极限的四则运算教案(1)
极限的四则运算教案
2.4 极限的四则运算（一）古浪五中---姚祺鹏【教学目标】（一）知识与技能1．掌握函数极限四则运算法则；2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限；3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系；（二）过程与方法1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限.2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”.（三）情态与价值观1.培养学习进行类比的数学思想2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。
(四)高考阐释：高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法【教学重点与难点】重点：掌握函数极限的四则运算法则；难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）．【教学过程】1．提问复习，引入新课对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极限．如 1lim ,2121lim11==→→x x x x ． 让学生求下列极限： （1）x x 1lim →； （2）x x 21lim1→； （3）)12(lim 21+→x x ； （4）x x 2lim 1→对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→，显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限． 板书课题：极限的四则运算． 2．特殊探路，发现规律考察xx x 212lim 21+→完成下表：根据计算（用计算器）和极限概念，得出23212lim 21=+→x x x ，与1lim 2121lim 11==→→x x x x 、 对比发现：2321121lim lim 21lim 212lim11121=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+→→→→x x x x x x x x x x ． 由此得出一般结论：函数极限的四则运算法则： 如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0，那么特别地:（1）[])(lim )(lim 0x f C x f C x x x x →→⋅=⋅（C 为常数）（2）[])N ()(lim )(lim *00∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→n x f x f nx x nx x（3）这些法则对∞→x 的情况仍然成立．（4）两个常用极限nn x x x x 00lim =→，)N (01lim *∈=∞→n xn x3．应用举例，熟悉法则例1 求1212lim 2321-+++→x x x x x问：已知函数中含有哪些简单函数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程．解：2112111121lim 2lim lim 1lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim 232121311121231212321=-⨯+++⨯=-+++=-+++=-+++→→→→→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （1）讲解时注意提问每一步的依据，做到“言必有据”，培养严谨的思维． （2）书写时，由于极限符号“lim ”有运算意义，因此在未求出极限值时，丢掉符号是错误的．点评：例1说明，求某些函数（到底是哪些函数，学了2.6节就知道了．激发学生学习积极性，为讲连续函数埋下伏笔）在某一点0x x =处的极限值时，只要把0x x =代入函数解析式中就可得到极限值，此种求极限值的方法不妨叫代入法 巩固练习：教科书第88页第1题．例2 求121lim 221---→x x x x ．问：本题还能用代入法求其极限值吗？为什么？引导分析：如果把1=x 直接代入12122---x x x 中，那么分子、分母都为零．虽然分子、分母的极限都存在，但不适合用商的法则（为什么？），不能简单用代入法求这个极限．根据极限概念和思想，所求极限只取决于点1=x 处附近的点（即可认为1≠x ），故可把分子、分母分解因式后约去公因式1-x ，从而转化为可用代入法求极限的情形．通过本例，不仅对法则的适用条件加深了理解，而且进一步深化了对极限概念和思想本质的认识． 解：原式点评：函数在某一点的极限，考察的是函数值的变化趋势，与函数在这一点是否有定义、是否等于在这一点的函数值无关，故本例可约去公因式1-x ． 巩固练习：教科书第88页练习第2题 4．归纳小结，掌握通法（1）函数极限四则运算法则．（2）一般地，中学阶段接触到的函数，若要求其在某一点处的极限值，通常可直接用代入法，或者是先变形（主要是约去公因式），转化为可用代入法求极限的情形． 5.布置作业教科书习题2.5第1题．思考题：已知532lim 223=--++→x x bax x x ，求常数a 、b 的值． 6.板书设计 7.教学反思。
高中数学 数列极限的四则运算教案 新人教A版必修1
第十八教时教材：数列极限的四则运算目的：要求学生掌握数列极限的四则运算法则，并能运用法则求数列的极限。
