高数无穷小、无穷大极限运算法则
高数求极限运算法则
高数求极限运算法则极限（Limit）是高等数学中非常重要的数学概念，是对函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，是理解微积分及其它研究的基础。
极限的求取是高数教学的重要内容，它不仅提高了学生的数学思维能力，还有助于培养其创新能力。
因此，高数求极限的运算法则的掌握就显得尤为重要。
一、定义极限又称无穷小，是指分母函数值趋近于无穷小，且分子函数值恒不变时，分母函数不变时其商函数极限，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$其中$xto a$（x逼近a）表示x不断逼近a，当$xto a$时，$f(x)=L$。
二、极限的计算1、无穷小的消去法即在极限的运算中，若分母中出现无穷小，可让其消去，即$lim_{xto a}f(x)=f(a)$，$f(a)$为极限值。
2、无穷大的消去法即若极限运算中出现无穷大，首先判断一下分子和分母的大小，根据大小将分母合理改写，使无穷大可以化简消去，然后将合理改写后的分母和分子相除，得到极限的值。
3、积分型极限计算法则即若函数形式为$frac{f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+cdots+f(x_n)}{x_0+x_1+x_2+cdots+x_n}$，此时函数的极限可以用随机积分法求出。
4、指数函数极限计算法则即若函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，当$xto infty$时极限值为无穷大；当$xto -infty$时极限值为0。
5、三角函数极限计算法则即当函数形式为$sin x$或$cos x$等三角函数的极限时，可以运用三角恒等公式，将它们改写成有限值表达式，求出其极限值。
6、指数型函数极限计算法则即当函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，此时函数的极限可以用对数函数法求出，其计算方法是将该函数改写成对数函数形式，再用极限运算法则加以求解。
三、总结1、极限定义：极限是指函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$2、求极限的方法：包括无穷小的消去法、无穷大的消去法、积分型极限计算法则、指数函数极限计算法则、三角函数极限计算法则、指数型函数极限计算法则等，其中各种方法有其特色，使用了正确的方法可以满足不同的求解要求。
大一高数函数极限知识点
大一高数函数极限知识点函数极限是高等数学中的重要概念之一，它是分析函数性质和求解各种数学问题的基础。
在大一高数课程中，函数极限是必修内容，下面将介绍几个常见的函数极限知识点。
一、基本极限公式在求解函数极限的过程中，常用的基本极限公式有以下几个：1. 当n趋向于无穷大时，$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^p} = 0$，其中p是大于0的实数。
2. 当x趋向于无穷大时，$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^p} = 0$，其中p是大于0的实数。
3. $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1$。
4. $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$，其中e是自然对数的底数。
这些基本极限公式在求解各种函数极限时非常常用，熟练掌握它们可以简化计算过程。
二、函数极限的性质函数极限具有一些重要的性质，下面介绍两个常用的性质。
1. 函数极限的唯一性：如果$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$，且$\lim_{x \to x_0}f(x) = B$，那么A=B。
即函数在某一点的极限存在时，它的极限值是唯一确定的。
2. 函数极限的四则运算法则：设$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0}g(x) = B$，其中A、B都存在，则有以下四则运算法则：（1）$\lim_{x \to x_0}[f(x) \pm g(x)] = A \pm B$（2）$\lim_{x \to x_0}[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$（3）$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$，其中B不等于0。
这些性质在计算复杂函数极限时非常有用，可以简化计算步骤。
三、函数极限的求解方法对于一些特殊函数，我们需要使用一些特殊的求解方法来计算其极限。
高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则
lim f ( x) A , lim g ( x) B,
且 f ( x) g ( x),
则
A B .
( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x)
1.lim(2 x 1)
x 1
x 1 2.lim 2 x 2 x 5 x 3
3
*. 设有分式函数
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
定理 5 :若
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当 当
时,有 时,有
取 min 1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。
备选题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b
高数极限1-6
∴ ( 2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = Q B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 Q β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
一、极限运算法则: 极限运算法则
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 无穷小 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 是无穷小， 例如, n → ∞时, 是无穷小， n
1 但 n个 之 和 为 1 不 是 无 穷 小 . n
u →a
则复合函数 f [φ ( x)] 当 x → x0 时的极限也存在，且
x → x0
lim f [φ ( x)] = lim f (u ) = A.
