高等数学 极限运算法则
高等数学：第五节 极限运算法则
lim
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 b1 xn1
am bn
a0 ,当n m, b0 0,当n m,
,当n m.
11/23
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1
n(n 1)
lim 2 n
n2
lim
n
n2 n 2n2
1. 2
12/23
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
y sin x x 13/23
例7
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
2/23
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
设函数y f [( x)]是由函数y f (u)与函数u ( x)复合而成，
f
[
(
x)]在x0的某个去心邻域有定义，若
lim
x x0
(
x)
u0
,
lim
高数求极限运算法则
高数求极限运算法则极限（Limit）是高等数学中非常重要的数学概念，是对函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，是理解微积分及其它研究的基础。
极限的求取是高数教学的重要内容，它不仅提高了学生的数学思维能力，还有助于培养其创新能力。
因此，高数求极限的运算法则的掌握就显得尤为重要。
一、定义极限又称无穷小，是指分母函数值趋近于无穷小，且分子函数值恒不变时，分母函数不变时其商函数极限，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$其中$xto a$（x逼近a）表示x不断逼近a，当$xto a$时，$f(x)=L$。
二、极限的计算1、无穷小的消去法即在极限的运算中，若分母中出现无穷小，可让其消去，即$lim_{xto a}f(x)=f(a)$，$f(a)$为极限值。
2、无穷大的消去法即若极限运算中出现无穷大，首先判断一下分子和分母的大小，根据大小将分母合理改写，使无穷大可以化简消去，然后将合理改写后的分母和分子相除，得到极限的值。
3、积分型极限计算法则即若函数形式为$frac{f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+cdots+f(x_n)}{x_0+x_1+x_2+cdots+x_n}$，此时函数的极限可以用随机积分法求出。
4、指数函数极限计算法则即若函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，当$xto infty$时极限值为无穷大；当$xto -infty$时极限值为0。
5、三角函数极限计算法则即当函数形式为$sin x$或$cos x$等三角函数的极限时，可以运用三角恒等公式，将它们改写成有限值表达式，求出其极限值。
6、指数型函数极限计算法则即当函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，此时函数的极限可以用对数函数法求出，其计算方法是将该函数改写成对数函数形式，再用极限运算法则加以求解。
三、总结1、极限定义：极限是指函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$2、求极限的方法：包括无穷小的消去法、无穷大的消去法、积分型极限计算法则、指数函数极限计算法则、三角函数极限计算法则、指数型函数极限计算法则等，其中各种方法有其特色，使用了正确的方法可以满足不同的求解要求。
大学课程《高等数学》PPT课件：1-5 极限运算法则
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求: 解:
说明: 若分母为零时 不能直接用商的运算法则 . 例4.
x = 4 时分母为 0 ! = lim (x 4)( x 5 3) 6
x4
x4
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解: 分子分母同除以 则 原式
=0
“ 抓大头”
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lim
x
a0 xm b0 x n
a1x m1 b1x n1
am bn
为非负常数 )
( 如 P28 例7 )
( 如 P28 例5 )
( 如 P28 例6 )
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三、 复合函数的极限运算法则
定理7. 设
是由函数
复合而成的函数， 有定义，若
o
x U (x0,0 ) 时，有
的某去心邻域内 且存在
则
在定理7中，把
当
x x0
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x U (x0 , ) 时 , 就有
u
u
M
M
故
即是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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解:
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
y sin x x
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定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B ,则有
证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
f (x) A , g(x) B (其中 , 为无穷小) 于是 f ( x) g ( x) ( A ) (B )
高数极限运算法则讲解
高数极限运算法则讲解极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。
也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。
实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。
极限也是高等数学的重点。
二、极限的运算法则（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。
（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。
（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。
（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。
（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。
（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。
三、极限的应用（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。
高等数学极限方法总结_2
一、 极限定义、运算法则和一些结果1. 定义: （各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述）。
说明: （1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明, 例如: ； ； ；等等（2）在后面求极限时, （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用, 而不需再用极限严格定义证明。
2. 极限运算法则定理1 已知 , 都存在, 极限值分别为A, B, 则下面极限都存在, 且有 （1）（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B BA x g x f 说明: 极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 不能用。
