12数列极限
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果不存在这样的常数a, 就称数列{xn }无极限, 或者说数列{xn }
是发散的,
或者说 lim n
xn
不存在.
如果任意给定的数 0,(反映接近程度)
总存在变化过程的某一时刻N(N＝N( )), 使从这以后, (即只要 n N（）, ) 有 xn A 成立.则可以说｛xn｝无限接近A。
“ N”定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,当n N时, 恒有 xn a .
几何解释:
a 2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
存在N n N时, 所有的 xn都落在(a , a )内,
只有有限个 (至多只有N 个)落在其外.
例1 证明 lim n (1)n1 1.
总存在变化过程的某一时刻N(N＝N( )), 使从这以后, (即只要 n N（）, ) 有 xn A 成立.则可以说｛xn｝无限接近A。
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在
正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,不等式 xn a 都 成立,那末就称常数a 是数列 xn 的极限,或者称数列 xn 收敛 于a ,记为
即
x1 , x2 ,....., xn1 ,...., xn2 ,....xn3 ,...
子数（序）列 xn1 , xn2 , xn3 ,...
注意: 在子数列{ xnk }中, 一般项 xnk 是第 k 项, 而 xnk 在原数列{ xn }
中却是第nk 项, 显然, nk k.
定理5. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
先后次序,这样得到的一个数列称为原数列{xn }的子数列(或子列)．
例如在数列 { xn } 中, 第一次抽取 xn1 , 第二次在 xn1 之后抽取 xn2 ,
第三次在 xn2 之后抽取 xn3 , , 依次无休止地抽取下去, 得到一
个数列 {xnk }
xn1 , xn2 ,
, xnk , ,
则数列 {xnk } 就是数列 { xn } 的一个子列.
§1.3 数列的极限
一. 数列 极限的定义 二 数列极限的性质
一. 数列 极限的定义
1、引例 （1）割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 ——刘徽 不可割，则与圆周合体而无所失矣”
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正 6 2形n1的面积
An
设有半径为 r 的圆 ,
如图所示 , 可知n边形面积
xn a 1,
从而 xn
a
xn a xn a
xn a a
1 ,
a
=
取＝1 , 则
a
xn
a ,
故 lim n
xn
a.
二 数列极限的性质
• 极限存在唯一性 • 收敛数列一定有界性 • 收敛数列具有保号性 • 收敛数列的任一子数列收敛于
同一极限
1.极限存在唯一性
xn
定理1. 收敛数列的极限唯一. ( ( ) ( ) ( ) )
n
n
n
例2. 已知
证明
证: xn 0
0 (0,1), 欲使
(n
1 1) 2
1 n 1
只要
1
n 1
,
即
n
1 1.
取 故
N lim
n
[1
xn
1] , lim
n
则当 n (1)n (n 1)2
N 0
时,
就有
xn 0 ,
也可由 xn 0
(n
故也可令 1
n
1 1)2
取
N
取
1 N [
从而有
xn a a 1 a
取 M max x1 , x2 , , xN , 1 a
则有 xn M ( n 1, 2 , ) . 证毕
说明: 此性质反过来不一定成立 .
例如, 数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
定理3. 收敛数列具有保号性.
若
且
( 0),
时, 有
( 0).
i1
1 n3
1 6
n(n
o 1)(2n 1)
1 (1 1)(2 1) 1
6n n
3
i 1x
n
Sn的极限是我们欲求的面积
切线---割线的极限位置
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
曲线的切线斜率
要使 q n1 , 取对数得(n 1)ln q ln , 分 因为 q 1, ln q 0, 所以 n 1 ln , 析
ln q
因此，对
0 (设
1),
取
N
1
ln
ln q
,
则当n N时, 就有qn1 0 , 即 lim qn1 0. n
例4
设xn
C (C为常数),
1, e ?
当n 无限增大,
xn
1
(1)n1 n
是否无限接近于 1？
问题: 当 n 无限增大时, 数列{ xn }是否无限接近于某
一确定的数值? 如果是, 如何用数学语言描述?
