函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题

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数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法：

(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.

归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.

①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法.

②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法

数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论.

(2)数学归纳法步骤:

①验证当n取第一个

n时结论

()

P n成立;

②由假设当n k

=（

,

k N k n

+

∈≥）时,结论()

P k成立，证明当1

n k

=+时,结论(1)

P k+成立;

根据①②对一切自然数

n n

≥时，()

P n都成立.

2.数列的极限

(1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即

n

a a

-无限地接近于),那么就说数列

{}

n

a以a为极限,或者说a是数列{}

n

a的极限.记为

lim

n

n

a a

→∞

=或当n→∞时，

n

a a

→.

(2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim

n n

n n

a a

b b

→∞→∞

==，

那么lim()

n n

n

a b a b

→∞

±=±；lim();

n n

n

a b a b

→∞

?=?lim(0)

n

n

n

a a

b

b b

→∞

=≠

特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim

n n

n n n

C a C a Ca

→∞→∞→∞

?=?=.

⑶几个常用极限: ①lim

n

C C

→∞

=（C 为常数）②lim0

n

a

n

→∞

=

k

（,a k 均为常数且N*

∈

k）

③

（1)

1

lim0(1)

(1或1)

不存在

n

n

q

q q

q q

④首项为

1

a，公比为q（1

q<）的无穷等比数列的各项和为lim

1

n

n

a

S

q

→∞

=

-

.

注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限.

⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.

数

学

归

纳

法

、数

列

的

极

限

与

运

算

例 1. 某个命题与正整数有关，若当)

(*

N

k

k

n∈

=时该命题成立，那么可推得当

=

n1

+

k时该命题也成立，现已知当5

=

n时该命题不成立，那么可推得（）

(A)当6

=

n时，该命题不成立(B)当6

=

n时，该命题成立

(C)当4

=

n时，该命题成立(D)当4

=

n时，该命题不成立

例2.用数学归纳法证明:“)1

(

1

1

1

2

1

2≠

-

-

=

+

+

+

+

+

+a

a

a

a

a

a

n

n

”在验证1

=

n时，左端

计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a

+

1 (C)2

1a

a+

+ (D)3

2

1a

a

a+

+

+

例3.2

2

21

lim

2

n

n

n

→∞

-

+

等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－

2

1

(D)

2

1

例4. 等差数列中，若

n

n

S

Lim

∞

→

存在，则这样的数列( )

(A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在

例5.lim(1)

n

n n n

→∞

+-等于( ) (A)

1

3

(B)0 (C)

1

2

(D)不存在

例6.若2

012

(2)n n

n

x a a x a x a x

+=++++，

12

n n

A a a a

=+++，则2

lim

83

n

n

n

A

A

→∞

-

=

+

( )

(A)

3

1

-(B)

11

1(C)

4

1(D)

8

1

-

例7. 在二项式(13)n

x

+和(25)n

x+的展开式中，各项系数之和记为,,

n n

a b n是正整

数，则

2

lim

34

n n

n

n n

a b

a b

→∞

-

-

=.

例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N

a∈

1

，公比为q，且

n

n

a

a

a

S

N

q

+

+

+

=

∈

2

1

,

1，

且3

lim=

∞

→

n

n

S，则=

+

2

1

a

a_____ .

例9. 已知数列{

n

a}前n项和1

1

(1)

n n n

S ba

b

=-+-

+

, 其中b是与n无关的常数，且0

＜b＜1，若lim

n

n

S

→∞

=存在，则lim

n

n

S

→∞

=________．

例10.若数列{

n

a}的通项21

n

a n

=-，设数列{

n

b}的通项

1

1

n

n

b

a

=+，又记

n

T是数

列{

n

b}的前n项的积．

（Ⅰ）求

1

T，

2

T，

3

T的值；（Ⅱ）试比较

n

T与

1+

n

a的大小，并证明你的结论．

例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式

=11

lim lim

2

11

11

n n

n

n n

n

→∞→∞

==

++

++

例6.A例7.

1

2

例8.

3

8

例9.1 例10(见后面)

导数例21. f(x)=ax3+3x2+2,若(1)4

f'-=,则a的值等于( )

(A)

3

19

(B)

3

16

(C)

3

13

(D)

3

10

例22. f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则( )

(A)f(x)=g(x) (B)f(x)－g(x)为常数函数(C)f(x)=g(x)=0 (D)f(x)+g(x)为常数函数

例23. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f'(x)的图象

可能为( )

例24. 已知曲线S:y=3x－x3及点(2,2)

P-,则过点P可向S引切线的条数为( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

例25. 函数cos sin

y x x x

=-在下面哪个区间内是增函数（）

3

()(,)

22

A

ππ

()(,2)

Bππ

35

()(,)

22

C

ππ

()(2,3)

Dππ

例26. y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于( )

(A)6 (B)0 (C)5 (D)1

例27. 函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( )

(A)1，－1 (B)3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19

例28.设l1为曲线y1=si nx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cos x在点(

2

π

,0)处的切线，

则l1与l2的夹角为___________.

