数列极限的概念
数列极限方法
数列极限方法一、引言数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了一个数列当项数趋于无穷时的行为。
理解数列极限的概念是深入理解数学分析和其他数学领域的基础。
本文将介绍几种常用的数列极限的求解方法。
二、数列极限的基本概念一个数列 {an} 的极限定义为：对于任意小的正数ε，都存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|an - L| < ε恒成立，其中 L 为常数。
我们记作 lim(n→∞) an = L。
三、求解数列极限的方法1.直接观察法：对于一些简单的数列，我们可以通过观察它们的规律来直接得出极限。
例如，对于数列 {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}，显然有 lim(n→∞) 1/n = 0。
2.夹逼法：对于一个数列 {an}，如果存在两个常数 M 和 m，使得 m ≤ an ≤M 对于所有的 n 都成立，那么 lim(n→∞) an = M（或 lim(n→∞) an = m）。
这是因为对于任意的ε > 0，存在一个 N，使得当 n > N 时，M - ε≤ an ≤M + ε。
由于 m ≤ an ≤ M，我们可以得到 |an - M| < ε，即 lim(n→∞) an = M。
3.收敛的级数法：如果一个级数Σan 收敛到 S，那么其部分和 Sn 必定趋近于S。
因此，对于任何的 n，我们有 lim(n→∞) Sn = S。
特别地，如果级数的每一项都非负（或都非正），且级数收敛，那么该数列必定有界且单调。
4.洛必达法则：洛必达法则是求解极限的一种有效方法，特别适用于0/0型和∞/∞型的极限问题。
如果 f 和 g 在某点 a 的某邻域内可导，且 g' (a)≠0，那么 lim(x→a) f'(x)/g'(x) = f'(a)/g'(a)。
在数列的情境下，这可以被应用于求和公式的展开。
5.斯特林公式：斯特林公式给出了一个非负整数 n 的正整数次幂的阶乘与 n!的近似比。
第一节 数列极限的定义与性质
xn f (n)
然而，从二维角度考察，数列{ x n}可以看作XOY面
表现为一个散点图。
二、数列极限
1、数列极限定义 (1) 数列的散点图 在XOY平面上画出如下数列的散点图：
n （1） { n 1}
1 （ 3） { n } 2
n (1) n } （ 5） { n
n { 2 } （ 2） n {( 1 ) } （ 4）
( 0) . (用反证法证明)
（4）. 夹逼准则
(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 ,
当
当
时, 时,
令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
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例3. 证明数列 证: 用反证法. 假设数列
是发散的.
xn 收敛 ,
2
则有唯一极限 a 存在 .
取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时 , 有 2
a 1 xn a 1
但因
2
xn 交替取值 1 与－1 ,
2
而此二数不可能同时落在
2、收敛数列的性质
（1）. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
n
数列的极限
因为极限定义并不要求找到最小的N，而只要存在
一个N就可以了。
3）数列极限定义，并没有直接提供求数列极限的
方法，只能根据极限定义，验证给定的数列 {xn}
是否以A为极限。
3.数列以为极限的几何解释
从几何上看，数列{xn} 是数轴上的一串点
数学
数列的极限
1.1 数列的概念
定义1 按正整数编号，依次列起来的一系
数
x1, x2 , x3 ,叫, x做n ,数列，记作
{xn }
数列中的每一个数叫做数列的项，第n项叫
做数列的一般项或通项。
例如：
1 , 2 , 3 , n ,; 2, 4, 8, 2n , 2 3 4 n 1
1 2
,1 4
,1 8
,
1 2n
, ;
0,1,0,1,1 (1)n , 2
1.2 数列的极限
对于给定的数列 {xn}，我们所要研的
是，当 n 时，{xn} 数列的变化趋势， 即当 n 时，xn 是否无限趋近某一个确
定的数值。
1.数列极限的定义
定义2 设 是一{x个n}数列，A是一个定数。
果对于任意给定的正数 （不管它多么小），总存在正整
2
0
1.3 收敛数列的有界性
1. 数列的有界性 定义3 对于数列 {xn} ，如果存在正数M，使得一
切 xn 都满足不等式 xn M ，则称数列{xn} 是有界的，否则称 {xn} 是无界的。
2. 收敛数列的有界性
定理1 如果数列{xn} 收敛，则数列{xn} 一定有
界。（证明从略）
数学
数列的极限与数列的收敛性
数列的极限与数列的收敛性数列是数学中的重要概念，涉及到数列的极限和数列的收敛性是数学分析中的基础知识。
本文将详细介绍数列的极限的概念、性质及相关定理，并探讨数列的收敛性及其与极限的关系。
一、数列的极限的概念及性质数列的极限是数列中数项随着序号趋向无穷时的稳定值。
具体地说，对于数列{an}，若存在一个实数a，使得当n趋向无穷时，数列的每一项an都无限接近于a，那么称a为数列的极限。
记作lim(n→∞)an=a或an→a(n→∞)。
数列的极限具有以下性质：1. 极限唯一性：若数列{an}的极限存在，那么极限是唯一的。
2. 极限的有界性：若数列{an}有极限存在，那么该数列必定有界。
3. 极限的保序性：若数列{an}的极限存在，且a<b，则存在正整数N，使得当n>N时，有an<a和an<b成立。
二、数列极限的相关定理1. 夹逼定理：设{an}、{bn}和{cn}为三个数列，并且对于所有的n都有an≤bn≤cn成立。
若lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=a，那么lim(n→∞)bn=a。
2. 递推数列的极限存在性：设数列{an}满足an+1=f(an)，其中f(x)在x=a的某个邻域内连续且lim(x→a) f(x)=a。
那么数列{an}存在极限lim(n→∞)an=a。
3. 子数列的极限：若数列{an}有极限lim(n→∞)an=a，那么对于任意单调不减的正整数函数φ(n)，子数列{anφ(n)}也有极限lim(n→∞)anφ(n)=a。
三、数列的收敛性数列的收敛性是指数列是否存在极限的性质。
对于数列{an}，若存在一个实数a，使得当n趋向无穷时，数列的每一项an都无限接近于a，那么称数列{an}是收敛的；若不存在这样的实数a，则称数列{an}是发散的。
判断数列收敛的方法有多种，常用的有：1. 夹逼准则：若存在两个收敛数列{bn}和{cn}，且对于所有的n都有bn≤an≤cn成立，那么若数列{bn}和{cn}的极限都为a，则数列{an}的极限也为a。
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
考研数学数列极限内容概括及考点总结
考研数学数列极限内容概括及考点总结来源：文都教育数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。
