两个重要极限教案
高等数学电子教案第二章第8讲-两个重要极限二课时教案首页
这是因为令u(x)则u0于是
((x)0)
二、第二重要极限： =e4根据数列收敛准则可以证明极限 存在
设 现证明数列{xn}是单调有界的
按牛顿二项公式有
比较xnxn1的展开式可以看出除前两项外xn的每一项都小于xn1的对应项并且xn1还多了最后一项其值大于0因此
《高等数学》课程课时教案
课题名称
第八讲两个重要极限（二）
课次
8
授课日期
10.20（1、2）
10.21（1、2）
10.21（3、4）
10.24（3、4）
授课班级
14热电1
14化工
14化设
14煤化
授课地点
14热电1
14化工
14化设
14煤化
教学目标
与
教学要求
1.会用第二重要极限求极限。
2.理解第二重要极限的推广形式。
例1求 10min
解：
例2求 8min
解：令 则 当 时， 所以有
例3求 6min
解：
例4求 10min
解：令
解得 当 时，
例5求 6min
解令tx则x时t于是
或
总结：1、 5min
2、 ((x)0)
课后作业
P36:45 46 47.
教学反思
重点难点
及
解决办法
重点:第二重要极限的应用。
解决办法:通过典型例题讲解，学生有针对性的做典型习题。
难点：第二重要极限形式的推广。
解决办法:用对比法推广第二重要极限。
教学设计
引课：上节我们学了第一重要极限，今天我们再学用第二重要极限求极限
的方法。5min
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。
2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。
3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。
教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。
1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。
1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。
第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。
2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。
2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。
第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。
3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。
3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。
第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。
4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。
4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。
第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。
5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。
5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生的参与度和积极性。
高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限(优秀版)word资料
高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。
下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。
极限存在准则 两个重要极限教案
§1.7 极限存在准则 两个重要极限求函数的极限问题，有些可用上节运算法则获得解决，但更多的远不能解决，例已知∞→x 时， ()0sin →=xxx f , 但0→x 时，()?sin →=x x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00是否有？如果有，怎样求？再如()∞→+=n nn f n )11(无限多个积，n 换成x ？一．极限存在准则I1．准则I 如果数列() ,2,1,,=n z y x n n n 满足：(1)() ,2,1=≤≤n z x y n n n (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim那么数列n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim .证：∵a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ，∴10N ∃>∀ε，当1N n >时，有ε<-a y n .同理20N ∃>∀ε，当2N n >时，有ε<-a z n . 取{}21,max N N N =，则当N n >时， 有ε<-a y n , ε<-a z n 同时成立即εε+<<-a y a n ,εε+<<-a z a n ,而() ,2,1=≤≤n z x y n n n n ，∴εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,即ε<-a x n . 故a x n n =∞→lim 。
*数列极限存在准则I 可推广到函数的极限。
准则I ˊ如果(1) ),ˆ(0r x U x ∈ (或M x >)时，有()()()x h x f x g ≤≤成立；(2)()A x g =lim , ()A x h =lim (0x x →或∞→x ),那么()A x h =lim (0x x →或∞→x ). 准则I,I ′称为夹逼准则。
2．利用准则I ′证明第一个重要极限：1sin lim0=→xxx证：函数xxsin 在0≠x 时有定义 单位圆中，AOB ∆的面积＜扇形AOB 的面积＜AOD ∆的面积即x sin 21 <<x 21 x tan 21, 1sin cos <<x xx (1)(∵用x -代x 时，x cos 与xx sin 都不变号， ∴对⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 也成立)。
最新(两个重要极限)教案资料
定义2：如果对任何正整数 ，恒有 ，则 为单调减少数列。
定义3：如果存在两个常数 和 ，使对任何正整数 ，恒有 ，则 为有界数列。
准则II单调有界数列必有极限
例如， ： 可看出， 单调减少，且 ，所以， 存在， 。
二、第二个重要极限
互动
引导学生从图中观察特点
对重要极限理解的注意事项
通过例子加深对重要极限变形理解
通过练习巩固对第一个重要极限的掌握
理解单调数列的概念
