最新(两个重要极限)教案资料
两个重要极限分析
两个重要极限分析关于两个重要极限分析两个重要极限是很重要的知识点，这个的知识点要怎么证明呢?证明的过程是的呢?下面就是店铺给大家整理的两个重要极限的证明内容，希望大家喜欢。
两个重要极限教案教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则;并会利用它们求极限;2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法;教学重点：利用两个重要极限求极限教学过程：一、讲授新课：准则I：如果数列满足下列条件：(i)对 ;(ii) 那么，数列的极限存在，且。
证明：因为，所以对，当时，有，即，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有，即有：，即，所以。
准则I′如果函数满足下列条件：(i)当时，有。
(ii)当时，有。
那么当时，的极限存在，且等于。
第一个重要极限：作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。
证明：作单位圆，如下图：设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即，(因为，所以上不等式不改变方向)当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切两个重要极限的介绍第一个重要极限如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。
如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。
准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。
准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。
注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。
2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。
第二个重要极限：作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。
先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：，即： (i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。
(ii)又令，所以，即对，又对所以{ }是有界的。
由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即注1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望自己看!2：我们可证明：，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知：。
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。
2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。
3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。
教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。
1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。
1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。
第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。
2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。
2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。
第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。
3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。
3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。
第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。
4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。
4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。
第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。
5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。
5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生的参与度和积极性。
高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限(优秀版)word资料
高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。
下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。
极限存在准则 两个重要极限教案
§1.7 极限存在准则 两个重要极限求函数的极限问题，有些可用上节运算法则获得解决，但更多的远不能解决，例已知∞→x 时， ()0sin →=xxx f , 但0→x 时，()?sin →=x x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00是否有？如果有，怎样求？再如()∞→+=n nn f n )11(无限多个积，n 换成x ？一．极限存在准则I1．准则I 如果数列() ,2,1,,=n z y x n n n 满足：(1)() ,2,1=≤≤n z x y n n n (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim那么数列n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim .证：∵a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ，∴10N ∃>∀ε，当1N n >时，有ε<-a y n .同理20N ∃>∀ε，当2N n >时，有ε<-a z n . 取{}21,max N N N =，则当N n >时， 有ε<-a y n , ε<-a z n 同时成立即εε+<<-a y a n ,εε+<<-a z a n ,而() ,2,1=≤≤n z x y n n n n ，∴εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,即ε<-a x n . 故a x n n =∞→lim 。