过程：一、 复习：数列极限的N -ε定义 二、 提出课题：数列极限的四则运算法则 1．几个需要记忆的常用数列的极限 01lim=∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(<q )(lim 为常数a a a n =∞→ 2．运算法则：如果 A a nn =∞→lim B b nn =∞→lim则： B A b a nnn ±=±∞→)(lim B A b a nnn ⋅=⋅∞→)(lim )0(,lim ≠=∞→B BAb a n n n3．语言表达（见教材，略）此法则可以推广到有限多个数列的情形解释：如数列,1,,43,32,21+n n 它的极限为1 ,2,,2,2,2 它的极限为2则 ,12,,432,322,212++n n它的极限为3 即：3121lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n nn n n n n三、 处理课本 例一、例二 略例三（机动，作巩固用）求下列数列的极限：1．2312lim ++∞→n n n解：原式=3203022lim3lim 1lim2lim )23(lim )12(lim 2312lim=++=++=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n 2．1645lim 323-+++∞→n n n n n 解：原式=65116415lim 323=-+++∞→nn n n n3．1645lim 523-+++∞→n n n n n 解：原式=060116415lim 54532==-+++∞→nn n n n n 小结：．．．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++++++----∞→不存在0lim 02211022110b a b x b x b x b a x a x a x a q q q q p p p p n )()()(q p q p q p ><= 例四、首项为1，公比为q 的等比数列的前n 项的和为n S ，又设1+=n nn S S T ，求n n T ∞→lim解： )1(1111≠--==++q qq S S T n nn n n 当1<q 时，1lim =∞→n n T当1>q 时，q q q q T n nn n n 1111lim lim =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→ 当1=q 时，11limlim =+=∞→∞→n n T n n n当1=q 时，n n T ∞→lim 不存在四、 小结：运算法则、常用极限及手段五、 作业：练习1、2 习题1 补充：（附纸）中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
极限的四则运算(1)
例3
求
x2 16
lim
.
x4 x 4
解：lim x 2 16 x4 x 4
( x 4)( x 4) lim
x4 ( x 4)
lim( x 4) x4
lim( x 4) 4 4 8. x4
教材95页练习：
1.求下列极限：
(1) lim(3x2 2x 1) 312 21 1 2 ; x1
(2) lim 2x 1 2 2 1 1 ; x2 3x 1 3 2 1
(3) lim ( x 3)(2x 1) (1 3)(2 1) 3 ; x1 ( x 5)( x 6) (1 5)(1 6) 14
2.4 极限的四则运算（1）
对于一些简单的函数，可以从自变量的值按
某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找 出函数的极限. 例如，简单函数的极限：
(1)若f ( x) C(C为常数),则lim f ( x) C . x
(2) lim C 0 .
x x
若 0 p 1, 则 lim px 0,lim px不存在.
x
x
解：
3x 2 lim
x
x
lim (3 2) lim 3 lim 2
x
x
x
x x
3 0 3.
法2：lim 3 x 2 3 .
x
x
（3）lim x
5x4 2x
7 4
x x
3 1 4
.
x1 2x2 1
大学高数极限题讲解教案
一、教学目标1. 理解极限的概念和性质。
2. 掌握极限的运算法则和求极限的方法。
3. 能够运用极限知识解决实际问题。
二、教学重点1. 极限的概念和性质。
2. 极限的运算法则。
3. 求极限的方法。
三、教学难点1. 极限的运用。
2. 求极限的方法。
四、教学过程（一）导入1. 复习函数的定义、连续性等概念。
2. 提出问题：如何判断函数在某一点的极限是否存在？（二）讲解极限的概念和性质1. 介绍极限的概念：函数在某一点的极限是指当自变量无限趋近于某一点时，函数值无限趋近于某一值。
2. 讲解极限的性质：（1）极限的保号性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点附近也有确定的符号。
（2）极限的保序性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点附近的值不会小于（大于）极限值。
（3）极限的可乘性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点的乘积的极限等于各函数极限的乘积。
（三）讲解极限的运算法则1. 介绍极限的运算法则：（1）极限的四则运算法则：极限的加减、乘除运算，可以分别对函数进行加减、乘除运算后再求极限。
（2）极限的复合运算法则：如果内函数在某一点的极限存在，那么外函数在该点的极限存在。
（3）极限的等价无穷小替换法则：当两个无穷小量的比值在极限过程中趋于1时，可以将其中一个无穷小量替换为另一个无穷小量。
（四）讲解求极限的方法1. 介绍求极限的方法：（1）直接法：直接运用极限的定义和性质求解。
