2013白蒲中学高二数学教案：极限与导数：导数的概念(苏教版)
高等数学-导数的概念-教案(完整资料).doc
t∆很小时，其平均速度就可以近似地看作时刻的瞬时速度．且
x
x x x x ∆-∆+=→∆sin )sin(lim
0x
x x x x ∆∆⎪
⎭⎫ ⎝⎛
∆+=→∆2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2
2sin 2cos lim 0=∆∆⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆+=→∆， 即： x.cos (sin x)'=
类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ∆∆∆)
()(lim 000-+-
→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’(x 0)；同样，如果x x f x x f x ∆∆∆)()(lim 000-++
→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’
+(x 0) .
显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 .
六、可导与连续的关系
定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。
D.课堂小结
一、导数的定义
二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系。
高二数学理导数的应用苏教版知识精讲
高二数学理导数的应用苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：导数的应用二. 本周教学目标：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2. 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.三. 本周知识要点：（一）基本知识1. 极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点。
2. 极小值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点。
3. 极大值与极小值统称为极值。
4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值。
5. 求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )。
（2）求方程f ′(x )=0的根。
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值。
6. 函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值。
（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值。
高二数学导数的概念苏教版知识精讲
高二数学导数的概念苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 导数的概念二. 教学目的：1. 理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法.2. 掌握导数的几何意义。
理解导数与瞬时变化率的关系。
教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，三. 内容梳理： 1. 曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点。
作割线PQ ，当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线。
2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了。
设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α，即0x ∆→时，0()()f x x f x x +∆-∆＝A yx∆→∆一个常数＝tan α 3. 瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度.4. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度。
瞬时速度00()()0s t t s t t v t+∆-∆→→∆时，。
5. 导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限，即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y=，即/000()()0()f x x f x x f x x+∆-∆→→∆当时，注意：（1）函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
数学苏教版选修1-1 导数的概念
导数的概念【教学目标】1．理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法． 2．理解掌握开区间内的导数概念，会求一个函数的导数． 3．理解函数在一点处可导，则函数在这点连续． 【教学重点】导数的定义与求导数的方法．【教学难点】导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，从导数的定义归纳出求导数的方法． 【内容分析】我们物理中学习直线运动的速度时，已经学习了物体的瞬时速度的有关知识，现在我们从数学的角度重新来认识一下瞬时速度． 【教学过程】 一、复习引入： １．曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT ．我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线．2．确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α，即tan α=0lim →∆x =∆∆x y0lim →∆x 0()()f x x f x x+∆-∆．3．瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度．4． 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt ． 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0． 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(limlim 0000．二、讲解新课：1．导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/．注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在．(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0． (3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率． (4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度．它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率．因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-．(5)导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关．(6)在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成0000/)()(lim )()(lim)(0x x x f x f x x f x x f x f x x ox --=∆-∆+=→→∆ (7)若极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导．(8)若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线． 2．导函数（导数）：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00．函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f ．所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作)(0/x f注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值．它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值．3．可导：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导．4．可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立．函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．从f (x )在x 0处可导的定义可以知道，f (x )在x 0处有定义，考察 f (x )在x 0处是否有极限，并且是否等于f (x 0)． 已知f ′(x 0)=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，令x =x 0+Δx ，当Δx →0时，x →x 0∴0lim →∆x f (x )=0lim →∆x f (x 0+Δx )=0lim →∆x ［f (x 0+Δx )－f (x 0)+f (x 0)］=0lim →∆x ［xx f x x f ∆-∆+)()(00·Δx +f (x 0)］=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00·0lim →∆x Δx +0lim →∆x f (x 0)=f ′(x 0)·0+f (x 0)=f (x 0) ∴f (x )在x 0处连续．连续未必可导可通过反例说明，如y =|x |=⎩⎨⎧<-≥0 0x x x x 在x 0=0处∵-→0lim x y =-→0lim x (－x )=0，+→0lim x y =+→0lim x x =0，∴0lim →x y =0，∴y =|x |在x =0处连续． 0lim→∆x x y∆∆==∆∆=∆-∆→∆→∆x x x x x x ||lim |0|||lim 00⎩⎨⎧<∆->∆010 1x x∴y =|x |在x 0=0处不可导．