函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题

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高中数学导数知识点归纳总结与例题

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除导数考试内容：导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．§14. 导数知识要点导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导导数的运算数导数的运算法则函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处xx)y?f(x x00有增量，则函数值也引起相应的增量；比值x?y)(x?x)?f?y?f(x?00f(x??x)?f(x)y?00称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限x x?x?)xy?f(?00?x?xf(x??x)?f(x)?y00存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做x)?f(xy?limlim0xx??0?x?x?0?f(x??x)?f(x)?y'''00. =在记作处的导数，或，即)(xff)(xx)(xy?f|y?limlim000x?x?x?x00??x?0x?注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.x?x?'的定义域为，则与关系为②以知函数定义域为，. )fx(y?B?A)(xy?fBABA2. 函数在点处连续与点处可导的关系：)xf(?y xx00⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件. )f(xy?xx)fy?(x00可以证明，如果在点处可导，那么点处连续. xx)fy?xy?f()(x00事实上，令，则相当于.0x??x?xx??x?x00于是)]xf(?()(fx?x?fx)[?x?xf?xflim()lim(?)lim0000x?x?x?0?x?00只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除f(x??x)?f(x)f(x??x)?f(x)'0000(x)?0?f(x)?f(x).?lim[f??x?f(x)]?lim?lim?limf(x)?00000x??x0?0?x?0??x?x?0?x. 处可导，是不成立的处连续，那么在点⑵如果点xx)xf(y?y?f(x)00y?|x|?时，例：在点处连续，但在点处不可导，因为0，当＞0?xx?0|x?|f(x)x??00 x??xy??y?y，故；当. ＜0时，不存在x?lim1?1??xx??x?0??x.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 导数的几何意义：3.处的切线的斜率，在点函数在点处的导数的几何意义就是曲线x))f(xf()xy?f(x)(x,y?00'为程切线的斜率是方，处也就是说，曲线在点P的切线)fx())fxy?f(x),(x(00').?x?fx()(xy?y00 4. 求导数的四则运算法则：'''''''vu(u?v)??)??...fx(x)?f((x)f?y?f(x)?(x)?...?f(x)?y?f n2211n'''''''cvv?cvu?(cv)??(uv)c?vuv?（为常数）c'''u?vuvu???)(v?0??2vv??.必须是可导函数注：①v,u差、则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，②若两个函数可导，则它们和、.积、商不一定不可导22处均不可导，但它们和在例如：设，，则)(xf(x),g0x??)?cosx2sinx?(gx?f(x) xx.在处均可导0?x?)g(xf(x)?xx?cossin''''''??或5. 复合函数的求导法则：u??yy)f((u)f(x(x))?xxux. 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 6. 函数单调性：'为则如果＞0，⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，)fx()?f(y?fx)(xy'. 为减函数＜0，则增函数；如果)(xf)(xy?f ⑵常数的判定方法；'.=0，则如果函数在区间内恒有为常数)fx()y?f(?fx)(xyI3上并不是（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在是注：①f x?2y)??,xf() 0??(）递减的充分非必f，同样（x是f，有一个点例外即x 都有=0时（x）= 00) xf()0 f(x.要条件）（）（在其余各点均为正（或负），那么如果②一般地，fx在某区间内有限个点处为零，fx 只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权. 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的是函数，则（极值是在附近所有的点，都有＜7. 极值的判别方法：x)(x)f(x)xff(f(x)000的极大值，极小值同理）在点处连续时，当函数x)(xf0''是极大值；＜0附近的左侧①如果在，那么＞0，右侧))(ffx(xx)xf(00''.是极小值＞0②如果在附近的左侧，那么＜0，右侧)(xff)(xx)xf(00'①此外，函数不=0点两侧导数异号，而不是. 也就是说是极值点的充分条件是)fx(xx00 ②当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确可导的点也可能是函数的极值点..定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）'对于可导函. =0. 但反过来不一定成立注①：若点是可导函数的极值点，则)(xfx)xf(0. 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零数，其一点x0'3.不是极值点=0例如：函数，但，使)(xfx?(x)y?f0x?0x?.，在点②例如：函数处不可导，但点是函数的极小值点0x?0?x|y|xx)??f(极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进8.. 行比较.注：函数的极值点一定有意义9. 几种常见的函数导数：1''xcos(sinx)?'?)(arcsinxI.（为常数）C0C?2x?111n?n'''nx(x?)x)sin??(cosx?)?(arccosx （）R?n2x1?111'(arctanx)?''II. e?(logx?)log)(lnx aa2x?1xx1x'xx'x'e)(e?aaa)ln?(??x)(arccot 21x?求导的常见方法：III.(x?a)(x?a)...(x?a)1n12'.①常用结论：②形如或两?y)ax?a)...(x?(y?x?a)(?|)(ln|x n12(x?b)(x?b)...(x?b)x n12边同取自然对数，可转化求代数和形式.xx取自然对数之后可变形为这类函数，如③无理函数或形如，对两边xyy?x?xlny?xln'y1''xx x?xlnxyyxy?xx?ln??y?ln???.导数中的切线问题求导可得yx只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除例题1：已知切点，求曲线的切线方程32在点处的切线方程为（曲线）1x?y?x?31)?(1，例题2：已知斜率，求曲线的切线方程2的切线方程是（的平行的抛物线与直线）x?y04?x?y?2注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，bx?y?2?22，又因为，得，得，故选Ｄ．代入xy?0??2x?bx1????0b例题3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．3上的点的切线方程．求过曲线x?x?2y1)?(1，例题4：已知过曲线外一点，求切线方程1求过点且与曲线相切的直线方程．0)(2，?y x3，过点已知函数作曲线的切线，求此切线方程．练习题：xy??x3)xf，A(016)y?( 只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除看看几个高考题x??1,1?y处的切线方程为在点（2009全国卷Ⅱ）曲线1.2x?12f(x)?g(x)?xy?g(x)(1,g(1))处的切线方程为，曲线2010江西卷）设函数在点2.（y?2x?1y?f(x)(1,f(1))处切线的斜率为，则曲线在点x1?2xy?xe?。