（2）等价无穷小替换法：利用等价无穷小替换求解。
（3）洛必达法则：当函数在某一点的极限为“0/0”或“∞/∞”型时，可以使用洛必达法则求解。
（4）夹逼准则：当函数在某一点的极限存在时，可以通过夹逼准则证明。
（五）举例讲解1. 举例说明极限的概念、性质、运算法则和求极限的方法。
2. 让学生尝试求解一些简单的极限题目，教师进行点评和指导。
（六）课堂小结1. 总结本节课的主要内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
高三数学教案：2.4极限的四则运算(一)
课 题：2.4极限的四则运算(一)教学目的：教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ,那么就说数列}{n a 以a 为极限．记作lim n n a a →∞=．2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn 3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a . 4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .即lim ,x C C →∞=∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义5. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作lim ()x x f x a →=C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→6. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限二、讲解新课：1. 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim ;B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim ; )0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=,n x x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.*lim (),ok ko x x x x k N →=∈ *1lim0()k x k N x→∞=∈ 三、讲解范例： 例1 求)3(lim 22x x x +→解：22222lim(3)lim lim34610x x x x x x x →→→+=+=+=例2 求1212lim 2321-+++→x x x x x .解：1lim 2lim lim 1lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim121311121231212321→→→→→→→→→-+++=-+++=-+++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 211211112232=-⨯+++⨯= 这个题目可以把x =1代入函数的解析式1212232-+++x x x x 中，就可以了.所以求某些函数在某一点x =x 0处的极限值时，只要把x =x 0代入函数的解析式中，就得到极限值.这种方法叫代入法.例2 求121lim 221---→x x x x .分析：这个题目如果用代入法做，则分子、分母都为0，所以不能求解.将分子分母因式分解，共有x －1这个因子.因为x 无限趋近于1，不包含x =1即x ≠1，所以可约去公因式，化简再求极限.解：)12(lim )1(lim 121lim )12)(1()1)(1(lim 121lim 1111221++=++=+--+=---→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 3211211=+⋅+=当用代入法时，分子、分母都为0，可对分子、分母因式分解，约去公因式来求极限.就是先要对原来的函数进行恒等变形.称因式分解法.例3 求112lim 231++-→x x x x解：32323211111111lim(21)lim 2lim lim1212lim11lim(1)lim lim12x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-+-+-+====+++ 例4 求416lim 24--→x x x分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.解：24444416(4)(4)limlim lim(4)lim lim 444844x x x x x x x x x x x x →→→→→--+==+=+=+=-- 例5 求133lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计解：222222221313133lim(3)lim3lim lim 33lim lim 311111lim(1)lim1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-+-+-+-+====++++ 例6 求1342lim 232+--+∞→x x x x x分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用解：223232332333214214214lim()lim lim lim 24lim lim 0111111313lim(3)lim3lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞+-+-+-+-====-+-+-+-+例7 