最新(两个重要极限)教案资料
高等数学课程教案
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【精品】高中数学新课 极限 教案 (9)
课题：2.4极限的四则运算(二) 教学目的:掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限。 教学难点:数列极限法则的运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1。数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ，那么就说数列}{n a 以a 为极限。记作lim n n a a →∞ =． 2。几个重要极限: (1）01lim =∞→n n （2)C C n =∞ →lim (C 是常数) （3)无穷等比数列}{n q （1 记作：+∞→x lim f （x ）=a ,或者当x →+∞时，f (x ）→a . (2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f （x ）的极限是a . 记作-∞→x lim f （x )=a 或者当x →－∞时,f （x ）→a 。 （3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞ →x lim f （x ）=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时,函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x ）→a . 4.常数函数f (x )=c 。（x ∈R ），有∞ →x lim f (x ）=c 。 ∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f （x )和-∞→x lim f （x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞ →x lim a n 中的∞仅有+∞的意义 1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势： 当x 取正值趋近于0时， x x sin →1，即+ →0 lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () s i n (lim sin lim 0 x x x x x x --=+ - →-→． 综上所述，得 一．1si n l i m =→x x x ． 1sin lim =→x x x 的特点： (1)它是“0 0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →l i m ()[] () x x ??s i n =()()[]() x x x ???sin lim 0 →=1． 例1 求x x x tan lim →． 解 x x x tan lim →=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0 =?=?=? =→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0 →． 解 x x x 3sin lim →=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0==→→t t t x x x t x 令． 例3 求2 cos 1lim x x x -→． 解 2 cos 1lim x x x -→=212 2sin 2 2sin 21lim )2 (22sin lim 2sin 2lim 02 2 2 2 =? ? ==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim →． 极限存在准则两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】 从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1、1000个0相加，极限等于0。 2、无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、，其中，，极限不能确定。对于 2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则1、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在, 且、证： 取上两式同时成立, 当时，恒有上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 (或)时,有那么存在, 且等于、准则 I和准则 I称为夹逼准则。 【注意】 利用夹逼准则求极限的关键是构造出与，并且与的极限是容易求的。例1 求解： 由夹逼定理得： 【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2、单调有界准则准则Ⅱ 单调有界数列必有极限、如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。几何解释:例2 证明数列（重根式）的极限存在 【分析】 已知，，求。首先证明是有界的，然后证明是单调的，从而得出结论证： 1、证明极限存在a) 课 题: 两个重要极限 目的要求： 教学重点： 教学难点： 教学课时： 教学方法： 教学内容与步骤： 1. 0sin lim 1x x x →=． 证明 作单位圆如下图所示,取AOB x ∠=(rad),于是有： BC =sin ,x ? AB x =,tan AD x =.由图得OAB OAD OAB S S S ??<<扇形，即 111sin tan 222x x x <<得 sin tan x x x <<,从而有sin cos 1x x x <<. 上述不等式是当π02x <<时得到的,但因当 x 用x -代换时cos x ,sin x x 都不变号,所以 x 为负时,关系式也成立. 因为0limcos 1x x →=,又0 lim11x →=,由极限的夹逼准则知介于它们之间的函数sin x x 当 0x →时,极限也是1.这样就证明了0sin lim 1x x x →=. 说明： （1）这个重要极限主要解决含有三角函数的 00 型极限． （2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成0sin lim 1x x →=x (方框□代表同一变量)． 例6 求0sin 3lim sin 4x x x →. 解： 003040sin 3sin 3433sin 343lim lim()lim lim .sin 43sin 4443sin 44 x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→=??