两个重要极限(可编辑修改word版)
(完整word版)高等数学经典方法与典型例题归纳
2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
(完整word版)高等数学辅导讲义
第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。
解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e x ϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设 1,1,()0,1,(),1,1,x x f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这两个函数的图形。
(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。
性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。
性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞→∞==那么(1)()lim n n n x y a b →∞±=±;(2)lim n n n x y a b →∞•=•;(3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,limn n n x a y b→∞=.例3 若lim nn xa →∞=,则lim nn xa →∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)n n x =-, 显然1lim n n x →∞=,但数列(1)n n x =-没有极限。
高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限(优秀版)word资料
高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。
下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。
两个重要极限共6页word资料
1.6两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件: (1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N1>0, 当n >N 1时, 有|y n -a |<ε ; 又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有|y n -a |<ε , |z n -a |<ε同时成立, 即a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε ,同时成立. 又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε ,即|x n -a |<ε .这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有 |y n -a |<ε 及|z n -a |<ε ,即有a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即|x n -a |<ε .这就证明了a x n n =∞→lim .准则I '如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件: (1) g (x )≤f (x )≤h (x );(2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数xx sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, BC ⊥OA , DA ⊥OA . 圆心角∠AOB =x (0<x <2π). 显然sin x =CB , x =⋂AB , tan x =AD . 因为S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD ,所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x .不等号各边都除以sin x , 就有xx x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ',1sin lim 0=→xx x . 简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ).显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x < tan x , 从而 1sin cos <<xx x (此不等式当x <0时也成立).因为1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→xx x .应注意的问题:在极限)()(sin lim x x αα中, 只要α(x )是无穷小, 就有1)()(sin lim =x x αα.这是因为, 令u =α(x ), 则u →0, 于是)()(sin lim x x αα1sin lim 0==→uu u .1sin lim 0=→x x x , 1)()(sin lim =x x αα(α(x )→0). 例1. 求xx x tan lim 0→.解: xx x tan lim 0→x xx x cos 1sin lim 0⋅=→1cos 1lim sin lim 00=⋅=→→xx x x x .例2. 求2cos 1lim xxx -→. 解: 2cos 1lim xx x -→=22022)2(2sinlim 212sin 2lim x x x x x x →→=2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→x x x . 2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→xxx . 准则II 单调有界数列必有极限. 如果数列{x n }满足条件x 1≤x 2≤x 3≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤x n ≤x n +1≤ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n }是单调增加的; 如果数列{x n }满足条件x 1≥x 2≥x 3≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥x n ≥x n +1≥ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n }是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列.如果数列{x n }满足条件x n ≤x n +1, n ∈N +,在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II 表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛. 准则II 的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生. 根据准则II , 可以证明极限n n n)11(lim +∞→存在.设n n nx )11(+=, 现证明数列{x n }是单调有界的.按牛顿二项公式, 有n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x 1!)1( )1( 1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+=)11( )21)(11(!1 )21)(11(!31)11(!2111nn n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++=,)111( )121)(111(!1 )121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n)11( )121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n n n n n . 比较x n , x n +1的展开式, 可以看出除前两项外, x n 的每一项都小于xn +1的对应项,并且x n +1还多了最后一项, 其值大于0, 因此x n < x n +1 ,这就是说数列{x n }是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为x n 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121 212111!1 !31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x .