数列极限的概念(经典课件)
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第二章 数列极限
引言:
在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。
§１ 数列极限的概念
教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。
教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小
数列等有关概念。会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：数列极限的概念。
教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学学时：2学时。
一、数列概念：
１．数列的定义：
简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。 若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。 若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,,
n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为
该数列的通项。 ２．数列的例子：
（1）(1)111:1,,,,
234n n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭
； （2）11111:2,1,1,1,435
n ⎧
⎫+
+++⎨⎬⎩⎭
（3）{}
2:1,4,9,16,25,
n ； （4）{}
11(1):2,0,2,0,2,
n ++-
二、数列极限的概念：
１．引言：
对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：
第１天截下
12，第２天截下2111222⋅=，第３天截下23111222⋅=，…，第n 天截下1111
222
n n -⋅=，… 得到一个数列：⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n
21： 231111
,,,,,2222n
不难看出，数列12n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的通项12n
随着n 的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。
据此可以说，数列12n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是收敛数列，０是它的极限。 数列{}{}
21,1(1)n n ++-都是发散的数列。
需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。
以11n ⎧⎫
+
⎨⎬⎩⎭
为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n 的无限增大，11n a n =+
无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n
+与１的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1
|11|n +-会任意小，只要n 充分大。
如：要使1
|11|0.1n +-<，只要10n >即可；
要使1
|11|0.01n
+-<，只要100n >即可；
任给无论多么小的正数ε，都会存在数列的一项N a ，从该项之后()n N >，1|11|n ε⎛⎫
+
-< ⎪⎝⎭
。即0,N ε∀>∃，当n N >时，1|11|n ε⎛⎫
+-< ⎪⎝⎭
。
如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：1
n ε
>
，取1
[]1N ε
=+即可。这样0,ε∀>当
n N >时，111|11|n n N ε⎛⎫
+-=<< ⎪⎝⎭
。
综上所述，数列11n ⎧⎫+
⎨⎬⎩⎭的通项11n +随n 的无限增大，
1
1n
+无限接近于１，即是对任意给定正数ε，总存在正整数Ｎ，当n N >时，有1|11|n ε⎛
⎫+-< ⎪⎝
⎭。此即11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
以１为极限的精确定义。 2．数列极限的定义：
定义1 设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞
=或()n a a n →→∞.
读作：当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a 。由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞
=或()n a a n →→∞.
若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列。 ３．举例说明如何用N ε-定义来验证数列极限： 例１．证明 为正数。
这里αα
,01
lim
=∞→n n 证明：0>∀ε，∃11
1
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=αε
N ，则当N n >时，便有εααα<<=-N
n n 1101，所以.01lim =∞→αn n
（注：这里取整保证N 为非负整数；1+保证N 为正整数。）
例２．证明 lim 0(||1)n
n q q →∞
=<.
证明：0>∀ε（不妨设1<ε），∃q
N lg lg ε
=
，则当N n >时，便有ε<=-n n q q 0，所以
lim 0(||1)n n q q →∞
=<.
(注：这里限制1<ε保证N 为正数，但这并不影响证明过程；N 并不一定是整数。) 例３．证明 321
lim
097
n n n →∞-=+.
证明：0>∀ε，12+⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=∃εN ，则当N n >时，便有ε<=≤+-=-+-2333
2
2791207912n n n n n n n ，所以321
lim
097
n n n →∞-=+.
例４．证明 2
2
3lim 33
n n n →∞=-. 证明: 由于)3(93933322
2≥≤-=--n n n n n ，因此，0>∀ε，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=∃ε9,3max N ，则当N n >时，便有ε<--33
32
2
n n ，所以223lim 33n n n →∞=-. 例５．证明
1n =，其中0a >.
证明：当1=a 时，结论显然成立.现设1>a ，记11-=n
a α，则0>α.由 )1(11)1(1
-+=+≥+=n
n
a n n a αα得n
a a n
1
11-≤-于是， 0>∀ε，ε
1
-=
∃a N ，则当N n >时，便有
ε<-1n
a
，所以1n =.