=?= 例7 求201cos lim x x x →-. 解 2 2220002sin sin 1cos 1122lim lim lim 22 2x x x x x x x x x →→→?? ?-=== ? ???． 例8 求30tan sin lim x x x x →-． 解： 332000tan sin tan (1cos )1sin 1cos lim lim lim cos x x x x x x x x x x x x x x →→→---??==?? ??? 由例7知 21cos 1(0)2 x x x -→→, 故30tan sin 1lim 2x x x x →-=. 2. 1lim 1e x x x →∞??+= ??? ． 解释说明：列出11x x ??+ ??? 的数值表(如下表)，观察其变化趋势. 从上表可看出,当x 无限增大时,函数11x x ??+ ??? 变化的大致趋势,可以证明当x →∞时, 11x x ??+ ???的极限确实存在,并且是一个无理数,其值为e 2.718282828=L ,即 课 题：2.4极限的四则运算(一) 教学目的：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数a ,那么就说数列}{n a 以a 为极限．记作lim n n a a →∞ =． 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1 2.5.1 两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙 LHZ 一、教学目标 1. 复习该章的重点内容。 2. 理解重要极限公式。 3. 运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 （1）极限存在性定理： lim f (x ) = A ? x → x lim x → x 0+ f (x ) = lim x → x 0- f (x ) = A （ 2） 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 互 为 倒 数 ， 若 f (x ) → ∞（x → x 0）， 则 1 f (x ) → （0 x → x 0） （3） 极限的四则运算： lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ? g (x )] = lim f (x ) ? lim g (x ) lim f (x ) = lim f (x ) (lim g (x ) ≠ 0) g (x ) lim g (x ) （4） lim [cf (x )] = c lim f (x ) （加法推论） （5） lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k （乘法推论） （6） lim [无穷小量? 有界变量] = 0 （无穷小量的性质） eg: lim sin x = lim ? 1 ? sin x ? = 0 x →∞ x ? x →∞? x ? lim ? = lim ? ? 那么， lim sin x = ？呢，这是我们本节课要学的重要极限 x →0 x 2、掌握重要极限公式 lim sin x = 1 x →0 x 公式的特征：（1） 0 型极限； （2） 分子是正弦函数； （3） sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例 1】 求 lim sin x (k ≠ 0) x →0 kx 解： lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 kx k x →0 x k k 【例 2】 求 lim tan x x →0 x 解： lim tan x = ? sin x 1 ? = lim sin x ? lim 1 = 1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos x ? x →0 x x →0 cos x （推导公式： lim tan x = 1 ） x →0 x 【例 3】 求 lim sin 5x x →0 x 解： lim sin 5x = lim 5 ? sin 5x = 5 ? lim sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 x x →0 5x x →0 5x 4、强化练习 （1） lim sin x （2） lim sin kx (k ≠ 0)（3） lim sin 5x (4) lim tan 2x x →0 3x x →0 x x →0 3x x →0 x 解：（1） lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 3x 3 x →0 x 3 3 （2） lim sin kx = lim k ? sin kx = k ? lim sin kx = k ?1 = k x →0 x x →0 kx x →0 kx （3） lim sin 5x = ? sin 5x 5 ? lim ? 5 ? l im sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 3x x →0 ? 5x 3 ? 3 x →0 5x 3 3 （4） lim tan 2x = ? sin 2x 1 ? = 2 ? lim sin 2x ? lim 1 = 2 ?1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos 2x ? x →0 2x x →0 cos 2x 四、小结: 《极限的概念》教学设计 公共教学部数学教研室徐小丽 1、教学内容分析 使用教材： 《高等数学应用教程》，许艾珍主编，北京：航空工业出版社，2010.8第一版。第一章第二节《极限的概念》。 内容分析： 极限描述性概念的形成过程，是学生有感性认识初步上升到理性认识，从而形成、培养理性思维能力的过程。极限思想是高等数学的重要思想方法，也是学习微积分的理论基础。理解极限的概念，对提升学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和严密思维能力都具有积极的意义。2、学生学习情况分析 《高等数学》是学生学习比较困难的学科之一，难学是因为高等数学中的抽象思维对学生的巨大考验。极限的概念是学生接触高等数学后遇到的第一个重点，又是难点，更加增加了学习的困难。 理解好极限的概念，对学生完成从形象思维到抽象思维的转变，从感性认识到理性认识的升华具有重要意义，同时也能增强学生学好高等数学的信心。 教师应注意耐心引导学生充分感受用静态的有限量来刻画动态的无限量的方法和过程，充分利用教材的相关例题对概念进行深化，从而加深学生的认知和理解。 3、设计思想 本教学设计以“任务教学法”为主要框架，将教学目标分解成两大学习任务：知识学习任务和实验认知任务，每项任务由分解成若干个子任务，让学生在接受一项项子任务的过程中完成学习目标，同时每完成一项子任务也能增强学生信心，激发学习动机。 