u →a
意义： 意义：x → 源自0lim f [ϕ ( x )]
令u = ϕ(x)
a = limϕ(x)
x→x0
lim f ( u)
u→a →
二、求极限方法举例
xm − xn 7、 lim m x →1 x + xn − 2
练习题答案
-5； 一、1、-5； 5、 5、0； 二、1、2； 1 5、 5、 ； 2 2、 2、3； 6、 6、0； 2、 2、 2 x ； 6、 6、0； 3、 3、2；
1 7、 7、 ； 2 3、-1； 3、-1； m−n 7、 7、 . m+n 1 4、 4、 ； 5 3 30 8、 8、( ) . 2 4、-2； 4、-2 ；
高数函数的极限知识点
高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。
2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。
二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。
2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。
3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。
三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。
大一高数极限知识点笔记
大一高数极限知识点笔记一、基本概念：在数学中，极限是描述一个数列或者函数在逼近某一数值时的行为的概念。
在大一高数中，我们将会学习一些基本的极限知识点，让我们一起来看一看吧！1. 数列的极限数列的极限是指当n趋近于无穷大时，数列的项趋于某个常数L。
即当n趋近于无穷大时，数列的项与L的差趋近于零。
2. 函数的极限函数的极限是指当自变量x趋近于某个数a时，函数的值趋于某个常数L。
即当x趋近于a时，函数f(x)与L的差趋近于零。
二、常见的极限计算方法：在计算极限时，我们常常使用以下几种方法：1. 代入法对于一些简单的函数，在计算极限时我们可以直接将自变量的值代入函数中，得到极限的结果。
2. 分式的化简当函数为分式形式时，我们可以通过化简分式的形式，将其化为更简单的形式来计算极限。
3. 极限的性质极限具有一些基本的运算性质，比如极限的和、差、积、商的性质，我们可以利用这些性质来计算复杂函数的极限。
4. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它的核心思想是通过找到两个函数夹住待求函数，并且这两个函数的极限相同，从而得到待求函数的极限。
三、常见的极限公式：在计算极限时，我们还可以利用一些常见的极限公式来简化计算，以下是一些常见的极限公式：1. 基本的极限公式- lim(x→0) sin(x)/x = 1- lim(x→∞) (1+1/x)^x = e2. 无穷小与无穷大的极限- lim(x→0) a^x - 1/x = ln(a)- lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e3. 三角函数的极限- lim(x→0) (1-cos(x))/x^2 = 1/2- lim(x→0) (sin(x))/x = 1四、总结：通过学习大一高数的极限知识点，我们可以更好地理解数列和函数的极限行为，从而为后续的数学学习打下坚实的基础。
通过掌握极限的基本概念、常见的计算方法以及公式，我们可以更加高效地求解各种复杂的极限题目。
高考高数知识点总结
高考高数知识点总结高考对于每一个学生来说都是一次重要的考试，而其中的数学科目更是让很多学生头疼的难题。
高考数学中，高等数学是其中一个难点，涵盖的内容较广，涉及的知识点较多。
为了帮助同学们更好地备考高数，下面将对高考高数的知识点进行总结，希望对同学们有所帮助。
一、函数与极限1. 函数的定义域、值域、单调性以及图像的绘制方法。
2. 极限的定义及其性质，常用的极限运算法则。
3. 无穷大与无穷小的概念，无穷小量的比较与性质。
二、导数与微分1. 导数的定义及其几何意义，导数的性质与常用求导法则。
2. 高阶导数的概念，高阶导数与原函数的关系。
3. 微分的概念及其应用，微分的计算与应用。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质，常用的不定积分法则。
2. 定积分的概念及其性质，定积分的计算与应用。
3. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的几何应用。
四、微分方程1. 一阶微分方程的概念与解法，常见的一阶微分方程型。
2. 高阶微分方程的概念与解法，可降阶的高阶微分方程。
3. 变量分离与同解微分方程的解法。
五、向量及其运算1. 向量的定义及其表示方法，向量的加法与数乘。
2. 向量的线性相关性与线性无关性，向量的共线性与垂直性。
3. 平面向量的数量积与向量积，向量积的应用。
六、空间解析几何1. 空间点的位置与坐标，空间直线与平面的位置与方程。
2. 直线的方向向量与点向式方程，直线与平面的位置关系。
3. 空间中直线与直线、直线与平面的位置关系。
七、数列与数学归纳法1. 数列的概念及其相关术语，数列的通项公式与和的计算。
2. 数列的极限与无穷项级数收敛性判定。
3. 数学归纳法及其应用。
以上仅为高考高数知识点总结的一部分，每个知识点都需要彻底理解并进行大量的练习。
除了掌握这些知识点外，同学们还需要注重做题技巧的积累与应用，不断提高解题的速度与准确性。
在备考过程中，要保持积极的心态，相信自己的实力，相信付出一定会有回报。
祝愿所有参加高考的同学们取得优异的成绩！。
高数大一上知识点极限
高数大一上知识点极限在大学数学课程中，高等数学是大多数学生必修的一门课程。
而高等数学的核心内容之一就是极限。
极限是数学分析中的重要概念，是理解微积分的基础。
在大一上学期，学生们会学习到一些关于极限的基础知识点，本文将概述这些知识点。
一、函数的极限在高数中，函数的极限是一个基本的概念。
函数的极限可以理解为自变量趋于某个值时，函数取值的趋势。
1. 无穷大与无穷小当自变量趋于正无穷或负无穷时，函数的极限可能会是无穷大或无穷小。
例如，对于函数f(x)=1/x，在x趋于正无穷时，函数的极限是0；而在x趋于0时，极限是正无穷。
函数的无穷大与无穷小的概念对于后续的微积分学习非常重要。
2. 函数的左极限和右极限对于一些特殊函数，比如分段函数，函数的极限可能存在左极限和右极限。
左极限指的是自变量趋于某个值时，函数的极限值从左侧逼近；右极限则相反。
