数列的极限-高中数学知识点讲解
高中数学数列与数列极限的性质及定理总结
高中数学数列与数列极限的性质及定理总结数列是高中数学中的重要概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
数列的研究对于理解数学的发展和应用具有重要意义。
本文将总结数列的性质及定理，并通过具体题目的分析，说明其考点和解题技巧，以帮助高中学生和家长更好地理解和应用数列。
一、数列的性质1. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界数列是指其所有项都在某个范围内，无界数列则相反。
例如，数列{1, 2, 3, ...}是无界的，而数列{(-1)^n}是有界的，其项的取值范围在-1和1之间。
2. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
单调递增数列是指其后一项大于或等于前一项，单调递减数列则相反。
例如，数列{1, 2, 3, ...}是单调递增的，而数列{3, 2, 1, ...}是单调递减的。
3. 有界单调性：数列既有界又单调，即既满足有界性，又满足单调性。
例如，数列{(-1)^n/n}既是有界的，其项的取值范围在-1和1之间，又是单调递减的。
二、数列极限的性质及定理1. 数列极限的定义：数列{a_n}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项a_n趋向于某个常数L。
用数学符号表示为lim(a_n) = L。
例如，数列{1/n}的极限是0，即lim(1/n) = 0。
2. 数列极限的唯一性：如果数列{a_n}的极限存在，那么它是唯一的。
即数列的极限不依赖于数列的前几项，只与数列的性质有关。
例如，数列{(-1)^n/n}的极限是0，无论数列的前几项是多少。
3. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限的重要定理之一，它用于求解一些复杂的极限问题。
夹逼定理的核心思想是通过夹逼数列来确定数列的极限。
例如，对于数列{1/n^2}，我们可以通过夹逼定理得出其极限为0。
4. 递推数列的极限：递推数列是指通过前一项或前几项来确定后一项的数列。
递推数列的极限可以通过求解递推关系式来确定。
例如，对于数列{a_n = a_(n-1) +1/n}，我们可以通过求解递推关系式得出其极限为无穷大。
高中数学选修一第4章4.3~4.4数列,极限,归纳法-知识点
1高中数学选修一第4章4.3~4.4数列/极限/归纳法-知识点 1、对于以a 为首项，q 为公比的无穷等比数列{a n }.①若{a n }是绝对值递减 的数列，∞→n lim n a = 0 ，各项和∞→n lim n S =q 1a - 。
②若q=1，{a n }是常 数列，∞→n lim n a = a ，各项和∞→n lim n S 不存在 。
③若q=-1，{a n }是摆动 数列，∞→n lim n a 不存在，各项和∞→n lim n S 不存在。
{a n }是绝对值增大 的数列，∞→n lim n a = 不存在，各项和∞→n lim n S 不存在 。
2、题型：在公式S=q 1a 1-中，已知其中任意两个量，求第三个量的值或范围。
典例：设数列{a n }是公比0＜q ＜1的等比数列，其各项和是4，求首项a 1的取值范围。
想：∵S=q 1a 1-，所以a 1=4(1-q)∈(0,4)∪(4,8)。
3、对于数列{a n }，如果a n+1≥a n 恒成立，则是 增 数列，如果a n+1＞a n 恒成立，则是 严格增 数列；如果a n+1≤a n 恒成立，则是 减 数列，如果a n+1＜a n 恒成立，则是 严格减 数列。
增数列和减数列统称为 单调 数列。
数列的单调性的判断：①作差法，判断 a n+1-a n 的 符号 ；②对于正数数列，判断与 1 的大小关系。
4、在数列{a n }中，若a n 最大，则a n ≥ a n-1 且a n ≥ a n+1 ；若a n 最小，则a n ≤ a n-1 且a n ≤ a n+1 （n ≥2）.5、数列{a n }中，前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n =⎩⎨⎧≥-=2n 1n 1-n n 1，，S S S .6、由递推公式求通项公式的常用方法.①累加法，适用于类等差数列，有a n+1-a n =f(n)条件的数列。
例.a 1=0，a n+1=a n +(2n-1). ②累乘法，适用于类等比数列，有a n+1/a n =f(n)条件的数列。
高中数学第三册第二章第二节数列的极限1
3.常 用 数 列 的 极 限: ① lim C C n 1 ② lim 0 n n
1 ③若 0,则lim α 0 n n ｜ q｜ 1 0 不存在 ｜q｜ 1 n ④ 则lim q n q1 1 不存在 q 1
二、常规训练题
1 1 答案 : lim Tn n q 0q1 q 1
③已知数列 {a n }的各项均为正数 , 前n项的和为S n , t an 且存在正数 t , 使对n N都有 tS n 成立. 2 ①求数列 {a n }的通项公式 ; Sn ②求 lim . n an 提示 : 利用 n 2时 , S n S n 1 a n , 得出a n与 a n 1的关系, 再求a n .
