第43课(教师版)平行四边形性质复习
教案-初二-平行四边形章节复习(教师版)
教学目标1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理.重点难点重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法，三角形中位线定理； 难点：平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法。
平行四边形章节复习一. 上节回顾知识点回顾与分析二、本节内容知识点一：平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等.高底平行四边形⨯=S【例1-1】如图，在口ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE 与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC,AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）又∵DF∥BE（已知）∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF又∵AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴AF∥CE∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB,通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．【答案】AB＝DE＋DF，提示：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠C＝∠EDB∴DF＝AE．∵△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EDB，∴DE＝BE，∴AB＝AE＋BE＝DF＋DE【例1-2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=12BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G ，∠1=∠B ．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．【例1-3】如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）．以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP BE （点P 、E 在直线AB 的同侧），如果BD ＝14AB ，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为（ ） A ．14 B ．35 C ．15 D ．34【答案与解析】解：过点P 作PH ∥BC 交AB 于H ，连接CH ，PF ， ∵APBE ，∴四边形APEB 是平行四边形， ∴PE ∥AB ，PE ＝AB ，∵四边形BDEF 是平行四边形， ∴EF ∥BD ，EF ＝BD ， 即EF ∥AB ， ∴P ，E ，F 共线，设BD ＝a ，∵BD ＝14AB ，∴PE ＝AB ＝4a ， 则PF ＝PE －EF ＝3a ，∵PH ∥BC ，∴HBC BC S S △△P ， ∵PF ∥AB ，∴四边形BFPH 是平行四边形， ∴BH ＝PF ＝3a ，∵:HBC ABC S S △△＝BH ：AB ＝3a ：4a ＝3：4， ∴:BC ABC S S △P △＝3：4．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．举一反三：已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，分别以AB 、AC 、BC 为一边在BC 边同侧作正△ABD 、正△ACE 和正△BCF ，求以A 、E 、F 、D 四点为顶点围成的四边形的面积．【答案】证明：∵ AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5， ∴∠BAC ＝90°∵△ABD 、△ACE 和△BCF 为正三角形， ∴AB ＝BD ＝AD ，AC ＝AE ＝CE ，BC ＝BF ＝FC , ∠1＋∠FBA ＝∠2＋∠FBA ＝60° ∴∠1＝∠2易证△BAC ≌△BDF （SAS ）， ∴DF ＝AC ＝AE ＝4，∠BDF ＝90° 同理可证△BAC ≌△FEC ∴AB ＝AD ＝EF ＝3∴四边形AEFD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵DF ∥AE ，DF ⊥BD延长EA 交BD 于H 点，AH ⊥BD ，则H 为BD 中点 ∴平行四边形AEFD 的面积＝DF ×DH ＝4×＝6.知识点二：矩形要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；32（2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．【例2-1】已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于点M ，MA ＝MC ．①求证：CD ＝AN ；②若∠AMD ＝2∠MCD ，求证：四边形ADCN 是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC ＝∠NCA ，然后利用“角边角”证明△AMD 和△CMN 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD ＝CN ，然后判定四边形ADCN 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD ＝∠MDC ，再根据等角对等边可得MD ＝MC ，然后证明AC ＝DN ，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证． 【答案与解析】 证明：①∵CN ∥AB ， ∴∠DAC ＝∠NCA ， 在△AMD 和△CMN 中，∵DAC NCA MA MC AMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AMD ≌△CMN （ASA ）， ∴AD ＝CN ， 又∵AD ∥CN ，∴四边形ADCN 是平行四边形， ∴CD ＝AN ；宽＝长矩形⨯S②∵∠AMD ＝2∠MCD ，∠AMD ＝∠MCD ＋∠MDC ， ∴∠MCD ＝∠MDC ， ∴MD ＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD ＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC ＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．【例2-2】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值． 【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即， 解得：x ＝3 ∴ EF ＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．226810AC =+=222(8)4x x -=+【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1.【例2-3】如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ．（1）求证：四边形EFGH 是矩形；（2）若E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF ＝2cm ，求矩形ABCD 的面积．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝0B ＝OC ＝OD ， ∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AO －AE ＝OB －BF ＝CO －CG ＝DO －DH ， 即：OE ＝OF ＝OG ＝OH ， ∴四边形EFGH 是矩形； （2）解：∵G 是OC 的中点， ∴GO ＝GC ， ∵DG ⊥AC ，∴∠DGO ＝∠DGC ＝90°， 又∵DG ＝DG ， ∴△DGC ≌△DGO ， ∴CD ＝OD ，∵F 是BO 中点，OF ＝2cm ， ∴BO ＝4cm ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴DO ＝BO ＝4cm ，222DC FC DF +=85DEF 1=DE AB 2S ⨯△12∴DC ＝4cm ，DB ＝8cm ， ∴CB ＝2243DB DC -=，∴矩形ABCD 的面积＝4×243163cm =．【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．举一反三：如图，O 为△ABC 内一点，把AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连接形成四边形DEFG ． （1）四边形DEFG 是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG 是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【答案】解：（1）四边形DEFG 是平行四边形．理由如下： ∵D 、G 分别是AB 、AC 的中点， ∴DG 是△ABC 的中位线； ∴DG ∥BC ，且DG ＝12BC ； 同理可证：EF ∥BC ，且EF ＝12BC ； ∴DG ∥EF ，且DG ＝EF ；故四边形DEFG 是平行四边形；（2）O 在BC 边的高上且A 和垂足除外．理由如下： 连接OA ；同（1）可证：DE ∥OA ∥FG ； ∵四边形DEFG 是矩形， ∴DG ⊥DE ； ∴OA ⊥BC ；即O 点在BC 边的高上且A 和垂足除外．【例2-4】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=4．过点A 作AE ⊥AB 且AB=AE ，过点E 分别作EF ⊥AC ，ED ⊥BC ，分别交AC 和BC 的延长线与点F ，D ．若FC=5，求四边形ABDE 的周长．【思路点拨】首先证明△ABC ≌△EAF ，即可得出BC=AF ，AC=EF ，再利用勾股定理得出AB 的长，进而得出四边形EFCD 是矩形，求出四边形ABDE 的周长即可． 【答案与解析】解：∵∠ACB=90°，AE ⊥AB ， ∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．∴∠B=∠2． ∵EF ⊥AC ， ∴∠4=∠5=90°． ∴∠3=∠4． 