极限运算法则PPT精品课件
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《极限的运算》课件
重要的作用。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
极限的计算公式精品PPT课件
x x
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课题三、极限的计算方法
约去零因子法：
例四、求极限 lim x2 4
x2 x 2
解： x2 4
(x 2)(x 2)
lim
lim
lim(x 2) 4.
x2 x 2 x2
x2
x2
例五、求极限
x2 x
lim
x0
x3
2x
解：
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例六、求极限 lim x1
x32 x 1
2
所以
lim ln(1 x2 )(ex 1) lim x2 x 1. x0 (1 cos x) sin 2x x0 1 x2 2x
2
课题三、极限的计算方法
提高题
一、求下列极限：
（1）lim x0
1
cos x2
2
x
(2) lim x sin 2
x
x
1 x2 1
(3) lim x0
tan x2
解：
lim
x 3 2 lim (
x 3 2)(
x 3 2) lim
x1 x 1
x1 (x 1)( x 3 2)
x1
1 1. x32 4
课题三、极限的计算方法
无穷小分出法：
例七、求极限
lim
x
x2 4 2x2 x
解：
lim
x
x2 4 2x2 x
1 lim
4 x2
x 2 1
课题三、极限的计算方法
代值法：
例一、求极限 lim(x2 2x 3) x1 lim(x2 2x 3) 12 21 3 2. x1
例二、求极限 lim x2 1
x0 x 2
《高数教学课件》第二节之四4.极限运算法则
第二节之四 4.极限运算法则
目
CONTENCT
录
• 极限运算法则概述 • 极限运算法则的分类 • 极限运算法则的应用 • 极限运算法则的注意事项
01
极限运算法则概述
极限运算法则的定义
极限运算法则定义
极限运算法则是微积分中的基本概念，它涉及到函数在某点的极 限值以及极限的运算性质。极限运算法则规定了函数在某点的极 限值可以通过函数的四则运算、复合函数、反函数的极限来求得 。
幂级数的展开式
如果函数f(z)在z=0处可展开为 幂级数∑an*z^n，那么 f'(z)=∑nan*z^(n-1)。
03
极限运算法则的应用
在函数分析中的应用
确定函数的有界性
通过计算函数的极限，可以判断 函数在某点的有界性，进而分析 函数的整体性质。
研究函数的连续性
极限运算法则可以用于判断函数 在某点的连续性，以及研究函数 在某点的可导性和可微性。
02
极限运算法则的分类
极限的四则运算法则
01
02
03
04
加法法则
减法法则
乘法法则
除法法则
如果lim(x→a) f(x)和lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) [f(x) + g(x)]也存在，并且等于 lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
如果lim(x→a) f(x)和lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) [f(x) g(x)]也存在，并且等于 lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
极限的复合运算法则
极限的复合函数
如果lim(x→a) u = u₀，且y=f(u)，那么lim(u→u₀) f(u)=f[lim(u→u₀)]。
目
CONTENCT
录
• 极限运算法则概述 • 极限运算法则的分类 • 极限运算法则的应用 • 极限运算法则的注意事项
01
极限运算法则概述
极限运算法则的定义
极限运算法则定义
极限运算法则是微积分中的基本概念，它涉及到函数在某点的极 限值以及极限的运算性质。极限运算法则规定了函数在某点的极 限值可以通过函数的四则运算、复合函数、反函数的极限来求得 。
幂级数的展开式
如果函数f(z)在z=0处可展开为 幂级数∑an*z^n，那么 f'(z)=∑nan*z^(n-1)。
03
极限运算法则的应用
在函数分析中的应用
确定函数的有界性
通过计算函数的极限，可以判断 函数在某点的有界性，进而分析 函数的整体性质。
研究函数的连续性
极限运算法则可以用于判断函数 在某点的连续性，以及研究函数 在某点的可导性和可微性。
02
极限运算法则的分类
极限的四则运算法则
01
02
03
04
加法法则
减法法则
乘法法则
除法法则
如果lim(x→a) f(x)和lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) [f(x) + g(x)]也存在，并且等于 lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
如果lim(x→a) f(x)和lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) [f(x) g(x)]也存在，并且等于 lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
极限的复合运算法则
极限的复合函数
如果lim(x→a) u = u₀，且y=f(u)，那么lim(u→u₀) f(u)=f[lim(u→u₀)]。
极限的运算法则 ppt课件
xx0
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
思考题
在某个过程中，若 f (x)有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
2.设 f(x)Q P ((x x)),且 Q (x0)0, 则有
(A B ) 0.
