极限的运算法则
大学高数极限运算法则
1.极限法则：极限是一个数列取极限值的概念，它表示一个数包含在另一个数中时，前者的值趋于后者。
2.链式法则：链式法则是极限的一种计算方法，即从一个已知限的出发，由此推出另外一个极限。
3.运算法则：
（1）可积性法则：假设函数有连续的极限，则在极限中乘以另外一个函数后再求极限，则取得的极限结果等于先求出两个函数的极限再相乘；
（2）可逆性法则：假设函数有连续的极限，则在极限中除以另外一个函数后再求极限，则取得的极限结果等于先求出两个函数的极限再相除；
（3）可幂次性：假设对函数求极限，则取出的极限结果等于该函数的幂次方的极限。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限的运算法则解读
x0
x0
1.
2
注 只要极限运算与四则运算交换顺序后的
算式有意义(包括出现)，就可交换顺序。
注 不能直接用四则运算法则时，可考虑将函数 适当变形，再考虑能否用该法则。
常用的变形方法有：通分，约去非零因子， 用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有 理化，等等。
例3
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
( 0 ) （消零因子法） 0
(先约去x 1后再求极限)
( x 1)( x 1) lim
x1 ( x 3)( x 1)
x1 lim
x1 x 3
1. 2
3n2 n 1
例4
lim
n
2n2
4n
1
( )（无穷小因子分出法)
3 1/ n 1/ n2 lim
3.
n 2 4 / n 1/ n2 2
1) n
1. 2
例9 当a0 0, b0 0, m、n N 时,
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 b1
x m1 x n1
am bn
xm a a x1 a xm
lim(
x x
n
0
b
1
m
b x1 b xn
)
0
1
n
a0 b0
lim
x
m
n
x
a0 / b0 , 0,
,
n m; n m;
e x x e x
7、
4x4 lim
2x2
x
__________.
x0 3x 2 2x
8、
(2x 3)20 (3x
极限运算法则
参与四则运算的各项的极限都存在！
定理 5. 若lim f (x) A，lim g(x) B，且 f (x) g(x)， 则 A B.
7
例1求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.解：原式 Fra biblioteklim(x3 1)
x2
7
lim(x2 3x 5) 3
x2
结论 2：设有理分式函数 R(x) P(x) ，其中P(x)，Q(x) Q(x)
x x 2 1 x
x
1
1 x2
1
2
解法 2: 令 t 1 ，则 x 时，t 0 x
原式= lim 1
t t 0
1 t2
1
1 t
lim t0
1 t2 1 t2
lim 1 1 t0 1 t 2 1 2
倒代换
16
练习
1 x 1 x lim x0 3 1 x 3 1 x
2
1
2
lim
结论 1：设 n次多项式 Pn (x) a0 a1x an xn，
则 lim x x0
Pn
(x)
Pn
(
x0
).
6
定理 4.
若
lim
n
xn
A，lim n
yn
B ，则
(1)
lim(
n
xn
yn )
A
B;
(2)
lim
n
xn
yn
AB;
(3)
当 yn
0且 B
0时， lim n
xn yn
A. B
注：极限的四则运算法则成立的条件为：
x0
(1
极限的运算
极限的运算一 极限的四则运算法则定理：若()A x f =lim ，()B x g =lim ，则有 （１）()()[]()()x g x f B A x g x f lim lim lim ±=±=± （２）()()[]()()x g x f AB x g x f lim lim lim ⋅==⋅ （３）()()()()x g x f B A x g x f lim lim lim==，（0≠B ） 注意：法则(1)和法则(2)可以推广到有限个函数的情况。
另外，法则(2)还有三个推论。
推论：（１）()()x f k x kf lim lim =， (k 为常数)（２）()[]()[]n x f nx f lim lim =，（n 为正整数） （３）()[]()[]nnx f x f 11lim lim =，（n 为正整数）例１()235lim 22+-→x x x -=→225lim x x +→x x 3lim 22lim 2→x＝-→22lim 5x x +→x x 2lim 3２＝-→22)lim (5x x +⨯23２＝26252+-⨯＝16观察这个例子可以发现函数2352+-x x 在2→x 时的极限正好等于它在2=x 这一点的函数值，因此，我们可以得到这样一条规律：若()x f 是多项式，则()()00lim x f x f x x =→。
例２3512222lim +--+→x x x x x ＝()()35122222lim lim +--+→→x x x x x x ＝3252122222+⨯--+⨯＝39-＝3- 例３222123lim x x x x -+-→＝()()2222123lim lim x x xx x -+-→→＝０从以上三个例子可以看出极限四则运算法则的运用是比较简单的，但是如果我们拿到的极限不满足极限四则运算法则的条件，就不能用极限的四则运算法则来求极限了。
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
极限运算法则
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3 x→2
3
3
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
x → x0 x → x0
x → x0
lim kf ( x ) = k lim f ( x )
x → x0
（k为常 数）
3) 当 lim g ( x ) ≠ 0 时，
x → x0
f ( x) lim = lim f ( x ) / lim g ( x ). x → x0 g ( x ) x → x0 x → x0
( x 2 + 2 x − 3) = 0, x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
∴ lim 4x − 1 x + 2x − 3
2 x →1
= ∞.