掌握第二个重要极限
Ｂｅａｄｗｒｋｓ公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流，体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎；同样，自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感，这里更是创作的源泉。
问题：如何求 ？
准则1（夹逼定理）设函数 在 的某一邻域 内满足
且有极限 ，则有
例1求
解由题意，当 时， ，因为 ，由定理得
例2.求
解由题意 ，因为 ，
由定理得， ，即 。
例3求
解
即
因
所以由定理得 。
。
一、第一个重要极限
．
证如右图，作单位圆O,
设圆心角 ,
过点A作圆O的切线，交0B延长线于点C，
过点B作 ，交OA于点D，于是，得 ，
高等数学课程教案
授课题目
§2.6两个重要极限
主讲人
刘艳
授课时间
2013年11月9日
课时安排
两课时
教学目的：
（1）掌握两个重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数的极限；
（2）通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。
两个重要极限教案(修改稿)
两个重要极限教案(修改稿)教学目标：1. 理解并掌握两个重要极限的概念和应用。
2. 能够运用两个重要极限解决相关数学问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 引入两个重要极限的概念。
2. 解释两个重要极限的推导过程。
3. 展示两个重要极限的应用实例。
4. 练习题和解答。
教学准备：1. 教案、PPT或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、引入（5分钟）1. 引导学生回顾极限的概念，即当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的值。
2. 提出问题：在数学中，有哪些重要的极限值得我们学习和掌握呢？二、第一个重要极限：极限的定义与性质（15分钟）1. 给出第一个重要极限的定义：当x趋向于0时，sinx/x趋向于1。
2. 通过图形、实际例子或证明来说明这个极限的性质和意义。
3. 解释这个极限在数学和物理中的应用。
三、第二个重要极限：极限的推导过程（15分钟）1. 给出第二个重要极限的定义：当x趋向于无穷大时，e^x趋向于无穷大，lnx 趋向于无穷大。
2. 通过图形、实际例子或证明来说明这个极限的推导过程。
3. 解释这个极限在数学和自然科学中的应用。
四、应用实例（15分钟）1. 举例说明如何运用这两个重要极限解决实际问题，如计算极限值、解决优化问题等。
2. 引导学生思考如何将这两个极限应用到自己的学习和工作中。
五、练习题和解答（10分钟）1. 提供一些有关两个重要极限的练习题，让学生独立完成。
2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。
教学评价：1. 课后收集学生的练习题答案，评估学生对两个重要极限的理解和应用能力。
2. 在下一节课开始时，简要回顾本节课的内容，检查学生的掌握情况。
1. 教师应根据学生的实际情况，适当调整教学内容和教学时间。
2. 鼓励学生在课堂上积极提问和参与讨论，提高学生的学习兴趣和主动性。
六、极限的计算方法（15分钟）1. 介绍几种计算极限的方法，如直接计算、代数方法、有理化方法、泰勒展开等。
高数教案 两个重要极限及无穷小的比较
两个重要极限和无穷小的比较
授课类型
理论课
首次授课时间
年 月 日
学时
2
教学目标
1、掌握两个重要极限的一般形式及特点
2、会运用两个重要极限求相关极限
3、理解等价，同阶，高阶无穷小
重点与难点
重要极限的运用
教学手段与方法
1 、多媒体 PPT 教学 2 、课堂讲解3 、学生练习
教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）
说明：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的 型极限．
（2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成 (方框□代表同一变量)．
例6求 .
解
例7求 .
解 ．
例8 求 ．
解
由例7知
故
2. EMBED Equation.3 ．
解释说明：列出 的数值表(如下表)，观察其变化趋势.
1
2
3
4
5
10
100
1000
(2)若 ，则称 与 是同阶无穷小，特别地，若 ，则称 与 是等价无穷小，记为 ．
例如， 即 ；
即
定理 设 ；
则 ．
例12求 ．
解当 时， , ,
所以
例13 求
解 因为当 时, ,
,所以
常用的几个等价无穷小代换
当 时,有
小结：一、两个重要极限
二、无穷小的比较
思考题、讨论题、作业
思考题1.下列运算错在何处：
10000
…….
2
2.250
2.370
2.441
2.488
2.594
2.705
2.717
2.718
两个重要极限教案
正确理解公式 ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点
公式 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法
本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
教师引导，学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目的。
学生分组巩固练习
设疑激趣
分组讨论
教师视情况引导学生使用计算器代入进行近似计算，并猜想。
利用几何画板事先制作课件，拖动动点，让学生观察比值的变化，验证猜想。体会数形结合思想的作用
教师讲授证明过程，学生理解识记，记住公式特征。
4.利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求 。
作业
P A组1
强调：①极限中函数 的分子分母都是当 时的无穷小。
②这里的自变量 是用弧度度量的，以后引用这个极限时必须用弧度作单位。
③在利用这个极限求较复杂函数的极限时，必须注意所有含有自变量的表达形式应一致。
④
四、公式的应用
例1：求⑴ ⑵
解：⑴
⑵ = =
=
回顾反思：1、求此类函数的极限其关键是把此函数转化为 与另一个函数的乘积，若另一个函数的极限可求，则可求出此函数的极限。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
公开课教案
教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型
时间地点
教材分析
《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分析
一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“
0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。