3. 两个重要极限（1） 1sin lim 0=→xx x （2） e x x x =+→1)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明: ( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。
一定注意两个重要极限 成立的条件。
例如: , , ；等等。
4. 洛比达法则定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当 时, 下列函数都是无穷小（即极限是0）, 且相互等价, 即有:x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。
说明: 当上面每个函数中的自变量x 换成 时（ ）, 仍有上面的等价关系成立, 例如: 当 时, ～ ； ～ 。
定理4 如果函数 都是 时的无穷小, 且 ～ , ～ , 则当 存在时, 也存在且等于 , 即 = 。
5. 洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时, 函数 和 满足: （1） 和 的极限都是0或都是无穷大；（2） 和 都可导, 且 的导数不为0；（3）)()(lim x g x f ''存在（或是无穷大）； 则极限 也一定存在, 且等于 , 即 = 。
《高等数学》极限的四则运算
（1）
lim
x2
x2 x2
5 3
（3）
lim
x0
4
x3 3x2
2x2 2x
x
（5） lim (x h)2 x2
h0
h
（2）
lim
x 3
x2 x2
3 1
（4） lim x1
x2
2x 1 x2 1
（6） lim x 1 x1 x 1
《高等数学》 1.5 极限的四则运算
【例1.5.3】 求下列极限
（1）
lim
x
x2 2x
3x 2x
5 3
（2）
lim
x
x2 3x 5 2x3 x2 3
解(1)：原式
lim
x
1 2
3
x 1
x
5 式
lim x
lim x
1 x
3 x2
5 x3
2 2
1 1x x
3 x33 x3
1 x
3 x2
5 x3
0
定理1 （极限的四则运算法则）设极限 lim f (x) 与 lim g(x) 均存在 ，则
（1） lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) （2） lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) （3） lim f (x) lim f (x) ，(lim g(x) 0)
《高等数学》
【练习2】求下列极限
（1）
lim
x
2x2 3x2
5x 2x
1 3
（2）
lim
x
4
x3 3x2
2x2 2
x
x
（3）
高等数学第一章 函数与极限第五节 极限的运算法则1-5
( 型 ) ( 通分 ) 2 1 3 x x 1 3 0 ( 型) lim( ) lim 3 3 x 1 1 x 0 x 1 1 x 1 x 2 2 x x2 x x2 lim 3 lim 3 x 1 x 1 ( x 1) x 1 ( x 2)( x 1) lim 2 （消去零因子法） x 1 ( x x 1)( x 1) x2 1. lim 2 x 1 x x 1
11/22
2x 6 例8 求 lim x 3 x63
解
2x 6 (2 x 6)( x 6 3) lim lim x 3 x 6 3 x 3 ( x 6 3)( x 6 3 )
2
8/22
3n 1 例5 求 lim n 2n 1
解
( 型)
(无穷小因子分出法)
先用n去除分子分母，分出无 穷小，再求极限。
1 3 3n 1 3 n 。 lim lim n n 2n 1 1 2 2 n
9/22
1 3 ) 例6 求 lim( 3 x 1 1 x 1 x
x 0 x 0 x 0 x 0
x 0 x
lim ( x - 1) lim ( x 2)
0 1 1 ( 1交换顺序后的算式有意 义 (包括出现)，就可交换顺序。
5/22
sin
例2
求 lim
n
n 。 1 1 n
解
π limsin 0 n n 原式 0。 1 0 1 lim 1 n n
第五节
极限的运算法则
1. 极限的四则运算法则
2. 复合函数极限运算法则
3. 小结、作业
高等数学极限的运算法则
运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”.
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1 1 x2 x 2 lim lim x 2 故 lim 2 x2 x2 4 x 2 x 4 x 2 x 2 x7 3 例5 求 lim . x2 x2
解
由于分子分母的极限均为零，不能直接运用极限
1 1 x7 3 6
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例6
解
次幂
3x 2 x 2 求 lim 2 . x 2 x x 3
由于分子分母均为无穷大，不能直接运用极限
运算法则，通常把分子分母同除以分母中自变量的最高
1 3 2 3x x 2 lim x lim 2 x 1 x 2 x x 3 2 x
x 4 x 2 0 因为lim 0 x 2 x 2 lim x 2 4 x 2 x2 再由无穷小与无穷大的关系，得到lim 2 x 2 x 4 x2 例4 求 lim 2 . x 2 x 4 解 由于分子分母的极限均为零，不能直接运用极限
2
lim x 2 4
令u 3 x，因x 8时，u 2，则
x 2 u2 lim lim 3 x 8 x 8 u 2 u 8
3
u2 lim u 2 (u 2)(u 2 2u 4)
1 1 lim 2 u 2 u 2u 4 12
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退 出
f x A lim f ( x) （3） lim B 0 g x B lim g ( x)
.
（2） lim f x g x A B lim f x lim g x
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x→ 0
x→ 0 2
x→ −∞
x→−∞
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内容小结
1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 2. 求函数极限的方法 分式函数极限求法 1 x →x0 时, 用代入法 ) ( 要求分母不为 0 ) 注意使用条件
2) x →x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
x −1 f (0 ) = lim f (x) = lim( 3 ) =−1 x→ + 0 x→ + x +1 0 故 lim f (x) =−1 x→ 0 x2 −1 lim f (x) = xlim( 3 ) = 0 → +∞ x +1 x→ +∞ lim f (x) = lim(x −1) =−∞
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 ,
2
但因
x −5x + 4 12 −5⋅1+ 4 lim = =0 x→ 2x −3 1 2⋅1−3
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结论：
1.已知多项式 2.已知分式函数 若 若 则 去公因子再求 则 求
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( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
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思考： 思考：1. 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 2.
