§1.7极限运算法则
极限运算法则与常见的极限计算
极限运算法则与常见的极限计算极限运算法则是微积分中的重要概念，它能够帮助我们求解各种复杂的极限问题。
在本文中，我们将介绍常见的极限运算法则，并结合一些例子来说明如何应用这些法则来计算极限。
1. 基本极限运算法则(1) 常数法则：若c为常数，则lim(x→a) c = c。
这意味着在极限运算中，常数可以直接提出来。
(2) 幂函数法则：若n为正整数，则lim(x→a) x^n = a^n。
这意味着在极限运算中，幂函数可以直接求解。
(3) 指数函数法则：若a为正实数且a≠1，则lim(x→∞) a^x= ∞，lim(x→-∞) a^x = 0。
这意味着指数函数在无穷远处的极限值为无穷或零。
(4) 对数函数法则：若a为正实数且a≠1，则lim(x→0) log_a(x) = -∞，lim(x→∞) log_a(x) = ∞。
这意味着对数函数在0或无穷远处的极限值为负无穷或正无穷。
2. 极限运算法则的应用(1) 和差法则：lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)。
这意味着在求解两个函数之和或差的极限时，可以分别求解各个函数的极限，然后再进行相加或相减。
(2) 积法则：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
这意味着在求解两个函数的乘积的极限时，可以分别求解各个函数的极限，然后再进行相乘。
(3) 商法则：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0。
这意味着在求解两个函数的商的极限时，可以分别求解各个函数的极限，然后再进行相除。
(4) 复合函数法则：若lim(x→a) g(x) = b，lim(y→b) f(y) = c，则lim(x→a) f[g(x)] = c。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限运算规则
极限运算规则
极限运算规则指的是在处理数学极限的运算中，解决极限问题时采用的通用的解决过程。
通常被称为极限公式。
极限规则，又称极限运算规则，指的是当一个数
字正负无穷时，我们使用的计算步骤。
极限公式有“正无穷”规则、“负无穷”规则、“乘法法则”、“商法则”，“项消去法则”和“幂乘积法则”等。
1. 正无穷规则：当x趋向正无穷或取正无穷时，lim(x→∞)f(x)=L，表示f(x)的值对于x的改变有极限，且极限的值为L。
2. 负无穷规则：当x趋向负无穷或取负无穷时，lim(x→-∞)f(x)=L，表示f(x)的值对于x的改变有极限，且极限的值为L。
3. 乘法法则：如果lim(x→a)f(x)=L，lim(x→a)g(x)=M，那么
lim(x→a)f(x)g(x)=LM。
4. 商法则：如果lim(x→a)f(x)=L，lim(x→a)g(x)=M，且M不等于0，那么lim(x→a)f(x)/g(x)=L/M。
5. 项消去法则：如果lim(x→a)f(x)=L，lim(x→a)g(x)=M，且f(x)和g(x)不都包含变量x或者f(x)和g(x)同时包含变量x但能够展开成只包含x的多项式，那么l im(x→a)f(x)+g(x)=L+M、lim(x→a)f(x)−g(x)=L−M。
6. 幂乘积法则：如果lim(x→a)f(x)=L，lim(x→a)g(x)=M，且f(x)和g(x)同时包含变量x，那么lim(x→a)f(x)g(x)=LM。
极限存在准则 两个重要极限教案
§1.7 极限存在准则 两个重要极限求函数的极限问题，有些可用上节运算法则获得解决，但更多的远不能解决，例已知∞→x 时， ()0sin →=xxx f , 但0→x 时，()?sin →=x x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00是否有？如果有，怎样求？再如()∞→+=n nn f n )11(无限多个积，n 换成x ？一．极限存在准则I1．准则I 如果数列() ,2,1,,=n z y x n n n 满足：(1)() ,2,1=≤≤n z x y n n n (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim那么数列n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim .证：∵a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ，∴10N ∃>∀ε，当1N n >时，有ε<-a y n .同理20N ∃>∀ε，当2N n >时，有ε<-a z n . 取{}21,max N N N =，则当N n >时， 有ε<-a y n , ε<-a z n 同时成立即εε+<<-a y a n ,εε+<<-a z a n ,而() ,2,1=≤≤n z x y n n n n ，∴εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,即ε<-a x n . 故a x n n =∞→lim 。
*数列极限存在准则I 可推广到函数的极限。
准则I ˊ如果(1) ),ˆ(0r x U x ∈ (或M x >)时，有()()()x h x f x g ≤≤成立；(2)()A x g =lim , ()A x h =lim (0x x →或∞→x ),那么()A x h =lim (0x x →或∞→x ). 准则I,I ′称为夹逼准则。
2．利用准则I ′证明第一个重要极限：1sin lim0=→xxx证：函数xxsin 在0≠x 时有定义 单位圆中，AOB ∆的面积＜扇形AOB 的面积＜AOD ∆的面积即x sin 21 <<x 21 x tan 21, 1sin cos <<x xx (1)(∵用x -代x 时，x cos 与xx sin 都不变号， ∴对⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 也成立)。
1.7 极限存在准则 两个重要极限-习题
1．计算下列极限： ⑴0tan 3limx xx→；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将tan3x 化出sin3x ，利用sin 3tan 3cos3xx x=，得：0tan 3lim x x x →0sin 33lim 3cos3x x x x →=⋅313cos0=⨯=。
⑵1lim sin x x x→∞； 【解】由于1lim sin x x→∞sin 00==，这是“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：1lim sin x x x →∞101sinlim1xx x→=， 这又成为了“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 101sinlim 11xx x→=，亦即1lim sin 1x x x →∞=。