高等数学基础概念解读及例题演练-导数与积分

x
、‘，，f
在
x
处的
(A）左、右导数都存在 (C）左导数不存在、右导数存在
(B）左导数存在、右导数不存在 (D）左、右导数都不存在
［答案］ B
2.导数的几何意义
）（））） y =f(x
’
在Xo处的导数／
x。）就是曲线 y = f(x
在点（布， f(xo
的切线斜率k，则：
L二．（（切线方程是y-f 与1J =f＇与）（x一与）
f｝忡忡忡）
n
可 si十巾子），
忡忡忡）］伊） =anc十仙子）；
[ln(ax+b)](n)
={-If-
,,
a
(n-1)!
（αx+b)"
机）
（�）
=(-If an
(ax+nb!）川
·
［例6］设y=(l+sinxY，则dy= _
［答案J -mix
e lr-0 ＝［例7］设叫树脚＋川确定则主＝二
5.隐函数求导法
）设y=y(x 由方程 F(x扑＝ 0确定，为求y’ ，可在方程 F(x,y)=O 两端直接对X求导，
解出y
’ ．
6.参数方程求导法
7.高阶导数
，（叫 (u 士νt) =u(n) ±v(n)
n) =ku("),(uv
k=O
注z
几个常用函数的高阶导数
） γ (eax+b 伊＞＝a
＋b ;
（（法线方程是 y-f(x。）＝二� f’ x。一） x-x0 )
(f’ （与）=t:O).
y x ［例 3] (2010数二）曲线 = 2 与曲线 y = a In x （α:;c O）相叨，则 a ＝一一－－

高等数学基础

高等数学基础第一节函数极限得定义及分析方法一.函数极限得定义定义1:当自变量x 无限趋近于0x (0x x ≠)时,如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A,就说当x 趋向0x 时,函数)(x f y =得极限就是A,记作A x f x x =→)(lim 0。

特别地,C C x x =→0lim ;00lim x x x x =→。

例题1:判断下列函数得极限:(1)x xx 0lim → (2)11lim 21--→x x x(3)121lim 220---→x x x x定义2:当自变量x 取正值且无限增大时,如果函数)(x f y =得值无限趋近于一个常数A,就说当x 趋向于正无穷大时,函数)(x f y =得极限就是A,记作:A x f x =+∞→)(lim 。

也可以记作,当x +∞→时,A x f →)(。

当自变量x 取负值而x 无限增大时,如果函数)(x f y =得值无限趋近于一个常数A,就说当x 趋向于负无穷大时,函数)(x f y =得极限就是A,记作:A x f x =-∞→)(lim 。

也可以记作,当x -∞→时,A x f →)(。

当自变量x 得绝对值无限增大时,如果函数)(x f y =得值无限趋近于一个常数A,就说当x 趋向于无穷大时,函数)(x f y =得极限就是A,记作:A x f x =∞→)(lim 。