5． 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆． （2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(．（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim ．三、讲解范例：例1求y =x 2在点x =1处的导数．分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy ，再求xy∆∆，最后求0lim→∆x xy ∆∆． 解：Δy =(1+Δx )2－12=2Δx +(Δx )2，xx x x y ∆∆+∆=∆∆2)(2=2+Δx ∴0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2+Δx )=2． ∴y ′|x =1=2． 注意：(Δx )2括号别忘了写． 例2已知y =x ，求y ′．分析：求函数在一点的导数，与求函数在一个区间上的导数，方法是一样的，也是三个步骤，只是把x 0换成x ． 解：Δy =x x x -∆+，xxx x x y ∆-∆+=∆∆∴)(lim lim lim000x x x x x x x x x x x x y x x x +∆+∆-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆=xx x x x 211lim=+∆+→∆． 点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉．例3 已知y =x 3－2x +1，求y ′，y ′|x =2．解：Δy =(x +Δx )3－2(x +Δx )+1－(x 3－2x +1)=x 3+3x 2Δx +3x (Δx )2+(Δx )3－2x －2Δx +1－x 3+2x －1=(Δx )3+3x (Δx )2+(3x 2－2)Δxx y ∆∆=(Δx )2+3x Δx +3x 2－2，∴y ′=0lim →∆x xy ∆∆=0lim →∆x ［(Δx )2+3x Δx +3x 2－2］=3x 2－2．方法一：∵y ′=3x 2－2，∴y ′|x =2=3×22－2=10．方法二：Δy =(2+Δx )3－2(2+Δx )+1－(23－2·2+1)=(Δx )3+6(Δx )2+10Δxxy ∆∆=(Δx )2+6Δx +10，∴y ′|x =2=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x ［(Δx )2+6Δx +10］=10．点评：如果题目中要求y ′，那么求y ′|x =2时用方法一简便．如果只要求y ′|x =2，用方法二比较简便． 四、课堂练习：1．求y =2x 2+4x 在点x =3处的导数．解：Δy =2(3+Δx )2+4(3+Δx )－(2×32+4×3)=2(Δx )2+16Δx ，xy∆∆=2Δx +16 ∴0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2Δx +16)=16，即y ′|x =3=16 2．已知y =4+x ，求y ′ 解：Δy =44+-+∆+x x x ，xx x x x y ∆+-+∆+=∆∆44∴0lim→∆x x y∆∆=44(lim 44lim 00+++∆+∆∆=∆+-+∆+→∆→∆x x x x x x x x x x x=421441lim+=+++∆+→∆x x x x x ，∴y ′=421+x ． 五、小结 ：这节课主要学习了导数的定义，以及求导数方法的三个步骤．f ′(x 0)=y ′|0x x = =0lim →∆x x y∆∆=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 f ′(x )=y ′=0lim→∆x x y∆∆=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 00三个步骤：①求函数的增量Δy ，②求平均变化率x y ∆∆，③取极限f ′(x 0)= 0lim →∆x xy∆∆，以及函数的连续性是函数的可导性的必要条件而不是充分条件．。
高中数学导数概念课件苏教版选修
导数在解决实际问题中的作用
导数在优化问题中的应用：导数可以用来解决最优化问题，例如求函数的 最大值或最小值。
导数在物理中的应用：导数可以用来描述物理量的变化率，例如速度、加 速度、电流等。
导数在经济学中的应用：导数可以用来分析经济变量的变化趋势和拐点， 例如需求函数、供给函数等。
导数在计算机科学中的应用：导数可以用来描述图像的边缘、纹理等特征， 例如在图像处理和计算机视觉中的应用。
导数与函数图 像：通过导数 可以绘制函数 图像的切线， 从而更直观地 理解函数的变
化规律。
导数与极值： 导数为零的点 可能是函数的 极值点，通过 导数可以判断 函数在某一点 处是否取得极
值。
导数的物理意义
速度的变化率
函数的斜率
单位时间内函数的变 化量
瞬时速度
导数的运算规则
函数和、差的导数
导数的和差运算规则：$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$
导数作为微积分的基础概念，在高等数学中具有重要地位 导数在解决微分方程、积分方程等问题中具有关键作用 导数在研究函数的性质、图像等方面具有广泛应用 导数在解决实际问题中，如最优化问题、经济问题等，具有实际意义
如何学好导数
理解导数的定义
• 导数的定义：导数定义为函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。 • 导数的几何意义：导数在几何上表示函数图像在该点处的切线斜率，即函数在该点处的变化趋势。 • 理解导数的几何意义 • 导数与函数图像的关系：导数可以描述函数图像的形状和变化趋势，例如函数的增减性、极值点和拐点等。 • 导数与切线斜率的关系：导数在几何上表示函数图像在该点处的切线斜率，即函数在该点处的变化趋势。 • 如何学好导数 • 理解导数的定义和几何意义：掌握导数的定义和几何意义是学好导数的基础，需要认真理解并掌握。 • 掌握导数的计算方法：学会计算导数是学好导数的关键，需要掌握各种导数的计算方法，例如基本初等函数的导数、复合函数的导
苏教版高中数学选修2-2 导数的概念与应用 教案
要求层次 重难点导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念 A 了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义．导数的几何意义C导数的运算根据导数定义求函数y c =，y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y x =的导数 C能根据导数定义，求函数23y c y x y x y x ====，，，，1y y x x==，（c 为常数）的导数．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数． 导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数） B 导数公式表C 导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C利用导数解决某些实际问题 B板块一：导数的概念与几何意义知识内容1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．高考要求例题精讲导数的概念与应用2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．典例分析： 极限与导数【题1】 设()f x 在0x 可导，则()()0003limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A ．()02f x 'B ．()0f x 'C ．()03f x 'D ．()04f x '【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 ()()0003lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆()()00000()()3limx f x x f x f x f x x x∆→+∆-+--∆∆= ()()000000()()3=lim lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→+∆---∆+⋅∆∆ ()()000000()3()=lim 3lim3x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-+⋅∆-∆000()3()4()f x f x f x '''=+=．【答案】D【题2】 设(3)4f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h →--=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．1【考点】极限与导数 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 00(3)(3)(3)(3)11limlim (3)2222h h f h f f h f f h h →→----⎛⎫'=⋅-=-=- ⎪-⎝⎭． 【答案】B【题3】 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=（ ）r OA ．22πrB ．28π3r C ．24πr D ．26πr【考点】极限与导数 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】2010，湖北，高考7【解析】 设第n 个圆的面积为n a ，则21πa r =，134n n a a -=，于是23π14314n n r S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，从而2lim 4πnn S r →∞= 【答案】C【题4】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【考点】极限与导数【难度】1星【题型】填空【关键词】2008，北京，高考【解析】 ((0))(4)2f f f ==；04(1)220f -'==--． 【答案】22-，【题5】 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 22(1)(1)(2)11xf x f x x ∆-+∆--=--=-+∆∆-， 00(1)(1)2lim lim 21x x f x f x x ∆→∆→-+∆--==-∆∆-． 【答案】D【题6】 已知物体的运动方程是23s t t=+，则物体在时刻4t =时的速度v =____，加速度a = ．