_极限的性质与四则运算法则
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
极限的四则运算
极限四则运算法则的前提是两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。
设limf（x）和limg（x）存在，且令limf（x）=A，limg（x）=B，则有以下运算法则：
其中，B≠0；c是一个常数。
扩展资料：
极限的性质
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
3、保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则
（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
4、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
5、与子列的关系：数列{xₙ} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xₙ} 收敛的充要条件是：数列{xₙ} 的任何非平凡子列都收敛。
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
极限的运算法则总结
极限的运算法则总结
在数学中，极限是一种重要的概念，用来描述函数在某一点趋近于某个值的行为。
极限的运算法则是一组规则，用于计算或简化满足特定条件的极限。
这些法则将在以下几个方面进行总结和讨论。
1. 四则运算法则：根据四则运算法则，如果两个函数的极限都存在，那么它们
的和、差、乘积以及商的极限也存在，并且等于相应运算的极限结果。
2. 乘法法则：该法则说明了两个函数极限的乘积是等于各自极限的乘积。
根据
这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 的极限为 B，则 f(x) * g(x) 的极限
为 A * B。
3. 除法法则：该法则说明了两个函数极限的商等于各自极限的商。
按照这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 的极限为 B，并且 B 不等于 0，则 f(x) /
g(x) 的极限为 A / B。
4. 幂函数法则：幂函数法则用于处理具有指数的函数。
根据这个法则，如果函
数 f(x) 的极限为 A，则 f(x)^n 的极限等于 A^n，其中 n 是一个常数。
5. 复合函数法则：复合函数法则适用于复合函数的极限计算，也称为链式法则。
根据这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 在 A 的附近连续，则复合函
数 g(f(x)) 的极限等于 g(A)。
这些极限运算法则在求解极限问题时起到了重要的作用。
通过应用这些法则，
我们可以更简单地计算极限，并获得更准确的结果。
然而，在实际应用中，我们仍需注意特殊情况和条件，以确保运算正确性。
《应用高等数学》极限的四则运算法则
《应用高等数学》极限的四则运算法则应用高等数学中的极限的四则运算法则是指在计算数列或函数极限时，可以利用四则运算的运算规则进行运算，以便更方便地求出极限值。
四则运算法则主要包括极限和、极限差、极限积和极限商四种情况。
1.极限和法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的和函数[f(x)+g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的和，即：lim (x→a) [f(x) + g(x)] = lim (x→a) f(x) + lim (x→a) g(x) 2.极限差法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的差函数[f(x)-g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的差，即：lim (x→a) [f(x) - g(x)] = lim (x→a) f(x) - lim (x→a) g(x) 3.极限积法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的积函数[f(x)*g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的积，即：lim (x→a) [f(x) * g(x)] = (lim (x→a) f(x)) * (lim (x→a)g(x))4.极限商法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且g(x)≠0，则它们的商函数[f(x)/g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的商，即：lim (x→a) [f(x) / g(x)] = (lim (x→a) f(x)) / (lim (x→a) g(x))需要注意的是，上述四则运算法则只适用于函数在点x=a处极限存在的情况，且在使用这些法则时应保持合理性，并且注意避免除以零等错误操作。
这些四则运算法则在高等数学中被广泛应用于求解各种极限问题，通过利用这些法则，可以更简洁、方便地求出函数的极限值，从而帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
第2周：函数的极限、无穷大与无穷小、极限四则运算法则
x x
。 y sin x x
lim x 2 sin 1
x0
x
3.在自变量的同一变化过程中,
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
f (x)
若
为无穷小, 且
f
(x)
0, 则
1 f (x)
为无穷大。
x
5.定理：x 时y=f (x)的极限存在的充要条件是 x 和 x 时的极限都存在且相等。
即：lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
x
x
x
例：观察图形判断以下极限是否存在：
lim ex 不存在， lim ex 0, lim ex 不存在
x x0
3.以上法则，对于 x 等情形也同样成立。
例：lim x2
2x2 x x2 4
2
注1：求初等函数在x x0 时的极限，如果把 x x0 代入函数有意义，则函数值就是极限值。
例：lim x3
x2
3x 2x
4 15
注2：运用无穷小与无穷大的关系求极限。
例如: lim 1 x0 x
Байду номын сангаас
lim(2x2 1)
x
注：1.说一个函数是无穷小（大）量需说明x变化
趋势。
2.无穷小（大）量表示的是函数的一种变化趋势，
而不是一个很小（大）的数。
问题：零是无穷小量吗？ 是（特例）
3.无穷大量的极限并不存在，lim f (x) 只是
一个记号而已。