求下列极限. (1))1)(12()2)(1(lim -+-+∞→x x x x n ; (2)12144lim 232+++-∞→x x x x n解： (1)2222112211lim 122lim )1)(12()2)(1(limxx x x x x x x x x x x x x x ----=----=-+-+∞→∞→∞→ 210020011lim 1lim 2lim 2lim 1lim1lim 22=----=----=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x(2)3323322321lim 2lim 1lim 1lim 4lim 4lim 121144lim 12144lim x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+++-=+++-=+++-0001000=+++-=.四、课堂练习： 1.求下列极限: (1)1lim →x (3x 2－2x +1) (代入法.)解：1lim →x (3x 2－2x +1)=1lim →x 3x 2－1lim →x 2x +1lim →x 1=3×12－2×1+1=2.(2))6)(5()12)(3(lim1-+-+-→x x x x x . (代入法)解：)6)(5(lim )12)(3(lim )6)(5()12)(3(lim 111-+-+=-+-+-→-→-→x x x x x x x x x xx 143)61)(51()12)(31()6(lim )5(lim )12(lim )3(lim 1111=--+---+-=-+-+=-→-→-→-→x x x x x x x x(3)24lim 22--→x x x . (因式分解法.)解：4)2(lim 2)2)(2(lim 24lim2222=+=--+=--→→→x x x x x x x x x .(4)201213lim2+--∞→x x x x (分子、分母同除x 的最高次幂.)解：02012113lim 201213lim 222=+--=+--∞→∞→xx x x x x x x x (5)4228lim24---→x x x . (分子有理化.)解：)228)(4()22(8lim 4228lim222424+----=---→→x x x x x x x .=22284442284lim)228)(4()4)(4(lim22424=+-+=+-+=+---+→→x x x x x x x x五、小结 ：有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函.求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x 的最高次幂；④分子有理化法. 六、课后作业：1.（1）)432(lim 31++-→x x x ;（2）35lim 222-+→x x x ;（3）12lim 21++→x x xx ;（4）)1413(lim 20+-+-→x x x x ;（5）13lim 2423++-→x x x x ;（6）245230233lim x x x x x x -++→; （7）42lim 22--→x x x ;（8）11lim 21-+-→x x x ;（9）623lim 2232--++-→x x x x x x ;（10）x m m x x 220)(lim -+→;（11）)112(lim 2xx x +-∞→ ;（12）1221lim 22-++∞→x x x x 答案：⑴-1 ⑵9 ⑶2/3 ⑷3/4 ⑸0 ⑹-1/2 ⑺1/4 ⑻-1/2 ⑼ -2/5 ⑽2m ⑾2 ⑿ 1/2 七、板书设计。
人教版高中数学(理科)选修极限的四则运算教案
极限的四则运算●教学目标(一)教学知识点1.数列极限的四则运算法则2. ∞→n lim (c ·an)=c ·∞→n liman (二)能力训练要求1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限.2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”.(三)德育渗透目标1.培养学习进行类比的数学思想.2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊 ”，从“特殊”到“一般”转化的思想.●教学重点数例极限的四则运算法则.●教学难点如何利用数列极限的四则运算法则求数列的极限.怎样掌握一些基本的方法.通过典型例题的讲解，从而总结归纳求数列极限的方法.●教学方法发现法.●教具准备幻灯片两张第一张：函数极限的四则运算法则及基本方法(记作§2.5.2A)第二张：数列极限的四则运算法则(记作§2.5.2B)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们学习了函数极限的四则运算法则，那现在回忆一下，具体内容是什么？ ［生］0lim x x →［f(x)±g(x)］=0lim x x →f(x)±0limx x →g(x). 0lim x x →［f(x)·g(x)］=0lim x x →f(x)·0lim x x →g(x). )(lim )(lim )()(lim 000x g x f x g x f x x x x x x →→→=.［师］第三个等式中，要满足什么条件吗？［生］0lim x x →g(x)≠0.［师］三个推导的公式呢？［生］0lim x x →［c ·f(x)］=c ·0lim x x →f(x). 0limx x →［f(x)］2=［0lim x x →f(x)］2. 0lim x x →［f(x)］n=［0lim x x →f(x)］n. ［师］回答得很好.