一、数列极限1. 数列极限的定义设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列{}n a 收敛于A ，记为A ann =∞→lim 。
2. 收敛数列的性质（1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性.3. 极限存在准则（1）夹逼准则如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件：从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞→∞→lim lim ，则A b n n =∞→lim 。
（2）单调有界准则单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。
【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。
此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。
4. 重要结论（1）若lim lim n n n n a a a a→∞→∞=⇒=.（2）lim 0lim 0n n n n a a →∞→∞=⇔=.（3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a-→∞→∞→∞=⇔==.【考点一】数列极限的概念与性质例1设().lim 0,n n n n n x a y y x a→∞≤≤-=且为常数，则数列{}n x 和{}n y （ ）。
（A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散 （D ）都发散例2设(){}{}.lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞≤≤-=且和{}n a 均为数列，则lim nn a →∞ （ ）。
数列的极限概念与收敛性判定
数列的极限概念与收敛性判定数列作为数学中的一种重要概念，在许多领域中有着广泛的应用。
数列的极限概念与收敛性判定是数列研究中的重要内容。
本文将围绕这一主题展开讨论，分析数列的极限概念以及如何判定数列的收敛性，旨在深入理解数列的相关知识。
一、数列的极限概念数列的极限是指随着自变量趋于无穷大（或无穷小），函数值趋于某个常数。
对于数列{an}来说，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n大于N时，对应的数列值an与常数a的差的绝对值小于ε，即|an-a|<ε，则称常数a为数列{an}的极限，记作lim(an)=a。
在数列的极限概念中，数列的极限可以是有限的也可以是无限的。
如果数列的极限存在且为有限数，即满足lim(an)=a，则称数列{an}收敛于a。
如果数列的极限不存在或为无穷大或无穷小，即lim(an)不存在或为正无穷、负无穷或无穷小，则称数列{an}为发散数列。
二、数列收敛性判定的方法1. 有界性判定：如果数列{an}存在上界和下界，即存在常数M和m，使得对于任意的n，有m≤an≤M成立，则称数列{an}是有界的。
定理称为有界收敛定理：一个数列收敛的充分必要条件是它有界。
2. 单调性判定：如果数列{an}为单调递增数列且有上界，或为单调递减数列且有下界，则数列{an}收敛。
单调数列的收敛性可由单调有界原理来推导。
3. 函数逼近法：将数列的极限与函数的极限相联系，利用函数的性质进行判定。
例如，若数列{an}收敛于a，则函数f(x)在点a处连续。
4. 递推关系式判定：对于递推数列的情况，通过确定递推关系式，可以利用已知的数学方法判断数列的收敛性。
例如，斐波那契数列的极限存在且为无穷。
除了上述方法，还有一些特殊的数列判定方法，如柯西收敛准则、夹逼定理等，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行判定。
三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：数列的极限如果存在，则极限值唯一。
即如果lim(an)=a且lim(an)=b，那么a=b。
数列极限的定义证明
数列极限的定义证明一、引言数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的，数列极限是数列理论中的基本概念之一。
在数学分析中，数列极限的定义是数学推理的重要基础，也是许多数学定理的核心。
二、数列极限的定义数列极限的定义是指当数列的项趋向于某个值时，数列的极限就是这个值。
换句话说，对于数列{an}，如果对于任意给定的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε，那么数列的极限就是a。
三、数列极限的重要性1. 在微积分中，数列极限是导数和积分的基础。
在求导和积分的过程中，我们需要用到极限的性质和定义来推导出相应的公式和定理。
2. 在数学分析中，数列极限是许多重要定理的基础，如泰勒级数展开、函数极限和级数收敛等。
3. 数列极限的概念也被广泛应用于物理学、工程学和经济学等应用科学领域，用于描述各种现象和模型。
四、数列极限的例子1. 递推数列：考虑递推数列{an}，其中an=an-1+2，且a0=1。
我们想要求出数列的极限。
根据递推关系，我们可以得到a1=3，a2=5，a3=7，以此类推。
显然，数列的项随着n的增大而无限增大，所以数列没有极限。
2. 有界数列：考虑数列{an}，其中an=(-1)^n/n。
我们想要求出数列的极限。
当n为偶数时，an=1/n；当n为奇数时，an=-1/n。
显然，数列的项在n趋于无穷大时趋近于0，所以数列的极限是0。
3. 收敛数列：考虑数列{an}，其中an=1/n。
我们想要求出数列的极限。
对于任意给定的正实数ε，我们可以找到一个正整数N=1/ε，使得当n>N时，|an-0|<ε。
因此，数列的极限是0。
五、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：如果一个数列的极限存在，那么它是唯一的。
2. 数列极限的保号性：如果数列的极限大于（小于）0，那么数列中的项大于（小于）0的项的索引之后的所有项。
3. 数列极限的有界性：如果数列的极限存在，那么数列是有界的，即存在正整数M，使得对于所有的n，|an|<M。
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在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示 |xn－a| ＜ ε
n ＞N
④定义中的不等式|xn－a|＜ ε（n ＞N）是指下面
一串不等式
| xN 1 a | | xN 2 a | | xN 3 a |
1
2
n
1
0.8
0.6
,
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。
❖数列极限的通俗定义
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收
敛a,
记为
lim
n
xn
a.Leabharlann 例如 nlnlimimnnnn1111,,
n(
a2 n2 a2 n)
1 a2 nn
故 0
(若 n a2 则 a2 1) n
N
max1
,[a
2
]
则当n ＞N时，有
n2 a2 1 1 a2
n
nn
1
n
lim n2 a2 1 n n
例3. 证明
3n 2
