

现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算法则求解。所谓的解题“技巧”，也就是如何变形的问题。

一般来说，关于n 的数列通项()n a f n =，如果仅仅只在底数的位置中含序号n ，往往变形为1

()F n ，利用1

lim

0n n

→∞=求解；如果仅仅只在指数的位置中含序号n ，往往变形成()n F q ，利用lim 0n n q →∞

=求解；如果既在底数的位置中含序号n ，又在指数的位置中含序号

n ，往往变形成1[(1)]n F n +的形式，利用1

lim(1)n n e n

→∞+=求解.同时遵循先化简再变形的原

则.

例5 若lim(34)8,lim(6)1n n n n n n a b a b →∞

→∞

+=-=，求lim(3).n n n a b →∞

+

解：根据3(34)(6)n n n n n n a b x a b y a b +=++-求解，可得lim(3) 3.n n n a b →∞

+=