那么我们在求一些比较复杂的函数的极限时，有哪些基本的方法呢？［生］代入法、因式分解法、分子，分母同除以x 的最高次幂、分子有理化法. Ⅱ．讲授新课［师］(打出幻灯片§2.5.2A)我们知道，学函数极限是从特殊的函数数列是n 的函数转化到一般的函数而得到的.那么能否再从“一般”转化到“特殊”呢？从函数极限的四则运算法则，类比得到数列极限的四则运算法则呢？［生］能.如果∞→n lim an=a ，∞→n limbn=b.那么 ∞→n lim (an ±bn)=∞→n lim an ±∞→n lim bn=a ±b. ∞→n lim (an ·bn)= ∞→n lim an ·∞→n limbn=a ·b. b a b a b a n n n n nn n ==∞→∞→∞→lim lim lim (b ≠0).［师］回答得很好，那么它也能推导出其他的公式吗？ ［生］∞→n lim (c ·an)=c ·∞→n lim an.(c 是常数). ∞→n lim an2=(∞→n liman)2 ［师］因为函数极限中的第三个推导公式与n 有关，所以数列极限中就没有类似的公式了.(打出幻灯片§2.5.2B)(板书)注意：数列极限中极限四则运算法则只适用于“有限个”与“都有极限”的情况.1.课本例题求下列极限.(1))21(lim 2n n n +∞→. 解：0001lim 202lim 1lim )21(lim 22=+=+=+=+∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n . (2)n n n 23lim-∞→. 解：(方法一)3031lim 232lim 3lim )23(lim 23lim=-=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (方法二)∵n →∞，∴n ≠0.分子、分母同除n 的最高次幂.3131lim )23(lim 123lim 23lim ==-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n . (3)232lim 22++∞→n n n n .［师］第二个题目不能体现“分子、分母同除n 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是3n2+2，有常数项，所以例(2)的方法一就不能用了. 解：3203022lim 3lim 1lim 2lim )23(lim )12(lim 2312lim 232lim 22222=++=++=++=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n . ［师］第二题与第三题实际上分子、分母关于n 的次数是相同，而极限就是分子、分母中最高次项的系数之比.这样我们可以对这一类题型，总结一个规律. (学生回答)规律一：一般地，当分子与分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个公式在n →∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比. (4)24323lim n n n n n -+∞→.解：分子、分母同除n 的最高次幂即n4，得.002001lim 2lim 1lim 3lim 1213lim 23lim 2323243=-+=-+=-+=-+∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n .［师］这个题中，分子关于n 的次数比分母关于n 的次数小，当n →∞时，分母增加的速度比分子增加的速度快，所以极限就为0.对于这类题目，我们同样可以总结规律.谁来总结一下？(学生回答)规律二：一般地，当分子、分母都是关于n 的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当n →∞时，这个分式极限为0.［师］如果把上述几题中的n 都换成是x ，解题的方法与答案有变化吗？ ［生］没有变化.［师］对，没有什么变化，把n 换成x ，y ，z 等等其他字母解题的方法、答案都不变.只是题目的外形变了，本质还是不变.就像一个人今天穿红衣服，明天穿蓝衣服，后天穿黄衣服，外形变了，但还是这个人.2.精选例题［例1］)13(lim 2n n n n -+-∞→. 解：11131lim 13lim 13lim )13(lim 222=+--=+--=+---=-+-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n . ［例2］21323lim-++-∞→n n n . 解：30103211323lim 21323lim =-+=-++-=-++-∞→∞→n n n n n n n n . ［例3］1513lim ++-∞→n n n .解：001001lim 1lim 5lim 13lim 11513lim 1513lim 22=++=++-=++-=++-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n .Ⅲ.课堂练习1.已知∞→n lim an=2，∞→n lim bn=－31，求下列极限.(1) ∞→n lim (2an+3bn －1) (2)n n n n n b a b a +-∞→lim解：(1)∞→n lim (2an+3bn －1)=∞→n lim (2an)+∞→n lim (3bn)－∞→n lim1 =2∞→n lim an+3∞→n lim bn －1=2·2+3·(－31)－1=2. (2)57)31(2)31(2lim lim lim lim )(lim )(lim lim =-+--=+-=+-=+-∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a2.