也可以记作,当x ∞→时,A x f →)(特例:对于函数C x f =)((C 就是常数),当自变量x 得绝对值无限增大时,函数C x f =)(得值保持不变,所以当x 趋向于无穷大时,函数C x f =)(得极限就就是C ,即C C x =∞→lim 。

例题2:判断下列函数得极限:(1)xx )21(lim +∞→ (2)xx 10lim -∞→(3)21lim x x ∞→ (4)4lim ∞→x(5) )1lim(-∞→x (6)xx 2.1lim -∞→(7) 41lim x x ∞→ (8)11lim 2+∞→x x二.无穷小与无穷大定义1:如果函数当时得极限为零,那么称函数为当时得无穷小。

函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)

函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)题型与方法（选择、填空题）一、函数与导数1、抽象函数与性质主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）对策与方法：赋值法、特例法、数形结合例1：已知定义在$[0,+\infty)$上的函数$f(x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{2}{3}-4x$；当$x>1$时，$f(x)=af(x-1)$，$a\in R$，$a$为常数。

下列有关函数$f(x)$的描述：①当$a=2$时，$f(\frac{3}{2})=4$；②当$a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的值域为$[-2,2]$；③当$a>\frac{1}{2}$时，不等式$f(x)\leq 2a$恒成立；④当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的图像与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$。

其中描述正确的个数有（。

）【答案】C分析：根据题意，当$x>1$时，$f(x)$的值由$f(x-1)$决定，因此可以考虑特例法。

当$a=2$时，$f(x)$的值域为$[0,4]$，因此①正确。

当$a\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此不等式$f(x)\leq 2a$恒成立，③正确。

当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$，④正确。

因此，答案为$\boxed{\textbf{(C) }2}$。

高等数学习题及解答(极限,连续与导数)

高等数学习题库淮南联合大学基础部2008年10月第一章映射，极限，连续习题一集合与实数集基本能力层次：1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }.2：证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2＝4n 2+4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。

即结论成立。

基本理论层次：习题二函数、数列与函数极限基本能力层次1：解：2：证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay bx cy a+=-，所以 ()x f y = 所以命题成立3：（1）22x y -= （2）lg(sin )y x x =+（3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥⎧⎫=⎨⎬<⎩⎭解：4：用极限定义证明： 1lim1n n n →∞-=(不作要求)证明：因为 ω∀ 有11|1|n n n ω--=<成立,只要1n ω>取N ＝[1ω]，则当n>N 时,就有11|1|n n nω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立5：求下列数列的极限（1）lim 3n n n→∞ （2）222312limn n n →∞+++（3）（4）1lim 1n n→∞+解：（1） 233nn n n <,又2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于2223312(1)(21)111(1)(2)6n n n n n n n n n+++++==++又因为：1111lim (1)(2)63n n n n →∞++=,所以：2223121lim3n n n →∞+++ （3）因为：所以：（4）因为：11111n n n ≤+≤+，并且1lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得111n n+=6：解：由于7：解：8：9：习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本理论层次1：解：同理：（3），（4）习题四无穷小的比较、函数的连续及性质基本理论层次1：（1）（2）2：第二章一元微分学及应用习题一导数及求导法则、反函数及复合函数的导数.基本理论层次21,1,,,,1()(1)(1)lim lim 1x a b x bx x f x f bx x ⎧+≥⎪⎨-+<⎪⎩-+-==-2222-ax 1.设f(x)=试求常数使f(x)在x=1处可导。

高中数学极限试题及答案

高中数学极限试题及答案1. 极限的概念（1）若函数$ f(x) $在点$ x_0 $的某个去心邻域内有定义，且存在常数$ A $，使得当$ x $在$ x_0 $的去心邻域内且$ x \neq x_0 $时，都有$ |f(x) - A| < \epsilon $，则称$ A $是函数$ f(x) $在点$ x_0 $处的极限，记作$ \lim_{x \to x_0}f(x) = A $。

（2）若$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $，则称$ f(x) $在$ x_0 $处的极限存在，否则称为极限不存在。

2. 极限的运算法则（1）若$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $，$ \lim_{x \to x_0} g(x) = B $，则$ \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = A + B $。

（2）若$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $，$ \lim_{x \to x_0} g(x) = B $，则$ \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = A\cdot B $。

（3）若$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $，$ \lim_{x \to x_0} g(x) = B $，则$ \lim_{x \to x_0} (f(x) / g(x)) = A / B $（前提是$ B \neq 0 $）。

