流体力学课件(第十五章)

i x j j xi
h
,
j i
（15.4）
式中为书写方便略去了表示近似值的符号。将该式代入式（15.3）得
i x j j xi
h x x x xi i j i x j j h h h
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第十五章
流体动力学问题的有限元解法 第一节 有限元法的基本思想与区域离散化
xi 1 x j 1 x k yi 0 xi xk y j 0 x j xk yk 1 xk yi yk y j yk yk
再将分母中的行列式展开：1
可证明 bic j bj ci 之值等于该三角形单元面积的两倍。把三角形单元的面积 ai a j a k Ti a1 记为 ，则有： a 1 b b b T （15.8） j k j i 2
(b)
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第十五章
流体动力学问题的有限元解法 第一节 有限元法的基本思想与区域离散化
a1 a2 x
三、单元的插值函数 对于一维问题的线性单元（图15.2(a)），设插值函数为 （15.3）
a1 , a2
a2
由1、2两节点上的函数值 1 、2 可得
a1
的表达式为：
h
研究生教材
流 体 力 学
顾伯勤 主编
中国科学文化出版社
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目 录
第一篇 第二篇 第三篇 流体力学基础 流体动力学基本原理及流体工程 计算流体动力学
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第一篇
第一章 第二章
流体力学基础
绪论 场论与正交曲线坐标 流体静力学 流体运动学
第三章
第四章
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第二篇 流体动力学基本原理及流体工程
第五章
第六章
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第十五章
流体动力学问题的有限元解法 第一节 有限元法的基本思想与区域离散化
一、有限元法的基本思想
假设我们要在某一个区域 内求解一个偏微分方程（例如二维稳态的导 热方程）： L( ) f 0 （15.1） 其中L( ) 表示一个微分算子，例如对直角坐标中 L 的二维稳态导热问题， ( )就代表 x y 。首先 把求解区域划分成许多子区域，称为单元。对 二维问题，单元的形状可以是矩形，三角形或 四边形，单元形状的这种多样性使有限元法对 图15.1 三角形单元网格 求解区域的几何形状有很好的适应性。 在每个单元中取定几个点作为节点，例如对三角形单元一般取其三个顶 点作为节点。然后对于单元内的被求函数的局部变化特征作出假设，也 就是选定型线或插值函数，一般选用多项式作为插值函数。例如对三角 形单元（图15.1），可设： a1 a2 x a3 y
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j
x
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第十五章
流体动力学问题的有限元解法 第一节 有限元法的基本思想与区域离散化
在二维问题中最常用的单元为三角形单元，其三个顶点可作为节点，如 图15.2(b)所示，是二维问题的线性单元。它对不规则区域的适应性较好 （参见图15.1）。 将一个求解区域划分成许多相连接又不重叠的子区域的过程就是区域离 散化，子区域就是单元。一般先将子区域分成四边形与三角形的组合， 然后再将四边形细分成三角形。要注意不能把一个三角形的顶点取在任 一相邻三角形一条边的中间位置上。 单元的尺寸及疏密程度据物理问题的性质及对计算精 度的要求而定。一般而言，物理量变化剧烈的地方单 元的尺寸要小一些、排列要密集一些。有限元法的计 算精度受到单元内最长边与最短边长度比的影响，尽 量不要把三角形划分成钝角三角形，因为那样会使长 短边之比增加而使计算精度下降。
（15.5a）
这里h是线性单元的长度。显然这一插值函数对计算区域中的各个单元都 是适用的。取其中任一单元为e，则上式可写成为： Ni( e)i N (je) j （15.5b） x x x xi e N i( e ) j , N j 其中： （15.5c）
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h h ( e) e Ni 和 N j 称为单元e的形状函数。
1 xi 1 x j 1 x k yi a1 Ti y j a2 T j a3 T yk k
（15.7）
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流体动力学问题的有限元解法 第一节 有限元法的基本思想与区域离散化
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图15.3 稀疏矩阵及带宽
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流体动力学问题的有限元解法 第一节 有限元法的基本思想与区域离散化