在△ABC 和△EAF 中，∵342B AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，， ∴△ABC ≌△EAF （AAS ）． ∴BC=AF ，AC=EF ． ∵BC=4， ∴AF=4． ∵FC=5， ∴AC=EF=9．在Rt △ABC 中，AB=22224997CB AC +=+=. ∴AE=97． ∵ED ⊥BC ，∴∠7=∠6=∠5=90°． ∴四边形EFCD 是矩形． ∴CD=EF=9，ED=FC=5．∴四边形ABDE 的周长=AB+BD+DE+EA=97+4+9+5+97=18+297．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC=EF=9是解题关键．知识点三：菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.【例3-1】如图,在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于( ).A.80°B.70°C.65°D.60°【答案】D ； 【解析】解：连结BF ，由FE 是AB 的中垂线，知FB ＝FA ， 于是∠FBA ＝∠FAB ＝＝40°.∴∠CFB ＝40°＋40°＝80°,由菱形ABCD 知，DC ＝CB ，∠DCF ＝∠BCF ，CF ＝CF ， 于是△DCF ≌△BCF ， 因此∠CFD ＝∠CFB ＝80°,在△CDF 中, ∠CDF ＝180°－40°－80°＝60°.【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD 是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.【例3-2】如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF 为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=5，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．【答案与解析】（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．Q（2）证明：四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.∴△AOF ≌△COE ∴AF ＝CE（3）四边形BEDF 可以是菱形． 理由：如图，连接BF ，DE ，由（2）知△AOF ≌△COE ，得OE ＝OF ， ∴EF 与BD 互相平分．∴当EF ⊥BD 时，四边形BEDF 为菱形． 在Rt △ABC 中，，∴OA ＝1＝AB ，又AB ⊥AC ，∴∠AOB ＝45°， ∴∠AOF ＝45°，∴AC 绕点O 顺时针旋转45°时，四边形BEDF 为菱形．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：已知:如图所示，BD 是△ABC 的角平分线，EF 是BD 的垂直平分线，且交AB 于E ，交BC 于点F.求证:四边形BFDE 是菱形.【答案】证明：∵EF 是BD 的垂直平分线， ∴EB=ED ，∠EBD=∠EDB. 又∵∠EBD= ∠FBD ，∴∠FBD=∠EDB ，ED ∥BF. 同理，DF ∥BE ， ∴四边形BFDE 是平行四边形. 又∵EB=ED ， ∴四边形BFDE 是菱形.【例3-3】在口ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=2AB ，点E 、F 分别是OA 、BC 的中点．连接BE 、EF ．512AC =-=（1）求证：EF=BF；（2）在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG：GD=3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG 的形状，并证明你的结论．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO，推出AB=BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可；（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG=12BC，求出EG∥BC，EG=12BC，求出BF=EG，BF∥EG，EG=GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD=2BO，∵BD=2AB，∴AB=BO，∵E为OA中点，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∵F为BC中点，∴EF=BF=CF，即EF=BF；（2）四边形EBFG是菱形，证明：连接CG，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，BD=2BO=2OD，∴BD=2AB=2CD，∴OC=CD，∵BG：GD=3：1，OB=OD，∴G为OD中点，∴CG⊥OD（三线合一定理），即∠CGB=90°，∵F 为BC 中点， ∴GF=12BC=12AD ， ∵E 为OA 中点，G 为OD 中点，∴EG ∥AD ，EG=12AD ， ∴EG ∥BC ，EG=12BC ，∵F 为BC 中点， ∴BF=12BC ，EG=GF ， 即EG ∥BF ，EG=BF ，∴四边形EBFG 是平行四边形， ∵EG=GF ，∴平行四边形EBFG 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．知识点四：正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【例4-1】如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E 点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案．【答案与解析】探究：AE＝EF证明：∵△BHE为等腰直角三角形,∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE,∴△AHE≌△ECF （ASA）,∴AE＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)AC＝BD，理由：如图①，四边形ABCD的对角线AC＝BD，此时四边形EFGH为平行四边形，且EH＝12BD，HG＝12AC，得EH＝GH，故四边形EFGH为菱形．(2)AC⊥BD，理由：如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形．易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形．(3)AC＝BD且AC⊥BD，理由：如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形．本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．【例4-2】正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝FM；（2）当AE＝1时，求EF的长．【答案与解析】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF ＋∠FDM ＝90°， ∵∠EDF ＝45°， ∴∠FDM ＝∠EDF ＝45°， 在△DEF 和△DMF 中，，∴△DEF ≌△DMF （SAS ）， ∴EF ＝MF ；（2）设EF ＝MF ＝x ， ∵AE ＝CM ＝1，且BC ＝3， ∴BM ＝BC ＋CM ＝3＋1＝4， ∴BF ＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x ， ∵EB ＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt △EBF 中，由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2， 即()22224x x +-=， 解得：52x =，则EF ＝52． 【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．举一反三：如图（1），正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C ，且B 、C 、E 在一直线上，连接BG 、DE ． （1）请你猜测BG 、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG 绕C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和DE 是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．【答案】DE DM EDF MDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩解：(1)BG ＝DE ，BG ⊥DE ；理由是：延长BG 交DE 于点H ， 因为BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCG ＝∠DCE 所以△BCG ≌△DCE ， 所以BG ＝DE ，∠GBC ＝∠CDE ． 由于∠CDE ＋∠CED ＝90°，所以∠GBC ＋∠DEC ＝90°， 得∠BHE ＝90°． 所以BG ⊥DE. (2)上述结论也存在．理由：设BG 交DE 于H ，BG 交DC 于K ， 同理可证△BCG ≌△DCE ， 得BG ＝ED ，∠KBC ＝∠KDH ． 又因为∠KBC ＋∠BKC ＝90°，可得∠DKH ＋∠KDH ＝90°，从而得∠KHD ＝90°． 所以BG ⊥DE.三、课堂练习一.选择题1. 如图，□ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 的长等于（ ） A.2cm B.1cm C.1.5cm D.3cm2．在口ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，∠A ＝120°，则口ABCD 的面积是( ) A. B.C. D.3.如图所示，将一张矩形纸ABCD 沿着GF 折叠(F 在BC 边上，不与B ，C 重合)，使得C 点落在矩形ABCD 的内部点E 处，FH 平分∠BFE ，则∠GFH 的度数α满足( )．3336315312A．90°＜α＜180° B．α＝90°C．0°＜α＜90° D．α随着折痕位置的变化而变化4. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角5.正方形具备而菱形不具备的性质是（）A. 对角线相等；B. 对角线互相垂直；C. 