方法: 两数之间的接近程度可以用两数之差的绝 对值(即距离)来表示.
例
对数列1
(1)n1 n
,
因为
xn
1
(1)n1
1 n
着一个确定的实数 xn, 这些实数 xn 按照下标 n 从小到大排列得到一个序列 x1, x2 ,, xn , 就 叫做数列, 简记为数列{ xn }.
数列中的每一个数叫做数列的项, 第n 项 xn 叫做 数列的一般项.
例如
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
记为
1 2n
;
一般项
1,1,1,, (1)n1 ,;
n
r
A＝B n
62n1
当n 越大, 内接正多边形与圆的差别越小,
当n 无限增大时(n ), 内接正多边形无限接近于圆,
因此其面积An 无限接近圆的面积 S
(但是无论 n 如何大, An 只是多边形的面积S,
R
An 永远不等于周的面积)
A1 , A2 , A3 ,, An , S
{ An } S
1, n
无限接近即距离无限变小，
要多小总可以达到（变到）多小
如
给定
1, 100
由
1 n
1, 100
只要
n
100时,
有
xn
1
1 n
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给
定
1 107
,
只要 n 107时,
有
xn
1
1 107
,
引入符号 和N来刻划接近程度和变化过程的某一时刻。
曲线
在 M 点处的切线 y y f (x) N
割线 M N 的极限位置 M T
CM
T
割线 M N 的斜率
tan
f (x) f (x0 ) x x0
o x0 x x
f (x) f (x0 ) 的极限是 切线 MT 的斜率
x x0
k tan.
2、数列的定义
如果按照某一法则, 对每一个 n N , 对应
证: 设数列
{(1)n1 };
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
23
n
n (1)n1
n
;
3, 3 3,, 3 3 3 ,
xn1 3 xn
从几何上看,
x3 x1 x2 x4 xn
数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动点 在数轴上依次取 x1, x2 ,, xn ,.
数列是自变量取正整数的函数 xn f (n)(n N ).
证: 对 a > 0 , 取
且当
lim
n
xn
a
0,N 0,当n N时,恒有 xn a .
综合得书例4
可以证明
若
且
时, 有
定理3. 收敛数列具有保号性.
若
且
( 0),
时, 有
( 0).
逆否命题
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
4.子列收敛性
子数列的定义:
在数列{xn }中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{ xn }中的
故存在 N1 , 使当 n > N1 时, 故存在 N2 , 使当 n > N2 时,
当 n > max(N1, N2 _)时, 矛盾!
证: 用反证法. 假设
及
且 a b.
取
因
lim
n
xn
a,
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xn
a
2
b
.
(1)
同理,
因
lim
n
xn
b, 故存在 N2 ,
从而
xn
ab 2
1 1
]
N 与 有关, 但一定不唯一. 且不一定取最小的 N .
注:
利用定义证明某数是数列的极限时, 关键
在于 0, 指出N 确实存在, 但不需要寻找最
小的 N .
例3 设 q 1, 证明等比数列1, q, q2 ,, qn1, 极限是0. lim qn1 0
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1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
数列的极限
n 2 2n 2. lim 2 n 2n - n 3
n
n n - n 1 3. lim n n
4 3 4
6. lim 2
n
n 2 1
4. lim( n2 n 1 - n)
n
19
当 n , 此数列的极限为 0 . 由于 -1
n 1
1 1 -0 n n
1 要使 多么小, 只需 n 增大到一定程度即可. n 1 1 n 1 1 10 如要使 - 1 只需 n - 0 0.1 0 .1 n n 1 1 n 1 1 要使 - 1 - 0 0.01 只需 n 0.01 100 n n
1.3 数列的极限
一、数列的概念
数列、 数列的几何意义
二、数列的极限
极限的定义、 数列极限的几何意义
三、收敛数列的性质
极限的唯一性、有界性、有序性和保号性 收敛数列与其子数列间的关系
四、计算数列的极限
1
一、数列的概念
一个实际问题 用渐近的方法求圆的面积：
用圆内接正多边形的面积近似（逼近）圆的面积：
n n n
16
讨论：
1 ．对某一正 e 0 ， 如果存在正整数N ， 使当 n>N 时，有 |xn- a|< e0． 是否有 lim xn a
n
?