*数列极限存在准则I 可推广到函数的极限。
准则I ˊ如果(1) ),ˆ(0r x U x ∈ (或M x >)时，有()()()x h x f x g ≤≤成立；(2)()A x g =lim , ()A x h =lim (0x x →或∞→x ),那么()A x h =lim (0x x →或∞→x ). 准则I,I ′称为夹逼准则。
2．利用准则I ′证明第一个重要极限：1sin lim0=→xxx证：函数xxsin 在0≠x 时有定义 单位圆中，AOB ∆的面积＜扇形AOB 的面积＜AOD ∆的面积即x sin 21 <<x 21 x tan 21, 1sin cos <<x xx (1)(∵用x -代x 时，x cos 与xx sin 都不变号， ∴对⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 也成立)。
高职大一应用数学两个重要极限教学设计
学科
应用数学
教 学 内 容 1.7 两个重要极限（第一重要极限） （课名）
该内容总课时 共讲 2 讲 一、学习内容分析
翻转课时 第 1 讲
两个重要极限在整个学期的授课共 2 时节，在第一模块函数的极限与连续中学完极限的运算
法则后的内容。
这堂翻转课教学内容特色：两个重要极限在内容上是两特殊的极限，重点是让学生掌握应用，
40%，组间互评 占 30%，组内互 评占 30%。这部
打分
间互评。
分成绩记入过
程考核中的作
业成绩。
学生总结所学
3 总结
内容并谈学习 答疑补充 学生总结
10
感受
下次课要
4 求·
巡回答疑
辅导答疑 提出问题
5
六、教学设计反思 在课前学习中学生必须要认真进行学习，课堂上的翻转才能真正实施，所以课前任务设计是 关键，要想办法调动学生学习积极性。对于课上翻转部分，学生的分组也是很关键的，一个 小组中成员应该是基础好的和基础差的搭配，如果某个组成员基础都很差就有可能课前任务 完成不了。
有点类似于掌握两个公式的应用。
重点：第一重要极限的形式及变形
难点：第一重要极限的形式及变形的应用
二、学习目标分析 学习目标：第一重要极限的形式及变形的应用 通过学生做巩固练习题的正确率来判断学生是否达到了目标
三、学习者特征分析 学生基础薄弱，运算能力不强；对极限的运算性质掌握不牢固；
四、课前任务设计 学生通过课前导学指导观看视频 1.7.1，完成在线测试 1.7.1，并以小组为单位形成一篇学习笔 记（要体现出课前学习过程中不理解的地方） 课前导学内容：第一步观看视频 1.7.1，掌握第一重要极限的形式、第一重要极限的变形及应 用。第二步完成在线测试 1.7.1。第三步以小组为单位形成一篇学习笔记。 在线测试占课前学习成绩的 60%，学习笔记在线测试占课前学习成绩的 40%. 课前导学、视频、在线测试学习笔记通过学校教学平台发给学生
两个重要极限教案(修改稿)
两个重要极限教案(修改稿)教学目标：1. 理解并掌握两个重要极限的概念和应用。
2. 能够运用两个重要极限解决相关数学问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 引入两个重要极限的概念。
2. 解释两个重要极限的推导过程。
3. 展示两个重要极限的应用实例。
4. 练习题和解答。
教学准备：1. 教案、PPT或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、引入（5分钟）1. 引导学生回顾极限的概念，即当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的值。
2. 提出问题：在数学中，有哪些重要的极限值得我们学习和掌握呢？二、第一个重要极限：极限的定义与性质（15分钟）1. 给出第一个重要极限的定义：当x趋向于0时，sinx/x趋向于1。
2. 通过图形、实际例子或证明来说明这个极限的性质和意义。
3. 解释这个极限在数学和物理中的应用。
三、第二个重要极限：极限的推导过程（15分钟）1. 给出第二个重要极限的定义：当x趋向于无穷大时，e^x趋向于无穷大，lnx 趋向于无穷大。
2. 通过图形、实际例子或证明来说明这个极限的推导过程。
3. 解释这个极限在数学和自然科学中的应用。
四、应用实例（15分钟）1. 举例说明如何运用这两个重要极限解决实际问题，如计算极限值、解决优化问题等。
2. 引导学生思考如何将这两个极限应用到自己的学习和工作中。
五、练习题和解答（10分钟）1. 提供一些有关两个重要极限的练习题，让学生独立完成。
2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。
教学评价：1. 课后收集学生的练习题答案，评估学生对两个重要极限的理解和应用能力。
2. 在下一节课开始时，简要回顾本节课的内容，检查学生的掌握情况。
1. 教师应根据学生的实际情况，适当调整教学内容和教学时间。
2. 鼓励学生在课堂上积极提问和参与讨论，提高学生的学习兴趣和主动性。
六、极限的计算方法（15分钟）1. 介绍几种计算极限的方法，如直接计算、代数方法、有理化方法、泰勒展开等。
高数教案 两个重要极限及无穷小的比较
两个重要极限和无穷小的比较
授课类型
理论课
首次授课时间
年 月 日
学时
2
教学目标
1、掌握两个重要极限的一般形式及特点
2、会运用两个重要极限求相关极限
3、理解等价，同阶，高阶无穷小
重点与难点
重要极限的运用
教学手段与方法
1 、多媒体 PPT 教学 2 、课堂讲解3 、学生练习
教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）
说明：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的 型极限．
（2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成 (方框□代表同一变量)．
例6求 .
解
例7求 .
解 ．
例8 求 ．
解
由例7知
故
2. EMBED Equation.3 ．
解释说明：列出 的数值表(如下表)，观察其变化趋势.
1
2
3
4
5
10
100
1000
(2)若 ，则称 与 是同阶无穷小，特别地，若 ，则称 与 是等价无穷小，记为 ．
例如， 即 ；
即
定理 设 ；
则 ．
例12求 ．
解当 时， , ,
所以
例13 求
解 因为当 时, ,
,所以
常用的几个等价无穷小代换
当 时,有
小结：一、两个重要极限
二、无穷小的比较
思考题、讨论题、作业
思考题1.下列运算错在何处：
10000
…….
