高中数学教案：极限与导数极限的概念
高中数学教案：《微积分入门：极限与导数》
高中数学教案：《微积分入门：极限与导数》一、引言微积分是高中数学的重要内容之一，极限与导数作为微积分的基础概念，为后续学习打下了坚实的基础。
本教案旨在帮助高中数学老师设计一堂《微积分入门：极限与导数》的教学课程。
二、教学目标1. 理解极限的概念，并能够准确计算极限；2. 掌握求导数的方法，包括用定义法和直接法求导；3. 能够应用导数解决实际问题。
三、教学内容1. 极限1.1 极限的定义- 数列极限的定义及其性质- 函数极限的定义及其性质1.2 求极限的方法- 英文数列求极限及其应用- 利用函数极限计算复杂表达式1.3 极限存在条件- 单调有界原理及其应用2. 导数2.1 导数的概念和定义- 导数与切线之间的关系- 左右导数及其性质- 高阶导数和对称性质2.2 求导数的方法- 用定义法求导数- 直接求导法* 基本函数的导数公式及其应用* 复合函数和反函数的导数计算* 隐函数和参数方程的导数求解四、教学过程1. 导入环节（5分钟）在开展新课之前，可以通过以往所学的内容作为铺垫，例如引入极限与导数的概念，并与实际问题相结合，唤起学生对微积分初步认知的兴趣。
2. 知识讲解（25分钟）2.1 极限的定义：通过例子生动直观地介绍极限的概念，并阐述极限存在条件。
2.2 极限的计算方法：以常见的英文数列为例，演示如何计算极限；然后介绍利用函数极限计算复杂表达式的方法。
2.3 导数的概念和定义：结合图像和实际问题，引出导数与切线之间关系，并介绍左右导数、高阶导数等概念。
2.4 求导数的方法：先通过定义法演示如何求导；随后介绍直接求导法，包括基本函数、复合函数、反函数、隐函数和参数方程的导数计算方法。
3. 练习与巩固（30分钟）通过一些例题和实际问题，带领学生进行练习，加深对极限和导数的理解。
教师可以根据学生水平适当调整难度，提供不同层次的练习题目。
4. 拓展应用（10分钟）引导学生将所学的知识应用到实际问题中，例如求斜率、速率、最值等问题，并让学生能够独立思考并解决这些问题。
高中数学中的极限与函数的导数的关系
高中数学中的极限与函数的导数的关系在高中数学中，极限和函数的导数是两个非常重要且关联紧密的概念。
本文将探讨极限和函数的导数之间的关系，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、极限的定义及基本性质极限是数学中描述函数逐渐趋近于某一值的概念。
具体而言，设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义。
如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，都存在对应的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L。
我们用lim┬(x→a)〖f(x)=L〗或f(x)→L(x→a)来表示极限的存在。
极限具有一些基本的性质，包括唯一性、局部性、有界性等。
其中，唯一性表示函数在某一点的极限是唯一确定的；局部性表示函数在某一点的极限存在，则函数在该点的某个邻域内也存在；有界性表示如果函数在某一点存在极限，则函数在该点附近是有界的。
二、导数的定义及基本性质函数的导数描述了函数在某一点附近的变化率，是微积分中的重要概念之一。
设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义。
若极限lim┬{h→0}〖(f(a+h)-f(a))/h=A 〗存在，其中A为常数，则称函数f(x)在x=a处可导，并将此极限值A称为函数f(x)在x=a处的导数。
我们用f'(a)或 df(x)/dx|_(x=a)来表示函数f(x)在x=a处的导数。
导数具有一些基本的性质，包括可导的函数必定连续、导函数具有局部性、可加性和乘法常数性等。
这些性质使得导数成为了研究函数变化的有力工具。
三、极限与导数的关系极限和导数之间存在着紧密的联系，在某些情况下两者可以互相推导。
1. 极限与函数连续性的关系根据导数的定义，可知如果函数在某一点可导，则在该点必然连续。
而连续函数的定义也可以用极限来表达。
因此，对于某个区间上的函数，如果它的导数在该区间上存在，则该函数在该区间上一定连续。
2. 导数与函数的极值点的关系函数在某一点处的导数为零，被称为该点的导数为零点。
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。
导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。
积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。
第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。
第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。
高中数学《导数》教案
导数一、极限的概念1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作A a n n =∞→lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。
“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。
A a n n =∞→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1，21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1+n n ，…；（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n)1.0(-，…； （5）－1,1，－1，…，n)1(-，…； 注：几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 ：)1(0lim <=∞→q q nn2、当∞→x 时函数的极限（1） 画出函数xy 1=的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，的极限是0，记作：01lim =+∞→xx一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数 )(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞→)(lim也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数xy 1=的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作：01lim =-∞→x x 一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞→)(lim也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数x y 1=的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作01lim =∞→x x一般地，当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞→)(lim也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即C