数列极限的概念及定义性质

局部 保号性
定理 3（收敛数列的 保号性）如果
lim
n
xn
a
且a>0(或a<0), 则总存在正整数N, 当n>N 时, 有
xn>0 (或 xn<0) .
xN +1, xN +2, xN+3,···
(
)x
a− a a+
推论 如果数列{xn}从某项起有 xn 0 (或 xn0), 且
lim
n
xn
a
则 a 0(或 a 0)
n n
lim(1)n 1 ? 0 .
n
n
例2
证明
(1)n
lim
n
(
n
1)2
0.
证 对 > 0,
取N
[1] 1 ,
则当
n>N
时,
有
|xn−0 |=
(1)n (n 1)2
0
1 (n 1) 2
1 n
<
,
(1)n
故
lim
n
(n
1)2
0.
为了简化解不 等式的运算,常 常把 | xn−a| 作 适当地放大.
给定0.001, 给定0.0001,
只要 n>1000时, 有 |xn−1|< 0.001, 只要 n>10000时, 有 |xn−1|< 0.0001,
给定 >0, 当 n N ( [1] )时, 有 |xn−1|< 成立.
定义2 设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给
定的正数 , 总存在正整数N, 使得当n>N时, 不等式
定义2 “ −N ” 定义
lim
n
xn
a
>
0,
正整数
N
,
当n
>
N
时,恒有
|xn− a |< .
例1*
设 xn=C (C为常数), 证明
lim
n
xn
C.
证 任给 > 0, 取 N = 1 , 则当n>N 时, 恒有
|xn− C |=|C− C | =0 < ,
所以,
lim
n
xn
C.
对一切自然 数 n 恒成立
当n无限增大时, xn 无限接近于1.
问题2 “无限接近”意味着什么? 如何用数学语言刻划“无限接近”
xn 无限接近于1. 就是说 | xn−1|可以任意小 , 要多么小就多么小,
n
1 n
给定0.01,
由
1 n
0.01,
只要n>100时,
有
|xn−1|<0.01,
用反证法
五、子数列及其收敛性
| xn−a |<
恒成立. 则称当 n 趋于无穷大时, 数列{xn} 以常数a 为极限, 记作
lim
n
xn
a,
或 xn a (n )
1 如果一个数列有极限, 就称这个数列是收敛的,
{xn}以a为极限, 亦称{xn}收敛于a ;
2如果一个数列没有极限, 就称这个数列是发散的,
习惯上也称
lim
n
xn
不存在.
数列极限的几何意义
a−
2
x2 x1 xN+1 a
a 的任意小 的邻域
a+
xN+2 x3 x
当n>N时, 所有的xn都落在(a−, a+ )内, 只
有有限个(至多只有N个)落在其外. 注：
(1) 是任意给定的, 但是一旦给出之后, 它就确定了.
用它来刻划 xn 与a 的接近程度 .
⑵ N 与 有关, 它随着 的给定而确定.
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
;
xn=2 n
xn
1 2n
1, 1, 1, 1, , (1) n+1,
xn = (1)n+1
2, 1 , 4 , 3 , 6 , 5 , , n (1)n1 , ;
23456
n
n (1)n1
xn
n
2, 2 2 , 2 2 2 , , 2 2 2 ,
§1.2 数列的极限
一、数列的概念 二、数列极限的定义 三、收敛数列的性质
一、概念的引入
求半径为R的圆的面积S 割圆术： ——刘徽
正六边形的面积S1 ,
正十二边形的面积S2 ,
R
正62 n1边形的面积S n ,
S1, S2, S3, ···, Sn , ···
S
二、数列的概念
整标函数
定义1 一个定义在正整数集合上的函数 xn=f (n), 当自变量n按正整数1, 2, 3, 依次增大的顺序取
四、收敛数列的性质
用反证法
定理 1 (极限的 唯一性) 如果数列{xn }收敛, 则它的 极限唯一.
证:
假设
lim
n
xn
a,
lim
n
xn
b,
且 a<b,
由定义,
对 = b a , 对 >0, 正整数N1 , N2 ,
2
当n >N1 时, 有 |xn− a |< , a− <xn<a+ ,
当n >N2 时, 有 |xn− b |< , b− <xn<b+ ,
例3 证明 limqn 0, 其中 0<|q|<1. n
证 对 > 0, 取 N=max{1, [log |q| ] },
则当n >N 时, 有
|xn−0|=| qn −0|= |q| n< n>log|q|
故 lim qn 0. n
用定义证数列极限存在时,关键是对任意
给定 > 0 寻找N, 但不必要求最小的N.
注 数列对应着数轴上一个点列.
xn 2 xn1
可看作一动点在数轴上依次取 x1, x2, ···, xn ,···.
x1 x3 x2 x4
xn
三、数列的极限
考察数列 {1 (1)n1 }当n 时的变换趋势
n
1 4 3 6 5 n (1)n1
2, , , , , , ,
,
23456
n
问题1 当 n 无限增大时, xn是否无限接近于某一 确定的数值? 如果是, 如何确定?
值时, 函数值按相应的顺序排成一串数:
{ x1, x2, ···, xn , ···}
或 f (1), f (2), f (3), , f (n),
称为一个无穷数列, 简称为数列. 记为{xn}或{f(n)}. 数列中的每一个数叫做数列的项.
xn 称为数列{xn}的通项或者一般项.
如 {2, 4, 8, ···, 2 n , ···}
取N =max{N1, N2 }, 则当n>N时,
a
2
b
b−
<
xn<
a+
a
2
b
,
矛盾!
假设错误, 故收敛数列极限唯一.
定理 2 (收敛数列的有界性) 如果数列{xn }收敛,
则它的一定有界.
xN +1, xN +2, xN+3,···
推论 无界数列必定发散.
(
)x
a− a a+
注意：有界性只是数列收敛的必要条件, 有界数列, 不一定收敛.
说明: 常数列的极限等于同一常数.
例1 证明数列
1 4 3 6 5 n (1)n1
2, , , , , , ,
,
23456
n
的极限是1 .
证
对
>
0,
取N
1
+1,
则当n>N 时, 恒有
|xn−1|
n (1)n1 n
1
1 n
?
<
,
故 lim n (1)n1 1.
n
n
n 1
lim 1 ? 0,