教学过程由“任务驱动”引入，激发学习兴趣；将知识教学内容分为5个子任务，每个子任务为一个知识点，增强学习信心；实验任务分为3个子任务，任务一学会使用极限命令，任务二在实例中体会极限的思想和特点，任务三进一步加深对极限思想的理解，并培养学生通过探索自主学习的能力和对数学的热爱；实验任务分组实现，培养学生的团队合作精神和良性竞争意识。 极 限 的 概 念 知识任务 实验任务数列的极限 函数极限的概念 简单的函数极限讨论 函数极限存在的充要条件 分段函数在分段点处的极限问题 极限命令的应用 连续计息问题—你能成为百万富翁吗？ Koch雪花曲线—一个不可能的结论！ 教 学 目 标 公开课教案 教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型 时间地点 教材分析 《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。 学情分析 一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“ 0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。 教学目标 知识与技能：让学生了解公式1 sin lim = →x x x 的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。 过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。 情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。 教学重点 正确理解公式1 sin lim = →x x x ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。 教学难点 公式1sin lim 0=→x x x 的证明、公式及其变形式灵活运用。 教法学法 本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函 数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。 课前准备 教师：多媒体课件；学生：计算器。 教学环节 教 学 内 容 师生双边活动 复习导入 1、说说当0x x →时，函数)(x f 的极限的定义。 如果当x 无限接近于定值0x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 2、A x f x x =→)(lim 0 的充要条件是什么？ A x f x x =→)(lim 0 ? )(lim 0 x f x x -→=A x f x x =+→)(lim 0 3、说出函数极限的四则运算法则。 B A x g x f x g x f B x g A x f +=+=+==)(lim )(lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim :1则设法则 B A x g x f x g x f B x g A x f ?=?=?==)]([lim )]([lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim 2则：设法则 B A x g x f x g x f B B x g A x f = =≠==)(lim )(lim )()(lim ,0,)(lim ,)(lim 3则且：设法则 教师引导， 学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目 的。 两个重要极限开课教 案 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 预备知识 1. 有关三角函数的知识 x x x cos sin tan =，00sin =，10cos =，1sin ≤x ，1cos ≤x 2.无穷小量 定义：在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个 变化过程中的无穷小量 性质: 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小. 一、1sin lim 0=→x x x 问题1：观察当x →0时x x sin 的变化趋势： x (弧度) ±1.0 ±0.9 ±0.8 ±0.7 ±0.6 ±0.5 ±0.4 ±0.3 ±0.2 ±0.1 ±0.01 x x sin 0.8417 0.8703 0.8967 0.9203 0.9410 0.9588 0.9735 0.9850 0.9933 0.9983 0.9999 二、证明1sin lim 0=→x x x 用两边夹定理证明. 。 x AOB =∠圆心角),20(π< 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 如图单位圆， 作单位圆的切线，得 扇形AOB 的圆心角为x , 的高为BC , 于是有 BC 弧AB AD 因为ΔAOB 的面积 < 圆扇形AOB 的面积 <ΔAOD 的面积, 即 于是 例1 求x x x tan lim 0→。 解 x x x tan lim 0→ =111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x 例2 求x x x 5sin lim 0→． 解 x x x 5sin lim 0→=5sin lim 5)5(55sin 5lim 00==→→t t t x x x t x 令 . 02也成立上式对于<<-x π 11lim ,1cos lim 00 ==++→→x x x 因为1sin lim 0=+→x x x 从而有，所以类似可以证明1sin lim -0=→x x x 1sin lim 0=→x x x .AOD ?AOB ?. tan , , sin ===x x x ,tan 2121sin 21x x x <<所以,tan sin x x x <<,1sin cos < 7.7 (2)极限的运算法则 一、教学内容分析 本小节的教学内容是在理解无穷数列极限的概念的基础上学习数列极限的运算性质及四个重要的极限，鉴于高二学生现有的数学基础，教材采取从实际的例子引入，给出数列极限的运算性质及四个重要极限的结论，然后通过例题加以说明的方式. 教学重点是数列极限的运算性质，教学中要强调运算性质成立的条件是两个数列的极限都存在. 教学难点是数列极限的运算性质及四个重要极限结论的灵活运用，会进行恒等变形，运算性质可从两个数列推广到有限个数列，注意有限与无限的本质区别. 二、教学目标设计 掌握数列极限的运算性质，会利用这些性质计算数列的极限. 知道数列极限的四个重要结论，并会用它们来求有关数列的极限； 会运用式的恒等变形，把分子、分母极限不存在的分式转化为若干个极限存在的数列的代数和，从而求出极限，提高观察，分析以及等加转换的能力. 