每条对角线平分一组对角；D. 对角线互相平分.6. 如图所示，口ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC，交AD于点E，则△DCE的周长为( )．A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm7. 矩形对角线相交成钝角120°，短边长为2.8cm，则对角线的长为（）A．2.8cm B．1.4cm C．5.6cm D．11.2cm8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（）16a12a8a4aA．B．C．D．二.填空题9．如图，若口ABCD与口EBCF关于B，C所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝______．10．矩形的两条对角线所夹的锐角为60 ，较短的边长为12，则对角线长为__________.11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______．12.如图，□ABCD中，AC=AD，BE⊥AC于E.若∠D=70°,则∠ABE= °.13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 _________.cm，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．14．已知菱形ABCD的面积是12215.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4cm．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是_________．16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOD=120°，AB=1，则AC= ,BC = .三.解答题17.如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：BE=DF．18. 如图，在口ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BC于E，EO交AD于F，求证：四边形AECF是矩形．19.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC．20. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF．（1）求证：BE ＝ DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．参考答案一.选择题 1．【答案】B ； 2．【答案】B ；【解析】由勾股定理，可算出平行四边形的高为332，故面积为334632⨯=. 3.【答案】B ；【解析】由△GCF ≌△GEF 得∠GFC ＝∠EFG ，又有∠EFH ＝∠BFH ， 所以∠GFH ＝12×180°＝90°，所以α＝90°． 4.【答案】D ； 5.【答案】A ； 6.【答案】C ；【解析】 因为口ABCD 的周长为16 cm ，AD ＝BC ，AB ＝CD ，所以AD ＋CD ＝12×16＝8(cm )．因为O 为AC 的中点，又因为OE ⊥AC 于点O ，所以AE ＝EC ，所以△DCE 的周长为DC ＋DE ＋CE ＝DC ＋DE ＋AE ＝DC ＋AD ＝8(cm ). 7.【答案】C ； 8.【答案】C ；【解析】OE ＝a ，则AD ＝2a ，菱形周长为4×2a ＝8a . 二.填空题 9．【答案】45； 10．【答案】24；11．【答案】；【解析】过D 作DH ⊥OC 于H ，则CH ＝DH ＝2，所以D 的坐标为).2,22(+).2,22(+在矩形ABCD 中，AD ∥BC ∴∠ADE=∠DEC ， ∵AE=AD ， ∴∠ADE=∠AED ， ∴∠AED=∠DEC ， 又∵DE 是公共边， ∴△DFE ≌△DCE ， ∴DF=DC ．20.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°． ∵AE ＝ AF ，∴． ∴BE ＝DF ．（2）四边形AEMF 是菱形． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCA ＝∠DCA ＝45°，BC ＝DC ． ∵BE ＝DF ，∴BC －BE ＝DC －DF. 即CE ＝CF ．∴OE ＝OF ． ∵OM ＝OA ，∴四边形AEMF 是平行四边形． ∵AE ＝AF ，∴平行四边形AEMF 是菱形．四、课堂小结五、巩固提高一.选择题1. 如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形面积的( )Rt Rt ABE ADF △≌△ADBEFOCMA. B. C. D.2. 顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3. 已知平行四边形的一条边长为10cm.其两条对角线长可能是（）A.6cm ,12cmB. 8cm,10cmC. 10cm,12cmD. 8cm,12cm4. 如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上的动点,点R是CD边上的定点。
平行四边形的性质及判定复习课教案
平行四边形的性质及判定复习课教案平行四边形的性质及判定复习课教案「篇一」一教学目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二重点、难点1．重点：平行四边形的判定方法及应用．2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．3．难点的突破方法：平行四边形的判别方法是本节课的核心内容．同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材．本节课的教学重点为平行四边形的判别方法．在本课中，可以探索活动为载体，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融合，达到突出重点、分散难点的目的．（1）平行四边形的判定方法1、2都是平行四边形性质的逆命题，它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明．（2）平行四边形有四种判定方法，与性质类似，可从边、对角线两方面进行记忆．要注意：①本教材没有把用角来作为判定的方法，教学中可以根据学生的情况作为补充；②本节课只介绍前两个判定方法．（3）教学中，我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形，使学生建立对平行四边形的直觉认识．并复习平行四边形的定义，建立新旧知识间的相互联系．接着提出问题：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？从而组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的判别”的方法．然后利用学生手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件．在学生拼图的活动中，教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨，让学生在问题解决中，实现对平行四边形各种判别方法的掌握，并发展了学生说理及简单推理的能力．（4）从本节开始，就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题，凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明．应该对学生提出这个要求．（5）平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如，求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．（6）平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容，要使学生熟练地掌握这些知识．三例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．四课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的'一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形性质的复习课件
题目
在平行四边形ABCD中，若∠A 和∠B的度数之和为180°，则 ∠C的度数为 ()。
答案与解析
答案为“180°”。因为平行四 边形的对角相等，即∠A + ∠B = 180°，所以∠A + ∠C = 180°
，从而得出∠C = 180°。
解答题
题目
已知平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，若AE = 3cm, AB = 4cm, AC = 5cm, 求 BC的长度。
对角线相等且互相垂直平分
正方形的对角线不仅长度相等，而且 互相垂直平分，这是正方形的一个重 要性质。
是特殊的矩形和菱形
正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱 形，因为它同时具备两者的所有性质 。
CHAPTER 04
平行四边形在实际生活中的 应用
建筑学中的应用
平行四边形在建筑设计中被广泛应用，如斜拉桥的钢索结构、吊车的悬挂系统等。
感谢您的观看
详细描述
在平行四边形中，相对的两边长度相等。这意味着如果你测量平行四边形的任意 两边，它们的长度将是相同的。
对角线互相平分
总结词
平行四边形的对角线互相平分。
详细描述
在平行四边形中，对角线会相交于一点，并且被这条对角线平分的两个角是相等的。此外，对角线还将平行四边 形分成两个相等的三角形。
CHAPTER 02
平行四边形的对边相等性质在 服装设计和图案设计中也有应 用，如对称和平衡等。
日常生活中的应用
平行四边形在日常生活中也随处可见 ，如门窗的设计、桌椅的摆放等。
平行四边形的对边相等性质在体育比 赛中也有应用，如跳水、体操等项目 的评分标准等。
平行四边形的对角线性质在包装和运 输中也有应用，如纸箱的折叠和固定 等。
平行四边形的性质复习课件ppt
分成面积相等的两部分
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
1、 通过本节课的学习，你有什么收获？ 2、 平行四边形的性质共有哪些？
边 角 对角线
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠
合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个
平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么?