⑶0lim cot x x x →；【解】由于0limcot x x →=∞，这是“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：0lim cot x x x →0limtan x xx→=，这又成为了“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 同样利用sin tan cos xx x=，得： 00lim lim cos tan sin x x x x x x x→→=⋅1cos01=⨯=， 亦即0lim cot 1x x x →=。
⑷01cos 2limsin x xx x→-；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将1cos2x -化出正弦函数，利用2cos 212sin x x =-，得：01cos 2lim sin x x x x →-202sin lim sin x x x x →=0sin 2lim x xx→=212=⨯=。
极限的常用求法及技巧
极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。
极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。
极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。
极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x趋于正无穷，x趋于负无穷。
函数的极限等等。
本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通。
1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。
数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。
1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。
若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有ε<-a a n则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a na =∞→或)(,∞→∞→n a n读作当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a 例证明2322n lim -∞→n n解 由于)3n 93n 9323222≥≤-=--（nn n 因此，对于任给的ε>0,只要ε<n9，便有 ε<--33322n n 即当n ε9>时，（2）试成立。
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
极限运算规则
极限运算规则极限运算规则是数学中的一项重要概念，它在微积分、数学分析、物理学等领域均有广泛应用。
本文将从基本概念、运算规则、应用实例等方面，全面介绍极限运算规则。
一、基本概念极限是指当自变量趋近于某一值时，函数值趋近于某一常数或无穷大的过程。
数学上，我们用符号“lim”表示极限，如下所示：lim f(x) = L （x→a）其中，f(x)为函数，a为自变量的极限值，L为函数的极限值。
当函数的极限值存在时，我们称其为函数在a点的极限，记为lim f(x) = L （x→a）。
二、运算规则1. 基本极限运算规则（1）常数极限：lim k = k （k为常数）（2）函数极限：lim x = x0 （x0为常数）（3）加减法极限：若lim f(x) = A，lim g(x) = B，则lim (f(x) ± g(x)) = A ± B（4）乘法极限：若lim f(x) = A，lim g(x) = B，则lim (f(x) × g(x)) = A × B（5）除法极限：若lim f(x) = A，lim g(x) = B （B≠0），则lim (f(x) ÷ g(x)) = A ÷ B2. 组合极限运算规则（1）复合函数极限：设y=f(u)，u=g(x)，则lim f(g(x)) = lim f(u) = f(lim g(x))x→a u→b g(x)→b（2）反函数极限：设y=f(x)，x=g(y)，则lim g(y) = lim x = f-1(lim y)y→b x→a y→b（3）极限的比较：若f(x)≤g(x)，则lim f(x) ≤ lim g(x)x→a x→a（4）夹逼定理：若f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x) = lim h(x) = L，则 lim g(x) = Lx→a x→a三、应用实例极限运算规则在数学、物理等领域中有广泛应用，下面我们以一些实例来说明。
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§1.7 极限运算法则 极限的四则运算法则
(2)lim [f (x )⋅g (x )]=lim f (x )⋅lim g (x )=A ⋅B .
•推论1如果lim f (x )存在,而c 为常数,则
lim[c ⋅f (x )]=c ⋅lim f (x ).
•推论2如果lim f (x )存在,而n 是正整数,则
lim[f (x )]n =[lim f (x )]n .
•定理3
如果lim f (x )=A ,lim g (x )=B ,那么
极限的四则运算法则
(3)B
A x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim (
B ≠0).(1)lim[f (x )±g (x )]=lim f (x )±lim g (x )=A ±B .
数列极限的四则运算法则
•定理5如果ϕ(x )≥ψ(x ),而lim ϕ(x )=a ,lim ψ(x )=b ,那么a ≥b .
不等式
(1)B A y x n n n ±=±∞→)(lim ; (2)B A y x n n n ⋅=⋅∞→)(lim ;
(3)当0≠n y (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)且B ≠0时, B
A y x n n n =∞→lim .•定理4设有数列{x n }和{y n }.如果
A x n n =∞→lim ,
B y n n =∞
→lim ,那么
求极限举例
•讨论•提示求)12(lim
1-→x x . 例1解若n n n n a x a x a x a x P ++⋅⋅⋅++=--1110 )(, 则?)(lim 0
=→x P x x )()(lim 00x P x P x x =→. 351lim 23 2+--→x x x x 31021223+--=求3
51lim 23 2+--→x x x x .例2解
)35(lim )
1(lim 2232+--=→→x x x x x 37-=. )12(lim 1-→x x lim 2lim 1 1-=→→x x x lim 21
1-=→x x 11121=-⋅=.
