高三数学-24极限的四则运算法则 推荐
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
极限四则运算法则条件
极限四则运算法则条件极限是数学中一个重要的概念，它在研究函数的性质以及求解各种数学问题中起着重要的作用。
四则运算是我们常用的加减乘除运算，而极限四则运算法则是指在进行函数的极限运算时，可以通过一些特定的条件和法则来简化运算过程。
下面，我们将详细介绍极限四则运算法则的条件以及其在实际问题中的应用。
首先，我们来说一下四则运算的基本规则。
加法运算满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b、c，有a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
减法运算是加法运算的逆运算，即对于任意实数a和b，有a-b=a+(-b)。
乘法运算满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b、c，有a*b=b*a和(a*b)*c=a*(b*c)。
除法运算是乘法运算的逆运算，即对于任意非零实数a和b，有a/b=a*(1/b)。
接下来，我们来讨论极限四则运算法则的条件。
在进行极限四则运算时，以下条件必须满足：1. 极限的条件：对于函数f(x)和g(x)，当x无限趋向于某个数值a时，f(x)和g(x)需要有定义。
这意味着函数在点a的附近存在。
2. 除法运算的条件：在进行除法运算时，除数g(x)不能趋近于零，即lim g(x)≠0。
因为在数学中，除以零是没有定义的。
3. 极限和常数乘法的条件：在进行极限运算时，可以将极限与常数相乘。
即lim (c*f(x))=c*lim f(x)，其中c为常数。
这个条件使得我们可以在极限运算过程中简化计算。
4. 极限和加法、减法的条件：在进行极限运算时，可以将极限与加法、减法运算相结合。
即lim (f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)和lim (f(x)-g(x))=lim f(x)-lim g(x)。
这个条件使得我们可以将复杂的极限运算转化为简单的加减法运算。
通过满足以上条件，我们可以在进行极限运算时，应用极限四则运算法则，来简化计算过程。
最后，我们来谈谈极限四则运算法则的应用。
在实际问题中，我们常常需要求解函数在某个点的极限值，以及函数在无穷远处的极限值。
高考数学极限的四则运算
通过例1,例2同学们会发现:①函数 (x) 同学们会发现: 函数f( ) 通过例 , 同学们会发现 处有定义; 在 x = x0处有定义 ②求这类函数在某一点 x=x0处的极限值时,只要把 处的极限值时,只要把x=x0 代入函数解析 式中,就得到极限值.------代入法 式中,就得到极限值 代入法
注:使用极限四则运算法则的前提 是各部分极限必须存在. 是各部分极限必须存在
lim lim lim 不难得到: 由 x → x [ f ( x ) g ( x )] = x → x f ( x ) x → x g ( x) 不难得到:
0 0 0
x→x0
lim[Cf ( x)] = C lim f ( x)(C为常数) 为常数) 为常数
2
通过例3, 4会发现 会发现: 函数f(x) 通过例3,例4会发现:①函数f(x)在 x = x0 处无 定义; 求这类函数在某一点x=x0处的极限值时,若 处的极限值时, 定义;②求这类函数在某一点 用代入法,分子分母都为0 用代入法,分子分母都为0. 解决办法:可对分子分母因式分解,约去为 的公因 解决办法:可对分子分母因式分解,约去为0的公因 式来求极限. 式来求极限.------因式分解法 因式分解法
x→x0
x→ x0
lim[ f ( x)] = [ lim f ( x)] (n ∈ N )
n n * x→ x0
注:使用极限四则运算法则的前提 是各部分极限必须存在. 是各部分极限必须存在
函数极限运算法则: 同样有 x →∞时" 函数极限运算法则: "
如果 lim f (x) = a
x→∞
,
lim g ( x) = b 那么
0
2)当x从点 0左侧(即x＜x0)无限趋近于 0时,函数 ) 从点x 无限趋近于x 从点 左侧( ＜ f(x)无限趋近于一个常数 ,就说 是函数 无限趋近于一个常数a,就说a是函数 是函数f(x)在点 0处的 在点x 无限趋近于一个常数 在点 左极限,记作 lim f ( x) = a. 左极限,
2019年最新-D24极限运算法则-精选文档
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
定理1 , 2 , 3 直接得出结论 .