x
极限四则运算法则条件(一)
极限四则运算法则条件(一)极限四则运算法则条件引言在数学中，四则运算是最基本也是最常见的运算形式之一。
它包括加法、减法、乘法和除法，是数学基础的重要组成部分。
然而，在进行四则运算时，我们需要遵守一些条件和法则，以确保运算结果的准确性和合法性。
本文将介绍一些关于极限四则运算的法则和条件。
加法法则和条件1.加法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限和等于各自极限的和。
2.加法条件：在进行加法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。
减法法则和条件1.减法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限差等于各自极限的差。
2.减法条件：在进行减法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。
乘法法则和条件1.乘法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限积等于各自极限的乘积。
2.乘法条件：在进行乘法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。
除法法则和条件1.除法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在且除数不为0，则它们的极限商等于各自极限的商。
2.除法条件：在进行除法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的，并且除数不为0。
结论四则运算是数学中最基本的运算形式之一，在进行极限四则运算时，我们需要遵守一些法则和条件，以确保运算结果的准确性和合法性。
这些法则和条件适用于加法、减法、乘法和除法运算，并且适用于有限实数和无穷小数列的极限运算。
在进行运算时，要仔细考虑所涉及的实数或数列的性质，并遵守相应的法则和条件，以确保运算结果的正确性。
极限知识点总结大学
极限知识点总结大学一、极限的定义1. 函数极限的定义设f(x)是定义在开区间(a, b)上的函数，x0是(a, b)的聚点，A为实数，如果对于任意给定的正数ε，总存在另一正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立，则称当x趋于x0时f(x)的极限为A，记作lim(x→x0)f(x) = A。
2. 无穷极限的定义当x的取值在给定区间内无上（下）界，但x接近于无穷时，称函数f(x)在x趋于无穷时的极限为无穷极限，记作lim(x→∞)f(x) = +∞(-∞)。
3. 极限存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处极限存在的充要条件是：当x→x0时f(x)的确界和极限存在，并且两者相等。
二、极限的性质1. 极限唯一性若函数f(x)当x趋于x0时的极限存在，则该极限值唯一。
2. 极限存在性与有界性的关系若函数f(x)在点x0的邻域内有界，且极限存在，则函数必定收敛于某一有限值。
反之，函数收敛于有限值，则函数一定在该点的邻域内有界。
3. 两个函数的极限性质设lim(x→x0)f(x) = A，lim(x→x0)g(x) = B，若A和B都存在，则有下列极限性质：（1）四则运算法则：lim(x→x0)[f(x)±g(x)] = A±B，lim(x→x0)[f(x)×g(x)] = A×B，lim(x→x0)f(x)/g(x) = A/B（当B≠0时）。
（2）复合函数的极限：若g(x)在x0的邻域内有极限lim(x→x0)g(x) = u，而f(x)在u的邻域内有极限lim(u→u0)f(u) = A，则复合函数f(g(x))在x趋于x0时的极限为lim(x→x0)f(g(x)) = A。
4. 极限存在性的判断（1）夹逼定理：若在点x0的某个去心邻域内，始终有h(x)≤f(x)≤g(x)，而lim(x→x0)h(x) = lim(x→x0)g(x) = A，则lim(x→x0)f(x) = A。
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二、四则运算法则
根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数 ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的计 算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些 已知结果来求函数极限。 定理 设 lim f ( x ) A , lim g( x ) B, 则
备忘 a0b0 0时，
an x n an 1 x n 1 a0 lim x b x m b x m 1 b0 m m 1
0 an bm
nm nm nm
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例
注
(2) n 3 n 求极限 lim 。 n 1 n 1 n ( 2) 3
当x→-∞时结果为-(a+b)，故x→∞ 时极限不存在
x 2 2x 例7 求 lim . x 2 x2
解
x 2 2x x 2 2x 原式 lim x 2 x 2 2x
x 2
lim
x 2 2x
x 2
x 2
1 x
1 x
x 0
。
提 示
答案 不存在。
取t满足xt=1，则 x→0-时t→-∞； x→0+时t→+∞。
7、其他
必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。
例
答案 练习 答案
1 1 1 求极限 lim 1 2 2 3 n(n 1) 。 n
推论3 如果 lim f i ( x)存在(i 1,2,, n), 则 lim[ f1 ( x) f 2 ( x) f n ( x)]
lim f1 ( x) lim f 2 ( x) lim f n ( x)
推论4 如果 lim f ( x)存在, 而k是正整数, 则
lim[ f ( x)]k [lim f ( x)]k .
围确定。 2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由
具体函数确定。
0 性质3(Biblioteka 部保号性) 若 lim f ( x) A （或A 0），
x x0
0 则 0，使x U ( x0 )，f ( x) （或f ( x) 0）。 0
0 性质4 已知 lim f ( x) A，若 0，使x U ( x 0 )， x x0
1
1 3 (2n 1) 求极限 lim 。 n 2 4 2n
1
( x 2 x 2) 20 1lim2 3 。 10 x ( x 12 x 16 ) ( x 2 1 2 x) 2 2 xlim 。 2 3x 1
2 . 7
例5
求 lim
2x 4 x 2 1
3
x 4x
x 6
2
.