2
2.250
2.370
2.441
2.488
2.594
2.705
2.717
2.718
两个重要极限教案
公开课教案教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型时间地点教材分析《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分析一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。
教学目标知识与技能：让学生了解公式1sinlim=→xxx的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
教学重点正确理解公式1sinlim=→xxx，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点公式1sin lim0=→xxx 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。
通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。
在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。
对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。
在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
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定义2：如果对任何正整数 ，恒有 ，则 为单调减少数列。
定义3：如果存在两个常数 和 ，使对任何正整数 ，恒有 ，则 为有界数列。
准则II单调有界数列必有极限
例如， ： 可看出， 单调减少，且 ，所以， 存在， 。
二、第二个重要极限
互动
引导学生从图中观察特点
对重要极限理解的注意事项
通过例子加深对重要极限变形理解
通过练习巩固对第一个重要极限的掌握
理解单调数列的概念
掌握第二个重要极限
Ｂｅａｄｗｒｋｓ公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流，体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎；同样，自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感，这里更是创作的源泉。
问题：如何求 ？
准则1（夹逼定理）设函数 在 的某一邻域 内满足
且有极限 ，则有
例1求
解由题意，当 时， ，因为 ，由定理得
例2.求
解由题意 ，因为 ，
由定理得， ，即 。
例3求
解
即
因
所以由定理得 。
。
一、第一个重要极限
．
证如右图，作单位圆O,
设圆心角 ,
过点A作圆O的切线，交0B延长线于点C，
过点B作 ，交OA于点D，于是，得 ，
高等数学课程教案
授课题目
§2.6两个重要极限
主讲人
刘艳
授课时间
2013年11月9日
课时安排
两课时
教学目的：
（1）掌握两个重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数的极限；
（2）通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。
教学重点、难点
重点：两个重要极限公式及其变形式
难点：两个重要极限的灵活应用
授课类型：理论课
教学方式：讲授
教学手段：多媒体及板书结合
教学过程
备注
回顾：
说出函数极限的四则运算法则。
新课：
一、问题的提出
“ 型”极限的计算方法，到目前为止，我们学过因式分解去零因子，有理化分子或分母这两种方法。是不是所有的“ 型”都可以用这两种方法解决呢？
500元以上1224%
在大学生对DIY手工艺品价位调查中，发现有46%的女生认为在十元以下的价位是可以接受；48%的认为在10-15元；6%的则认为50-100元能接受。如图1-2所示
2．www。cer。net/artide/2003082213089728。shtml。
就算你买手工艺品来送给朋友也是一份意义非凡的绝佳礼品哦。而这一份礼物于在工艺品店买的现成的礼品相比，就有价值意义，虽然它的成本比较低但它毕竟它是你花心血花时间去完成的。就像现在最流行的针织围巾，为何会如此深得人心，更有人称它为温暖牌绝大部分多是因为这个原因哦。而且还可以锻炼你的动手能力，不仅实用还有很大的装饰功用哦。
（2）
证明下证这个极限是存在的。
设 。先证明 是单调增加的。根据二项式定理，有
同理有
比较上面两个展开式的各项，除前两项相等外，从第三项开始， 的每一项都大于 的对应项，而且 还多出一个正的尾项。因而
即 单调增加.
再证明 是有界的：
因为 ，所以用 代替上式分母中的 ，得
由此可见，不论 多么大， 总小于3，即 有上界.
因此，极限 一定存在。这个极限是个无理数，用字母 表示，即
注：（1）类型： 型
（2）等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形式
（3）推广形式： .
例1求
解
例2求
解
例3求
解
例4计算
解 ＝
＝
练习：（1） （2）
小结：
理解两个准则：夹逼准则、单调有界准则
熟练掌握两个重要极限： ， 及其变形
教师引导，学生回忆口述
提出问题，引发学生兴趣
无穷多项无穷小量的和
（六）DIY手工艺品的“创作交流性”
2、消费者分析
PS:消费者分析
经常光顾□偶尔会去□不会去□
图1-4大学生购买手工艺制品目的
通过例题加深对第二个重要极限的掌握
总结本堂课内容
三、作业：P93习题二(A ) .23（1）（3）（5）（7）24（1）（3）（5）
作业设计
因为△AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOC的面积，
所以 (过程中注意互动，提问扇形面积的计算)
即
由偶函数性质， 时也成立。
又 ， ，
由夹逼准则，即得
注意：(1)这个重要极限主要解决含有三角函数、反三角函数的“ 型”的极限。
(2)为了强调此极限的一般形式,我们把它形象地写成 ，等式中的“[]”内的变量必须完全相同且趋于 。
例1求
解
例2求
解
例3求
解
例4求
解令 ,则 ,当 时,有 .于是由复合函数的极限运算法则得
例5求
解令 .当 时， .
例6求
解令 ,则 .当 时， .
例7求
解 .
练习：求下列极限：
① ②
③ ④
小结：
1．正确、灵活地运用公式 。
2．运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。
3.利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求 。