2．如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界．发散的数 列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
3．数列的子数列如果发散， 原数列是否发散 数列的两
个子数列收敛，但其极限不同， 原数列的收敛性如何 发散的 数列的子数列都发散吗？ 4．如何判断数列 1，-1，1，-1， … ，(-1)n+1， … 是发散的？
第1节 数列的极限
因 交替取1和-1， 而此二数不可能同时落在长
度为1的开区间
内， 故数列 发散。
第2章
极限与连续
【定理2】收敛数列一定有界 证 有 设
取
， 存在 N ， n N 时 当
取
则有 证毕.
第2章
极限与连续
说明 例如
此性质反过来不一定成立
{(1 ) n1} 虽有界但不收敛 数列
第2章
极限与连续
“ yn 无限接近于 a ”不等价于“ yn 与 1 a 越来越近”。 如 数列 yn 1 n 在其变化过程中，yn 与0也越来越近， 但极限并不为0。为什么？
7/29/2013 11:12 PM
说明
第2章
极限与连续
若对任意给定 【定义 2.2】 已知数列 yn ， 的正数 ， 总存在一个正整数 N ， n N 时， 当 有 yn A 恒成立，则称当 n 趋于无穷大时， 数列 yn 以常数 A 为极限。 记作
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
a 与 b 无限接近
a b 无限小
a b 小于任意给定的小正数
yn无限接近于１，即为
yn 1 小于任意给定的小正数
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
是在 n 数列 yn 无限接近于确定的数 a ，
无限增大的变化过程中实现的。
k
lim x 2 k 1
k
数列发散.
第2章
极限与连续
内容小结 1.数列
2.数列的极限 ------利用定义证明
3.收敛数列的性质
7/29/2013 11:12 PM
12数列的极限
对 lim n 1 1分析. n n
表示“任意”或“任意给 定”.
令
xn
n n
1,
1
|
xn
1 |
. n
lim
n
xn
1
本质:
对于 的小正数 e , 当 n 大于某一正整数 N 时， | xn 1 | 总小于小 正数 e。
当 n 无限增大时， xn 无限接近常数 1; 当 n 无限增大时， | xn 1 |无限接近常数 0;
例如：
2, 3 , 4 , , n1 , 23 n
lim , 1 ,
,
2
1 (1)n
lim
不存在。
n 2
n无限增大时，数列的项 无限
接近于常数a
，则 lim
n
xn
a
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二、数列极限的定义
"" 表示“存在” ；""
lim
n
3n2
n
1
5 7
解
原式
lim
n
n 3
n2 1
1
00
n n2
0
lim
n
5 n
lim
n
7 n2
1
1
lim
n
3
lim
n
n
lim
n
n2
300
1.
lim(
n
xn
yn )
lim
n
xn
lim
n
yn
求数列极限的十五种解法
1
；
0
0 n1
n1
1 x
1 x (1 x)2
而 S(x) x f (x) x ；因此，原式= S(a1) a1 ．
(1 x)2
(1 a1 )2
9．利用级数收敛性判断极限存在 由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此
数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．
求数列极限的十五种方法
求数列极限的十五种方法
1．定义法
N 定义：设{an} 为数列， a 为定数，若对任给的正数 ，总存在正数 N ，使得当 n N 时，
有
an
a
，则称数列
{an
பைடு நூலகம்
}
收敛于
a
；记作：
lim
n
an
a
，否则称{an} 为发散数列．
1
例 1．求证： lim an 1，其中 a 0 ． n
列以外的数 a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性．
3．运用单调有界定理
单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．
例 5．证明：数列 xn a a a （ n 个根式， a 0 ， n 1, 2,
证：由假设知 xn a xn1 ；① 用数学归纳法可证： xn1 xn , k N ；② 此即证 {xn} 是单调递增的．
n0
n0
n
令 Sn
xk1 xk
xn1
x0
，∵
lim
n
Sn
存在，∴
lim
n
xn1
x0
lim
n
Sn
l
（存在）；
k 0
对式子：
12数列的极限
定义 设数列{ xn }, 若存在常数a , 对于 e>0
正整数 N，使得当 n > N 时，不等式
|xna|e
都成立，则称a
是数列
xn
的极限，记为
lim
n
xn
a
说明1 e 是任意给定的一个小正数, 只有这样
|xna|e才能刻画 xn a.