4 1 6 2 4 解 4 x3 x 2 6 x 0 lim 4 lim x x x 2 x x 2 1 x 1 1 2 2 4 x x 4 2 2x x 1 lim 3 2 x 4x x 6
计算过程
例3 求 lim
解
x2 1 2x 3
x1 x 2
.
x 1时, 分子, 分母的极限都是零.
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
( x 1)( x 1) lim 2 lim x1 x 2x 3 x1 ( x 3)( x 1)
lim
推论5 如果 lim f ( x)存在且不为零, 而k是正整数, 则
lim[ f ( x)]k [lim f ( x)]k .
注
⑴应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为 零、偶次根号下非负等； ⑵定理和推论中C、n、a都是与自变量无关的常量。
1 如 lim 1
n n
(3)参加求极限的函数应为有限个。
n
n
1 lim 1 1 n n
利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一 些复杂的函数极限。下面总结一下求函数极限的基本方法。
0 当代入结果为一个数(即不会出现 、 、00、 、0 等情 1 0 况)时可直接代入。
x 2 lg(3x 4) 。 例 求极限 lim x 2 x ( x 2) arctan 2 2 答案
1、代入法
注意 代入时把所有x都换成x0，不能只代入一部分。
例1 解
求 lim
x3 1 3x 5
x 2 x 2
.
lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
由无穷小与无穷大的关系,得 4x 1 lim 2 . x1 x 2x 3
0 当出现 或 时，可考虑尽可能化去0因子或因子。 0
2、消零法 若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式， 再消去公因式，直至可直接代入。
x 3 x 2 16 x 20 例 求极限 lim 3 。 x 2 x 7 x 2 16 x 12
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
推论1 如果 lim f ( x)存在, 而c为常数, 则
lim[ cf ( x)] c lim f ( x). 常数因子可以提到极限记号外面.
计算过程
0 求分式极限，一定看清楚是 还是 。 0
4、有理化法
若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之 有理化。 例
求极限 lim 5 4 x 1 x
3
x 1
。
计算过程
练习 求极限 lim 答案 a b
x
( x a )( x b) ( x a )( x b) 。
f ( x) （或f ( x) 0），则A （或A 0）。 0 0
注 若已知中是f ( x) 0，结果仍是A 0。
lim 性质5 已知 lim f ( x) A， g ( x) B，若 0，使
x x0 x x0
0 x U ( x0 )，f ( x) g ( x)，则A B。
x 2 x 2 x 2 x 2
( lim x)2 3 lim x lim 5
x 2 x 2 x 2
22 3 2 5 3 0,
lim x 1
3
x 2 x 2
3x 5
23 1 7 . 3 lim( x 2 3x 5) 3
计 算 极 限
3 xlim (
x x x x) 。
1 12 4 xlim2( 3 )。 x 2 x 8 1 5lim arctan 。 x 0 x
思考题
若 lim (ax x 2 x 1 b) 0 ，求a、b 。
x
x 2 x 2 x 2
lim x 3 lim 1
例2 求 lim 解
4x 1 2x 3
x1 x 2
.
lim( x 2 2x 3) 0,
x1
商的法则不能用
又 lim(4x 1) 3 0,
x1
x 2 2x 3 0 lim 0. x1 4x 1 3
答案
1 2
3 1 练习 求极限 lim 。 3 x 1 1 x 1 x
答案
-1
6、变量代换法
方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势也随之 改变)。 例 求极限 lim
1 n x 1 x
m x 1
(m、n N)。
计算过程
练习 求极限 lim
2 1 2 1
例6 求 lim ( 1 2 n ). n n 2 n 2 n2
解 n 时, 是无限多个无穷小之和 ．
先变形再求极限.
n
lim (
1 n
2
2 n
2
n n
) lim 2
1 2 n n2
n
1 n(n 1) 1 1 1 2 lim (1 ) . lim n 2 n 2 n n2
§2.4 极限的性质与四则运算法则
一、性质 性质1(唯一性) 若极限lim f(x)存在，则极限唯一。 注 此定理对数列也成立。 性质2(局部有界性)
0 使f ( x)在U ( x0 )内有界。
若极限 lim f ( x) 存在，则 0，
x x0
注 1、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范
x 2 2x
1
1
1 4
lim
x 2
x 2 2x
x 2
lim x 2 lim 2x
x 2
5、通分法
0 两个分式相减，若是 ，可考虑通分化为 式。 0
例
1 2 求极限 lim 。 2 x 1 1 x 1 x
答案 0
计算过程
很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数
以及(次数相等时)最高次项的系数有关。
例4 求 lim
解
2x 3 3x 2 5 7 x 4x 1
3 2
x
.
3 5 2 3 2x 3 3x 2 5 x x lim lim 4 1 x 7 x 3 4x 2 1 x 7 3 x x
推论2 如果 lim f i ( x)存在, 而ai 为常数(i 1,2,, n), 则 lim[ a1 f1 ( x) a2 f 2 ( x) an f n ( x)] lim a1 f1 ( x) lim a2 f 2 ( x) lim an f n ( x)