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无【解析】 232v s t t '==-，362a v t '==+，4t =时，312581616v =-=，66726432a =+=． 【答案】12567,1632．【题7】 一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为43214164s t t t =-+，则速度为零的时刻是（ ）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 与8s 末D ．0s ，4s ，8s 末【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 321232v s t t t '==-+，令0v =得0t =，4或8． 【答案】D导数的几何意义【题8】 已知曲线1y x x =+上一点522A ⎛⎫⎪⎝⎭，，用斜率定义求： ⑴ 过点A 的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 分析：求曲线在A 处的斜率A k ，即求0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-∆，其中1()f x x x=+．⑴ 记1()f x x x=+，(2)(2)y f x f ∆=+∆-1122222(2)x x x x x -∆⎛⎫=+∆+-+=+∆ ⎪+∆+∆⎝⎭， 00(1)lim lim 2(2)x x y x x f x x x x ∆→∆→⎡⎤∆-∆∆'==+⎢⎥∆∆+∆∆⎣⎦013lim 12(2)4x x ∆→⎡⎤-=+=⎢⎥+∆⎣⎦；⑵ 切线方程为53(2)24y x -=-，即3440x y -+=．注：也可先求1y x x=+的导函数，200()()11limlim 11(0)()x x f x x f x y x x x x x x ∆→∆→⎛⎫+∆--'==+=-≠ ⎪∆+∆⎝⎭， 再计算13(2)144y '=-=．【答案】⑴34，⑵3440x y -+=【题9】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 设23x x ==，时曲线上的点为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，∵(3)(2)f f -(3)(2)32AB f f k -==-，∵(3)BQ f k '=，(2)AT f k '=，如图所示，切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角BQ AB AT k k k <<． 【答案】B【题10】 曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（ ）A ．1y x =-B ．2y x =-C ．y x =D ．1y x =+ 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 232y x x '=+，(1)1y '-=，P 在曲线上，故切线方程为11y x y x +=+⇒=． 【答案】C【题11】 若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）AB． C ．23 D ．23或0【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 曲线21y x =-在0x x =处的切线斜率为00()2y x x '=；曲线31y x =-在0x x =处的切线的斜率为200()3y x x '=-，由题意有：2002(3)1x x ⋅-=-，解得0x =． 【答案】A【题12】 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2008，辽宁，高考【解析】 设00()P x y ，，22y x '=+，点P 处的切线的斜率的取值范围为πtan 0tan [01]4⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，， 故00221x +≤≤，解得0112x --≤≤．【答案】A【题13】 已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．π3π24⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【考点】导数的几何意义 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】2010，辽宁，高考10【解析】 2441(1)2x x x x e y e e e--'==+++，124x x e e ++≥，故[1,0)y '∈-，从而tan [1,0)α∈-,3ππ4α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 【答案】D【题14】 若存在过点(10)，的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ）A ．1-或2564-B ．1-或214C ．74-或2564-D ．74-或7【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009，江西，高考【解析】 设过(10)，的直线与3y x =相切于点300()x x ，，所以切线方程为320003()y x x x x -=-，即230032y x x x =-，又(10)，在切线上，则00x =或032x =，当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-，当032x =时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-．【答案】A【题15】 ⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】 【解析】 ⑴2()344y x x x '=--，(1)5y '=-，故所求的切线方程为35(1)y x +=--．⑵点(13)-，在曲线上，若切点为(13)-，，则切线方程为520x y +-=；若切点不是(13)-，，设切点为00()x y ，，则有2000033441y x x x +=---，又320000242y x x x =--+，解得01x =或012x =． 当012x =时，斜率为21121344224⎛⎫⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭，故直线方程为21490x y +-=．故过点(13)-，的切线方程为520x y +-=或21490x y +-=．注意过一点的切线与在一点的切线的区别．【答案】⑴520x y +-=；⑵520x y +-=或21490x y +-=．【题16】 已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009，安徽，高考 【解析】 由()()22288f x f x x x =--+-，得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =，()2f x x '=，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，选A ．【答案】A【题17】 设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =． ⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008，海南宁夏，高考【解析】 ⑴21()()f x a x b '=-+，由题设知(2)0(2)3f f '=⎧⎨=⎩， 于是2123210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=⎪+⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或9483a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．因a b ∈Z ，，故1()1f x x x =+-． ⑵证明：已知函数1y x =，21y x=都是奇函数．所以函数1()g x x x =+也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而1()111f x x x =-++-．可知，函数()g x 的图象按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的图象是以点(11)，为中心的中心对称图形．（可以直接验证：若(,)x y 在()y f x =的图象上，则(2,2)x y --也在函数()y f x =的图象上）⑶证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦． 令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，．直线1x =与直线y x =的交点为(11)，． 从而所围三角形的面积为00000111212112222121x x x x x +---=-=--．所以，所围三角形的面积为定值2．【答案】⑴1()1f x x x =+-；⑵(11)，；⑶2【题18】 已知曲线1C ：2y x =与2C ：2(2)y x =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 分别对两条曲线的方程求导得：2y x '=与2(2)y x '=--，设直线l 与曲线1C 相切于点200()x x ，，则直线l 的方程为20002()y x x x x -=-，令02(2)2x x --=解得02x x =-，代入直线l 的方程得20043y x x =-，故直线l 与曲线2C 交于点2000(243)x x x --，，由此点在曲线2C 上得2200043(22)x x x -=---， 解得00x =或02x =，于是直线l 的方程为0y =或44y x =-．【答案】0y =或44y x =-．板块二：导数的运算知识内容1注：ln e a =．注意()x x e e '=．2．导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则(()())()()f x g x f x g x '''±=±，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． ⑶函数的商的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，()0g x ≠，则2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦． 