1
lim 0
n n
k
例5
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
3n 2
lim
3
n n 2 4
适当予先限定 n＞n。是允许的！但最后取 N 时要保证n＞n。
. 例4.证明 lim 1 0 （K为正实数）
n n k
证：由于 1 0 1
nk
nk
所以对任意ε＞0，取N=
便有 1 0
nk
1
1 k
,
当 n＞N时,
例6 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , n ln q ln ,
n ln , ln q
取N [ ln ], ln q
|xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。
若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N
放大的原则： ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限
例 2 证明
lim n2 a2 1 n n
证明 | xn 1 |
n2 a2 1 n
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注
①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个 动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε
2
a
a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定
的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。
xn
A
A
A
● ●●
目的：
lim
n
{n (1)n1 } n
3, 3 3, , 3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
三、数列的极限
数列极限来自实践，它有丰富的实
A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积,
A3表示圆内接正24边形面积,
,
An表示圆内接正62n-1边形面积,
A123
.
显然n越大, An越接近于S.
因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
际背景.我们的祖 先很早就对数列
进行了研究，早在战国时期就有了
极限的概念
例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用 过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也 就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过 程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排 成一列, 如图所示,
（c11(k)） 其长度组成的数列为
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
例7
设xn
0,且 lim n
xn
a
0,
求证 lim n
xn
a.
证
任给 0,
lim
n
xn
a,
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
故 lim n
当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小.
当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意
小的正数.
因此,如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事先
给定的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近于常
数a.
下页
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
nnlliimm2211nn 00, , nlimnlimnn(n(1n)1n)n11 1.1.
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
lim
3
n n 2 4
分析，要使 3n2 3 12 12 （为简化，限定 n 3
n2 4
n2 4 n
只要 n 12
证.
0, 取
N
max12
,
3
当
n
>N
时有
3n 2 n2 4
3
12 n2 4
12 n
由定义
.
例例11. 证明 lim n(1)n1 1 .
证证证证明明明明
n
因因因为为为 000,,,
n NNN
[[[111]]]NNN,,,
当当当 nnnNNN时时时,,,
有有有
|xn1| |
n(1)n1 n
1|
1 n
第二章 数列极限
§2.1 数列极限的概念 §2.2 收敛数列的性质 §2.3 数列极限存在的条件
§2.1 数列极限的概念
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四 、应用数列极限的定义证明数列极 限的方法
一、概念的引入
引 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 例 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.
,
所以 lim n(1)n1 1 .
分 析 n:
n
|xn1|
|
n
(1)n1 n
1|
1 n
.
对对于于>>00,,要要使使|x|xnn11||,,
只只要要11 ,,
nn
即即nn11.. 下页
利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
•分析
当n无限增大时, xn无限接近于a .
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 .
xn
A
0, 要找到一个
自然数N使得n N时，有
A xn A
●
●
● ●
● ●
n>N
n
xn
越来越小，N越来越大！
A
A
A
n
N
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证
xn 1
n (1)n1 1 n
性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通
过ε的相对固定性来实现）。
③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。 重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的， 且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须 注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。 用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的ε，
•极限定义的简记形式
lim
n
xn
a
0,
NN,
当nN时,