n
lim a n lim b n ② lim ( a nb n ) n n n
lim a n an ③ lim n ( lim b n 0) n bn无穷数列各项 的和？ 如果一个无穷数列前 n项和的极限 lim S n 存在, n 就称这个极限为无穷数 列各项的和. ②无穷等比数列各项的 和公式怎样？ 已知无穷等比数列 {a n }的首项为a 1 , 公比为q , a1 , 若｜ q｜ 1, 则lim S n n 1q a1 . 即无穷等比数列各项的 和公式为 S
1.选 择 题 : ① (93高考) lim n
5n 2 1 的值为(D ) 2 2n n 5 1 5 1 5 A. B. C. D. 5 2 5 2 1 1 1 ② ( 91全国) lim[n(1 )(1 )...(1 )]的值为(C ) n 3 4 n2 A .0 B.1 C.2 D.3 ③ (95全国){a n }、 {b n }为等差数列 ,它们的前n项和分 Sn an 2n 别为S n 、Tn , 且 ,则lim 等于( C ) n Tn 3n 1 bn 6 A .1 B . 3 2 C. 3 4 D. 9
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性知识精讲
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：.,101,,101,101,10132 n ① .,1,,43,32,21 n n ② .,)1(,,31,21,1 nn ③（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n 无限地接近于0），那么就说数列 n a 以a 为极限，或者说a 是数列 n a 的极限。
表示为a a lin n n2. 数列极限的表示方法：① a a n nlim ②当 n 时，a a n .3. 几个常用极限：①C C nlim （C 为常数）②),(01lim是常数k N k n kn③对于任意实常数， 当1|| a 时，0limnn a当1 a 时，若a ＝1，则1limn n a ；若1 a ，则nn n n a )1(lim lim不存在当1 a 时，nn alim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝1，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝x 1上的极限为0，记作01lim xx（2）当 x 时，类似地可得函数xy 1的值无限趋近于0，就是说，当 x 时，函数xy 1的极限为0，记作01lim x x（3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝x1无限趋近于0，这说明01lim x x (或01lim x x )函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C (C 为常数,x ∈R),有C x f x)(lim（2）函数xx f 1)(（x ≠0）,有01lim x x .2. x →x 0时，函数)(x f 的极限例1. 考察函数y ＝x 2，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x 2)时，y 4． 从表二上看：自变量x>2趋近于2(x 2)时，y 4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x 从左侧趋近于2(即x 2)和从右侧趋近于2(即x 2)时，y 都趋近于4．③从差式|y －4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数y ＝x 2的极限是4．记作： 2lim x x 2＝4注意：x 2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2. 考察函数112 x x y (x ≠1),当x 1时的变化趋势.分析：此例虽然在x ＝1处没有定义，但仍有极限．即：2)1(lim 11lim121 x x x x x 定义：一般地，当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x )(lim 0或当0x x 时，a x f )(.注：当0x x 时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关，因为0x x 并不要求0x x ．（当然，)(x f 在0x 处是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．故函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x 存在的既不充分又不必要条件．）如1111)(x x x x x P 在1 x 处无定义，但)(lim 1x P x 存在，因为在1 x 处左右极限均等于零．3. 函数)(x f 的左、右极限例3 考察函数f(x)＝x x 01).0(),0(),0(时当时当时当 x x x 当x 0 时，或x 0 时函数的变化趋势．分析： 此例与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x 0处无极限．定义：如果x 从x ＝x 0的单侧无限趋近于x 0时，f(x)无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做f(x)单侧的极限．当x x0时，f(x)的极限a 1叫做左极限，记作1x x a )x (f lim 0；当x x0时，f(x)的极限a 2叫右极限，记作2x x a )x (f lim 0．只有a 1＝a 2时，a x f x x )(lim 0才存在。
高中数学数列极限的性质与计算方法详解
高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。
在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。
本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。
2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。
3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。
二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。
2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。
3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
高中数学数列的极限与等比数列
高中数学数列的极限与等比数列数列是数学中非常重要的概念之一，它在高中数学中占据着重要的地位。
其中，极限和等比数列是数列的两个重要概念。
本文将详细讨论高中数学中数列的极限与等比数列，以帮助读者更好地理解和掌握这些内容。
一、数列的极限数列的极限是指随着项数的增加，数列中的项趋于某个确定的值。
我们以一个简单的数列为例进行说明，假设有数列{1, 2, 3, 4, ...}，即从1开始，每项比前一项增加1。
显然，这个数列随着项数的增加，数列中的值也在增加，但它并没有一个确定的极限值，所以我们说这个数列的极限不存在。
在数学中，对于数列的极限，有以下两个重要的概念：数列的有界性和数列的单调性。
1. 数列的有界性一个数列如果存在一个上界和下界，即所有的项都小于等于某个数M和大于等于某个数m，那么我们说这个数列是有界的。