根据准则II , 数列{x n }必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即e nn n =+∞→)11(lim . 我们还可以证明e xx x =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e =2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数y =e x 以及对数函数y =ln x 中的底e 就是这个常数. 在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要α(x )是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim[αα.这是因为, 令)(1x u α=, 则u →∞, 于是)(1)](1lim[x x αα+e u u u =+=∞→)11(lim .e xx x =+∞→)11(lim , e x x =+)(1)](1lim[αα(α(x )→0).例3. 求x x x)11(lim -∞→.解: 令t =-x , 则x →∞时, t →∞. 于是x x x )11(lim -∞→t t t -∞→+=)11(lim e tt t 1)11(1lim =+=∞→. 或)1()11(lim )11(lim --∞→∞→-+=-x x x x xx11])11(lim [---∞→=-+=e xx x .。
【知识】微积分知识点概要
【关键字】知识微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1函数的定义1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。
2函数记号一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
3初等函数（P6）称幂函数xk（k为常数），指数函数ax ，对数函数logax （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。
4函数的简单性质（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2 时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。
1．2极限概念与运算法则1极限的直观定义（P11）当一个变量f(x)在x→a的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b，则称变量f(x)在x→a的过程中极限存在。
(完整word版)高等数学D
高等数学D(一)一、内容第一章函数与极限第一节：函数要求：理解函数的概念、会求函数的定义域和函数值。
了解函数的几种特性。
了解反函数、分段函数、复合函数和初等函数的概念，会求反函数。
掌握16个函数及一些常见函数的图形。
第二节：数列的极限第三节：函数的极限要求：理解数列与函数极限的概念。
理解左、右极限的概念、以及极限存在与左右极限之间的关系。
第四节：无穷小与无穷大要求：理解无穷小与无穷大的概念及两者的关系，理解无穷小的性质。
第五节：极限运算法则要求：掌握极限的四则运算法则。
了解复合函数的极限运算法则。
第六节：极限存在准则，两个重要极限要求：会用两个重要极限求极限。
第七节：无穷小的比较要求：了解无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
第八节：函数的连续性第九节：闭区间上连续函数的性质要求：理解函数在点x0处连续与间断点的概念。
了解初等函数的连续性。
理解闭区间上连续函数的性质（最值定理、零点定理）。
第二章导数与微分第一节：导数概念要求：理解可导与导数的概念及导数的表达式。
理解左导数与右导数的概念。
掌握导数的几何意义（含曲线的切线方程与法线方程）。
掌握函数可导性与连续性的关系。
第二节：函数的和、积、商的求导法则要求：记16个函数的求导公式及函数的和、差、积、商的求导法则。
第三节：反函数和复合函数的求导法则要求：掌握复合函数的求导法则。
第四节：高阶导数要求：会求高阶导数。
第五节：隐含数的导数及由参数方程所确定的函数的导数要求：会求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数。
第六节：函数的微分要求：了解可微与微分的概念。
掌握函数的一阶微分。
第三章中值定理与导数的应用第一节：中值定理要求：熟悉罗尔定理、拉格朗日中值定理的内容。
第二节：洛必达法则要求：会用洛必达法则求未定式的极限。
第四节：函数的单调性与曲线的凹凸性要求：掌握用导数判定函数的单调性及曲线的凹凸性的方法。
会求曲线的拐点。
会用函数的单调性证明简单的不等式。
(完整word版)高数公式大全
高等数学公式·平方关系:sin^2（α)+cos^2(α）=1tan^2(α）+1=sec^2(α）cot^2(α)+1=csc^2（α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα＊cscαsecα=tanα＊cscαcscα=secα＊cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边，·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数:cos(α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=（tanα+tanβ)/（1—tanα·tanβ）tan(α-β）=(tanα—tanβ）/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin（α+β+γ）=s inα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos（α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ—sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan（α+β+γ)=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1—tanα·tanβ-tanβ·tanγ—tanγ·tanα）·辅助角公式:Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^(1/2）sin(α+t)，其中sint=B/（A^2+B^2）^(1/2)cost=A/（A^2+B^2）^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=（A^2+B^2)^（1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：·三倍角公式:sin（2α)=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα) sin(3α）=3sinα—4sin^3(α）cos(2α）=cos^2(α)—sin^2（α)=2cos^2（α）-1=1—2sin^2(α）cos(3α）=4cos^3（α)-3cosαtan（2α）=2tanα/[1-tan^2(α)］·半角公式：sin（α/2）=±√（(1—cosα）/2）cos(α/2）=±√(（1+cosα）/2）tan(α/2)=±√（（1-cosα)/(1+cosα))=sinα/（1+cosα)=（1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2（α）=（1-cos(2α）)/2=versin（2α）/2cos^2（α）=(1+cos(2α)）/2=covers（2α）/2tan^2（α)=(1-cos（2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan（α/2)/［1+tan^2(α/2)]cosα=［1-tan^2(α/2)］/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan(α/2)/［1-tan^2(α/2)］·积化和差公式：sinα·cosβ=（1/2)[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=(1/2）[sin（α+β）—sin(α—β)]cosα·cosβ=（1/2）［cos（α+β)+cos（α-β）］sinα·sinβ=—（1/2）［cos(α+β）-cos(α—β)］·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[（α+β)/2]cos［（α—β)/2］sinα—sinβ=2cos[（α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos［（α-β）/2]cosα—cosβ=—2sin[(α+β)/2］sin[(α—β）/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα—cotα=—2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