A
B
O
D
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
结论
●1. ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这 时我们说 ABCD是 中心对称图形，点O叫对称中心。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
猜一猜 你能证明
根据刚才的旋转，你知道平行四边形的对 它吗?
由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩
子，他是这样分的：
老大
老二
老四
老三
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地 少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
平行四边形复习课教案
《平行四边形》复习教案仁德一中妥连军一学习目标：1．知识目标：通过运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题，加深对平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定的理解.2．能力目标：（1）通过平行四边形、矩形、菱形、正方形性质和判定的归纳梳理，建立良好的思维体系.（2）通过探究平行四边形有关问题，建立模型，提高探究能力.3．情感目标：在学习过程中积累经验，体验成功，激发兴趣，发展创新精神和实践能力.二教学重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定的灵活运用.三教学难点：综合运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题.四知识链接：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，三角形中位线定理.五课时安排：1课时六教学过程设计：昆明中考考情分析:1、考频及权重分析平行四边形在昆明市近五年的中考中，共考了9次。
其中市统测（2015，2016，2018）三年出现5次，省统测（2017，2019）两年出现4次。
分值在11-14分之间，所占比重为10%左右。
2、题型分析在填空题和选择题中主要考查平行四边形及特殊平行四边形的性质以及利用性质求长度、角度、三角函数值等计算；简答题中主要考查判定与计算，也常以平行四边形、特殊平行四边形为载体，考查全等、线段位置关系及圆的计算等。
在压轴题中以会出现平行四边形哦，主要考查平行四边形的存在性、探究性等问题。
【任务一】知识梳理（一）思维导图回顾平行四边的性质判定：（二）平行四边形及特殊平行四边形的性质（三）平行四边形及特殊平行四边形的判定【任务二】条件探索如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，（1）猜想四边形AEDF是什么四边形，并证明你的结论.（2）当△ABC的边和角满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？（3）当△ABC的边和角满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？（4）当△ABC的边和角满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？教学策略：学生看、说、展示思维，构建模型，教师展示规范答题格式。
【精品 教案】北师大版 八年级下册数学 《平行四边形》全章复习与巩固-教师版(基础)
《平行四边形》全章复习与巩固【学习目标】1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.2.掌握三角形的中位线定理.3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.4.积累数学活动经验，发展推理能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.要点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点四、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.要点五、三角形的中位线三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点六、多边形内角和、外角和边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.【典型例题】类型一、平行四边形的性质与判定1、如图，在口ABCD 中，点E 在AD 上，连接BE ，DF ∥BE 交BC 于点F ，AF 与BE 交与点M ，CE 与DF 交于点N ．求证：四边形MFNE 是平行四边形．1214n n n (2)180n n-⋅°n【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）又∵DF∥BE（已知）∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF又∵AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴AF∥CE∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF•∥AB，•通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．【答案】AB＝DE＋DF，理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠C＝∠EDB∴DF＝AE．∵等腰△ABC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EDB，∴DE＝BE，∴AB＝AE＋BE＝DF＋DE2、完成下列各题：（1）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，BC＝6，AB＝3，求四边形ABCD的周长．（2）已知：如图2，在△ABC中，D为边BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC．求证：AB＝AC．【思路点拨】（1）首先判定四边形ABCD 是平行四边形，再根据平行四边形的性质和周长公式计算即可；（2）由已知条件证明△ADE ≌△ADC 可得到∠E ＝∠C ，又∠E ＝∠B ，所以∠B ＝∠C ，进而证明AB ＝AC ．【答案与解析】（1）解：∵AB ∥CD ，∴∠B ＋∠C ＝180°，又∵∠B ＝∠D ，∴∠C ＋∠D ＝180°，∴AD ∥BC ，∴ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝6，∴四边形ABCD 的周长＝2×6＋2×3＝18；（2）证明：∵AD 平分∠EDC ，∴∠ADE ＝∠ADC ，又DE ＝DC ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADC ，∴∠E ＝∠C ，又∠E ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ．【总结升华】（1）本题考查了平行四边形的判定和平行四边形的性质以及求平行四边形的周长；（2）本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质以及等腰三角形的证明． 举一反三：【变式】如图，已知口ABCD 中，F 是BC 边的中点，连接DF 并延长，交AB 的延长线于点E ． 求证：AB ＝BE ．【答案】证明：∵F 是BC 边的中点，∴BF ＝CF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，AB ∥CD ，∴∠C ＝∠FBE ，∠CDF ＝∠E ，∵在△CDF 和△BEF 中∴△CDF ≌△BEF （AAS ），∴BE ＝DC ，C FBE CDF E CF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵AB＝DC，∴AB＝BE．3、（2015•哈尔滨）如图1，口ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）．