C x =∞→lim例2：判断下列函数的极限：（1）x x )21(lim +∞→ （2）xx 10lim -∞→（3）21lim x x ∞→ （4）4lim ∞→x练习与作业1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限 （1）1，41，91， (21)，… ；（2）7，7，7，…，7，…； （3） ,2)1(,,81,41,21nn---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，n101，…； （6）0，,32,21--…，11-n ，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…；（8）,51,59,54…，52n ，…；（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n,…，2、判断下列函数的极限：（1）xx 4.0lim +∞→ （2）xx 2.1lim -∞→（3）)1lim(-∞→x （4）41limxx ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）xx )45(lim -∞→（7）11lim2+∞→x x （8）5lim ∞→x二、函数的极限函数2x y =当x 无限趋近于2时的变化趋势 当x 从左侧趋近于2时 （-→2x ）当x 从右侧趋近于2时 （+→2x ）函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0。
高中数学极限与导数【讲义】
高中数学极限与导数【讲义】极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|< ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0lim x x →[f(x)?g(x)]=ab,limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ??→?0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy，即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。
极限的概念 教案
极限的概念教案教案：极限的概念【教案目标】了解极限的概念、性质和计算方法；掌握极限的几个常用计算规则；能够解决与极限有关的简单问题。
【教学重难点】极限的概念与性质，极限计算的方法，极限的计算规则。
【教学内容与教学步骤】一、引入（5分钟）1. 引导学生思考：什么是极限？为什么要研究极限？2. 引用实际生活中的例子：比如一辆车在某段时间内的速度是如何变化的，我们如何用数学的方法来描述这种变化？3. 引导学生认识到极限存在的必要性，为进一步介绍极限的概念做好准备。
二、讲解与讨论（30分钟）1. 介绍极限的概念与性质：a) 极限的定义：设函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的ε> 0，总存在对应的δ> 0，使得当0 < x - x0< δ时，有f(x) - A < ε，那么称函数f(x)当x趋向于x0时的极限为A。
b) 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性等。
2. 讲解极限计算的方法和常用计算规则：a) 直接代入法；b) 夹逼定理；c) 极限的四则运算规则；d) 极限的乘法规则、除法规则和幂函数规则等。
3. 进行一些例题的讲解与讨论，引导学生掌握极限计算的方法和常用规则。
三、练习与巩固（20分钟）1. 给学生发放练习册，让学生进行练习，巩固掌握极限计算的方法和规则。
2. 老师巡回辅导和答疑，帮助学生解决遇到的问题。
3. 鼓励学生积极互助，相互讨论解题思路，提高解题能力。
四、拓展与应用（20分钟）1. 给学生提供一些拓展题，让学生运用所学的极限概念和计算方法解决复杂的问题。
2. 鼓励学生进行数学建模，将所学的极限概念应用到实际问题中，提高数学思维能力和创新能力。
3. 老师对解题过程和答案进行点评和纠错，让学生更好地理解和运用极限概念。
五、总结与展望（10分钟）1. 学生进行小结，总结本节课所学的极限概念、性质和计算方法；回顾解题过程中的困难和思考方法。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。
通过图形和实例直观展示极值的存在。
1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。
分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。
1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。
证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。
第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。
2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。
通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。
2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。
分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。
第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。
讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。
3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。
3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。
举例说明如何利用极值点解决实际问题。
第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。
讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。
4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。
4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。
举例说明如何利用拐点解决实际问题。
第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。
高中数学学习中的极限与导数概念解析
高中数学学习中的极限与导数概念解析在高中数学中，极限和导数都是重要的概念，它们是微积分的基础，也是后续学习数学的关键。
本文将分别对极限和导数进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握这两个概念。
首先，我们来探讨一下极限的概念。
极限是一种数学概念，用来描述一个函数或数列在某一点附近的变化情况。
具体来说，当自变量逐渐靠近某个确定的数值时，函数值或数列的值也趋近于某个确定的数。