(2)成立 .
f (x) A A A B A B A 0 . g(x) B B B B(B )
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx 0 时 ,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
22
B(B)1B2, 2
故1 B(B)
B22
,
有界，
(3)成xx0
limQ(x)
xx0
P(x0) Q( x0 )
f(x0).
若Q(x0)0, 则商的法则不 . 能应用
例2 求 lx i1m x24x2x13.
解 li(m x22x3) 0, x 1
注意：商的法则不能用
又 li(m 4x 1 )30, x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则数 lim c(fx [)]clim f(x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im f(x)存,在 而 n是正,整 则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
思考题
在某个过程中，若 f (x)有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
2.设 f(x)Q P ((x x)),且 Q (x0)0, 则有
(A B ) 0.
(2)成立 .
f (x) A A A B A B A 0 . g(x) B B B B(B )
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx 0 时 ,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
22
B(B)1B2, 2
故1 B(B)
B22
,
有界，
(3)成xx0
limQ(x)
xx0
P(x0) Q( x0 )
f(x0).
若Q(x0)0, 则商的法则不 . 能应用
例2 求 lx i1m x24x2x13.
解 li(m x22x3) 0, x 1
注意：商的法则不能用
又 li(m 4x 1 )30, x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则数 lim c(fx [)]clim f(x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im f(x)存,在 而 n是正,整 则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
高三数学极限的四则运算PPT课件
注： 极限的运算法则只能推广到有限多项，
无限时，要先求和（或积）再求极限
当项数
小结与反思：
1、本节知识结构
函数的极限 函数极限的四则运 算法则
数列的极限
Hale Waihona Puke 数列极限的四则运 算法则应用
求分式的极限 求无限项和的极限
2、思想方法反思
(1) 一般地，当分子分母是关于n的的多项式时，①若分子分母的 次数相同，这个分式在 的极限是分子与分母中最高次项的系数之 比; ②若分母的次数高于分子的次数，这个分式在 的极限是0 （ 2） 求 的函数极限问题转化为求 的数列极限问题 （3） 当项数无限时，要先求和（或积）再求极限
变式练习：
（1）已知 =2 , 求a的值 ( 6 )
（2）求 (3) 若 -4 2 a=_____b=_______
的极限（ , 则
）
注：
求 列极限问题
的函数极限问题转化为求
的数
例题2、求下列极限
（1 ）
（2）
方法：分子，分母同除以 绝对值 最大的 底数的n次方
例3 、
思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
2、上述法则对 的情况仍然成立。
求某些函数在某一点 x=x0处的极限值时，只 要把x=x0代入函数的解 析式中，就得到极限 值.这种方法叫代入法.
当用代入法时，分子、 分母都为 0 ，可对分子、 分母因式分解，约去公 因式来求极限.就是先要 对原来的函数进行恒等 变形.称因式分解法.
数列极限的四则运算： 如果 那么
问题1：函数
你能否直接看出函数值的变化趋势？ 问题2：如果不能看出函数值的变化趋势， 那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数 极限？转化的数学方法与依据是什么？
极限的四则运算PPT优秀课件
2.4极限的四则运算(1)
求下列函数的极限：
1、lim 1 x x
2、lim x 1 x x
3、lim ( x 1) x1
4、lim a x x
5、lxim1 x23x2 2xx211 6、lx im x23x2 2xx211
7、lx im x23x3 2xx211 8、lx im x23x4 2xx211
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
求下列函数的极限：
1、lim 1 x x
2、lim x 1 x x
3、lim ( x 1) x1
4、lim a x x
5、lxim1 x23x2 2xx211 6、lx im x23x2 2xx211
7、lx im x23x3 2xx211 8、lx im x23x4 2xx211
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
第四部分极限的运算法则教学课件
xa
其中a 为 x0 , x0 0, x0 0, , - , ；并且当a 为 x0, x0 -, x0时，此过程进行到一定程度以后恒有
x = j (t ) x0 )。
例13 求极限
y= 1
(1)
limln
x
1 x2
x2
lim lny = .
y00
(2) lime x y = - x lim e y = 1.