特别是当()1f x ≡时，有21()()()g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．典例分析：【题1】 已知函数()ln f x x =，则()ef e '的值等于（ ）A ．1B ．eC ．1eD ．2e【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】【解析】 1()f x x '=，()1eef e e'==．【答案】A【题2】 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3(1)3(1)x x -+-B ．22(1)x -C ．2(1)x -D ．1x -【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】 【解析】 【答案】A【题3】 已知函数2()f x ax c =+，且(1)2f '=，则a 的值为（ ） A ．1 BC ．1-D ．0【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】【解析】 ()2f x ax '=，于是221a a =⇒=．【答案】A【题4】 已知函数()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----，则(1)f '=（ ）A ．99!-B ．100!-C ．98!-D ．0【考点】导数的运算 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 设()(2)(3)(4)(100)g x x x x x =----，则()(1)()f x x g x =-，且()g x 可导，有()()(1)()f x g x x g x ''=+-，令1x =得，99(1)(1)0(0)(1)(1)99!99!f g g g ''=+⨯==-=-．【题5】 已知函数2()(1)f x x x =-，若00()f x x '=，则0x =_______．【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】填空【关键词】 【解析】 2()32f x x x '=-，从而20032x x x -=⇒00x =或01x =． 【答案】0或1【题6】 已知函数xe y x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值．【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】解答【关键词】【解析】 由于x e y x =，所以000()x e f x x =，又2(1)x e x y x ⋅-'=，00020(1)()x e x f x x -'∴=依题意得00()()0f x f x '+=，即000200(1)0x x e x e x x -+=，0210x ∴-=，得012x =． 【答案】12【题7】 设()ln x f x a e b x =⋅+，且1(1),(1)f e f e ''=-=，求实数,a b 的值． 【考点】导数的运算 【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】 ()x b f x ae x '=+，(1)f ae b e '=+=，1(1)a f b e e'-=-=，解得1,0a b ==． 【答案】1,0a b ==．板块三：导数的应用知识内容1．利用导数判断函数的单调性的方法：如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数． 2．利用导数研究函数的极值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点． 如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 3．求函数()y f x =的极值的方法： 第1步 求导数()f x '；第2步 求方程()0f x '=的所有实数根；第3步 考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．4．函数()f x 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值． 求函数最大（小）值的方法：第1步 求()f x 在指定区间内所有使()0f x '=的点；第2步 计算函数()f x 在区间内使()0f x '=的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．典例分析：原函数与导函数的图象【题1】 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（ ）D.C.B.A.【考点】原函数与导函数的图象 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 函数()f x 的顶点为2424b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，故有204b b c <<，，()2f x x b '=+，斜率为正，排除B ，D ；纵截距为负，排除C ．（即图象不过第四象限）【答案】A【题2】 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A.【考点】原函数与导函数的图象 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 由导函数的图象知()y f x =在(0)-∞，与(2)+∞，上单调递增，在(02)，上单调递减． 【答案】B【题3】 已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）D.C.B.A.【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】2005，江西，高考【解析】由图象知，(1)(1)0f f''=-=，结合图象知1x=±是函数()f x的极值点，又因为在(10)-，上，()0f x'<，在(01)，上，()0f x'<，因此在(11)-，上，()f x单调递减，故选C．要注意，若00()P x y，是函数()y f x=的极值点，则有()0f x'=，但是若()0f x'=，则是00()P x y，不一定是函数()y f x=极值点，所以要判断一个点是否为极值点，还要检验点P的两侧的单调性是否不同．【答案】C【题4】设()f x'是函数()f x的导函数，将()y f x=和()y f x'=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】2007，浙江，高考【解析】选项A中的直线为导函数图象；B中递减的曲线为导函数图象；C中上面的曲线为导函数图象，都没有矛盾．D中不论哪条曲线是导函数的图象，原函数都为单调的函数，故不可能．【答案】D函数的单调性【题5】函数214y xx=+的单调增区间为（）A．(0)+∞，B．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，C．(1)-∞-，D．12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】令2221(21)(421)80x x xy xx x-++'=-=>，得12x>．【答案】B【题6】三次函数3()1y f x ax==-在()-∞+∞，内是减函数，则（）A．1a=B．2a=C．0a≤D．0a<【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 23y ax '=，要()f x 在R 上为减函数，当且仅当0a <． 【答案】D【题7】 若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1)-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[1)-+∞，B ．(1)-+∞，C ．(1]-∞-，D ．(1)-∞-，【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2008，湖北，高考，题7【解析】 22()22b x x bf x x x x --+'=-+=++，当1x >-时，有()0f x ≤，又此时20x +>， 故220x x b --+≤，故222(1)1b x x x +=+-≤对一切(1)x ∈-+∞，成立，故1b -≤．【答案】C【题8】 若函数()221xf x x =-+，则()f x （ ） A ．在()-∞+∞，单调增加 B ．在()-∞+∞，单调减少C ．在(11)-，单调减少，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调增加D ．在(11)-，单调增加，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调减少【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 222222(1)222(1)(1)()(1)(1)x x x x x f x x x +-⋅+-'=-=++． 【答案】C【题9】 已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 ．【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】 函数在[1)+∞，上是单调增函数[){}1()0x f x '⇔+∞⊆，≥ ()*， 2()244f x x x a a '=++∆=-，，分类讨论：①当0∆≤，即440a -≤，即1a ≥时，()*条件成立；②当011130(1)0a a f ∆>⎧<⎧⎪-<⇔⎨⎨+⎩⎪'⎩≥≥，即31a -<≤时，()*条件成立；综上，当3a -≥时，()*条件成立，3a -≥为所求．【答案】[3)-+∞，【题10】 )(x f 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()af a bf b ≤B ．()()bf b af a ≤C ．()()af b bf a ≤D ．()()bf a af b ≤【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 (())()()0xf x xf x f x ''=+≤，故函数()xf x 在区间(,)a b 上是非增函数，有()()af a bf b ≥【答案】B【题11】 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 在区间(11)-，上不单调．．．，求a 的取值范围． 