极限的性质与四则运算法则
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
03极限的运算法则与性质
解
x2
x 2 x 2
lim
lim
x2 x 2 x2 x 2 x 2
x 2 x 2
lim
2 2.
x2
x2
上例给出了无理函数求极限的一般方法: 有理化.
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铃
例8 求 lim 4x 1 3. x2 x 2 2
解
lim
4x 1 3
x2 x 2 2
4x 1 3 4x 1 3 x 2 2 lim
x2 x 2 2 x 2 2 4x 1 3
4 x 2
lim
x 2 2 8.
x2 x 2 4x 1 3 3
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铃
二、极限的性质
1. 收敛数列的有界性
定理 收敛数列必有界.
x1 x3
【
M1
(
xN+1 xN+3
xN+2
)
a
xN
a 1
a 1
推论: 无界数列必发散.
x2 】 M2 x
注意, 该定理不是充分必要条件.
例如数列 xn 1 n1 是有界数列但是发散的.
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铃பைடு நூலகம்
与数列的有界性定理平行的是:
定理 （局部有界性）如果极限 lim f (x)存在 , 那么
x2
x2
x2
2 22 4 2 31 13.
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铃
由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式:
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
性质与极限运算法则
且 g( x) A，lim f ( x) B, 则 lim f [g( x)] B.
xA
xX
这一性质是用变量替换求极限的理论基础，
lim f [ g( x)] lim f ( y ) B.
xX
y A
注意条件 g( x) A 不能省去.
例1. lim sin x 1 x0 x
例如：lim sin x ? 0 x x
lim sin x x x
?
2
2
2、在lim sin x中，若x是一个其他的变量，(例如是x的函数)， x x0
记作* 那么如果满足下列两点，则lim sin* 1仍成立。 * *0
(1)三个* 处是相同的；
(2) * 表示的变量必须是趋于0的。
第2.3节
第二章
函数极限的性质与运算法则
一 、极限的性质与四则运算法则 二、 极限四则运算法则的应用
一、极限的性质与四则运算法则
定义2.3 函数 f ( x) 称为在 x x0 下是有界的, 如果 有一个 x0 的去心邻域 O ( x0 ) \ { x0 }, f ( x) 在其中是有 界的, 即存在 M 0, 使得 x O ( x0 ) \ { x0 } 时
(3)
lim
e
1 x2
y
1 x2
lim e y
x0
y
1
lim
y
e
y
0.
2、极限四则运算的应用 利用极限四则运算法则求极限时，必须满足定理的条件：
参加求极限的函数应为有限个，每个函数的极限都必须存在 考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。
例1、求极限 lim 2x2 x 5 (直接代入法) x2 3x 1
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
最新1.4极限的性质与四则运算法则
1.4极限的性质与四则运算法则第四节极限的性质与四则运算法则教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限；教学重点：有理函数极限的计算；教学过程：一、复习无穷大和无穷小的概念及性质二、讲解新课：一、函数极限的性质定理1：（保号性）设«Skip Record If...»，（i）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
（ii）若«Skip Record If...»，必有«Skip Record If...»。
证明：（i）先证«Skip Record If...»的情形。
取«Skip Record If...»，由定义，对此«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»。
当«Skip Record If...»时，取«Skip Record If...»，同理得证。
（ii）(反证法)若«Skip Record If...»，由(i)«Skip Record If...»矛盾，所以«Skip Record If...»。
当«Skip Record If...»时，类似可证。
注：(i)中的“«Skip Record If...»”，“«Skip Record If...»”不能改为“«Skip Record If...»”，“«Skip Record If...»”。
2.3极限性质、法则
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,
极限的性质及运算法则
去心邻域 在该邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 定理3 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)
而且 lim f(x)=A 那么 A0(或 A0)
x x0
推论 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=b 那么ab
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2x3 x2 5 lim = 2 2x 1 x 3x
•讨论
有理函数的极限 lim
a0 x n a1x n 1 an b0 xm b1 x m 1 bm
x
=?
