最新高考数学专题十数列的极限与函数的导数教程文件

6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如
y | x |在（ 0 ， 0 ）
处的导数存在吗？为什么？
【分析】
| x| lim x0 x
|0 lim
x0
x| |0|
| lim
x|
1， lim | 0
x
x0
x
x0
1∴ y | x |在（ 0 ， 0 ）处的导数不存在。
x| |0| x
7，导数的求法要熟练、准确，须明确（ 1）先化简，再求导， （ 2）复合函数灵活处理，
a5
8
a2n
1)
=
3
，
则 a1
【分析 】
数 列 { a2 n 1} 是 首 项 为 a1 ， 公 比 是 q 2
1
的 等比数列 ，
4∴lຫໍສະໝຸດ mn(a1
a3
a5
a2n
1)
=
1
a1 q2
= 8 ，解得 3
a1 =2。
4 ，当且仅当 lim f x lim f x a 时， lim f x a ， x x0 时 f x 可有定义也可
（ 1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限：
1) lim c c(c 是常数） ,2) lim 1 0 ,3) lim q n 0(| q | 1) .
n
nn
n
(2) 明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。
（ 3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。
lim
n
an
的值。
【例２】求下列函数的极限：
2x 1 3 （ 1） lim
x4 x 2 2
1
3
（ 3） lim ( x 11
x
1
) x2
cosx
（ 2） lim
x
x 2 cos
sin x
2
2
（ 4） lim x( x 2 1 x
x 2 1)
【例３】求下列函数的导函数：
（１） f ( x) ＝ e x (cos x sin x) ；
它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给
出一个含参的函数或应用建模， 通过求导、 分析函数的单调性与最值， 考查“数形结合” 、“分
类讨论” 等数学思想方法的综合运用能力。 从 20XX年各地的高考试卷看， 考生在备考时， 应
从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：
2n 项的和再求极限
（ D ）1
2n 1 2n
1
=
，∴原
n1 n1 n1
3 ，无穷等比数列的公比 q ，当 | q | 1 时，各项的和 s a1 及重要应用。 例如（ 20XX 1q
立身以立学为先，立学以读书为本
年上海，4）设等比数列 a n （ n N ）的公比 q
1
2
，且
lim ( a1
n
a3
积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：
1
2
3
2n 1 2n
（ 20XX年广东 ,4 ） lim (
…＋
) 的值为…（ ）
n n1 n1 n1
n1 n1
（ A ）-1
（ B ）0
【分析】这是求无穷项的和，应先求前
式 = lim ( n ) =-1 ，故选 ( A) 。
n
n1
（C） 1 2
q 和 n 表示 An ；（Ⅱ）当
（ 3）有时要回到定义中求导。
8，导数的几何意义是曲线切线的斜率， 物理意义是因变量对自变量的变化率。 导数的应 用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与
函数作图、 函数极值与最值求法、 有关方程与不等式问题、 有关近似计算问题、 实际应用题。
【经典题例】
【例１】求下列数列的极限：
对0、 、 0
、 0 型的函数或数列的极限， 一般要先变形或化简再运用法则求极限。
例如（ 20XX 年辽宁， 14） lim ( x
) cos x
=
x
x
【分析】这是 0 型，需因式分解将分母中的零因子消去，故 0
( x ) cos x
lim
x
x
= lim ( x x
) cos x = 2 。
2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数， 对于无穷项的和或积必须先求和或
x x0
x xo
x xo
无定义。例如下列命题正确的是 …………………………………………… (
)
( A )若 f x
x 1 ,则 lim f x 0 ， B 若 f x x1
x2 2x
,则 lim f x
x2
x2
2 ， (C ) 若
fx
1 ,则 lim f x
0 ， (D) 若 f (x)
x(x
0) ,则 lim f ( x)
0。
x
x
x 1(x 0) x 0
【分析】 ( A )中 x 1 无定义，（ C ）中 x
无定义，而 (D) lim f (x) 0 ， x0
lim f ( x) 1，故 B 是正确的。
x0
5，函数 f x 在 x x0 处连续是指 lim f x x x0
连续是有极限的充分条件。
f x0 ，注意：有极限是连续的必要条件，
（ 4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。
（ 5）熟记八个基本导数公式， 掌握求导的四则运算法则， 理解复合函数的求导法则， 会求
简单函数的导数。
（ 6）掌握导数的几何意义与物理意义， 理解可导函数的单调性、 极值与导数的关系， 强化
用导数解决实际问题的能力。
【疑难点拨】 ：1，极限的四则运算法则， 只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。
立身以立学为先，立学以读书为本
专题十：数列的极限与函数的导数
【考点审视】
极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导
数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，
“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题； “大题”在解答题中出现时，极限通常与其
（１） lim (l g n
n
l g 10n
3) ；（２）
lim
n
cosn cosn
1
a
2a
3a
（３） lim [1 (1 ) (1 ) (1 )
nn
n
n
n
sin n sin n
（0
(1 n 1 a)] ； n
）；
2
立身以立学为先，立学以读书为本
（４）已知 a 0 ，数列 { a n } 满足 a1 a, a n 1 a 1 ，若 { a n } 的极限存在且大于零，求 an
（２） f (x) ＝ cos2(ln 2x) ；
（３） f (x) ＝ lg x
x
；
2
1x
（４）已知 f ( x) ＝ 3x 3 x 2 | x | ，求 f (0) 。
【例４】设 an 1 q q 2
qn 1（ n
N ,q2
1 ）， An
（
C
1 n
a1
+
C
2 n
a
2
C
3 n
a
3
C
n n
a
n
）。（Ⅰ）用