区域离散化过程中需给单元与节点编号。整个计算区域中的单元是统一 编号的，单元号的字符用e表示，其值从1开始，顺序增加。与有限差分 法不同，有限元法中的节点有两个编号，即单元节点号（局部的）和总 体节点号。在单元中节点一般用i，j和k（或1，2，3）按逆时针方向编号 （图15.2(b)），整个计算区域内的节点则按一定的顺序统一编号。总体 节点编号的原则是尽可能使同一单元内各节点的编号相近，因为单元节 点号的差值，决定了所形成的代数方程系数矩阵的特性。有限元法所生 成的代数方程的系数矩阵是一个稀疏矩阵，即系数矩阵中有相当多的元 素为零。如果总体节点编号合适，同一单元中各节点的编号相差较小， 可以使非零元素相对集中地分布在系数矩阵的对角线附近。如图15.3所 示，从对角线到非零元素所在区边界之间的距离称为带宽。在用直接解 法求解代数方程组时（有限元法所生成的代数方程组多用直接解法求 解），在采用一定的处理方法后，只需把非零元素输入计算机进行计算。 在一定的总节点数下，带宽越窄，需送入计算机的非零元素越少，所占 用的计算机内存就越小。 第6页 退出 返回
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第十五章 流体动力学问题的有限元解法
第一节 有限元法的基本思想与区域离散化 第二节 有限元法中代数方程的建立 第三节 二维边值问题有限元法求解举例 第四节 有限分析法介绍
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第十五章
流体动力学问题的有限元解法 第一节 有限元法的基本思想与区域离散化
在上一章中，对求解流体动力学问题的有限差分方法进行了比较仔 细的讨论。有限差分法的优点是原理简单，便于实施，对非线性比较强 的对流换热问题有比较好的适应性。其弱点是对复杂几何形状的区域适 应性比较差，采用近二十年发展起来的网格生成技术后可以克服这一弱 点，但增加了计算工作量。而有限元法对复杂几何形状的区域具有较强 的适应性。因而这两种方法已在扩散方程的求解中得到广泛的应用，同 时研究工作正在向流场求解方面深入展开。近二十年内还发展起一种称 为有限分析法的数值方法。本节中将对有限元法和有限分析法的基本思 想作简要介绍，并以扩散方程为例说明其实施过程的主要步骤。 用有限元法求解物理问题时，总的解题步骤仍如图13.3所示，它与有 限差分法的区别主要在于区域离散化的方式不同，建立代数方程所依据的 原则或方法不同，以及由此而引起的代数方程求解方法的不同。本节中主 要讨论有限元法的基本思想及其区域离散化（包括插值函数）等问题，下 一节中再讨论代数方程的生成。
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流体动力学问题的有限元解法 第一节 有限元法的基本思想与区域离散化
x
1
h
二、有限元法区域的离散化 在二维问题中最常用的单元为三角形单元， 其三个顶点可作为节点，如图15.2(b)所示，是 二维问题的线性单元。它对不规则区域的适应 性较好（参见图15.1）。
2
(a) y k 3 2 1 i (b)
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流体动力学问题的有限元解法 第一节 有限元法的基本思想与区域离散化
对于三角形线性元（图15.2(b)），若讨论导热问题，可假设单元中的温 度为x，y的线性函数，则有： a1 a2 x a3 y （15.6） 其中待定常数 a1 a2 a3可由节点上的温度值来表示。为此将三个节点i 、 及 ， j和k的坐标代入上式（区域离散化后，各个节点的位置坐标及单元的 面积均为已知），将所得的三元一次代数方程组写成矩阵形式，有：
图15.2 一维和二维线性单元
对于一维问题，单元都是直线段，每个单元上 的节点数取决于所选定的型线。若选用线性函 数作单元上的函数逼近，则在该单元上只需两 个节点，线性方程中的两个未知量（截距与斜 率）可由这两个节点上的未知函数值确定，具 有这种特性的单元称为线性元，如图15.2(a)所 示。如果在直线段的单元上选取多于两个以上 的节点，就为非线性单元。本章中仅介绍线性 单元。
2 2 2 2
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流体动力学问题的有限元解法 第一节 有限元法的基本思想与区域离散化
a 式中，系数 a1 ， 2 及 a3 可以用三个节点 的值来表示，符号 表示被求函 数 的近似表达式。显然这一多项式不可能恰好是式（15.1）真正的解， 即若把它代入到该式中，则其右侧不会等于零。将不等于零的部分作为 余量，记为R，利用加权余量法，要求余量在某种意义上为最小，即要求：
第十五章
流体动力学问题的有限元解法 第一节 有限元法的基本思想与区域离散化
可以证明，如果计算区域中每个单元三个节点编号数的最大值为R，则带 宽与 R 1 成正比。图15.4所示为同一计算区域节点的两种编号方式，方式 (a)可比方式(b)节省一半以上的计算机内存。
(a) 图15.4 节点整体编号
a 3 2 ci cj ck Tk
y j yk x j xk yi yk xi xk bi c j bห้องสมุดไป่ตู้j ci
将a1、a2及a3的表达式代入（15.6），可得单元函数 的插值计算式： Ni( e)Ti N (je)T j N k( e)Tk （15.9a） 其中 Ni( e) 、 (je)及Nk( e) 为单元形状函数，其计算式为： N