解例3求9
3lim 2 3--→x x x .93lim 2 3--→x x x )3(lim 1lim
3 3+=→→x x x )3)(3(3lim 3+--=→x x x x 3
1lim 3+=→x x 61=.解例4求4
532lim 2 1+--→x x x x .3
245lim 2 1-+-→x x x x 4
532lim 2 1+--→x x x x =∞.根据无穷大与无穷小的关系得
031241512=-⋅+⋅-=,因为
有理函数的极限?)
()(lim 0=→x Q x P x x •讨论
•提示
当Q (x 0)=P (x 0)=0时,约去分子分母的公因式(x -x 0) . 当0)(0≠x Q 时, )
()()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→. 当0)(0=x Q 且0)(0≠x P 时, ∞=→)
()(lim 0x Q x P x x .
先用x 3去除分子及分母,然后取极限:
解先用x 3去除分子及分母,然后取极限:
例5求3
57lim 23-+∞→x x x .解:357243lim 2323-+++∞→x x x x x 357243lim 33-+++=∞→x
x x x x 73=.例6求5
2123lim 232+---∞→x x x x x .52123lim 232+---∞→x x x x x 512123lim 332+---=∞→x
x x x x x 020==.
•讨论
•提示求1
23lim 2--∞→x x x .例7解因为05
2123lim 232=+---∞→x x x x x , ∞=--+-∞→1
2352lim 223x x x x x .所以 有理函数的极限? lim 110110=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→m m m n n n x b x b x b a x a x a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→b x b x b a x a x a m m m n n n x lim 110110⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<=m n m n b a m n
000.
解例8（计算8
1221lim 32---→x x x ）（8
1221lim 32---→x x x )
42)(2(12)42(lim 222++--++=→x x x x x x )
42)(2()4)(2(lim 22++-+-=→x x x x x x 424lim 22+++=→x x x x 2
1=
解当x →∞时,分子及分母的极限都不存在,故关于商的极限的运算法则不能应用.
例9求x
x x sin lim ∞→.所以 0sin lim =∞→x
x x . 因为x x
x x sin 1sin ⋅=,是无穷小与有界函数的乘积,
例10求.21lim 222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n Λ解本题考虑无穷多个无穷小之和.
先变形再求极限
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n Λ221lim n n n +++=∞→Λ2)1(21lim n
n n n +=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n 1121lim .2
1=
•说明
设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成,f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义.若g (x )→u 0(x →x 0),f (u )→A (u →u 0),且在x 0的某去心邻域内g (x )≠u 0,则
A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0
0.把定理中g (x )→u 0(x →x 0)换成g (x )→∞(x →x 0或x →∞),而把f (u )→A (u →u 0)换成f (u )→A (u →∞)可得类似结果.
求3
9lim 23--→x x x .例11 392--=x x y 是由u y =与3
92--=x x u 复合而成的.解 因为639lim 23=--→x x x ,所以39lim 23--→x x x lim 6
=→u u 6=.设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成,f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义.若g (x )→u 0(x →x 0),f (u )→A (u →u 0),且在x 0的某去心邻域内g (x )≠u 0,则
A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0
0.
例12求.)1cos(lim x x x -+∞→解⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+=∞→x x x x x x x 1)1)(1(lim cos ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=∞→x x x 11lim cos 0cos =.
1=)
1cos(lim x x x -+∞→
作业
习题 P55):
1. (4) (5) (6) (10) (15) (16)(17)
2. (1) (4)
因为lim f (x )=A ,lim g (x )=B ,根据极限与无穷小的关系,有
f (x )=A +α,
g (x )=B +β,
其中α及β为无穷小.lim[f (x )±g (x )]=lim f (x )±lim g (x )=A ±B .证明即f (x )±g (x )可表示为常数(A ±B )与无穷小(α±β)之和.再根据极限与无穷小的关系得
lim[f (x )±g (x )]=A ±B .
于是
f (x )±
g (x ) =(A +α)±(B +β)
=(A ±B )+(α±β),
因为lim f (x )=A ,lim g (x )=B ,根据极限与无穷小的关系,有
f (x )=A +α,
g (x )=B +β,
其中α及β为无穷小.lim[f (x ) ⋅g (x )]=lim f (x ) ⋅lim g (x )=A ⋅B .证明即f (x )g (x )可表示为常数AB 与无穷小A β+αB +αβ之和.再根据极限与无穷小的关系得
lim[f (x )g (x )]=AB .
于是
f (x )
g (x ) =(A +α)(B +β) =AB +A β+αB +αβ,。