=
x 0
x0
l i(mx-1 ) l i(mx2 )
x0
x0
=(01)12
1 =2
注 只要极限运算与四则运算交换顺序后 的算式有意义 <包括出现 >,就可交换顺序.
sin
例2
求 lim
n
1 n。 1
n
解
原式=
l i ms i nπ
n
n
lim1 1
=
0 01
=0。
n n
例3
求 limx2 。 x1 x2 1
x0
y 0
(3) limtan(1)= limtan(1)
n
2n
x 2 x
y= 1
2 x lim tan y = . y 2
= lim 2 n
n2
=lim1(11) = 1 .
n2
n2
例10 求 lim sin x .
x x
解 当x 时，1 为无穷小，
x
而sin x是有界函数，
limsinx =0. x x
y = sin x x
例11
设 f(x )= x 1 2 x 1 ,,
x 0 ,求 lif m (x ). x 0 x 0
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u
u
M
M
故 lim u 0, 即 u 是 x x0 时的无穷小 . x x0 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
例1. 求 lim sin x . x x
解: sin x 1
lim 1 0 x x 利用定理 2 可知 lim sin x 0 .
Байду номын сангаас
4
.
解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x2 5x 4 12 5 1 4 0
x1 2x 3
21 3
lim
x1
2x 3 x2 5x
4
例6
.
求
lim
x
4x2 5x2
3x 2x
9 1
.
解: x 时, 分子 , 分母 .
分子分母同除以 x2 , 则
R(x0 )
x x0
说明: 若 Q(x0 ) 0, 不能直接用商的运算法则 .
例4.
lim
x3
x2
4x x2 9
3
lim (x 3)(x 1) lim x 1 x3 (x 3)(x 3) x3 x 3
x = 3 时分母为 0 !
2 1 63
例5
.
求
lim
x1
2x 3 x2 5x
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 有
f (x) A , g(x) B , 其中 , 为无穷小
设 f (x) A A A 1 (B A ) g(x) B B B B(B ) 无穷小
有界
因此 为无穷小, f (x) A
g(x) 1 B
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 . lim[ C f (x)] C lim f (x) ( C 为常数 )
推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n ( n 为正整数 )
例2. 设 n 次多项式 Pn (x) a0 a1x an xn , 试证
x x
y
y sin x x
O
x
说明 : y = 0 是 y sin x 的渐近线 . x
二、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有 lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) A B
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
三、 复合函数的极限运算法则
定理7. 设 lim (x) a, 且 x 满足 0 x x0 1 时, x x0
(x) a, 又 lim f (u) A, 则有
lim
n
n
1 n2
π
n2
1
2π
n2
1
n
π
1
( P57 题 4 (2) )
解答见课件第二节 例5
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设 x U (x0 , 1 ), u M
又设 lim x x0
0,
即
0,
2
0,当
x U
( x0
,2
)
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x U (x0 , ) 时 , 就有
lim
xx0
Pn
(x)
Pn
(
x0
).
证:
lim
x x0
Pn (x)
a0
a1
lim
x x0
x
an
lim
x x0
xn
Pn (x0 )
定理 5 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
lim f (x) lim f (x) A g(x) lim g(x) B
原式
lim
x
4
3
1 x
9
1 x2
5
2
1 x
1 x2
4 5
“ 抓大头”
一般有如下结果：
lim
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
( a0b0 0, m, n 为非负常数 )
a0 , b0
0,
当n m ( 如 P47 例5 ) 当n m ( 如 P47 例6 )
, 当n m ( 如 P47 例7 )
定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
例3. 设有分式函数 R(x) P(x) , 其中P(x), Q(x) 都是 Q(x)
多项式
,
若Q(x0 )
0,
试证:
lim
x x0
R(x)
R(x0 )
.
证:
lim R(x)
x x0
lim P(x)
x x0
lim Q(x)
P(x0 ) Q(x0 )
由极限与无穷小关系定B 理,
得
1 lgim( xf)
(
x)
g(x)
2 B A
B
(详xllii见mmU书gf(P((xxx40)4)))
定理6
.
若
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,
则有
(1)
lim (
n
xn
yn
)
AB
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
f (x) A , g(x) B (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) (A ) (B )
(A B) ( )
由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
推论: 若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P46 定理 5 )
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
lim[ f (x)g(x)] lim f (x) lim g(x) AB
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
第五节
第一章
极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
证: 考虑两个无穷小的和 . 设 lim 0 , lim 0 ,
x x0
x x0
0, 1 0,当0
x x0
1时 , 有
2
2 0,当 0
x x0 2 时 , 有
2
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2
2
因此
lim ( ) 0.
x x0
这说明当 x x0 时, 为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，