【思路点拨】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据平行四边形的性质得到∠EAO=∠FCO，证出△OAE≌△OCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到结论．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△OAE与△OCF中，∴△OAE≌△OCF，∴OE=OF，同理OG=OH，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵EF∥AB，GH∥BC，∴四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形，∵EF过点O，GH过点O，∵OE=OF，OG=OH，∴口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH，口ACHD它们面积=口ABCD的面积，∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH．【总结升华】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．4、（2016•菏泽）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．【思路点拨】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG ∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．【答案与解析】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．【总结升华】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．类型二、三角形的中位线5、如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（）A．6 B．8 C．10 D．12【思路点拨】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10，原三角形的周长大于12小于20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于6而小于10，看哪个符合就可以了．【答案与解析】解：设三角形的三边分别是，令＝4，＝6，则2＜c ＜10，12＜三角形的周长＜20，故6＜中点三角形周长＜10．故选B ．【总结升华】本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范围是解题的关键．举一反三：【变式】（太仓市期中）△ABC 中E 是AB 的中点，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD 与点D ，求证：DE=（BC ﹣AC ）．【答案】解：延长AD 交BC 于F ，∵CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD ，∴∠ACD=∠BCD ，∠ADC=∠FDC=90°，又CD=CD ，∴△ADC ≌△FDC （ASA ）∴AC=CF ，AD=FD又∵△ABC 中E 是AB 的中点，∴DE 是△ABF 的中位线，∴DE=BF=（BC ﹣CF ）=（BC ﹣AC ）．类型三、多边形内角和与外角和6、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形【思路点拨】首先设此多边形是边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（－2）＝360，解此方程即可求得答案．【答案】A ；【解析】解：设此多边形是边形，a b c 、、ab n n n∵多边形的外角和为360°，∴180（－2）＝360，解得：＝4．∴这个多边形是四边形．【总结升华】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，边形的内角和等于180°（－2）．举一反三：【变式】若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A ；解：设边数为n ，根据题意得（n －2）•180°＜360°解之得n ＜4．∵n 为正整数，且n ≥3，∴n ＝3．故选A ．【巩固练习】一.选择题1.如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）A ．∠1＝∠2B ．∠BAD ＝∠BCDC ．AB ＝CDD ．AC ⊥BDn n n n2．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93.一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形4. 如图，□ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 的长等于（ ）A.2cmB.1cmC.1.5cmD.3cm5．（2015春•平顶山期末）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF ；②DE=BF ；③∠ADE=∠CBF ；④∠ABE=∠CDF ．其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6. 如图所示，口 ABCD 的周长为16，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC ，交AD 于点E ，则△DCE 的周长为( )A ．4B ．6C ．8D ．107. 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AB ＝5，△OCD 的周长为23，则平行四边形ABCD 的两条对角线的和是（ ）A ．18B ．28C ．36D ．468.如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得三角形的周长可能是（ ）A ．5.5B ．5C ．4.5D ．4二.填空题cm cm cm cmcm9.如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_______.10．如图，若口 ABCD与口 EBCF关于B，C所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝______．12.（2016春•吉林期末）如图，在□ABCD中，已知AB=2，BC=3，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠B=60°，则四边形AECD的周长是．13.如图，在□ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF 的度数是_____度．14.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是_____.（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．15.如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，AB＝DC＝3，则BC＝____.16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于_______.三.解答题17.（2016春·柘城县期中）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：BF＝DE．18.如图，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．（1）求∠EDB的度数；（2）求DE的长．19.（2015•建邺区二模）如图，在▱ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，AF与EH交于点M，FG与CH交于点N．（1）求证：四边形MFNH为平行四边形；（2）求证：△AMH≌△CNF．20.