【考点】函数的单调性【难度】2星 【题型】解答【关键词】2009，浙江，高考【解析】 由()0f x '=，得1x a =，223a x +=-． 函数()f x 在区间(11)-，不单调，等价于()0f x '=在区间(11)-，上有实数解，且无重根．即1123a a a -<<⎧⎪+⎨-⎪⎩≠或211323a a a +⎧-<-<⎪⎪⎨+⎪-⎪⎩≠，解得1112a a -<<⎧⎪⎨-⎪⎩≠或5112a a -<<⎧⎪⎨-⎪⎩≠．所以a 的取值范围是115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．【答案】115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【题12】 已知函数()ln xf x x=． ⑴判断函数()f x 的单调性；⑵若()1y xf x x=+的图像总在直线y a =的上方，求实数a 的取值范围； ⑶若函数()f x 与()1263m g x x x =-+的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值．【考点】函数的单调性 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，宣武，二模，理，题19【解析】 ⑴可得21ln ()xf x x-'=． 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数．⑵依题意，转化为不等式1ln a x x<+对于0x >恒成立．令1()ln g x x x=+，则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭．当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()g x 是()1.+∞上的增函数，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 是()0,1上的减函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =， 从而a 的取值范围是(),1-∞．⑶转化为212ln 63x x x m =+-，ln y x =与21263y x x m =+-在公共点()00,x y 处的切线相同由题意知20000012ln 6311233x x x m x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴解得：01x =，或03x =-（舍去），代入第一式，即有56m =．【答案】⑴()f x 的单调增区间为(0,)e ，单调减区间为(,)e +∞；⑵(),1a ∈-∞；⑶56m =．【题13】 设a ∈R ，函数()()()()2121ln 1f x x a x =--+-+．⑴若函数()f x 在点()()00f ，处的切线方程为41y x =-，求a 的值； ⑵当1a <时，讨论函数()f x 的单调性．【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2009，西城，一模，题18【解析】 ⑴函数()f x 的定义域为()1-+∞，，()22221a f x x x -'=-+++2221x ax -+=+．因为()04f '=，所以2a =． ⑵当0a <时，因为10x +>，2220x a -+<，所以()0f x '<，故()f x 在()1-+∞，上是减函数；当0a =时，当()10x ∈-，时，()2201x f x x -'=<+，故()f x 在()10-，上是减函数，当()0x ∈+∞，时，()2201x f x x -'=<+，故()f x 在()0+∞，上是减函数，因为函数()f x 在()1-+∞，上连续，所以()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，由()22201x af x x -+'==+，得x =x =x 变化时，()f x '，()f x 的变化如情况下表：所以()f x 在1-，上为减函数、在+∞上为减函数；()f x 在上为增函数．综上，当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．【答案】⑴2a =；⑵当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．函数的极值【题14】 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【考点】函数的极值 【难度】2星【题型】填空【关键词】2005，全国，高考【解析】 2()323f x x ax '=++，又()f x 在3x =-取得极值，∴(3)0f '-=，即23(3)6305a a ⨯--+=⇒=．【答案】D【题15】 设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．ea 1-<【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2008，广东，高考，题9【解析】 x y e a '=+，由题意知0y '=有正根，故0a <，且ln()01a a ->⇒<-．【答案】A【题16】 函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】 2()3f x ax b '=+，(2)(2)120f f a b ''-==+=，又28(2)8243f a b -=--+=，4(2)8243f a b =++=-．解得13a =，4b =-． 【答案】13a =，4b =-．【题17】 求函数22()(0100)1a b f x x a b x x=+<<>>-，，的单调区间与极小值．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 2222222222(1)()(1)(1)a b b x a x f x x x x x --'=-+=--22()[()](1)a a b x b a x a a b x x ⎛⎫+--+ ⎪+⎝⎭=-． 当0x =时，()0b a x a a -+=>；当1x =时，()0b a x a b -+=>，∴01x <<时，恒有()0b a x a -+>，令()0f x '=，解得ax a b=+(01)∈，．当0a x a b <<+时，()0f x '<，当1ax a b<<+时，()0f x '>．∴函数()f x 在0a a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递减，在1a a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，上单调递增，故()f x 在a x a b =+处取得极小值为2()a f a b a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭．【答案】()f x 在0a a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递减，在1a a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，上单调递增； 极小值为2()a f a b a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭．【题18】 已知函数()()2223x f x x ax a a e =+-+（x ∈R ），其中a ∈R ．⑴当0a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率；⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 当0a =时，()2x f x x e =，()()22x f x x x e '=+，故()13f e '=．所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为3e ．⑵ ()()22224xf x x a x a a e '⎡⎤=++-+⋅⎣⎦．令()0f x '=，解得2x a =-，或2x a =-．由23a ≠知，22a a -≠-． 以下分两种情况讨论．① 若23a >，则22a a -<-．当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()2a -∞-，，()2a -+∞，内是增函数，在()22a a --，内是减函数函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且()223a f a ae --=．函数()f x 在2x a =-处取得极小值()2f a -，且()()2243a f a a a --=-． ② 若2a >，则22a a ->-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()2a -∞-，，()2a -+∞，内是增函数，在()22a a --，内是减函数． 函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且()()2243a f a a e --=-． 函数()f x 在2x a =-处取得极小值()2f a -，且()223a f a ae --=．【答案】⑴3e ；⑵见解析．【题19】 已知函数()6ln (0)f x x x =>和2()8g x ax x =+（a 为常数）的图象在3x =处有平行切线．⑴求a 的值；⑵求函数()()()F x f x g x =-的极大值和极小值．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 6()f x x'=，()28g x ax '=+，根据题意，得(3)(3)f g ''=，解得1a =-．⑵ 2()()()6ln 8F x f x g x x x x =-=+-，令6()280F x x x'=+-=，得13x =，∵01x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；13x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；3x >时，()0F x '>，()F x 单调递增．∴()F x 的极大值为(1)7F =-，()F x 的极小值为(3)6ln315F =-．【答案】⑴1a =-；⑵()F x 的极大值为(1)7F =-，()F x 的极小值为(3)6ln315F =-．【题20】 设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围；⑵若函数()f x 在x a =处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．