三、教学重点及难点 重点：数列极限的运算性质. 难点：数列极限的运算性质及重要极限的灵活运用. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 课堂小结并布置作业 实例 引入 极限概念 数列极限的结论 运用与深化（例题分析，巩固练习） 极限的运算性质 一、复习回顾 1、数列极限的定义. 2、已知1 23-= n n a n 试判断数列{}n a 是否有极限，如果有，写 出它的极限. 二、讲授新课 1、实例引入 计算由抛物线x y =2 ，x 轴以及直线x=1所围成的区域 面积S ：26) 12)(1(lim lim n n n S S n n n --==∞→∞ → 2、数列极限的运算性质 （1）数列极限的运算性质 如果B b A a n n n n ==∞ →∞ →lim ,lim ，那么 （1）B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim ； （2）B A b a b a n n n n n n n ?=?=?∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim ； （3）B A b a b a n n n n n n n ==∞ →∞ →∞→lim lim lim ； （2）的推论：若C 是常数，则A C a C b C n n n n n ?=?=?∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim 说明：1、运算性质成立的条件 2、在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极 限都不为零. （2）常用的数列极限的几个结论 （1）对于数列{}n q ，当1 重要极限e n n n =??? ??+∞→11lim 的推导及应用教学设计 课程名称: 数学分析 所属学科: 数 学 专 业: 数学与应用数学 适用对象: 理工类 姓 名: 宋 美 单 位: 鲁东大学数学与统计科学学院 一、教学背景 1、教材分析 本课程所用教材是华东师范大学数学系编写的《数学分析》第四版上册。本次授课内容选自教材第二章第3节数列极限存在的条件. 本次授课内容的地位和作用： 重要极限是极限理论的重要内容，也是解决极限问题的一种有效的方法，两个重要极限是研究初等函数求导公式的一个工具，在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用。 2、学情分析 学生中学学过二项式展开公式，前面学习了单调有界原理，并会用单调有界原理来证明极限的存在性。 二、教学目标 知识目标：掌握极限e n n n =?? ? ??+∞→11lim 的推导过程，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形公式解决有关数列极限的问题。 通过对实际问题的观察，猜想，分析讨论和严格推导，培养学生观察，归纳，严格证明的学习方法，且进一步认识转化思想在数学解题中的作用。 情感与能力目标：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣，养成细心观察，认真分析，善于总结的良好思维品质。 三、教学方法 本次授课采用启发引导和讲练结合的方法。 四、教学重点、难点 1、教学重点 正确理解公式e n n n =?? ? ??+∞→11lim ，并能运用公式及其变形公式解决有关的数列极限的计算问题。 2、教学难点 公式e n n n =?? ? ??+∞→11lim 的证明，公式及其变形公式的灵活运用。 五、教学过程 1、引入 利用古巴比伦人提出的问题, 即连续复利问题引入新课 公元前1700年左右,古巴比伦人就提出了这样一个问题,以本金10000元存入银行，设年利率为20%,则一年后资金总额为 10000(120%)12000+= 如果按半年计息，年利率20%,则每期利率为10%,一年后本息和为 10000(110%)(110%)12100++= 如果按季度计息，年利率20%,则每期利率为5%,一年后本息和为 410000(15%)12155.0625.+= 《第二个重要极限的应用——复利模型》 教学方案设计 一、教学简述 （一）教学背景 极限是高等数学的最基础的理论及工具，尤其是第二个重要极限在极限中占有很重要的地位，它的结构独特，使用灵活，许多实际问题都依赖于为这种极限的应用，特别是复利模型的应用，因此若掌握了第二个重要极限不仅有助于我们学好微积分，也利于解决生产和生活中的实际问题。 （二）教学特色 第二个重要极限的地位特殊，由于结构复杂，形式多样，计算灵活，在经济学中尤为重要，为了体现其在经济工作中的优势，本节课旨在突出第二个重要极限的应用——复利模型，通过理论联系实际，以点至面的让学生掌握这一重点和难点。本节微课从“情境问题”教学法出发，构建虚拟课堂，因故事引出谜团，以谜团贯穿教学过程，借谜团掌握知识要点，构建以专业问题为背景的数学模型教会学生学会 主动提出问题、研究问题和解决问题，最终又回归于专业问题的运用。环环相扣的教学进程，让学生步步深入教学内容，提高学习的效果，从而更助于学生掌握本节课的知识。 （三）教学内容 1.课程《高等数学》 2.章节：第一章函数极限与连续性，第三节两个重要极限的第二部 分第二个重要极限。 （四）授课对象 财管、经济、国贸等经管类专科一年级 （五）教学目标 1.知识目标：基于第二个重要极限的学习，探究复利模型的最终结 论，进而回归实际问题，完成对第二个重要极限的应用。 2.能力目标：通过本微课的学习培养学生质疑问题、解决问题的能 力和相关知识的迁移能力。对专业学习和生活阅历的培养都有帮助。 3.情感目标：专业问题的引入可以激发学生的学习兴趣，明确高等 数学的实用性，体会数学思想和数学方法的精妙。进而培养学生主动探索和创新的科学精神。 （六）教学的重点与难点 1.重点：利用第二个重要极限的运算方法解决实际运用 2.难点：引导学生对复利模型的理解和归纳总结，进而推出其结论。（七）教学方法 两个重要的极限教案 教者数学分析科目数学年级大一课题两个重要极限（一）课型 时间2017年4月11日地点 教材分 析 《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。 学情分 析 一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“ 0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。 教学目 标 知识与技能：让学生了解公式1 sin lim = →x x x 的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。 过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。 情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。 