问 是否存在 ? 为什么 ? 存在 , 矛盾 矛盾. 问 是否一定不存在 ?
3.
问 是否一定不存在 ?
答: 不一定不存在 .
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定理4 定理 . 若 lim xn = A, lim yn = B , 则有
第六节 极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则
第一章
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一、 无穷小运算法则
定理1. 定理 两个无穷小的和还是无穷小 . 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 推广: 有限个 无限个无穷小之和是否仍为无穷小???
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定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 定理 例1. 求 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的水平渐近线 .
1 lim(4−3 1 +9 x2 ) x
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3x2 −2x−1 例7 求lim . 3 −x2 +5 x→ 2x ∞
解: 先用x3去除分子及分母, 然后取极限: 3− 2 − 1 3x2 −2x−1 x x2 x3 = 0 =0 . lim 3 2 = lim ∞ 5 x→ 2x −x +5 x→ 2−1 + 5 ∞ 2 x x3 2x3−x2 +5 −x 例8 求lim . 2 −2x− x→ 3 ∞ x 1 3x2 −2x−1 =0 所以 解 因 lim 为 , 3 −x2 +5 x→ 2x ∞ 2x3−x2 +5 =∞ lim 2 . x→ 3 −2x− ∞ x 1
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练习： 练习：求
( ∞− ∞型)
解: 原式
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Hale Waihona Puke 返回结束例6 . 求 解: 分子分母同除以 x , 则
2
“ 抓大头” 抓大头”
4 −31 +9 1 x x2 原式 = lim x→ 5+ 21 − 1 ∞ x x2
= x→∞ 1 lim(5+ 2 1 − x2 ) x
x→ ∞
例3 解
0 ( 型) 0
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
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又例 : 求 解：原式
0 ( 型) 0
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例4 解
∞ ( 型) ∞
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
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例5 解 先变形再求极限. 先变形再求极限
∴ 原式 =
1 = 6
6 = 6
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例10 . 求 解: 方法 1 令 u = x , 则 limu =1,
x→ 1
x −1 u −1 = =u +1 x −1 u −1
2
( ) ∴ 原式 = lim u +1 = 2
u→ 1
方法 2
(x −1 x +1 )( ) = lim x +1 ( ) = lim x→ 1 x→ 1 x −1
sin x y= x
1 lim = 0 x→ x ∞
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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二、极限运算法则
定理 3
[ 推论 1 . lim C f (x)] = Clim f (x)
[ 推论 2 . lim f (x)]n =[lim f (x)] n
结束
例2. 设 n 次多项式
x→x0
试证
lim P (x) = P (x0). n n
证: lim P (x) = n
x→x0
例3. 设有分式函数 都是多项式 , 若 证: 试证:
其中
lim F(x) = x→x0 x→x0 lim Q(x)
x→x0
lim P(x)
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x3 − 1 例. 求 lim 2 x →2 x − 5 x + 3
a0x + a1x +L+ am lim x→ b xn +b xn−1 +L b ∞ + n 0 1
m
m−1
为非负常数 ) 非负常数
=
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求极限方法举例
例1 解
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例2 解 商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
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3) x →∞时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
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作业
P30 1 (2), (3),(8), (9),(12), 2 (2), 3, 5
第六节 目录
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结论：
1.已知多项式 2.已知分式函数 若 若 则 去公因子再求 则 求
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一般有如下结果： 一般有如下结果：
n→ ∞ n→ ∞
(1 lim(xn ± yn ) = A± B )
n→ ∞
(2) lim xn yn = AB
n→ ∞
xn A (3) 当yn ≠ 0且B ≠ 0时 lim = , n→ yn ∞ B
提示: 提示 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
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一般有如下结果： 一般有如下结果：
a0x + a1x +L+ am lim x→ b xn +b xn−1 +L b ∞ + n 0 1
m
m−1
为非负常数 )
=
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例9. 求
x −3 解: 令 u = 2 x −9
1 1 = limu = lim x→ 3 x→ x +3 6 3
=2
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, x −1 x < 0 2 例11. y = f (x) = x −1 3 , x ≥0 x +1 求 lim f (x), lim f (x), lim f (x).
x→ 0 x→ +∞ x→−∞
) 解: f (0− ) = lim f (x) = lim(x −1 =−1 − −
解:
x −1 23 − 1 7 x→2 lim 2 = = 2 =− 2 x →2 x − 5 x + 3 lim( x − 5 x + 3) 2 − 10 + 3 3 x→2
3
lim( x3 − 1)
思考： 思考： 若 例4.
怎么求函数极限？
(x −3)(x −1 ) x −1 = lim = lim x→ (x −3 x +3 3 )( ) x→3 x +3