【考点】函数的极值 【难度】2星【题型】解答【关键词】2010，丰台，一模，题18【解析】 ()()()()2331331f x x a x a x x a '=--+=--⑴∵函数()f x 在区间()1,4内单调递减， ∵(4)0f '≤，∴[)4,a ∈+∞．⑵∵函数()f x 在x a =处有极值是1，∴()1f a =．即()3223231313111222a a a a a a -+++=++=． ∴2(3)0a a -=，解得0a =或3． 当0a =时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()0f 为极大值， 这与函数()f x 在x a =处取得极小值是1矛盾，所以0a ≠．当3a =时，()f x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，所以()3f 为极小值， 所以3a =满足．故3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【答案】⑴[)4,a ∈+∞；⑵3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【题21】 设函数322()31(,)f x ax bx a x a b =+-+∈R 在1x x =，2x x =处取得极值，且122x x -=．⑴若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间；⑵若0a >，求b 的取值范围．【考点】函数的极值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2008，辽宁，高考，题22【解析】 22()323f x ax bx a '=+-．①⑴当1a =时，2()323f x x bx '=+-；由题意知12x x ，为方程23230x bx +-=的两根，所以12x x -=．由122x x -=，得0b =．从而2()31f x x x =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-．当()11x ∈-，时，()0f x '<；当()()11x ∈-∞-+∞，，时，()0f x '>．故()f x 在()11-，单调递减，在()1-∞-，，()1+∞，单调递增．⑵由①式及题意知12x x ，为方程223230x bx a +-=的两根，所以12x x -=．从而221229(1)x x b a a -=⇔=-， 由上式及题设知01a <≤．考虑23()99g a a a =-，22()1827273g a a a a a ⎛⎫'=-=-- ⎪⎝⎭．故()g a 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在213⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，从而()g a 在(]01，的极大值为2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又()g a 在(]01，上只有一个极值，所以2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭为()g a 在(]01，上的最大值，且最小值为(1)0g =．所以2403b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，即b的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 【答案】⑴0b =，()f x 在()11-，单调递减，在()1-∞-，，()1+∞，单调递增． ⑵b的取值范围为⎡⎢⎣⎦．【题22】 设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．⑴求证：当0ab >时，函数()f x 没有极值点； ⑵当12a b ==-，时，求()f x 的极值．⑶求证：当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．【考点】函数的极值 【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，．22222()2b a x b ax b a f x ax x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'=+==． 当0ab >时，02b a>，202bx a +>，()0f x '=无解， 所以当0ab >时，函数()f x 没有极值点．⑵2()2ln f x x x =-，22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-=， 又函数()f x 的定义域为(0)+∞，，故()f x '在(01)，上为负，在(1)+∞，上为正，故()f x 存在唯一的极小值点1x =，它有极小值(1)1f =．⑶当0ab <时，2()a x x f x x⎛- ⎝⎭⎝⎭'=， 令()0f x '=，得1(0)x =+∞，（舍去），2(0)x +∞，，当00a b ><，时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 当00a b <>，时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 综上所述，当0ab <时，当00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．当00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】⑴见解析；⑵()f x 存在唯一的极小值点1x =，它有极小值(1)1f =．⑶当00a b ><，时，()f x 有极小值1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当00a b <>，时，()f x 有极大值1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．函数的最值【题23】 已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5- B ．11- C ．29- D ．37- 【考点】函数的最值 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 2()6126(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '>，解得2x >或0x <；当02x <<时，()0f x '<；于是()f x 在(20)-，上单调增，在(02)，上单调减；于是()f x 在[22]-，上的最大值为(0)3f a ==．故32(2)2(2)6(2)337f -=⨯--⨯-+=-；32(2)226235f =⨯-⨯+=-，故()f x 在[22]-，的最小值为37-．【答案】D【题24】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值．【考点】函数的最值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008，全国Ⅱ，高考，题21 【解析】 ⑴2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．⑵由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤．反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，，26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶∵(0)01g =<，故()g x 不在0x =时取到最大值，故65a >． 此时，2()36(1)60g x ax a x '=+--=有两个相异的实根，记为12x x ，（120x x <<）， ∵0a >，故()g x 在2(0)x ，（12()x x ⊆，）上单调递减，在2()x +∞，上单调递增． 又()g x 在[02]，上的最大值不在0x =时取到，故必有22x <，且()g x 在最大值在2x =时取到，即5(2)1812(1)124g a a a ==+--⇒=．【答案】⑴1a =；⑵a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶54a =．【题25】 设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．⑴ 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；⑵ 当3a =时，求函数()f x 的单调性； ⑶ 当4a =，[1)x ∈+∞，时，求函数()f x 的最小值．【考点】函数的最值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 当1a =时，2()|ln 1|f x x x =+-．令1x =，易得(1)2f =，(1)1f '=，所以切点为(12)，，切线的斜率为1，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：10x y -+=．⑵ 当3a =时，223ln 3(0)()3ln 3()x x x e f x x x x e ⎧-+<⎪=⎨+-⎪⎩≤≥．当0x e <≤时，2323()2x f x x x x-'=-=，()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，]e ⎝内单调递增； 当x e ≥时，3()20f x x x'=+>恒成立，故()f x 在[)e +∞，内单调递增；综上，()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增． ⑶ ①当x e ≥时，2()4ln 4f x x x =+-，4()2f x x x'=+∴()0f x '>恒成立，()f x 在[)e +∞，上为增函数．故当x e =时，2min y e =．②当1x e <≤时，2()4ln 1f x x x =-+，42()2(f x x x x x x'=-=()f x 在[1上为减函数，在]e 上为增函数，因此当x min 242ln 22y =+=-．【答案】⑴10x y -+=；⑵()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增．⑶min 2ln 22y =-．