数列极限的定义
数列的极限-高中数学知识点讲解
数列的极限1．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）푛→∞2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．푛→∞（2）1/ 3【典型例题分析】典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛和．则푙푖푚푎푛=（）푛→∞1A．0 B．1 C．2D．2解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，∴a n＝2n﹣1．푛푛1∴푙푖푚2푛―1=푙푖푚2―1푎푛=푙푖푚푛→∞푛→∞푛→∞푛=12．故选：C．典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设 c n =1푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)的值；푛→∞（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，∴b n＝2a n+1，a1＝0，∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．2/ 3∴c n =1푛|푃1푃푛|=15푛⋅(푛―1)=115(푛―1―1푛)，∴c2+c3+…+c n =15[(1―112)+(2―113)+⋯+(푛―1―1푛)]=15(1―1푛)，∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚푛→∞푛→∞15(1―1푛)=5；5（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），∴数列{d n+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为 2，∴푑푛+푛=2푛，∴푑푛=2푛―푛．【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）1（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以n m 或a n．②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．③利用已知数列极限（如等）．④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．∞⑤∞﹣∞，∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．3/ 3。
数列的极限
2,4,8,16,,2n ,;
（3）
1,1,1,1,, (1)n1,. （4）
一、数列极限的定义
1.描述性定义：当n无限增大时，如果数列
yn无限接近一个确定的常数A，则称数列yn 的极限为A，记为：
lim
n
yn
A
或: yn A（n ）
此时也说数列yn收敛于A。
如： lim 1 0 n n
例：证明 (1) lim n (1)n1 1 (2) lim 4n 3 4
n
n
n 5n 4 5
注：N不是唯一的，我们只要说明它的存在，
没必要去求最小的 N.
N 论证法步骤： 1.对于任意给定的正数 ；
2.由| yn A | 开始分析倒推，推出n ( ) ；
n n 1
lim (1
n
1 2n
)
1
极限是微积分学的一个重要基本概念， 是研究微分学和积分学的基本方法。
§1 数列的极限
无穷多个数按一定顺序排成一列叫数列。
可以看成是以正整数为自变量的函数——整
标函数yn f (n) . 如：
1, 1 , 1 , 1 ,, 1 ,; 234 n
（1）
0, 1 , 2 , 3 , 4 , n 1,; （2） 2345 n
3.取 N [( )] ，再用 N 语言顺述结论。
注：并不是所有数列都有极限
例：数列 1，1，－1，1，，（－1）n ， 数列 1,4,9,16,, n 2 ,
发散
2.定理：数列yn收敛数列yn 有界。
但反之不成立。
（数列单调有界，则必有极限）
练习：证明 lim n 1
数列的极限的定义
数列的极限定义是描述数列中随着项数无限增加，数列值逐渐接近某个确定的值的概念。
数列 {a_n} 的极限定义如下：
假设有一个实数L。
对于任意给定的正实数ε（ε> 0），存在一个正整数N，使得当 n > N 时，对于数列的每一项 a_n，都满足 |a_n - L| < ε。
换句话说，对于给定的任意小的正数ε，总存在某个正整数N，使得当数列的项数大于 N 时，数列中的每一项和极限 L 的差的绝对值都小于ε。
以上定义可以解释为：当数列中的项数无限增加时，数列中的元素逐渐趋向于极限值 L，并且可以通过控制允许的误差ε来确定逼近的程度。
需要注意的是，数列的极限并不一定存在或唯一。
如果存在一个实数L 满足上述定义，我们称该数列收敛，并将L 称为该数列的极限。
如果不存在这样的L，则该数列发散。
数列的极限
数列的极限【知识概要】1. 数列极限的定义1）数列的极限，在n 无限增大的变化过程中，如果数列{}n a 中的项n a 无限趋向于某个常数A ，那么称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=. 换句话说，即：对于数列{}n a ，如果存在一个常数A ，对于任意给定的0ε>，总存在自然数N ，当n N >时，不等式n a A ε-<恒成立，把A 叫做数列{}n a 的极限，记为lim n n a A →∞=.注：① 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； ② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ③ 这里的常数A 是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(1)}n-；④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限；⑤ “无限趋近于A ”是指数列{}n a 后面的项与A 的“距离”可以无限小到“零”.例1 判断下列结论的正误（1）若lim 0n n a →∞=，则n a 越来越小；（2）若lim n n a A →∞=，且{}n a 不是常数数列，则n a 无限接近A ，但总不能达到A ；（3）在数列{}n a 中，如果对一切n N ∈总有1n n a a +>，则{}n a 没有极限； （4）若lim n n a A →∞=，则lim 0n n a A →∞-=.解：（1）不正确，例如：1n a n=-，1n n a a +> （2）不正确，例如：2)21n n a n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩，（为偶数，（为奇数），lim 2n n a →∞=.（3）不正确，例如：11n a n=-，1n n a a +>，但lim 1n n a →∞=.