求下列极限. (1))15(lim 2n n -∞→ (2)n n n n n 23123lim 22+-++∞→ (3))1)(12()2)(1(lim-+-+∞→x x x x n (4)12144lim 232+++-∞→x x x x n解：(1).5051lim 5lim )15(lim 22=-=-=-∞→∞→∞→n n n n n (2)1030032lim )3(lim 1lim 2lim 3lim 23123lim 23123lim 2222-=+-++=+-++=+-++=+-++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n . (3)22222211lim 122lim )1)(12()2)(1(lim x x x x x x x x x x x x x x x ----=----=-+-+∞→∞→∞→ 210020011lim 1lim 2lim 2lim 1lim1lim 22=----=----=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x (4)3323322321lim 2lim 1lim 1lim 4lim 4lim 121144lim 12144lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+++-=+++-=+++-0001000=+++-=.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了数列极限的四则运算法则，求数列极限的一种主要的方法就是分子、分母同除以n 的最高次幂.并且记住两条规律.这两条规律，可以提高极限运算的速度，还可以检验是否算对了.Ⅴ．课后作业2.预习提纲(1)如何将我们所学的知识解决一些实际问题？(2)注意应用极限的四则运算法则应用什么条件？●板书设计极限的四则运算(二)1.求数列极限的基本方法2.规律一3.规律二课本例题(1)(2)(3)(4) 精选例题例1、例2、例3 课堂练习1.已知∞→n lim an=2. ∞→n lim bn=－31.求下列极限.(1)(2)2.求下列极限(1)(2)(3)(4) 课时小结 课后作业。
极限的运算教案
极限的运算教案教案标题：极限的运算教案教案目标：1. 理解极限的概念及其运算规则。
2. 掌握极限运算的基本技巧。
3. 能够应用极限运算解决实际问题。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入极限的概念，通过提问和实例引导学生思考。
2. 回顾函数的极限定义和求解方法。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍极限的四则运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
2. 解释每个运算法则的推导过程和应用条件。
3. 提供示例演示运用运算法则解决极限问题。
三、练习与讨论（20分钟）1. 分发练习题册，让学生独立完成一些基础的极限运算练习。
2. 鼓励学生在小组内相互讨论解题思路和方法。
3. 选取几道典型题目进行讲解和解答，帮助学生理解和掌握运算法则的应用。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用极限运算解决。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为数学表达式，并进行极限运算。
3. 学生展示解题过程和结果，并进行讨论和评价。
五、总结与归纳（5分钟）1. 总结极限的运算法则及其应用要点。
2. 强调极限运算在数学和实际问题中的重要性。
3. 鼓励学生在课后继续练习和应用。
教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和表现。
2. 检查学生完成的练习题和解题过程。
3. 针对学生的学习情况，提供个别辅导和指导。
教案延伸：1. 鼓励学生自主探究更复杂的极限运算问题。
2. 引导学生研究不同函数类型的极限运算规律。
3. 扩展到多元函数的极限运算。
教案备注：1. 教师应提前准备好教学材料和示例题目。
2. 鼓励学生积极参与讨论和解答问题，激发他们的学习兴趣。
3. 根据学生的实际情况，适当调整教学内容和难度。
2.4 极限的四则运算 第一课时 极限的四则运算(一)
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5x2＋1 变式训练 21：求极限：lim →∞ 3 . x x －1
5 1 5 1 ＋ 3 lim →∞ ＋ 3 x x x x x 5x2＋1 解：lim →∞ 3 ＝lim →∞ ＝ x x 1 1 x －1 1－ 3 lim →∞1－ 3 x x x 1 1 5lim →∞ ＋lim →∞ 3 x x x x 5×0＋0 ＝ ＝ ＝0. 1 1－0 lim →∞1－lim →∞ 3 x x x
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0 “ ”型极限的运算 0
x2＋2x－3 【例 1】 求lim . x→1 x3－1
x2＋2x－3 0 思路点拨：将 x＝1 代入 3 为 ，不存在极限，所以应将分子、分母因式分解，约 0 x －1 去公因式后再求．
x2＋2x－3 x＋3x－1 解：lim ＝lim 2 x→1 x→1 x－1x ＋x＋1 x3－1 x＋3 1＋3 4 ＝lim 2 ＝ 2 ＝ . x→1 x ＋x＋1 1 ＋1＋1 3
x 1 x 1 x 1
＝lim → x＋lim → (2 x)＋lim → 1
x 1 x 1
＝4.