如图，在口ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；2.【答案】C；n n n【解析】设这个多边形的边数为，根据题意得：180（－2）＝1080，解得：＝8．3.【答案】C；【解析】外角的度数是：180°－108°＝72°，则这个多边形的边数是：360°÷72°＝5．4．【答案】B ；5．【答案】B ；【解析】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，故选B ．6.【答案】C ；【解析】 因为口ABCD 的周长为16 ，AD ＝BC ，AB ＝CD ，所以AD ＋CD ＝×16＝8()．因为O 为AC 的中点，又因为OE ⊥AC 于点O ，所以AE ＝EC ，所以△DCE 的周长为DC ＋DE ＋CE ＝DC ＋DE ＋AE ＝DC ＋AD ＝8().7.【答案】C ；【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝5，∵△OCD 的周长为23， ∴OD ＋OC ＝23－5＝18，∵BD ＝2DO ，AC ＝2OC ，∴平行四边形ABCD 的两条对角线的和＝BD ＋AC ＝2（DO ＋OC ）＝36.8.【答案】A ；【解析】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于8，原三角形的周长大于10小于16，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于5而小于8，看哪个符合就可以了．二.填空题9. 【答案】6；【解析】这个正多边形的边数：360°÷60°＝6．10．【答案】45°；11.【答案】直角三角形的每个锐角都小于45°；12.【答案】8；【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB=3，AD ∥BC ，AB=CD=2，∴∠DAE=∠BEA ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴BE=AB=2，CE=BC-BE=1，又∵∠B=60°，∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB=2，∴四边形AECD 的周长是：AD+AE+CE+DC=3+2+1+2=8．故答案为：8．13.【答案】45；【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵BE ∥DF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴∠EDF ＝∠EBF ＝45°．14.【答案】AB ＝CD 或AD ∥BC 或∠A ＝∠C 等（不唯一）15.【答案】3；【解析】∵AC 平分∠BAD ，∴∠1＝∠BAC ，∴AB ∥DC ，又∵AB ＝DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ，又∵∠1＝∠2，∴AD ＝DC ＝3，∴BC ＝3．16.【答案】8；【解析】∵将△ABC 沿CB 向右平移得到△DEF ，平移距离为2，∴AD ∥BE ，AD ＝BE ＝2，∴四边形ABED 是平行四边形， cm 12cm cm∴四边形ABED 的面积＝BE ×AC ＝2×4＝8．三.解答题17.【解析】证明：连接BD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝OD ，∵BE ∥FD ，∴∠BEO ＝∠DFO ，在△BOE 和△DOF 中，∠BEO ＝∠DFO ，∠BOE ＝∠DOF ，BO ＝OD ∴△BOE ≌△DOF （AAS ），∴EO ＝OF,∴四边形BEDF 是平行四边形，∴ED=BF ．18.【解析】解：（1）∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠ABC ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ＝∠ABC ＝40°．（2）∵AB ＝BC ，BD 是∠ABC 的平分线， ∴D 为AC 的中点，∵DE ∥BC ，∴E 为AB 的中点，∴DE ＝BC ＝6cm ．19.【解析】证明：（1）连接BD ，∵E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EH 为△ABD 的中位线，∴EH ∥BD ． 同理FG ∥BD ．∴EH ∥FG ，在▱ABCD 中，∴AD BC ，121212∵H为AD的中点AH=AD，∵F为BC的中点FC=BC，∴AH FC，∴四边形AFCH为平行四边形，∴AF∥CH，又∵EH∥FG∴四边形MFNH为平行四边形；（2）∵四边形AFCH为平行四边形∴∠FAD=∠HCB，∵EH∥FG，∴∠AMH=∠AFN，∵AF∥CH，∴∠AFN=∠CNF，∴∠AMH=∠CNF，在△AMH和△CNF中∵∴△AMH≌△CNF（AAS）．20.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1＝∠2．∵点E是AB边的中点，∴AE＝BE．∵在△ADE与△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：CE⊥DF．理由如下：如图，连接CE．由（1）知，△ADE≌△BFE，∴DE＝FE，即点E是DF的中点，∠1＝∠2．∵DF平分∠ADC，12DEA FEBAE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴CD＝CF，∴CE⊥DF．。
平行四边形的性质与判定复习课
A
F
D
G
OH
B
EC
4. ABCD中,E、F分别是 AB、CD上的点,AE=CF,M、N 分别是DE、BF的中点.求证: 四边形ENFM是平行四边形.
D FC MN AE B
5.已知:AD为△ABC的角平 分线，DE∥AB ，在AB上截 取BF＝AE。求证:EF＝BD.
114360 O
C
例1、已知：如图，在□ABCD中，点E,F在对
角线AC上,且OE=OF.求证：四边形BFDE是平
行四边形．
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OB=OD
又∵ OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
变式1、已知：如图，在□ABCD中，点E,F在对
角线AC上, 且AE=CF．求证：四边形BFDE是 平行四边形
拓展提高
在□ABCD中，已知两条对角线相交于点O，E、 F、G、H分别是AO、CO、BO、DO的上点，且 AE=CF,BG=DH,以图中的点为顶点，最多可以画 出几个平行四边形？
探索规律
E
A
E
D
D
C
A
B
F
B A
F
E
C
证明:在 ABCD中,
D
AD ∥= BC
∵E、F∵分B别F 是= ADDE、BC的中点
FC
达标
• 1、平行四边形的周长为36cm，相邻两边 的比为1:2，则它的两邻边长分别是
____________
• 2、在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、
CD三条边的长度分别为(x+3)，(x-4)和16，
则这个四边形的周长是
。
达标