•提示
0 0 a0 x n a1x n 1 an a0 a0 x n a1x n 1 an a0 lim lim = = m b x m 1 b m b x m 1 x b x x b x bm b b 0 0 1 1 m 0 0
当 Q ( x 0 ) = 0 且 P ( x 0 ) 0 时
lim
当Q(x0)=P(x0)=0时 约去分子分母的公因式(xx0)
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3x3 4x2 2 例5 例 5 求 lim 3 5x 2 3 x 7 x
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
二、极限的四则运算法则
定理5 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 则 lim[f(x)g(x)] 存在 并且 lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim [c f(x)]=c lim f(x) (c 为常数)
x 1 x 1 x 1 x 1
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第四节 极限的性质与四则运算法则
教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限； 教学重点：有理函数极限的计算； 教学过程：
一、复习无穷大和无穷小的概念及性质 二、讲解新课：
一、函数极限的性质 定理1：（保号性）设A x f x x =→)(lim 0
，
（i ） 若)0(0<>A A ，则0>∃δ，当),(0δ∧
∈x U x 时，0)(>x f )0)((<x f 。
（ii ） 若)0)((0)(≤≥x f x f ，必有)0(0≤≥A A 。
证明：（i ）先证0>A 的情形。
取2
A =ε，由定义，对此0,>∃δε，当),(0δ∧∈x U x 时，
2)(A A x f =<-ε，即0)(2
32)(220>⇒=+<<-=<x f A
A A x f A A A 。
当0<A 时，取2
A
-=ε，同理得证。
（ii ）(反证法)若0<A ，由(i)0)(<⇒x f 矛盾，所以0≥A 。
当0)(<x f 时，类似可证。
注：(i)中的“>”，“<”不能改为“≥”，“≤”。
在(ii)中，若0)(>x f ，未必有0>A 。
二、极限四则运算法则
由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且
)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当
100δ<-<x x 时，有2
)(ε
<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当2
00δ<-<x x 时，有2
)(ε
<
-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有
εε
ε
=+
<
-+-≤-+-=+-+2
2
)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f
所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且
)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记
αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。
推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。
定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)
(lim )
(lim )()(lim
x g x f B A x g x f ==。
证明：设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差：
)
()()(ββ
αβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f 其分子βαA B -为无穷小，分母0)(2≠→+B B B β，我们不难证明
)
(1β+B B 有界（详细过程见书上）)(ββα+-⇒
B B A B 为无穷小，记为γ，所以γ+=B
A
x g x f )()(，
B
A
x g x f =⇒)()(lim。
注：以上定理对数列亦成立。
定理4：如果)()(x x ψϕ≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，则b a ≥。
【例1】b ax b x a b ax b ax x x x x x x x x +=+=+=+→→→→00
lim lim lim )(lim 。
【例2】n
n x x n x x x x x 0]lim [lim 0
==→→。
推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 为一多项式，当
)()(lim 0011
1000
x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ 。
推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，则)
()
()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→。
【例3】31151105(lim 221
-=+⨯-=+-→x x x 。
【例4】33
009070397lim 53530-=+--⨯+=+--+→x x x x x （因为03005
≠+-）。
注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。
【例5】求3
22
lim 221-+-+→x x x x x 。
解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ，
所以 5
3
322lim 322lim 12
21=++=-+-+→→x x x x x x x x 。
【例6】求)1
3
11(
lim 31+-+-→x x x 。
解：当1
3
,11,13
++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时， 1
2)1)(1()2)(1(1311223+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以 11
)1()1(2112lim )1311(
lim 22131
-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x 。
【例7】求2
lim 2
2-→x x x 。
解：当2→x 时，02→-x ，故不能直接用定理5，又42→x ，考虑：
042
22lim
2
2
=-=-→x
x x ， ∞=-⇒→2
lim
2
2x x x 。
【例8】若3)
1sin(lim 221=-++→x b
ax x x ，求a ,b 的值。
当1→x 时，1~)1sin(2
2
--x x ，且0)(lim 2
1
=++→b ax x x
10, =(1)a b b a ++=-+
222
(1)(1)(1)
1(1)(1)(1)(1)
x ax b x ax a x x a x x x x x +++-+-++==--+-+ 2212
lim 3124, 5
x x ax b a x a b ->+++==-==- 【例9】设n m b a ,,0,000≠≠为自然数，则
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧>∞
<==++++++--∞→时
当时当时当m n m n m n b a b x b x b a x a x a m m m n n n x 0lim
001101
10 。
证明：当∞→x 时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：
m
m
n n m n x m m m n n n x x b x b b x a x a
a x
b x b x b a x a x a ++++++⋅=++++++-∞→--∞→ 1010110110lim lim
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>++++++⋅∞<++++++⋅=++++++⋅
=时
当时当时当m n b a m n b a m n b a 0
000000
00000010000
00 【例10】求)21(
lim 2
22n n n n n +++∞→ 。
解：当∞→n 时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形：
原式2
1
21lim 2)1(1lim )21(1lim 22=+=+⋅=+++=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n 。
【例11】证明[][]x x
x x ,1lim
=∞→为x 的整数部分。
证明：先考虑[][]x x x x x -=-
1，因为[]x x -是有界函数，且当∞→x 时，01→x
，所
以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得
[][][]1lim
0)1(lim 0lim =⇒=-⇒=-∞→∞→∞→x x x
x x x x x x x 。
三、课堂练习： 四、布置作业：
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
请预览后才下载，期待您的好评与关注！）。