教学重 点 正确理解公式1 sin lim = →x x x ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。 教学难 点公式1 sin lim = →x x x 的证明、公式及其变形式灵活运用。 教法学法 本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。 课前准备 教师：多媒体课件；学生：计算器。 教学环 节 教 学 内 容 复习导入 1、说说当0x x →时，函数)(x f 的极限的定义。 如果当x 无限接近于定值0x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作 A x f x x =→)(lim 0 。 2、A x f x x =→)(lim 0 的充要条件是什么？ A x f x x =→)(lim 0 ? )(lim 0 x f x x -→=A x f x x =+→)(lim 0 3、说出函数极限的四则运算法则。 B A x g x f x g x f B x g A x f +=+=+==)(lim )(lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim :1则设法则 B A x g x f x g x f B x g A x f ?=?=?==)]([lim )]([lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim 2则：设法则 B A x g x f x g x f B B x g A x f ==≠==)(lim )(lim )()(lim ,0,)(lim ,)(lim 3则且：设法则 预备知识 1. 有关三角函数的知识 x x x cos sin tan =，00sin =，10cos =，1sin ≤x ，1cos ≤x 2.无穷小量 定义：在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量 性质: 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小. 一、1sin lim 0=→x x x 问题1：观察当x ?0时x x sin 的变化趋势： ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± 二、证明1sin lim 0=→x x x 用两边夹定理证明. 如图单位圆， 作单位圆的切线，得 扇形AOB 的圆心角为x , 的高为BC , 于是有 BC 弧AB AD 因为ΔAOB 的面积 < 圆扇形AOB 的面积 <ΔAOD 的面积, 即 于是 . 02也成立上式对于<<-x π 1 1lim ,1cos lim 00==++→→x x x 因为1 sin lim 0=+→x x x 从而有，所以类似可以证明1sin lim -0=→x x x 1 sin lim 0=→x x x 。 x AOB =∠圆心角),20(π< 例1 求x x x tan lim 0 →。 解 x x x tan lim 0→ =111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x 例2 求x x x 5sin lim 0→． 解 x x x 5sin lim 0→=5sin lim 5)5(55sin 5lim 00==→→t t t x x x t x 令 练习： （1）x x x 3sin lim 0→ （2）x x x 35sin lim 0→ 使用1sin lim 0=→x x x 时要注意： （1）类型:“0 0”型 （2）推广形式： 例3 求x x x tan lim 0→。 解 x x x tan lim 0→ =111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x 例4 求x x x 5sin lim 0→． 解 x x x 5sin lim 0→=5sin lim 5)5(55sin 5lim 00==→→t t t x x x t x 令 例5 求x x x 2sin 3tan lim 0→ 解：??? ? ???=→→x x x x x x x x 2sin 233tan 23lim 2sin 3tan lim 00 2 32sin 2lim 33tan lim 2300=??? ?????? ???=→→x x x x x x 练习：x x x 3sin lim 0→ x x x 5tan 2sin lim 0→ 例6 求x x x 3sin lim ∞→ sin lim 1αα=某过程 lim 0 α=某过程（）0 lim 1si (3) n x x x →=等价形式： §1.6极限存在准则两个重要极限 授课次序06 §1. 6极限存在准则 两个重要极限 准则I 如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件: (1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ? ? ?), (2)a y n n =∞ →lim , a z n n =∞ →lim , 那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证明: 因为a y n n =∞ →lim , a z n n =∞ →lim , 根据数列极限的定义, ?ε >0, ?N 1>0, 当n >N 1时, 有|y n -a |<ε ; 又?N 2>0, 当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |z n -a |<ε 同时成立, 即 a -ε 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系 式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极 限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. N +={1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={? ? ?, -n , ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C );1-7 两个重要极限练习题
极限存在准则两个重要极限
高数教案_重要极限6
高三选修2教案2.4极限的四则运算(一)
两个重要极限(可编辑修改word版)
极限的概念教学设计
两个重要极限教案
两个重要极限开课教案讲课教案
高二数学上册 7.7《极限的运算法则》教案 沪教版
重要极限的推导及应用教学设计
《第二个重要极限的应用——复利模型》
两个重要极限教案63260
两个重要极限开课教案
高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限
高等数学函数与极限教案设计