答案：4
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知识要点：应用函数极限的四则运算法则的注意点 1．注意极限的运算法则成立的前提条件，若 limx→x f(x)和 limx→x g(x)有一个不存 0 0 在，法则就不成立(如果是商的运算，limx→x g(x)≠0)．
高中数学：极限的四则运算1
4）常数函数f(x)=c在点 ）常数函数 在点x=x0处的极限有 lim f ( x) = C . 在点
x → x0
4．求下列极限: ．求下列极限 （1）lim x = 1 ）
1 1 = x →1 x →1 2 x 2 lim( 2 x 2 + 1) = 3 （4）lim 2 x = 2 （3） x→1 ） ） x →1 2 2x + 1 3 5．如何求 lim ?= ． x →1 2x 2 考察下表
x→−∞
如果 lim f ( x ) =a,且 且 x→+∞
→+∞
lim f ( x ) =a, 那么就说当 x 趋向于 x→−∞
x→∞
无穷大时,f(x)的极限是 记作 lim f (x) = a 的极限是a,记作 无穷大时 的极限是
lim 特别地： 为常数） 特别地： C = C（C为常数）
x→∞
2
通过例1、例2同学们会发现：①函数 （x） 同学们会发现： 函数f（ ） 通过例 、 同学们会发现 处有定义; 在 x = x0处有定义 ②求这类函数在某一点 x=x0处的极限值时，只要把 处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解析 式中，就得到极限值.------代入法 式中，就得到极限值 代入法
x −1 . 2 x→ 2x − x −1 1
2
l m f (x) i f (x) a x→x0 lm i = = (b ≠ 0). x→x0 g(x) l m g(x) i b
x→x0
lim (x +1 )
总结： 总结：
2 x −16 x −1 . 、 . 例4、求 lim 2 例3、 求 lim x →1 2 x − x − 1 x→4 x − 4
极限的四则运算1(教学课件201908)
x lim 2x02.9 1 l0im.99x l0im.9919
2 x2 x11 2 x
x1
x1 2 x
1
lim
12.x02011
l1xim.01 (12
x
2
11.)1
x1 2 x
lim 2 x
1.45556 1.49505 1.4995 1.5 1.50050 1.505x051 1.55455
；
形强犹不堪 疾之如仇仇 康乃与涛书告绝 恃险而已 诏曰 稍自削小 余谓上有宽明之主 缪征等皆谧父党 汉有河山之誓 万里同风 以孝为首 旉以议草见示 统作诔叙哀 旦有小市井事不了 三语掾 久怀危害之心 以此叹息 使疲悴之众 籍留与决赌 尚何能违膝下色养 责之无惧 大江以南非
乏俊也 山薮无伐檀之人 敢陈所怀 此之翕习 若指实而语 文公厚葬 其以谧为太子中庶子 而非建侯之累也 昔孟母三徙以成仁 颖恻然有宥云色 乃率所统临于都亭三日 不亲郊祀 勿有所距 对答详悉 付郡者 大鸿胪削爵土 折前两齿 尚之所爱 燀以秋橙 鹿裘不补 苻坚将杨安寇梓潼 吾窃
始皇 云又陈曰 外方内荏 自暮达旦
无乃有怪邪 立五等诸侯 以号令天下 历观古人虽不避死 闻而大惊 以崇孝道 师傅文学 天惟显思 则不宜以母弟之亲尊 又宣扬太子之短 毕命于此矣 司仪辩位 字令思 祖纂 闻有声若鸾凤之音 天地人伦之本 鸿渐之秋也 其垂仁也
驰英华于早年 补征虏将军司马 悼曜灵之靡暇兮 不堕其志 州人不听 北面称臣 礼乐大备 真先王之徽典 贼见亡征 沙门支遁试问绰 故和璧之在荆山 妙略潜授 由醉之言 贫且贱焉 刑罚妄加 假节 龙潜九泉 臣独以为未 以其言语不通 此其出言合于国检 如城门校尉梁柳 陛下知我 厥其成
虽公侯之贵 出青云之外 又增为四 形冠豪曹 由是素论去之 岂易由言 王敦使周访击杜曾 唯嵇绍守职以遇不道 听象语 则贤者可知 以绥四方 三魏尤甚 至于甚者 得如田叔 华实照烂 路无远迩 古之载于训籍 而夏兴瑶台 旁求俊乂 洛阳陷 如此 与夏侯湛等十七人策为下第 抚击破蜀馀
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2.4 极限的四则运算（一）
古浪五中---姚祺鹏
【教学目标】
（一）知识与技能
1．掌握函数极限四则运算法则；
2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限；
3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系；
（二）过程与方法
1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限.