在数学符号中，我们用lim来表示极限。
例如，lim (n→∞) (1/n) = 0，表示当n无限趋近于正无穷时，1/n的极限是0。
极限在高中数学中的应用非常广泛。
它被用来证明和推导各种数学定理，例如求导和积分等。
同时，在几何学中，极限也被用来描述函数的图像在某一点的切线斜率。
因此，理解和掌握极限的概念对进一步学习数学非常重要。
接下来，我们来讨论导数的概念。
在数学中，导数被定义为函数在某一点的变化速率。
它描述了函数在某一点的附近的变化趋势。
导数常用f'(x)或df(x)/dx来表示，表示函数f(x)对自变量x的变化率。
导数可以帮助我们找出函数的极值点、确定切线斜率以及解决最优化问题等。
导数的计算通常使用导数公式和导数法则。
常见的函数求导公式包括常数函数求导公式、幂函数求导公式、指数函数求导公式、对数函数求导公式和三角函数求导公式等。
通过运用这些公式和法则，我们可以求得各种复杂函数的导数。
了解导数的概念对于数学的深入学习和应用具有重要意义。
在物理学中，导数被广泛应用于描述速度、加速度等物理量的变化。
在经济学和金融学领域，导数被用来描述成本、收益、市场需求曲线等的变化关系。
在生物学和医学领域，导数被应用于描述生长速率、变化趋势和药物浓度的变化等。
在学习极限和导数的过程中，我们还需要注意一些重要的性质和定理。
例如，极限有唯一性和保序性的性质，导数具有线性性、乘积法则、链式法则等等。
了解这些性质和定理可以帮助我们更好地理解和运用极限与导数。
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极 限 的 概 念（4月27日）
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；
教学难点：数列和函数极限的理解
教学过程：
一、实例引入：
例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。
（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。
n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。
”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．
某个常数A （即A a n -无限趋近于0）
，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞
→lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。
“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。
A a n n =∞
→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
（1）1，
21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1
+n n ，…；
（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n )1.0(-，…；
（5）－1,1，－1，…，n )1(-，…；
注：几个重要极限：
（1）01lim =∞→n
n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 ：)1(0lim <=∞→q q n
n
2、当∞→x 时函数的极限
（1） 画出函数x
y 1=的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，的极限是0，记作：01lim =+∞→x
x 一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数 )(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞
→)(lim 也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(
（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数x
y 1=
的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数x y 1=的极限是0，记作：01lim =-∞→x x 一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞
→)(lim
也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(
（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数x
y 1=
的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数x y 1=的极限是0，记作01lim =∞→x x 一般地，当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞
→)(lim 也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(
特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即
C C x =∞
→lim 例2：判断下列函数的极限：
（1）x x )21(lim +∞→ （2）x
x 10lim -∞
→ （3）21lim x
x ∞→ （4）4lim ∞→x
三、课堂小结
1、数列的极限
2、当x ∞→时函数的极限
四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限
（1）1，41，91， (21)
，… ；（2）7，7，7，…，7，…； （3） ,2
)1(,,81,41,21n n
---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…；
（5）0.1，0.01，0.001，…，n 10
1，…；
P
M
N
A B C D （6）0，,32,21--…，11-n
，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…； （8）,51,59,54…，5
2
n ，…； （9）－2, 0，－2，…，1)1(--n ,…，
2、判断下列函数的极限：
（1）x x 4.0lim +∞→ （2）x
x 2.1lim -∞→ （3）)1lim(-∞
→x （4）41lim
x x ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）x x )4
5(lim -∞→ （7）11lim 2+∞→x x （8）5lim ∞→x 补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。
（1）求证：MN ⊥AB ； （2）若平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角为θ，
能否确定θ，使得MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线？
若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。