《平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《平行四边形》全章复习与稳固（提升）【学习目标】1. 掌握平行四边形的性质定理和判断定理.2.掌握三角形的中位线定理 .3.认识多边形的定义以及内角、外角、对角线等观点. 掌握多边形的内角和与外角和公式.4.累积数学活动经验，发展推理能力.【知识网络】【重点梳理】重点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD” .重点解说：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.重点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线相互均分；重点解说：（ 1）平行四边形的性质定理中边的性质能够证明两边平行或两边相等；角的性质能够证明两角相等或两角互补；对角线的性质能够证明线段的相等关系或倍半关系.（ 2）因为平行四边形的性质内容许多，在使用时依据需要进行选择.（3）利用对角线相互均分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决 .重点三、平行四边形的判断定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线相互均分的四边形是平行四边形.重点解说：（1）这些判断方法是学习本章的基础，一定坚固掌握，当几种方法都能判断同一个行四边形时，应选择较简单的方法 .（2）这些判断方法既可作为判断平行四边形的依照，也可作为“画平行四边形”的依据 .重点四、平行线间的距离 1. 两条平行线间的距离：（ 1）定义：两条平行线中，一条直线上的随意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行 线间的距离 . 注：距离是指垂线段的长度，是正当 . 2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.重点五、三角形的中位线三角形的中位线1．连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半.重点解说：（ 1）三角形有三条中位线， 每一条与第三边都有相应的地点关系与数目关系.（ 2）三角形的三条中位线把原三角形分红可全等的4 个小三角形 . 因此每个小三角形的周长为原三角形周长的 1，每个小三角形的面积为原三角形面积的12.4（ 3）三角形的中位线不一样于三角形的中线 .重点六、多边形内角和、外角和n 边形的内角和为 ( n － 2) ·180° ( n ≥ 3) ．重点解说： (1) 内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2) 正多边形的每个内角都相等，都等于(n 2) 180°；多边形的外角和为 360°． n 边形的外角和恒等于 n360°，它与边数的多少没关 .【典型例题】种类一、平行四边形的性质与判断1、（2015?海淀区二模）如图 1，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ ABC=α ， D 是 BC 边上一点，以 AD 为边作△ ADE ，使 AE=AD ，∠ DAE+∠BAC=180°．（ 1）直接写出∠ ADE 的度数（用含 α 的式子表示） ；（ 2）以 AB ， AE 为边作平行四边形 ABFE ，①如图 2，若点 F 恰巧落在 DE 上，求证： BD=CD ；②如图 3，若点 F 恰巧落在 BC 上，求证： BD=CF ．【思路点拨】（ 1）由在△ ABC 中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠ BAC=180°﹣ 2α，又由 AE=AD，∠D AE+∠BAC=180°，可求得∠ DAE=2 α，既而求得∠ ADE 的度数；（2）①由四边形 ABFE是平行四边形，易得∠ EDC=∠ABC= α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得 AD⊥BC，又由 AB=AC，依据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠ B=∠C= α，四边形 ABFE是平行四边形，可得 AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠ EAC=∠C= α，又由（ 1）可证得AD=CD，又由 AD=AE=BF，证得结论．【答案与分析】解：（ 1）∵在△ ABC中， AB=AC，∠ ABC=α，∴∠ BAC=180°﹣ 2α，∵∠ DAE+∠BAC=180°，∴∠ DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ ADE=90°﹣α；（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠ EDC=∠ABC=α，由（ 1）知，∠ ADE=90°﹣α，∴∠ ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=CD；②证明：∵ AB=AC，∠ ABC= α，∴∠ C=∠B=α ．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF， AE=BF．∴∠ EAC=∠C= α，由（ 1）知，∠ DAE=2α，∴∠ DAC=α，∴∠ DAC=∠C．∴AD=CD．∵AD=AE=BF，∴BF=CD．∴BD=CF．注意（ 2）【总结升华】本题考察了平行四边形的判断与性质以及等腰三角形的性质与判断．①中证得AD⊥BC 是重点，（ 2）②中证得AD=CD是重点．贯通融会：【变式】分别以口 ABCD（∠ CDA≠ 90 °）的三边 AB， CD， DA 为斜边作等腰直角三角形，△ ABE，△ CDG，△ ADF．（ 1）如图 1 ，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外面时，连结GF， EF．请判断 GF 与 EF 的关系并证明）；（ 2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连结GF， EF，（ 1 ）中结论还建立吗？若建立，给出证明；若不建立，说明原因．【答案】解：（ 1） GF⊥ EF， GF＝ EF建立；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝ CD，∠ DAB＋∠ ADC＝ 180°，∵△ ABE，△ CDG，△ ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝ CG＝AE＝ BE，DF＝ AF，∠ CDG＝∠ ADF＝∠ BAE＝45°，∴∠ GDF＝∠ GDC＋∠ CDA＋∠ ADF＝ 90°＋∠ CDA，∠EAF＝360°﹣∠ BAE﹣∠ DAF﹣∠ BAD＝ 270°﹣（ 180°﹣∠ CDA）＝ 90°＋∠CDA，∴∠ FDG＝∠ EAF，∵在△ EAF和△ GDF中，DF AFFDG FAE ，DG AE∴△ EAF≌△ GDF（ SAS），∴EF＝ FG，∠ EFA＝∠ DFG，即∠ GFD＋∠ GFA＝∠ EFA＋∠GFA，∴∠ GFE＝ 90°，∴ GF⊥EF；（2） GF⊥ EF， GF＝ EF 建立；原因：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝ CD，∠ DAB＋∠ ADC＝ 180°，∵△ ABE，△ CDG，△ ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝ AE＝BE， DF＝AF，∠ CDG＝∠ ADF＝∠ BAE＝45°，∴∠ BAE＋∠ FAD＋∠ EAF＋∠ ADF＋∠ FDC＝ 180°，∴∠EAF＋∠CDF＝45°，∵∠ CDF＋∠FDG＝45°，∴∠ FDG＝∠ EAF，∵在△ EAF和△ GDF中，DF AFFDG FAE ，DG AE∴△ EAF ≌△ GDF （ SAS ），∴ EF ＝FG ，∠ EFA ＝∠ DFG ，即∠ GFD ＋∠ GFA ＝∠ EFA ＋∠ GFA ， ∴∠ GFE ＝ 90°，∴ GF ⊥EF ．2、如图，点 D 是△ ABC 的边 AB 的延伸线上一点，点 F 是边 BC 上的一个动点（不与点B 重合）．以 BD 、 BF 为邻边作平行四边形 BDEF ，又 AP BE （点 P 、E 在直线 AB 的同侧），假如 BD ＝ 1AB ，那么△ PBC 的面积与△ ABC 面积之比为（）4A ．1B ．3C ．1D．34 5 54【答案与分析】解：过点 P 作 PH ∥BC 交 AB 于 H ，连结 CH ， PF ，∵AP BE ，∴四边形 APEB 是平行四边形， ∴PE ∥AB ， PE ＝AB ，∵四边形 BDEF 是平行四边形， ∴EF ∥BD ， EF ＝BD ， 即 EF ∥AB ，∴P ， E ， F 共线，设 BD ＝ a ，∵ BD ＝ 1AB ，∴ PE ＝ AB ＝4 a ，4则 PF ＝ PE － EF ＝ 3 a ， ∵PH ∥BC ，∴S △HBCS △ PBC，∵PF ∥AB ，∴四边形 BFPH 是平行四边形， ∴BH ＝ PF ＝ 3 a ，∵ S △HBC : S △ ABC ＝ BH ： AB ＝ 3 a ： 4 a ＝ 3： 4，∴ S △PBC : S △ABC ＝ 3： 4．【总结升华】 本题考察了平行四边形的判断与性质与三角形面积比的求解方法． 本题难度较大，注意正确作出协助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．