（4）正确2. 数列极限的运算性质1）数列极限的运算性质如果lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，那么① lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞±=±=±；② lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅；③ lim lim (0)lim n n n n n nn a a A B b b B →∞→∞→∞==≠. 特别地，如果C 是常数，那么lim()lim lim .n n n n n C a C a C A →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅2）四种常见的重要极限（1）lim n C C →∞= （2）1lim0n n →∞= （3）lim 0(11)nn q q →∞=-<< （4）1lim(1)n n e n→∞+=例2 下列命题中正确的命题是（ ） （A ）若lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，则limn n na Ab B →∞=（B ）若lim 0n n a →∞=，则lim()0n n n a b →∞=（C ）若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=（D ）若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=解：选（D ）例3 已知lim[(21)]2n n n a →∞-=，求lim n n na →∞.解：1lim lim(21)lim21212n n n n n n na n a n →∞→∞→∞=-⋅=⨯=-例4 求下列数列的极限（1）若*621,16()1,72n n n n a n N n --≤≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩，则lim 0n n a →∞= ， lim 37n n S →∞=. （2）22211lim 232n n n n n →∞+-=-+；（3）1n =；（4）211lim 21nn n n e→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭； （5）1111lim(1)(1)(1)(1)0;234n n →∞----=（6）21231lim 2n n n →∞++++=.3.数列极限常见的解题技巧现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算法则求解。
21数列极限的定义
( 1)n 1 0 . n 10
( 1) n 1 要 0 , 只 须 n 1000 . n 1000
1 ( 1) n 1 对 , 要使 . 0 ,只 须 n 1000000 1000000 n 1000000
……
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第二章：极限
2.1数列极限 以上还不能说明 们都还是确定的数。
liman a
n
0, N , 当n N时, 有 an a M .
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第二章：极限
(5) lim a n a与 lim a n a的比较
n n
n
2.1数列极限
lim an a 0, N , 当n N时, 有 an a .
对
( 1)n 1 n
任意小，并保持任意小，毕竟它
( 1)n 0 才 行 . 0, 要 使 n
由不等式有
1 1 ，故只须 n 即可。 n
1 1
即对 0, 自然数 [ ] ，当 n [ ]时，便有
( 1)n 0 . n
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n N
，设
f (n) an
，则
自变量： 1,2, L,2006 L, n, L , 函数值：a1 , a2 ,L, a2006 ,L, an ,L
表示为数列 { a n } ，
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an 为第n项或通项。
第二章：极限
例如：
( 1)n 1 1 1 1 ( 1)n , , , ,L , ,L : 1, 2 3 4 5 n n
ln ln ]. n , 取 N [ ln q ln q
数列的极限
数列的极限
一，数列极限定义
简单来讲就是：一个数列随着序数的增加最终会趋于或等于一个数，这个数就是数列的极限。
证明题要结合书上的公式
二，收敛数列的性质
1唯一性：收敛数列只有一个极限
2有界性：收敛数列一定有界。
(收敛数列最终都会趋于或等于一个数，所以有界)但有界数列不一定就是收敛数列，如-1，1，-1，1……,这个数列就是发散的，因为它同时趋于-1和1。
（有界是因为它的绝对值小于等于1，可参考上节所讲如何判定数列有界）这个数列同时说明了发散数列不一定无界。
3保号性：就是有一个数列，当其中一个数从它开始大于零，那么它之后的数都大于零。
推论：当一个数列存在某一个数大于零，那么这个数列的极限也大于零
4收敛数列与其子数列间的关系：如果一个数列收敛于A，那么它的任意子数列也收敛于A，但子数列收敛，原数列不一定收敛；子数列收敛于A，原数列不一定收敛于A，有可能原数列不收敛，可参考我在有界性中提到的例子，同时这个例子也说明一个发散的数列也可能有收敛的子数列。
数列极限
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
lim （2） 求 n
2n1 an 的值 2n an1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
lim C C （C为常数）
n
lim 1 0 n n
当 q 1 时 lim qn 0 n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平
2）“趋近”和“无限趋近”是不同的概念，无限趋近是指随n 的无
限增大，数列中的项与常数a的距离可以任意小；
3）若数列{an}的极限为a，则可以是从大于a的方向无限趋近 于a，也可以是从小于a的方向无限趋近于a，还可以是从a 的两侧摆动地无限趋近于a。
2.几个重要极限：
lim C C （C为常数） lim 1 0
数列的极限
１、数列极限的定义
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an} 的项an无限地趋近于某个常数a（即an-a无限地接近 于0），那么就说数列{an}以a为极限，或者说a是数列 {an}的极限。
记为: nliman=a. 也可记为：当n 时，an a。 注：1）数列的极限是仅对于无穷数列而言的；
(3) lim(
n
2 n2
4 n2
.....