说明2 N 一般是和e有关的 , 常随着e的减小而增大.
2 3
解 原式 lim n
n 13
n
lim2 lim 3
n
n n
lim 1 lim 3
2 0
0 3
2 3
n n
n
1. n li m (x n y n ) n li m x n n li m y n
2. n li m x nynn li m xnn li m yn
例1. 已知
xn
(1)n (n 1)2
,
证明 nli mxn 0.
证:
xn 0
(1)n (n 1)2
0
1 (n 1)2
1 n
1
e(0,1),欲使
取 N 1 1 ,
xn 0
e, 只要
n
1
则当 n>N时, 就有
e
(1)n
e , 1 xn 0
数列 { xn 2n } 无界.
注 数列的通项 xn 实质上是n的函数, 即
xnf(n), n N
数列{ xn }有界即为 f (n) 有界!
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定理2. 收敛数列一定有界 说明: 1) 逆命题不成立. 例如, 数列 1,0,1,0, 虽有界但不收敛 . 2) 逆否命题成立. 即：无界数列一定发散
高等数学 第二节 数列的极限
"" 表示"至少有一个" 或"存在".
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
高等数学12数列的极限
数列极限的保序性〔保号性〕
定理 设
3
〔保序性〕假
lni m xna,lni m ynb，且
a b，那 N N , nN ,有 xn yn .
么
证明：
lni m xna,lni m ynb，且 a b.
取 a b , 由极限定义知：
2
a b a b N 1 N , n N 1 ,|x n a |2 x n2
lim 1 1
y n n
b
证明略。
数列收敛的判别准那么
准那么 I. (夹逼定理/两边夹定理) 有三个数列，假
设 (1) yn xn zn ( n 1, 2, L)
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
lim
n
xn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1 0, N2 0,
当 n N1 时, yn a ; 当 nn NN22 时, zznnaa ; .
定理6 也称为连续性公理。
单调数列
定义 4 如果数列{ x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递增数列。 如果数列 { x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递减数列。 这两种数列统称单调数列。
令 N max N1 , N2, 那么当n N 时, 有
a yn a , a zn a , 由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a ,
故
lim
n
xn
a
.
例： 证明 lim ( 1 1 1 )存在，
n n2 1 n22
高等数学第六版第一章第二节数列的极限
32
3) 绝对值不等式
| xn a | a xn a ,( n N )
则表明 xn 与a可以无限接近.
4) lim xn a 的几何意义: n a 2
x2
x1
a
xN 2
x
xN 1
a
x3
当n > N 所有的点
xn
都将落在 (a , a ) 内，
1. xn 1
n 1 1
n
n 1
xn 0
(1) n 2 n
2n 1 2. xn n 3. xn 2n
xn 2 xn
4. xn 1n1
xn 在－1 与 1 之间跳动
xn 的变化趋势只有两种： 观察可见： 不是无限地接近
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。
上式两边同时乘以q 有：
(1)
(2)
qS n a1q a1q 2 a1q 3 a1q n
上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：
(1 q) S n a1 a1q n a1 (1 q ) 当 q 1 时 Sn 1 q
n
12
引例3 观察下列数列的变化趋势: 当n 时
x1, x2, x3, , xn ,
称为数列， 其中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称为数列的一般项（或通项）， 下标 n (n 1,2,) 表示数列的项数。 数列简记为
xn 或 x n (n 1,2,)
5
数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动点在数轴 上依次取 x1, x2, x3, xn
定义3 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 则称该数列
3) 绝对值不等式
| xn a | a xn a ,( n N )
则表明 xn 与a可以无限接近.