【题26】 已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ． ⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【考点】函数的最值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2010，山东，高考22【解析】 ⑴ 因为()1ln 1af x x ax x-=-+-，所以()()222111'0a ax x af x a x x x x --+-=-+=-∈+∞，，令()21h x ax x a =-+-，()0x ∈+∞，，（ⅰ）当0a =时，()1h x x =-+，()0x ∈+∞，，所以当()01x ∈，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递； 当()1x ∈+∞，时，()0h x <，此时()'0f x >，函数()f x 单调递增． （ⅱ）当0a ≠时，()0f x '=， 即210ax x a -+-=，解得11x =，211x a=-． ①当12a =时，12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()'0f x ≤，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； ②当102a <<时，1110a->>，()01x ∈，时，()0h x >此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； 111x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增； 11x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； ③当0a <时，由于110a-<，()01x ∈，时，()0h x >，此时()'0f x <，函数()f x 单调递减； ()1x ∈+∞，时，()0h x <，此时()'0f x >，函数()f x 单调递增．综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减； 当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵因为102a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，由⑴知，11x =，()2302x =∉，，当()01x ∈，时，()0f x '<．函数()f x 单调递减；当()12x ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在单调递增，所以()f x 在()02，上的最小值为()112f =-．由于“对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥”等价于“()g x 在[]12，上的最小值不大于()f x 在()02，上的最小值12-”．又()()224g x x b b =-+-，[]12x ∈，，所以①当1b <时，因为()()min 1520g x g b ==->⎡⎤⎣⎦，此时与()*矛盾；②当[]12b ∈，时，因为()2min 40g x b =-⎡⎤⎣⎦≥，同样与()*矛盾；③当()2b ∈+∞，时，()()min 284g x g b ==-⎡⎤⎣⎦．解不等式1842b --≤，可得178b ≥．综上，b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【答案】⑴当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减； 当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．【题27】 已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，西城，一模，题19 【解析】 ⑴令()0f x =，得x a =-，所以函数()f x 的零点为a -．⑵函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，22()e xx ax a f x x +-'=⋅，令()0f x '=得12x x ==， 因为0a >，所以120,0x x <>，当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：所以()f x 在区间,⎛-∞ ⎝⎭上是增函数，在区间0⎫⎪⎪⎝⎭上是减函数． ⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上()f x 存在最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：由⑴知a -是函数()f x 的零点，因为10a x a --=-=>， 所以10x a <-<．由()1e x a f x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知，当x a <-时，()0f x >．又函数在1(,0)x 上是减函数，且102ax a <-<-<．所以函数在区间1,2a x ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且02a f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭．所以函数在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 计算得2e 2aa f -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．。
2013苏教版选修(1-1)3.1《导数的概念》word教案
3.1导数的概念教学目标：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一．导入新课本章主要内容是导数的概念，求导数的方法，以及导数的应用.本章的导数是微积分的重要组成部分.微积分是从生产技术与自然科学的需要中产生的;同时,又促进了生产技术和自然科学的发展.微积分不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日益显示出重要的功能.导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学.它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般性的方法,如求曲线的切线方程、函数的单调区间、不等式的证明、函数的最值及有关实际问题。
运用求导的方法不仅简便易行，而且形象直观，有助于对函数性质的深刻理解和认识。
二．讲授新课 1.曲线的切线设曲线C 是函数)(x f y =的图象，在曲线C 上取一点),(00y x P 及邻近的一点),(00y y x x Q ∆+∆+，过P ，Q 两点作割线，并分别过P ，Q 两点作x 轴与y 轴的平行线MP ，MQ ，又设割线PQ 的倾斜角为β，那么x MP ∆=，y MQ ∆=，βtan =∆∆x y ，xy ∆∆就是割线的斜率.当点),(00y y x x Q ∆+∆+沿着曲线无限接近于点),(00y x P ，即0→∆x 时，割线PQ 的极限位置PT 叫做曲线在点P 处的切线，设切线PT 的倾斜角为α，当0→∆x 时，割线PQ 的斜率的极限，是曲线在点P 处的切线的斜率，即0000()()tan limlim x x f x x f x yx xα∆→∆→+∆-∆==∆∆.2.瞬时速度物体作直线运动的位移公式是函数)(t s s =，从0t 到t t ∆+0（t ∆称为时间增量）这段时间内，物体的位移（即位移增量）是)()(00t s t t s s -∆+=∆，这段时间内物体的平均速度tt s t t s t s ∆-∆+=∆∆=)()(00υ,当0→∆t 时平均速度v 的极限，即 000()()lim lim t t s t t s t sv t t∆→∆→+∆-∆==∆∆,叫做物体在时刻t 的瞬时速度v . 3．边际成本设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ∆对成本的影响可用增量比qq C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时，qC∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）.瞬时速度、切线的斜率和边际成本，虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限.4.导数的概念对于函数)(x f y =，自变量x 在0x 处有增量x ∆，函数y 相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，比值xy∆∆就叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率，即x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00.如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在0x 处的导数（或变化率），记作)(0x f '或0x x y ='，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆. 简言之，导数是函数值的差与相应自变量的差的商的极限. 注：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0. (3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率.(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
2013白蒲中学高二数学教案极限与导数极限的概念苏教版
极 限 的 概 念（4月27日）教学目的：理解数列与函数极限的概念；教学重点：会推断一些简洁数列与函数的极限； 教学难点：数列与函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进展下去。
（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析改变趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析改变趋势。
视察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。
n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以随意地靠近A ，盼望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能到达我们所盼望的那么近。