2n ) n2
(4) lim ...........n
an (1 a) (1 an1 an1(1 a) (1 an
) )
(a
1)
例2：已知
lim n
(
3n2 an2
cn bn
1
4n)
5
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是 大于1的整数，c 是正数
数列极限定义
数列极限定义数列极限是数学中一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解数列中的模式，并且可以用来计算数列中的值。
数列极限的定义是指在某一序列中，当最大值或最小值不断接近某确定的值，最终在整个序列中被认为是收敛的，那么这个确定的值就叫做此序列的极限值。
首先要解释的是，极限是一种抽象概念，即无限接近某个特定值，而且在数列中不可能达到这个特定值。
即使数字在接近时不断变化，但它也不可能达到这个特定值。
而且，在任何一个具体极限值之前，必须先存在一种极限概念，它必须经过一定的程序才能到达最终的极限值。
不仅如此，在计算极限时，还必须考虑数列中的渐进现象。
渐进现象指的是数列中的值在接近最终值时不断变化，但是最终还是会达到最终值。
而当数列中的值不断变化时，极限值就会出现。
在计算极限时，还需要考虑以下情况：（1）对称性：对称性是指，如果两个数的差距越来越窄，那么它们的差距最终也可以假定为零。
（2）连续性：连续性是指在连续数列中，每一项的和和上一项的和之差也越来越小，最终可以假定为零。
（3）可数性：可数性是指当一个数列重复某一特定值时，它们的差距最终会变为零。
（4）可计算性：可计算性是指在只有有限个值的数列中，当它们的差距越来越小时，最终会变为零。
（5）极限类型的定义：只有当指定的数列重复接近某一定值时，才可以将其定义为极限。
例如，当一个数列的值接近但不等于零时，这个数列可以被定义为极限。
数列极限定义中还包括了一些其他概念，如极小、极大以及极大临界数，它们都是以极限为基础，能够帮助我们更好地了解数列。
极小就是指极限值降低，极大就是指极限值增加，而极大临界数就是极大值到达最大值的点，就像一个可以逆转数列的垂直线一样。
总的来说，数列极限定义是一个重要的概念，它可以帮助我们理解数列中的模式，并且可以用来计算数列中的值。
此外，在计算极限时，还必须考虑的一系列其他概念，如对称性、连续性、可数性和可计算性，这些概念可以帮助我们更深入地理解数列。
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一、概念的引入
1、截杖问题
庄子：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭.”
1, 2
1 22
,
1 23
,
,
1 2n
,
第2页/共32页
2、割圆术：
“割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割,
(2)
lim要xn11 10000,
只要 n 10000 ;
任意给定
0,
要
xn
1
成立 ,
只要
n
N
1
.
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定义 若存在常数 a, 使对任意给定的 >0, 总存
在正整数 N , 当 n >N 时, 恒有|xna|<, 则称常数
a 是数列 ( xn )n1 当 n 时的极限(limit)或者称
证
xn
a
2n 1 3n 1
2 3
7 3(3n 1)
7 9n
1 n
对 0,
取
N
1
,
则当n N时,
总有 2n 1 2 1 ,
3n 1 3 n
lim 2n 1 2 . n 3n 1 3
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用定义证明
lim
n
xn=
a，就是证明对
>0，N存在.