4) lim xn a 的几何意义: n a 2
x2
x1
a
xN 2
x
xN 1
a
x3
当n > N 所有的点
xn
都将落在 (a , a ) 内，
1. xn 1
n 1 1
n
n 1
xn 0
(1) n 2 n
2n 1 2. xn n 3. xn 2n
xn 2 xn
4. xn 1n1
xn 在－1 与 1 之间跳动
xn 的变化趋势只有两种： 观察可见： 不是无限地接近
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。
上式两边同时乘以q 有：
(1)
(2)
qS n a1q a1q 2 a1q 3 a1q n
上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：
(1 q) S n a1 a1q n a1 (1 q ) 当 q 1 时 Sn 1 q
n
12
引例3 观察下列数列的变化趋势: 当n 时
x1, x2, x3, , xn ,
称为数列， 其中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称为数列的一般项（或通项）， 下标 n (n 1,2,) 表示数列的项数。 数列简记为
xn 或 x n (n 1,2,)
5
数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动点在数轴 上依次取 x1, x2, x3, xn
定义3 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 则称该数列
高等数学基础第二章
高等数学基础
第二章 极限与连续
1.极限的概念 2.极限的运算 3.两个重要极限 4.函数的连续性
第一节 极限的概念
一、数列的极限
首先看下面三个无穷数列 a n
（1）1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
…
1 n
…
（2） 0, 12，32，43， ..， .nn1，…
（3）
1,1,1, 1 2 4 8 16
f
(x)
1
2 x
x0 0 x2 x2
在x=0和x=2处的极限是否存在(图2-7为函数图像)。
解 在x=0处左极限
lim f(x)li( m x 1 ) 1
x 0
x 0
右极限 lim f(x)lim 11
x 0
x 0
可见，左、右极限存在且相等，所以，极限 limf x 1 x1
在x=2处左极限
（1）
1 lxi mx
00
（2） limqx 0 q 1 x
（3） limCC （C是任意常数） x
x x0
f x
我们讨论当 x无限趋近于1 时，函数 fx2x1的变化趋势。为此列出表2-2， 并画出函数 fx2x1的图象（如图2-6）。
f(x)2x1 f(x)2x1
f(x)2x1 3
lim (2x1)3
可约去不为零的因子 x2 ，所以
lim x 2 lim x 2 lim 1 1 x 2x 2 4x 2(x 2 )x ( 2 ) x 2x 24
例4 求
3x2 5x lim x x2 1
解 当 x 时，分子、分母都趋向无穷大，这类极限称为 型未定式，
当然商的极限法则不适用，通常需要把式子变形。用分子、分母的
第二章 极限与连续
1.极限的概念 2.极限的运算 3.两个重要极限 4.函数的连续性
第一节 极限的概念
一、数列的极限
首先看下面三个无穷数列 a n
（1）1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
…
1 n
…
（2） 0, 12，32，43， ..， .nn1，…
（3）
1,1,1, 1 2 4 8 16
f
(x)
1
2 x
x0 0 x2 x2
在x=0和x=2处的极限是否存在(图2-7为函数图像)。
解 在x=0处左极限
lim f(x)li( m x 1 ) 1
x 0
x 0
右极限 lim f(x)lim 11
x 0
x 0
可见，左、右极限存在且相等，所以，极限 limf x 1 x1
在x=2处左极限
（1）
1 lxi mx
00
（2） limqx 0 q 1 x
（3） limCC （C是任意常数） x
x x0
f x
我们讨论当 x无限趋近于1 时，函数 fx2x1的变化趋势。为此列出表2-2， 并画出函数 fx2x1的图象（如图2-6）。
f(x)2x1 f(x)2x1
f(x)2x1 3
lim (2x1)3
可约去不为零的因子 x2 ，所以
lim x 2 lim x 2 lim 1 1 x 2x 2 4x 2(x 2 )x ( 2 ) x 2x 24
例4 求
3x2 5x lim x x2 1
解 当 x 时，分子、分母都趋向无穷大，这类极限称为 型未定式，
当然商的极限法则不适用，通常需要把式子变形。用分子、分母的