小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 +
=
u→ B ln A
lim e u = e B ln A = A B .
极限存在准则、两个重要极限
极限存在准则 两个重要极限
1、极限存在准则
数列极限的夹挤准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
极限的 运算法则
x
1
3
2 2
1
1 3
．
x1
x1
x1
结论 一般地，当有理分式函数中分母的极限不为零时，有理分式在 x0 处的极 限也等于其在 x0 处的函数值．
1.1 极限的四则运算法则
例3
求
lim
x1
4x 3 x2 3x
2
．
解 因为分母的极限 lim(x2 3x 2) 12 31 2 0 ，故不能直接用商的极限 x1
lim
xx0
(a0
xn
a1xn1
an1x an ) a0 x0n a1x0n1
an1x0 an ．
1.1 极限的四则运算法则
例2
求
lim
x1
3x2
2x 2x
1
．
解 这里分母的极限不为零，故
lim
x1
3x2
2x 2x
1
lim 2x
x1
lim(3x2 2x
1)
3lim
2lim x x1
a1 x n 1 b1 x m 1
0， n m ，
an bm
a0 b0
，
n m ，（其中 a0 0 ，b0 0
， n m ，
1.1 极限的四则运算法则
例9
求
lim
n
2n 2n1
5n 5n1
．
解 当 n 时，分子、分母都是无穷大，故不能直接用商的极限法则，但可 以将分子、分母同除以 5n ，再利用极限四则运算法则计算．
高等数学
极限的运算法则
本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数 的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．以后我们 还将介绍求极限的其他方法．
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例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,
该棒对质点的引力.
解: 建立坐标系如图.
细棒上小段
对质点的引力大小为
故垂直分力元素为
在 试计算
棒对质点的引力的垂直分力为
棒对质点引力的水平分力 故棒对质点的引力大小为
利用对称性
说明: 1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,
一个单
求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,
由库仑定律电场力为
则功的元素为 所求功为
说明:
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从
点 a 处移动到点 b 处 (如图),
求移动过程中气体压力所
作的功 . 解: 建立坐标系如图.
所论半圆的
方程为
利用对称性 , 侧压力元素
端面所受侧压力为
小窄条上各点的压强
说明: 当桶内充满液体时, 侧压力元素 故端面所受侧压力为
小窄条上的压强为
奇函数 ( P350 公式67 )
三、 引力问题
质量分别为
的质点 , 相距 r ,
二者间的引力 :
大小:
方向:
沿两质点的连线
若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .
( KJ )
设水的密度为
二、水压力
设液体密度为 深为 h 处的压强: • 当平板与水面平行时, 平板一侧所受的压力为
• 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 .
面积为 A 的平板
例4. 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力.
解: 建立坐标系如图.
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到
力的方向与运动方向平行,
求变力所做的功 .
在其上所作的功元
素为
因此变力F(x) 在区间
上所作的功为
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,
由波义耳—马略特定律知压强
p 与体积 V 成反比 , 即
故作用在活塞上的
力为
功元素为
所求功为
ห้องสมุดไป่ตู้
例3. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图.
在任一小区间
上的一薄层水的重力为
(KN) 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
故所求功为
此时引力大小为
方向与细棒垂直且指向细棒 . 2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处
移到 b (a < b) 处时克服引力作的功, 则有
作业：p-287习题6-3
2 , 3 , 5 , 6, 9 , 12