教学目标
知识与技能：让学生了解公式1
sin
lim
=
→x
x
x
的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
教学重点
正确理解公式1
sin
lim
=
→x
x
x
，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点
公式1sin lim
0=→x
x
x 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法
本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。
通过复习函
数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。
在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。
对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。
在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
课前准备 教师：多媒体课件；学生：计算器。
教学环节 教 学 内 容
师生双边活动 复习导入
1、说说当0x x →时，函数)(x f 的极限的定义。
如果当x 无限接近于定值0x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作A x f x x =→)(lim 0。
2、A x f x x =→)(lim 0
的充要条件是什么？
A x f x x =→)(lim 0
⇔ )(lim 0
x f x x -→=A x f x x =+→)(lim 0
3、说出函数极限的四则运算法则。
B A x g x f x g x f B x g A x f +=+=+==)(lim )(lim )]()(lim[,
)(lim ,)(lim :1则设法则
B A x g x f x g x f B x g A x f ⋅=⋅=⋅==)]([lim )]([lim )]()(lim[,
)(lim ,)(lim 2则：设法则
B
A x g x f x g x f
B B x g A x f =
=≠==)(lim )(lim )()(lim ,0,)(lim ,)(lim 3则且：设法则
教师引导，
学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目
的。
新授
4、求下列函数的极限：①
3
5
lim
2
0-
+
→x
x
x
；②
2
4
lim
2
2-
-
→x
x
x
③
1
1
lim
2
2
0-
+
→x
x
x
一、问题的提出
“
型”极限的计算方法，到目前为止，我们学过
因式分解约去非零因子，有理化分子或分母这两种方法。
是不是所有的“
型”都可以用这两种方法解决呢？
问题：如何求
x
x
x
sin
lim
→
？
（学生使用计算器进行实验）
二、动态演示，验证猜想
OA
BC
x
AB
x
x
AOB
O⊥
=
<
<
=
∠作
则弧
，设
作单位圆,
),
2
0(,
π
于C，则x
BC sin
=，拖动点B，改变x的大小，观察
x
x
sin
值的变化趋势。
得出结论：1
sin
lim
=
→x
x
x
三、证明猜想
过程见课本
52
51
P
P-
强调：①极限中函数
x
x
sin
的分子分母都是当0
→
x时
的无穷小。
学生分组巩
固练习
设疑激趣
分组讨论
教师视情况
引导学生使
用计算器代
入进行近似
计算，并猜
想。
利用几何画
板事先制作
课件，拖动
动点，让学
生观察比值
的变化，验
证猜想。
体
会数形结合
思想的作用
教师讲授证
明过程，学
②这里的自变量x 是用弧度度量的，以后引用这个极限时必须用弧度作单位。
③在利用这个极限求较复杂函数的极限时，必须注意所有含有自变量的表达形式应一致。
④1sin lim 0=→x
x x 四、公式的应用
例1：求⑴ x x x 3sin lim 0→ ⑵ x
x
x tan lim 0→
解：⑴ =→x x x 3sin lim
03
1131sin lim 31)sin 31(lim 00=⋅==⋅→→x x x x x x
⑵ x x x tan lim
0→=)cos 1sin (lim 0x x x x ⋅→=x
x x x x cos 1
lim
sin lim 00→→⋅ =111=⨯
回顾反思：1、求此类函数的极限其关键是把此函数转化为x x
sin 与另一个函数的乘积，若另一个函数的极限可求，则可求出此函数的极限。
2、当
为等价无穷小、、时，x x x x tan sin 0→。
如1sin tan lim
0=→x
x
x 。
例2：求 ⑴ x x x 3sin lim
0→ ⑵ x
x x 2sin 3tan lim 0→
解：⑴ ()x
x x x x x 33sin 3lim 3sin lim 00⋅=→→=3x x
x 33sin lim 03→=3 ⑵ x x x 2sin 3tan lim 0→=⎪⎭
⎫
⋅⋅ ⎝⎛→x x x x x 2sin 233tan 23lim 0 =x
x
x x x x 2sin 2lim
33tan lim 230203→→⋅⋅ 生理解识
记，记住公
式特征。
教师引导鼓励学生发表观点。
第（1）小题学生独立思考，第
（2）小题教师引导并板书。
学生尝试，
教师引导。
体会换元
法、转化思想在数学解题中的重要
=2
3
回顾反思：1、此例用到了变量替换（换元），变量替换后一定要注意变量的变化趋势可能会发生变化。
2、函数变形后要注意系数的变化，防止计算错误。
3、一般地b
a
bx ax x =
→sin lim
0，b
a
bx ax x =
→tan lim
0， b
a bx ax x =→sin tan lim 0。
例3：求 2
0cos 1lim
x x
x -→
解：20cos 1lim x x x -→=2
202sin 2lim
x x x →=2
0222sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
→x x x =21 回顾反思：利用公式1sin lim
0=→x
x x 求函数极限，有时不仅
要进行变量替换，还要利用三角函数公式进行变形。
作用。
师生回顾归
纳交流解题经验
综合运用，提高分析、解决问题的
能力
课堂练习
练习：求下列极限： ③ x x x 5sin lim 0→ ② x
x
x 3tan lim 0→
③ x x x 3tan 5sin lim
0→ ④ 202cos 1lim x
x
x -→ 小结
1． 正确、灵活地运用公式1sin lim
0=→x
x
x 。
2． 当为等价无穷小、、
时，x x x x tan sin 0→。
3． 运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。
4. 利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求0sin lim
=∞→x
x
x 。
作业P
A组1
54。