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例2. 设 n 次多项式 P n ( x ) a 0 a 1 x a n x n ,试证
xl ix0m P n(x)P n(x0).
直接求函数值
证:
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定理 3 . 若li f( x m ) A ,li g ( x m ) B ,且 B≠0 , 则有
lim f (x) lim f (x) A g(x) lim g(x) B
证: 因 li f( x m ) A ,li g ( x m ) B ,有
推论 2 . lifm (x )n ] [ [lifm (x )]n ( n 为正整数 )
推论 3 . 若 l i m fi( x ) A i,k i是 常 数 ， ( i 1 ,2 ,...,n )
则有
n
n
lim[ ki fi (x)] ki lim fi (x)
i1
i1
limx1 x3 x 3
2 6
1 3
为什么可以 约去x-3?
0型 ： 0
分解因式， 约去零因子
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例5 . 求 xl im 1x22x5x34.
解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
limx2 5x4 12 514 0
的关系定理 , 知定理结论成立 .
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推论: 若 li f( x m ) A ,li g ( x m ) B ,且 f(x)g(x), 则 AB.
极限四则运算法则
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极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
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间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
高中数学函数求极限技巧分享
高中数学函数求极限技巧分享函数求极限是高中数学中的重要内容，也是许多学生感到困惑的地方。
在这篇文章中，我将分享一些函数求极限的技巧，帮助高中学生更好地理解和解决这类问题。
一、基本极限法则在解决函数求极限的问题时，我们可以利用一些基本的极限法则来简化计算过程。
这些基本法则包括：1. 极限的四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，当x趋向于某个数a时，我们有以下法则：- 极限的和差法则：lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))- 极限的乘法法则：lim(f(x) × g(x)) = lim(f(x)) × lim(g(x))- 极限的除法法则：lim(f(x) / g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x)) (其中lim(g(x)) ≠ 0)2. 极限的乘方法则：当x趋向于某个数a时，我们有以下法则：- 极限的幂运算法则：lim(f(x)^n) = [lim(f(x))]^n (n为常数)通过运用这些基本极限法则，我们可以将复杂的函数极限问题简化为更容易计算的形式。
二、无穷小量与无穷大量在函数求极限的过程中，我们需要了解无穷小量和无穷大量的概念。
1. 无穷小量：当x趋向于某个数a时，如果函数f(x)的极限为0，那么f(x)就是x趋于a时的无穷小量。
常见的无穷小量有x、sinx、cosx等。
2. 无穷大量：当x趋向于某个数a时，如果函数f(x)的极限为正无穷大或负无穷大，那么f(x)就是x趋于a时的无穷大量。
常见的无穷大量有1/x、e^x、lnx等。
了解无穷小量和无穷大量的性质，可以帮助我们更好地理解函数的极限性质。
三、常见的函数极限类型在高中数学中，有一些常见的函数极限类型，我们可以通过分析其特点来求解。
1. 无穷小量与无穷大量的乘积：当两个函数f(x)和g(x)的极限分别为无穷小量和无穷大量时，我们可以通过分析它们的乘积来求解极限。
高等数学-极限的运算法则
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例. 设有分式函数
多项式 , 若 试证( x )
证:
x x0
lim R( x)
lim Q ( x )
说明: 若 例4.
不能直接用商的运算法则 .
lim ( x 3)( x 1) 3)( x 3)
x 3 ( x
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 ) ( 如P47 例7 )
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三、 复合函数的极限运算法则( 分步求极限！) 定理7. 设
( x) a , 又
x x0
且 x 满足 则有
lim f [ ( x) ]
时,
说明: 若定理中 lim ( x) , 则类似可得
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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二、 极限的四则运算法则 定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
定理4 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
0 lim
3 1
3
1 t
3
a t
lim
t0
3
t 1 a t
3
lim
t0
3
t 1 a 0
故 因此
1 a 0 a 1
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作业
P48 1 （5），（7），（9），（12）
24极限运算的基本法则
例 7 求 lxi m 1(x1 1x331).