3. 极限的计算（1）计算极限$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $。

答案：$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $。

（2）计算极限$ \lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 2) $。

高中数学函数极限的概念及相关题目解析

高中数学函数极限的概念及相关题目解析在高中数学中，函数极限是一个重要的概念。

它不仅在高中数学中占有重要地位，而且在大学数学中也是一个基础和重要的概念。

理解和掌握函数极限的概念对于学生们来说至关重要。

本文将从函数极限的定义、性质以及相关题目解析等方面进行讲解，帮助高中学生和家长更好地理解和应用函数极限。

一、函数极限的定义函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。

具体来说，对于函数f(x)，当x趋于无穷大或者某个特定值a时，如果存在一个常数L，使得当x趋于无穷大或者a时，f(x)趋于L，那么我们就称函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限为L。

二、函数极限的性质1. 函数极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是唯一的。

2. 函数极限的有界性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是有界的。

3. 函数极限的保号性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在且大于（或小于）0，那么它的函数值在某个邻域内都大于（或小于）0。

三、函数极限的计算方法在计算函数极限时，我们常常会遇到一些特殊的极限形式，如0/0、无穷大/无穷大等。

下面通过具体的题目来说明函数极限的计算方法。

例题1：计算极限lim(x→0)(sinx/x)。

解析：当x趋于0时，sinx/x的极限形式为0/0，这是一个不定型。

我们可以利用泰勒展开或洛必达法则来计算这个极限。

首先，我们可以使用泰勒展开将sinx 展开成x的幂级数，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...，那么sinx/x=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。

当x趋于0时，高次项的幂都趋于0，因此我们只需要保留x的一次幂的项，即lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(1)=1。

例题2：计算极限lim(x→∞)(x/(x+1))。

解析：当x趋于无穷大时，x/(x+1)的极限形式为∞/∞，这也是一个不定型。

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知识网数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法：(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法.②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论.(2)数学归纳法步骤:①验证当n取第一个n时结论()P n成立;②由假设当n k=（,k N k n+∈≥）时,结论()P k成立，证明当1n k=+时,结论(1)P k+成立;根据①②对一切自然数n n≥时，()P n都成立.2.数列的极限(1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即na a-无限地接近于),那么就说数列{}na以a为极限,或者说a是数列{}na的极限.记为limnna a→∞=或当n→∞时，na a→.(2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,limn nn na ab b→∞→∞==，那么lim()n nna b a b→∞±=±；lim();n nna b a b→∞⋅=⋅lim(0)nnna abb b→∞=≠特别地，如果C是常数，那么lim()lim limn nn n nC a C a Ca→∞→∞→∞⋅=⋅=.⑶几个常用极限: ①limnC C→∞=（C 为常数）②lim0nan→∞=k（,a k 均为常数且N*∈k）③（1)1lim0(1)(1或1)不存在nnqq qq q④首项为1a，公比为q（1q<）的无穷等比数列的各项和为lim1nnaSq→∞=-.注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限.⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.数学归纳法、数列的极限与运算例 1. 某个命题与正整数有关，若当)(*Nkkn∈=时该命题成立，那么可推得当=n1+k时该命题也成立，现已知当5=n时该命题不成立，那么可推得（）(A)当6=n时，该命题不成立(B)当6=n时，该命题成立(C)当4=n时，该命题成立(D)当4=n时，该命题不成立例2.用数学归纳法证明:“)1(111212≠--=++++++aaaaaann”在验证1=n时，左端计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a+1 (C)21aa++ (D)321aaa+++例3.2221lim2nnn→∞-+等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－21(D)21例4. 等差数列中，若nnSLim∞→存在，则这样的数列( )(A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在例5.lim(1)nn n n→∞+-等于( ) (A)13(B)0 (C)12(D)不存在例6.若2012(2)n nnx a a x a x a x+=++++，12n nA a a a=+++，则2lim83nnnAA→∞-=+( )(A)31-(B)111(C)41(D)81-例7. 在二项式(13)nx+和(25)nx+的展开式中，各项系数之和记为,,n na b n是正整数，则2lim34n nnn na ba b→∞--=.例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项Na∈1，公比为q，且nnaaaSNq+++=∈21,1，且3lim=∞→nnS，则=+21aa_____ .例9. 已知数列{na}前n项和11(1)n n nS bab=-+-+, 其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若limnnS→∞=存在，则limnnS→∞=________．例10.若数列{na}的通项21na n=-，设数列{nb}的通项11nnba=+，又记nT是数列{nb}的前n项的积．（Ⅰ）求1T，2T，3T的值；（Ⅱ）试比较nT与1+na的大小，并证明你的结论．例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式=11lim lim21111n nnn nn→∞→∞==++++例6.A例7.12例8.38例9.1 例10(见后面)导数例21. f(x)=ax3+3x2+2,若(1)4f'-=,则a的值等于( )(A)319(B)316(C)313(D)310例22. f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则( )(A)f(x)=g(x) (B)f(x)－g(x)为常数函数(C)f(x)=g(x)=0 (D)f(x)+g(x)为常数函数例23. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f'(x)的图象可能为( )例24. 已知曲线S:y=3x－x3及点(2,2)P-,则过点P可向S引切线的条数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3例25. 函数cos siny x x x=-在下面哪个区间内是增函数（）3()(,)22Aππ()(,2)Bππ35()(,)22Cππ()(2,3)Dππ例26. y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于( )(A)6 (B)0 (C)5 (D)1例27. 函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( )(A)1，－1 (B)3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19例28.设l1为曲线y1=si nx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cos x在点(2π,0)处的切线，则l1与l2的夹角为___________.例29. 设函数f(x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为.例30.已知函数32()(,)f x x ax b a b R=-++∈（Ⅰ）若函数)(xf图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：33a-<<；（Ⅱ）若[]0,1x∈，函数()y f x=图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论1k≤的充要条件。