例如，对于函数g(x)=|x|，在x=0这个点，左极限是0，右极限也是0。
3. 基本极限公式在计算极限时，有一些基本的公式可以借助。
例如，当函数中含有多项式时，可以利用多项式的最高次项来确定极限的值。
另外还有三角函数的极限公式等等。
二、极限的性质极限具有一些基本的性质，这些性质对于理解和计算极限非常有帮助。
1. 唯一性函数的极限值在一定条件下是唯一确定的。
也就是说，如果函数在某个点有极限，那么这个极限是唯一的。
2. 有界性如果函数在某个点有极限，那么在某个邻域内，函数的取值是有界的。
这个性质可以通过极限的定义推导出来。
3. 保序性如果函数在某个点的极限存在，那么在该点的邻域内，函数的取值保持一定的顺序关系。
也就是说，如果两个函数f(x)和g(x)在某个点的极限存在，并且在该点的邻域内f(x)≤g(x)，那么在该邻域内任意点f(x)≤g(x)。
三、极限的计算方法计算函数的极限是高等数学中的一项重要任务，针对不同的函数，有不同的计算方法。
1. 代入法当函数在某个点的极限存在时，可以直接将自变量代入函数，计算函数的值。
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y 1 sin 1 xx
(1) 取 xk
1
2k
2
y( xk ) 2k 2 ,
(2)
取
xk
1 2k
(k 0,1,2,3,)
当k充分大时, y( xk ) M . (k 0,1,2,3,)
无界，
当 k 充分大时, xk ,
但 y( xk ) 2ksin 2k 0 M .
不是无穷大．
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,则有
(n )
A B
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当 yn
0且 B
0时,
lim
n
xn yn
A B
Hint: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
直接得出结论 。
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n n n
0,
数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
f (x)
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
1 为无穷大. f (x)
(自证)
Note: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
三、极限运算法则
定理5: 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
第三、四节 无穷小、无穷大 极限运算法则
一、 无穷小 二、 无穷大
三 、 极限 运算法则 四、小结与思考
一、无穷小(Infinite Small)
1.
定义1:
若 (或x
时 )
,
函数
为
时的无穷小 .
(或x )
则称函数
例如 :
函数
当
时为无穷小;
函数 当
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小.
再如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
1 B(B
)
2 B2
,
有界，
(3)成立.
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
定理6 ：若
例如, n 时, 1 是无穷小， n
但 1 1 1 1 不是无穷小. nn n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷 小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1
x
x
都是无穷小．
二、 无穷大(Infinite Large)
定义2 . 若任给 M > 0 ,总存在
(正数 X ) , 使对
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数 当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f ( x) )
x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x) A, 令 ( x) f ( x) A, x x0 则有 lim ( x) 0, f ( x) A ( x). x x0 充分性 设 f ( x) A ( x),
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
则记作
( lim f ( x) )
x x0 ( x )
注意:
（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（2）切勿将 lim f ( x) 认为极限存在. x x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
例如: 当x 0时, y 1 sin 1 xx
是一个无界变量, 但不是无穷大.
( A B) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , B B B 1 B 1 B
2
22
B(B ) 1 B2 , 故 2
x x0
x x0
x x0
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
（2）给出了函数 f ( x) 在 x0 附近的近似表达
式 f ( x) A, 误差为( x).
3、无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数 和仍是无穷小.
注意: 无穷多个无穷小的代数和未必 是无穷小.
例 证明 lim 1 . x1 x 1
证 M 0. 要使 1 M ,
x1
只要 x 1 1 , 取 1 ,
M
M
当0 x 1 1 时, 就有 1 M .
M
x1
1 lim .
x1 x 1
y 1 x1
无穷小与无穷大的关系:
定理4. 在自变量的同一变化过程中,
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x 5
lim x 3 lim 1
x2
x2
lim( x 2 3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有