”即“动点n a 到A 的间隔 A a n -可以随意小。
二、新课讲授1、数列极限的定义：一般地，假如当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近．．．．于．某个常数A （即A a n -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。
“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。
A a n n =∞→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________③思索：是否全部的无穷数列都有极限？例1：推断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1+n n，…； （3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n )1.0(-，…；（5）－1,1，－1，…，n )1(-，…；注：几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 ：)1(0lim <=∞→q q n n 2、当∞→x 时函数的极限（1） 画出函数xy 1=的图像，视察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的改变状况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作：01lim=+∞→x x一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，假如函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞→)(lim也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数xy 1=的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数x y 1=的极限是0，记作：01lim =-∞→x x一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，假如函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞→)(lim也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(（3）从上面的探讨可以知道，当自变量x 的肯定值无限增大时，函数xy 1=的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作01lim=∞→xx 一般地，当自变量x 的肯定值无限增大时，假如函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞→)(lim也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的肯定值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即 例2：推断下列函数的极限：（1）x x )21(lim +∞→ （2）x x 10lim -∞→ （3）21lim x x ∞→ （4）4lim ∞→x三、课堂小结 1、数列的极限2、当x ∞→时函数的极限 四、练习与作业1、推断下列数列是否有极限，若有，写出极限 （1）1，41，91，…，21n ，… ；（2）7，7，7，…，7，…； （3） ,2)1(,,81,41,21n n---；（4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，n101，…； （6）0，,32,21--…，11-n ，…；（7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…；PMNA BC（8）,51,59,54…，52n ，…；（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n ,…， 2、推断下列函数的极限：（1）x x 4.0lim +∞→ （2）x x 2.1lim -∞→（3）)1lim(-∞→x （4）41limxx ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）x x )45(lim -∞→（7）11lim 2+∞→x x （8）5lim ∞→x补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。
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导数的概念（5月4日）
教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程：
一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。
虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。
由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：
1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x
y
∆∆（也
叫函数的平均变化率）有极限即
x
y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数
)(x f y =在0x x →处的导数，记作0
/
x x y
=，即
x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim
)(000
0/
注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。
3.
x
y ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。
4.导数x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim
)(000
0/
是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，
它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)
(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/
0x x x f x f y -=-。
5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。
6.在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因
此，导数的定义式可写成0
0000/
)
()(lim
)
()(lim
)(0
x x x f x f x
x f x x f x f x x o
x --=∆-∆+=→→∆。
7.若极限x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000
不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
8.若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在。
反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数
)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线。
一般地，
x b a x =∆+→∆)(lim 0
，其中b a ,为常数。
特别地，a a x =→∆0
lim 。
如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。
称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即
)(/
x f ＝/
y ＝x
x f x x f x
y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)
()(lim
lim
函数)(x f y =在0x 处的导数0
/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导
数)(/x f 在0x 处的函数值，即0
/
x x y =＝)(0/
x f 。
所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作
)(0/
x f 。
注：1.如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间
),(b a 内可导。
2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。
它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/
x f 在点0x 的函数值。
3.求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/
x f ＝x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim 0
4.由导数的定义可知，求函数)(x f y =的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆。
（2）.求平均变化率
x x f x x f x
y ∆-∆+=
∆∆)
()(。
（3）.取极限，得导数/y ＝x
y x ∆∆→∆0
lim 。
例1.求122-=x y 在x ＝－3处的导数。
例2.已知函数x x y +=2 （1）求/y 。
（2）求函数x x y +=2在x ＝2处的导数。
小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。
练习与作业：
1.求下列函数的导数：
（1）43-=x y ； （2）x y 21-=
(3)x x y 1232
-= (3)3
5x y -=
2.求函数12
+=x y 在－1,0，1处导数。
3.求下列函数在指定点处的导数：
（1）2,02==x x y ； （2）0,3
102
==x x y ；
（3）1,)2(02=-=x x y （4）1,02-=-=x x x y .
4.求下列函数的导数：
（1）;14+=x y （2）210x y -=；
（3）;323
x x y -= （4）722
+=x y 。
5.求函数x x y 22-=在－2,0，2处的导数。