证明的步骤：
当 n N 时 , 所有的点 xn 都落在开区间 (a , a )内 ,
只有有限个(至多只有 N 个)点落在其外.
推论 数列 ( xn )n1 收敛于 a
对 a 的任一 邻域 U(a, ) , 只有有限多项 xn U(a, ) .
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例1 证明 lim n (1)n1 1.
数列 ( xn )n1 收敛于 a.
记为
lim
n
xn
a
,
或 xn a (n )
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
N定义 :
lim
n
xn
a
0,N Z ,使n N时,恒有 | xn a | .
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
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几何意义:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
x1 3 , xn1 3 xn .
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注意： 1. 数列对应着数轴上一个点列. 可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,. x3 x1 x2 x4 xn x
2. 数列是整标函数 xn = f ( n ). 数列实质上是定义在正整数集上的函数：
xn = f ( n )，n Z+
ln | q |
恒有| qn 0 | ,
limqn 0. n
0 | q | 1
lim
qn
n
1
| q | 1 q1
不存在 q 1
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例4 求证 lim n a 1 (a 0). n lim n n 1 n
两个常用结论：
(1)
lim
n
an
a
lim
n
ank
a.
(k为某个正整数)
观察数列
(1
(1)n1 n
)n1
当
n
时的变化趋势.
播放
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三、数列的极限
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？ 把n无限增大这个重要的变化过程记为 n. 当 n 时, xn 的变化趋势分为三类： 1) xn 无限接近于某个确定的常数 a . 2) xn 无限增大 , 即趋向无穷大. 3) xn 没有确定的变化趋势.
n
n
证
xn a
n (1)n1
1
n
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
即n 1,
对
0,
取
N
1
,
则当n N时,
总有 n (1)n1 1 1 ,
n
n
n (1)n1 lim
1.
n
n
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例2 证明 lim 2n 1 2 . n 3n 1 3
(1) 对于任意给定的正数 , 令 |xna|< ; (2) 由上式开始分析倒推, 推出 n > () ; (3)取N=[ ()] , 再用 N语言顺述结论.
注意: (1)由于N 不唯一,不要求最小的N,故可把 |xna|适当放大,得到一个新的不等式,再寻找 N.
(2)从 |xna|< 找 N 与解不等式 |xna|< 意义不同.
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问题: “无限接近”意味着什么? 如何用数学语言刻划它?
考虑
xn
1
(1)n1 n
,
xn 1 (1)n1 1 1 nn
给定 1 , 100
要
xn
1
1 100
,
由1 1 , n 100
只要 n 100 ;
给定 1 , 1000
要
xn
1
1 1000
,
只要 n 1000 ;
给定 1 , 10000
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例如: 1) 2,4,8,,2n ,, xn 2n ;
(2n )n1
2) 1, 1,1,,(1)n1 ,,
xn (1)n1 ;
(
(1)n1
)
n1
3) 2, 1 , 4 , 3 , 6 , 5 ,,
2 3 456
xn
n
(1)n1 n
;
n (1)n1 n
n1
4) 3, 3 3, 3 3 3,, 3 3 3 ,
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三、数列的极限
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？
把 n 无限增大这个重要的变化过程记为 n.
当 n 时,
xn
1 (1)n1 n
无限接近于 1 .
当 n 时, xn 2n 无限增大 .
当 n 时, xn (1)n 没有确定的变化趋势 .
第7页/共32页
第15页/共32页
例3 证明 lim qn 0,其中| q | 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则lim qn lim 0 0;
n
n
若0 | q | 1, | xn 0 || q |n ,
nln | q | ln , n ln ,
ln | q |
对1 0, 取N ln , 则当n N时,
则与圆周合体而无所失矣”.
——刘徽
正六边形的面积 A1,
正十二边形的面积 A2,
R
正6 2n 1边形的面积An,
A1, A2, A3, , An, 圆面积 A.
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二、数列的定义
数列定义 按照某一法则, 对每个自然数 n, 都有确 定的实数xn与之对应, 这列有序的数：
x1 , x2 , ... , xn , ... 称为数列 (sequence), 数列中的每个数叫做数列的项, 第 n 项 xn 叫做数列的一般项或通项. 数列 x1 , x2 , ... , xn , ... 简记为 ( xn )n1