例29. 设函数f(x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx

的单调递减区间为.

例30.已知函数32

()(,)

f x x ax b a b R

=-++∈

（Ⅰ）若函数)

(x

f图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：33

a

-<<；

（Ⅱ）若[]

0,1

x∈，函数()

y f x

=图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论1

k≤

的充要条件。

数学基础知识与典型例题(第十一章函数极限与导数)答案

例10. [解]（1）21

n

a n

=-,∴

11

1

11

112

211

T b

a

==+=+=

?-

212

2

118

2(1)2(1)

2213

T b b

a

=?=?+=+=

?-

,

3123

3

818116

(1)(1)

332315

T b b b

a

=??=+=+=

?-

（2）由（1）中可猜想得T n＞

1+

n

a；只须证明对于*

n N

∈111

(11)(1)(1)(1)21

3521

n

n

+++++

-

设n=1时，左=1+1=2，右=3，∵2＞3，故原不等式成立；

假设n=k（k≥1）时，原不等式成立，即1

2

)

1

2

1

1(

)

5

1

1

)(

3

1

1

)(

1

1(+

>

-

+

+

+

+k

k

，

当n=k+1时，不等式左边为11111

(11)(1)(1)(1)[1]21(1)

35212(1)121

k

k k k

+++++++

-+-+

121

21(1)2)

21

k

k k

k

+

++=+

+

,不等式的右边为3

2+

k，

只须得出)2

2(

1

2

1

2

+

+

+

k

k

k＞3

2+

k，事实上2

21

2)

k

k

?

+

+??

??

－(2

23

k+

=22

484(483)

21

k k k k

k

++-++

+

=1

21

k+

＞0，故)2

2(

1

2

1

2

+

+

+

k

k

k＞3

2+

k成立，

从而1111

(11)(1)(1)(1)[1]

35212(1)1

k k

+++++

-+-

＞3

2+k。

即n=k+1时不等式也成立,∴对于n∈N,则有111

(11)(1)(1)(1)21

3521

n

n

+++++

-

.

例20. 解：x＝0是此分段函数的分界点，

而

lim()

x

f x

→

存在的充要条件是

lim()

x

f x

-

→

与

lim()

x

f x

+

→

都存在且相等。

∴

lim()

x

f x

-

→

＝

lim(cos1)

x

x

-

→

+＝2，

lim()

x

f x

+

→

＝

lim(sin)

x

a x

b b

+

→

+=，

∴当b＝2，a取任意实数时，

lim()

x

f x

→

存在，其值为2.

例21.D 例22.B 例23.D例24. C设S上的切点

00

(,)

x y求导数得斜率，过点P可求

得:2

00

(1)(2)0

x x

+-=.例25.B 例26.A例27.B 例28. 90°例29. [ 1，

3

5

](写开区间也可以)

例30.本题考查（1）导数的几何意义（2）恒成立问题中参数取值范围的求法.

（3）分析问题解决问题的能力.需要学生熟练掌握求最值的方法.

解：（1）依题意，由32

()

f x x ax b

=-++，则2

()32

f x x ax

'=-+.

又函数)

(x

f图像上任意一点切线的斜率小于1，即2

()321

f x x ax

'=-+<

亦即2

3210

x ax

-+>对任意的x R

∈恒成立. 故2

4120

a

?=-<，即33

a

<<

（2）由题可知，原问题等价于2

()321

f x x ax

'=-+≤对

[]

0,1

x∈恒成立.

当0

x=时，显然有(0)01

f'=≤，故当(0,1]

x∈时2

1321

x ax

--+

≤≤,从而11

323

x a x

x x

-+

≤≤

（※）

对(0,1]

x∈恒成立. 令11

()3,()3

u x x v x x

x x

=-=+.则可知

1

()3

u x x

x

=-在(0,1]上递增，故

max

()(1)2

u x u

==1

()323

v x x

x

=+≥

3

(0,1]

x，故min

()23

v x=

要使（※）恒成立只须

max min

()2()

u x a v x

≤≤，即13

a

≤1

k≤在[]

0,1

x∈的充要条件.