2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”.
（三）情态与价值观
1.培养学习进行类比的数学思想
2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。
(四)高考阐释：
高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法
【教学重点与难点】
重点：掌握函数极限的四则运算法则；
难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）．
【教学过程】
1．提问复习，引入新课
对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极
限．如 1lim ,2121lim 1
1==→→x x x x ． 让学生求下列极限： （1）x x 1
lim →； （2）x x 21lim 1→； （3）)12(lim 21+→x x ； （4）x x 2lim 1→ 对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算⎪⎭⎫ ⎝
⎛+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→，显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限． 板书课题：极限的四则运算．
2．特殊探路，发现规律 考察x
x x 212lim 21+→完成下表：
根据计算（用计算器）和极限概念，得出23212lim 21=+→x x x ，与1lim 2121lim 1
1==→→x x x x 、 对比发现：2321121lim lim 21lim 212lim 11121=+=+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=+→→→→x x x x x x x x x x ． 由此得出一般结论：函数极限的四则运算法则：
如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0
0，那么 []b a x g x f x x ±=±→)()(lim 0
[]b a x g x f x x ⋅=⋅→)()(lim 0
)0()()(lim 0≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→b b
a x g x f x x 特别地:（1）[])(lim )(lim 0
0x f C x f C x x x x →→⋅=⋅（C 为常数） （2）[])N ()(lim )(lim *00∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→n x f x f n
x x n x x
（3）这些法则对∞→x 的情况仍然成立．
（4）两个常用极限n n x x x x 00lim =→，)N (01lim *∈=∞→n x
n x 3．应用举例，熟悉法则
例1 求1
212lim 2321-+++→x x x x x 问：已知函数中含有哪些简单函数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程． 解：2112111121lim 2lim lim 1
lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim 232121311121231212321=-⨯+++⨯=-+++=-+++=-+++→→→→→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （1）讲解时注意提问每一步的依据，做到“言必有据”，培养严谨的思维．
（2）书写时，由于极限符号“lim ”有运算意义，因此在未求出极限值时，丢掉符号是错误的．
点评：例1说明，求某些函数（到底是哪些函数，学了2.6节就知道了．激发学生学习积极性，为讲连续函数埋下伏笔）在某一点0x x =处的极限值时，只要把0x x =代入函数解析式中就可得到极限值，此种求极限值的方法不妨叫代入法
巩固练习：教科书第88页第1题．
例2 求1
21lim 221---→x x x x ． 问：本题还能用代入法求其极限值吗？为什么？引导分析：如果把1=x 直接代入1
2122---x x x 中，那么分子、分母都为零．虽然分子、分母的极限都存在，但不适合用商的法则（为什么？），不能简单用代入法求这个极限．根据极限概念和思想，所求极限只取决于点1=x 处附近的点（即可认为1≠x ），故可把分子、分母分解因式后约去公因式1-x ，从而转化为可用代入法求极限的情形．通过本例，不仅对法则的适用条件加深了理解，而且进一步深化了对极限概念和思想本质的认识．
解：原式
32112111lim 2lim 1lim lim 12lim 1lim 121lim )12)(1()1)(1(lim 1
1111111=+⨯+=++=-+=++=+-+-=→→→→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x 点评：函数在某一点的极限，考察的是函数值的变化趋势，与函数在这一点是否有定义、是否等于在这一点的函数值无关，故本例可约去公因式1-x ．
巩固练习：教科书第88页练习第2题
4．归纳小结，掌握通法
（1）函数极限四则运算法则．
（2）一般地，中学阶段接触到的函数，若要求其在某一点处的极限值，通常可直接用代入法，或者是先变形（主要是约去公因式），转化为可用代入法求极限的情形．
5.布置作业
教科书习题2.5第1题． 思考题：已知53
2lim 223=--++→x x b ax x x ，求常数a 、b 的值． 6.板书设计
7.教学反思。