根据数列的有界性，可以将数列分为上半有界数列和下半有界数列。
当数列的极限存在时，一定是有界的，但有界的数列不一定存在极限。
2. 数列的单调性如果数列的项随着项数的增加严格递增或者严格递减，那么我们说这个数列是单调的。
根据数列的单调性，可以将数列分为递增数列和递减数列。
当数列的极限存在时，数列一定是单调的，但单调的数列不一定存在极限。
例如，等差数列{1, 3, 5, 7, ...}就是一个递增数列，但它不存在极限。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项都与前一项成相同的比例关系。
具体可以表示为：{a, ar, ar^2, ar^3, ...}，其中a为首项，r为公比。
等比数列是一种特殊的数列，它具有一些独特的性质。
1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a为首项，r为公比。
通过这个公式，我们可以求解等比数列中的任意项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多重要的性质。
其中，最重要的性质之一是比值性质。
对于等比数列的相邻两项，它们的比值是相同的，即an/an-1 = r。
高中数学中的数列极限与函数极限
高中数学中的数列极限与函数极限数列极限和函数极限是高中数学中的重要概念，在数学分析中有着广泛的应用。
本文将介绍数列极限和函数极限的定义和性质，并通过示例和推导来加深理解。
一、数列极限的定义与性质数列是按照一定规律排列的数的序列，而数列极限则是指数列随着索引（通常是正整数）趋于无穷大时的极限值。
我们用符号来表示数列极限，记为lim(aa)=a，其中aa表示数列的第a项。
在数列极限的定义中，有两个重要的要素：趋于无穷大和极限值。
当数列的值越来越接近于某个常数a时，我们说数列的极限为a。
具体而言，对于任意给定的正实数a（ε），存在正整数a（N）使得当a>N 时，aa与a之间的差值小于a，即|aa−a|<a。
这种形式的定义表明数列极限的存在性和唯一性。
对于数列极限的性质，我们有以下结论：1. 常数数列的极限等于该常数本身：lim(a)=a，其中a为任意常数。
2. 收敛数列（即存在极限的数列）的极限唯一。
3. 若数列收敛，则数列必有界，即存在一个正数a（M），使得对于任意的a，都有|aa|≤a。
这个结论可以通过使用极限的定义及三角不等式来证明。
二、函数极限的定义与性质与数列极限类似，函数极限描述的是函数随着自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势。
我们用lim(a→a)a(a)=a来表示函数极限，其中a(a)表示函数的表达式，a为自变量趋向的值，a为极限值。
函数极限的定义可以类比于数列极限的定义。
对于任意给定的正实数a（ε），存在正实数a（δ）使得当0＜|a−a|<a时，有|a(a)−a|<a。
这个定义表明函数极限的存在性。
与数列极限类似，函数极限也具有唯一性、局部有界性等性质。
此外，我们还有以下性质：1. 若lim(a→a)a(a)=a_1，lim(a→a)a(a)=a_2，则lim(a→a)(a(a)±a(a))=a_1±a_2。
2. 若lim(a→a)a(a)=a，则lim(a→a)aa(a)=aa，其中a为任意常数。
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数列的极限
1．数列的极限
【知识点的知识】
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），
那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）
푛→∞
2、几个重要极限：
3、数列极限的运算法则：
4、无穷等比数列的各项和：
（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．
푛→∞
（2）
1/ 3
【典型例题分析】
典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛
和．则푙푖푚
푎
푛
=（）
푛→∞
1
A．0 B．1 C．
2D．2
解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，
∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，
∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，
∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，
∴a n＝2n﹣1．
푛푛1∴푙푖푚2푛―1=
푙푖푚2―1
푎
푛
=푙푖푚
푛→∞푛→∞푛→∞
푛=
1
2
．
故选：C．
典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）设 c n =
1
푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+
푐
푛
)的值；
푛→∞
（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，
∴b n＝2a n+1，a1＝0，
∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），
∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．
b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．
（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，
∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．
2/ 3
∴c n =
1
푛|푃1푃푛|=
1
5푛⋅(푛―1)
=
1
1
5(푛―
1―
1
푛)，
∴c2+c3+…+c n =1
5[(1―
11
2)+(2―
11
3)+⋯+(푛―
1―
1
푛)]=
1
5(1―
1
푛)，
∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚
푛→∞
푛→∞1
5(1―
1
푛)=
5
；
5
（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，
∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），
∴数列{d n+n}为等比数列，
首项为d1+1＝2，公比为 2，
∴푑
푛
+푛=2푛，
∴푑
푛
=2푛―푛．
【解题方法点拨】
（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．
（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）
1
（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或q
n（|q|＜1）型的极限．
（4）求极限的常用方法：
①分子、分母同时除以n m 或a n．
②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．
③利用已知数列极限（如等）．
④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．
∞
⑤∞﹣∞，
∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．
3/ 3。