数学基础知识与典型例题(第十一章函数极限与导数)答案例10. [解]（1）21na n=-,∴11111112211T ba==+=+=⨯-21221182(1)2(1)2213T b ba=⋅=⋅+=+=⨯-,31233818116(1)(1)332315T b b ba=⋅⋅=+=+=⨯-（2）由（1）中可猜想得T n＞1+na；只须证明对于*n N∈111(11)(1)(1)(1)213521nn+++++-设n=1时，左=1+1=2，右=3，∵2＞3，故原不等式成立；假设n=k（k≥1）时，原不等式成立，即12)1211()511)(311)(11(+>-++++kk，当n=k+1时，不等式左边为11111(11)(1)(1)(1)[1]21(1)35212(1)121kk k k+++++++-+-+12121(1)2)21kk kk+++=++,不等式的右边为32+k，只须得出)22(1212+++kkk＞32+k，事实上2212)kk⎫++⎪⎪⎝⎭－(223k+=22484(483)21k k k kk++-+++=121k+＞0，故)22(1212+++kkk＞32+k成立，从而1111(11)(1)(1)(1)[1]35212(1)1k k+++++-+-＞32+k。

即n=k+1时不等式也成立,∴对于n∈N,则有111(11)(1)(1)(1)213521nn+++++-.例20. 解：x＝0是此分段函数的分界点，而lim()xf x→存在的充要条件是lim()xf x-→与lim()xf x+→都存在且相等。

∴lim()xf x-→＝lim(cos1)xx-→+＝2，lim()xf x+→＝lim(sin)xa xb b+→+=，∴当b＝2，a取任意实数时，lim()xf x→存在，其值为2.例21.D 例22.B 例23.D例24. C设S上的切点00(,)x y求导数得斜率，过点P可求得:200(1)(2)0x x+-=.例25.B 例26.A例27.B 例28. 90°例29. [ 1，35](写开区间也可以)例30.本题考查（1）导数的几何意义（2）恒成立问题中参数取值范围的求法.（3）分析问题解决问题的能力.需要学生熟练掌握求最值的方法.解：（1）依题意，由32()f x x ax b=-++，则2()32f x x ax'=-+.又函数)(xf图像上任意一点切线的斜率小于1，即2()321f x x ax'=-+<亦即23210x ax-+>对任意的x R∈恒成立. 故24120a∆=-<，即33a<<（2）由题可知，原问题等价于2()321f x x ax'=-+≤对[]0,1x∈恒成立.当0x=时，显然有(0)01f'=≤，故当(0,1]x∈时21321x ax--+≤≤,从而11323x a xx x-+≤≤（※）对(0,1]x∈恒成立. 令11()3,()3u x x v x xx x=-=+.则可知1()3u x xx=-在(0,1]上递增，故max()(1)2u x u==1()323v x xx=+≥3(0,1]x，故min()23v x=要使（※）恒成立只须max min()2()u x a v x≤≤，即13a≤1k≤在[]0,1x∈的充要条件.。