贯通融会：【变式】已知△ ABC 中， AB ＝ 3， AC ＝ 4，BC ＝ 5，分别以 AB 、 AC 、 BC 为一边在 BC 边同侧作正△ ABD 、正△ ACE 和正△ BCF ，求以 A 、 E 、 F 、D 四点为极点围成的四边形的面积．【答案】证明：∵ AB ＝ 3， AC ＝ 4， BC ＝ 5，∴∠ BAC ＝ 90°∵△ ABD 、△ ACE 和△ BCF 为正三角形，∴ AB ＝BD ＝ AD ，AC ＝ AE ＝CE ， BC ＝ BF ＝ FC ,∠ 1＋∠ FBA ＝∠ 2＋∠ FBA ＝ 60° ∴∠ 1＝∠ 2易证△ BAC ≌△ BDF （SAS ），∴ DF ＝AC ＝ AE ＝4，∠ BDF ＝ 90° 同理可证△ BAC ≌△ FEC∴ AB ＝AD ＝ EF ＝3∴四边形 AEFD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∵ DF ∥ AE ， DF ⊥ BD延伸 EA 交 BD 于 H 点， AH ⊥ BD ，则 H 为 BD 中点∴平行四边形 AEFD 的面积＝ DF × DH ＝ 4× 3＝ 6.23、在平行四边形 ABCD 中，点 A 1，A 2， A 3， A 4 和 C 1，C 2， C 3， C 4 分别 AB 和 CD 的五均分点，点 B 1，B 2 和 D 1，D 2 分别是 BC 和 DA 的三均分点，已知四边形 A 4B 2C 4D 2 的面积为 1，则平行四边形 ABCD 面积为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．155 3【思路点拨】 能够设平行四边形 ABCD 的面积是 S ，依据均分点的定义利用平行四边形 ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，便可表示出四边形 A 4B 2C 4D 2 的面积，进而获得两个四边形面积的关系，即可求解． 【答案】 C ； 【分析】解：设平行四边形ABCD 的面积是 S ，设 AB ＝ 5 a ，BC ＝ 3 b ．AB 边上的高是 3 x ， BC 边上的高是 5 y ． 则 S ＝5 a ?3 x ＝ 3 b ?5 y ．即 a x ＝ b y ＝S．15△AA 4D 2 与△B 2CC 4 全等， B 2C ＝1BC ＝ b ， B 2C 边上的高是4 ?5 y ＝ 4 y ．35则△ AA 4D 2 和△B 2CC 4 的面积是 2 b y ＝ 2S．同理△D 2C 4D 与△A 4BB 2 的面积是S．1515则四边形 A B C D 的面积是 S － 2S － 2S － S － S ＝ 9S ，即 9S ＝ 1，42 42151515151515解得 S ＝ 5．3【总结升华】 考察平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用均分点的定义， 获得两个四边形的面积的关系是解决本题的重点．种类二、三角形的中位线4、如图，△ ABC 的周长为 26，点 D ，E 都在边 BC 上，∠ ABC 的均分线垂直于 AE ，垂足为 Q ，∠ ACB 的均分线垂直于 AD ，垂足为 P ，若 BC ＝ 10，则 PQ 的长为（）A.3B.2【答案】 C ；【分析】52C.3D.4解：易证△ ABQ ≌ △ EBQ, AB ＝BE ， Q 为 AE 中点，△ACP ≌ △ DCP, AC ＝CD ， P 为 AD 中点， ∴PQ ∥ DE,PQ ＝ 1DE ，2∵AB ＋ AC ＋BC ＝ 26，BC ＝ 10，∴AB ＋ AC ＝BE ＋ CD ＝16＝ BD ＋DE ＋ DE ＋EC ＝ BC ＋ DE ，12【总结升华】 本题考察了三角形的中位线定理及等腰三角形的判断， 注意培育自己的敏感性，一般出现高、角均分线重合的状况，都需要找到等腰三角形． 种类三、多边形内角和与外角和5、若一个多边形的每个外角都等于 60°，则它的内角和等于（ ）A． 180°B．720°C． 1080° D． 540°【思路点拨】 由一个多边形的每个外角都等于 60°，依据 n 边形的外角和为360°计算出多边形的边数 n ，而后依据 n 边形的内角和定理计算即可．【答案】 B ；【分析】解：设多边形的边数为n ，∵多边形的每个外角都等于60°，∴ n ＝360°÷60°＝6，∴这个多边形的内角和＝（6－ 2）× 180°＝ 720°．【总结升华】本题考察了 n 边形的内角和定理：n 边形的内角和＝（n －2）?180°；也考查了 n 边形的外角和为360°．贯通融会：【变式】（ 2016 秋 ?小金县校级期末）一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大 60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．【答案】解：设内角是 x°，外角是 y°，y x60则获得一个方程组，x y180x60解得．y120而任何多边形的外角是360°，则多边形中外角的个数是360÷ 120=3 ，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三边形．6、甲、乙两人想在正五边形 ABCDE内部找一点 P，使得四边形 ABPE为平行四边形，其作法以下：（甲）连结 BD、 CE，两线段订交于P 点，则 P 即为所求（乙）先取 CD的中点 M，再以 A 为圆心， AB长为半径画弧，交 AM于 P 点，则 P 即为所求．关于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【思路点拨】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠ AEP、∠ BPE的度数，依据平行四边形的判断判断即可．【答案】 C；【分析】解：甲正确，乙错误，52180原因是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是＝108°，5AB＝ BC＝ CD＝ DE＝ AE，∴∠ DEC＝∠ DCE＝1×（180°－108°）＝36°，2同理∠ CBD＝∠ CDB＝ 36°，∴∠ ABP＝∠ AEP＝108°－ 36°＝ 72°，∴∠ BPE＝360°－ 108°－ 72°－ 72°＝ 108°＝∠ A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠ BAE＝108°，∴∠ BAM＝∠ EAM＝54°，∵AB＝ AE＝AP，∴∠ ABP＝∠ APB＝1×（180°－54°）＝63°，∠AEP＝∠APE＝63°，2∴∠ BPE＝360°－ 108°－ 63°－ 63°≠ 108°，即∠ ABP＝∠ AEP，∠ BAE≠∠ BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；【总结升华】本题考察了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判断的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．。
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人教版八年级数学（下）第十九章学案 主备人：杨栋山 审核人：苏建礼 时间：2012.5.4
第43课 平行四边形性质复习
一、学习目标：
1、熟练掌握平行四边形边、角、对角线的性质；
2、会应用平行四边形的性质进行相关计算、证明。
二、预习检测：
1、平行四边形的性质：（1）平行四边形内角和是 度。
（2）平行四边形 （填是或不是）轴对称图形。
（3）平行四边形的面积公式是 。
（4）平行四边形边的性质： 。
平行四边形角的性质： 。
平行四边形对角线的性质： 。
2、几何语言：（如上图）∵□ ABCD
（边） ∴
（角）
（对角线） 。
三、范例讲解：
例1、如图，已知：在□ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，AF=CE ，
求证：（1）△ABE ≌△CDF ；（2）BE ‖DF
变式练习：如图，在□ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，AE=CF ，
求证：（1）△ADF ≌△CBE ；（2）BE ‖DF
人教版八年级数学（下）第十九章学案 主备人：杨栋山 审核人：苏建礼 时间：2012.5.4。