解 因为 lim 1 , x1 x 1
3
lim
x1
x3
1
1
3
极限和的运算法则不能直接应用, 将 x 1 x3 1 通分得
lim( 1 x1 x1
x331)=
lim
x1
x2 x3
x 1
2
(x1)(x2)
lim例如如果在自变量x的同一变化过程中lim推论2如果lim存在而c为常数则推论1如果limlim3lim3limlim63lim则极限不能直接应用商的极限运算性质3lim分子和分母都含有因式x3约去这个因式得limlim极限不能直接使用商的极限运算法则一般地当x时有理函数的极限有如下结论
§2.4 极限运算的基本法则
= lim x1(x1)(x2 x1)
1
例 8求 ln i m (n 1 2n 2 2
n n2).
解
12
n
lni m (n2 n2 n2)
12 n
=lim( n
n2
)
n(n 1)
1 1
= lim n
2 n2
= lim n n 2
=1 2
推论1 如果 lim f ( x) 存在，而C为常数，则
lim C f(x)C lim f(x)
推论2 如果 lim f ( x)存在，且n是正整数，则
lim f(x)nlimf(x)n
例1 求 lim(x23x6). x1
解 lim(x2 3x6)lim x2lim (3x)lim 6
不能直接使用商的极限运算法则, 从
分子和分母约去 x的最高次幂 x 2 有
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(1) lim(3x2 2x 1); x1
( x 3)(2x 1)
(3) lim x1
x 5x 6
;
2.求 下 列 极 限:
(2)lim 2x 1;
x2 3x 1
x2 2x2 2
(4) lim x0
5x2 4
.
x2 4
(1) lim
;
x2 x 2
x2 x 2
(2) lim x1
知
lxim
x2 1 x1
ax
b
0,求常 数a和b的 值.
[ lim ]n ,(n x x0
N ).
例1 求下列极限 :
(1) lim xn; x x0
1
(2) lim x
xn
.
2.4极限的四则运算
例2 求下列极限:
2x2 x 1
(1)
lim
x1
x3
x2
1
;
x2 1
(2)
lim
x1
2x2
x
1
.
2.4极限的四则运算
1.求 下 列 极 限:
三、练习巩固
x2 x
;
x2 x 6
3x 3
(3) lim x2
x2
;
(4) lim x1
1
x2
.
2.4极限的四则运算
3.求下 列极限:
cos x sin x
(1) lim
;
x cos 2 x
4
(2) lim x2
4 x2
4
x
1
. 2
4.已 知lim x1
x x2
a
1
b
1, 求a,
b的
值.
5.已
即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
2.4极限的四则运算
3.函 数 极 限 的 四 则 运 算 法则
如果 lim f ( x) a, lim g( x) b,那么
x x0
x x0
(1) lim[ f ( x) g( x)] a b; x x0
(2) lim[ f ( x) g( x)] a b; x x0
2.4极限的四则运算
一、新课讲解
1.熟 记 常 见 极 限:
1
1
(1) lim 0; (2) lim ;
x x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n n
(3) lim C lim C C.
x
x x0
(4)
lim
x x0
x
x0;
sin x (5) lim
1;
(6) lim1
1
x
e.
x0 x
x x
2、若函数在其定义域内具有连续性，则其极限值 就等于该点的函数值。
f (x) a
(3) lim
(b 0);
xx0 g( x) b
(4) lim[C f ( x)] C lim f ( x) C a.
x x0
x x0
注 意: 这 些 法 则 对 于x 的 情 况 也 成 立.
2.4极限的四则运算
重要结论:
二、例题导练
lim [
x x0
f
( x)]n