=（sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n）+sin(α+2π＊2/n）+sin（α+2π＊3/n)+……+sin[α+2π＊(n-1）/n］=0cosα+cos（α+2π/n)+cos（α+2π*2/n）+cos(α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n—1）/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3）+sin^2(α+2π/3）=3/2tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan(A+B）=0三角函数的角度换算［编辑本段]公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot(π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(－α）＝－sinαcos(－α)＝cosαtan（－α）＝－tanαcot(－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot(π－α)＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α)＝－sinαcos(2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α)＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2＋α)＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α)＝－tanαsin（π/2－α)＝cosαcos（π/2－α)＝sinαtan（π/2－α)＝cotαcot(π/2－α)＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan(3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α)＝－tanαsin(3π/2－α)＝－cosαcos(3π/2－α)＝－sinαtan（3π/2－α)＝cotαcot（3π/2－α)＝tanα(以上k∈Z）部分高等内容［编辑本段］·高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得)：sinx=［e^（ix)—e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^（ix）+e^（—ix)］/2 tanx=[e^（ix)-e^（-ix）]/［ie^(ix)+ie^(—ix）］泰勒展开有无穷级数，e^z=exp（z）＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3!＋z^4/4！＋…＋z^n/n!＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
(完整word版)四川专升本高等数学公式(内容有删减)
四川专升本高等数学公式内容有删减导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sincostancot-α -sinα cosα -tan α -cot α 90°-α cosα sinαcot αtan α90°+α cosα -sinα -cot α -tan α 180°-α sinα-cosα -tan α -cot α180°+α -sinα -cosα tan α cot α 270°-α -cosα -sinα cot α tan α270°+α -cosα sinα -cot α -tan α 360°-α -sinα cosα -tan α -cot α 360°+αsinαcosαtan αcot α·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ万能公式高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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2.5.1 两个重要极限（第一课时）
——新浪微博：月牙 LHZ
一、教学目标
1. 复习该章的重点内容。
2. 理解重要极限公式。
3. 运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程 1、复习导入
（1）极限存在性定理： lim f (x ) = A ⇔ x → x
lim x → x 0+
f (x ) =
lim x → x 0-
f (x ) = A
（ 2） 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 互 为 倒 数 ， 若 f (x ) → ∞（x → x 0）， 则
1
f (x )
→ （0 x → x 0）
（3） 极限的四则运算：
lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ⋅ g (x )] = lim f (x ) ⋅ lim g (x ) lim
f (x ) =
lim f (x )
(lim g (x ) ≠ 0)
g (x ) lim g (x )
（4） lim [cf (x )] = c lim f (x ) （加法推论）
（5） lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k （乘法推论）
（6） lim [无穷小量⨯ 有界变量] = 0 （无穷小量的性质）
eg: lim
sin x = lim
⎛ 1 ⋅ sin x ⎫
= 0
x →∞
x
⎪ x →∞⎝ x ⎭
lim ⎪
=
lim ⎪
⋅ 那么， lim
sin x = ？呢，这是我们本节课要学的重要极限
x →0
x
2、掌握重要极限公式
lim sin x
= 1 x →0 x 公式的特征：（1） 0 型极限；
（2） 分子是正弦函数；
（3） sin 后面的变量与分母的变量相同。
3、典型例题 【例 1】 求
lim
sin x
(k ≠ 0)
x →0 kx
解： lim sin x = 1 lim sin x = 1 ⨯1 = 1
x →0 kx
k x →0 x k k 【例 2】 求 lim tan x
x →0 x
解： lim tan x = ⎛
sin x 1 ⎫ = lim sin x ⋅ lim 1
= 1⨯1 = 1 x →0 x x →0 ⎝ x
cos x ⎭ x →0 x x →0 cos x （推导公式： lim tan x
= 1 ）
x →0 x
【例 3】 求 lim sin 5x
x →0 x
解： lim sin 5x = lim 5 ⋅ sin 5x = 5 ⋅ lim sin 5x
= 5 ⋅1 = 5
x →0 x x →0 5x
x →0 5x 4、强化练习
（1） lim
sin x
（2） lim
sin kx
(k ≠ 0)（3） lim
sin 5x
(4)
lim tan 2x
x →0
3x x →0 x
x →0 3x x →0 x
解：（1） lim sin x = 1 lim sin x = 1 ⨯1 = 1
x →0 3x
3 x →0 x 3 3 （2） lim sin kx = lim k ⋅ sin kx = k ⋅ lim sin kx
= k ⋅1 = k
x →0 x x →0 kx x →0 kx （3） lim sin 5x = ⎛ sin 5x 5 ⎫ lim ⎪ 5 ⋅ l im sin 5x = 5 ⋅1 = 5 x →0 3x x →0 ⎝ 5x 3 ⎭ 3 x →0 5x
3 3 （4） lim tan 2x = ⎛ sin 2x 1 ⎫ = 2 ⋅ lim sin 2x ⋅ lim 1
= 2 ⨯1⨯1 = 1 x →0
x
x →0
⎝ x
cos 2x ⎭
x →0
2x
x →0
cos 2x
四、小结:
本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子 sin 后面的变量与分母的变量相同。
五、布置作业:
（1）lim sin x （2）lim sin 3x（3）lim sin 5x(4) lim tan 3x
x→0 5x x→0 x x→0 2x x→0 x
2.5.2 两个重要极限（第二课时）
————新浪微博：月牙 LHZ
一、教学目标
1. 理解重要极限公式。
2. 运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程 1、复习导入：
本节课我们学习一个重要的极限公式。
首先我们一起复习一下指数运算。
(1) (a b )n = a n b n
(2)
(3) a n +m = a n ⋅ a m
a nm = (a n )
m
2、掌握重要极限公式
lim(1 + 1
) x = e x →∞ x
3、典型例题 【例 1】 lim(1 + 2
) x
x →∞
x
2 1 x 1 x
解： lim(1 + x →∞ ) x = lim[(1 + x
x →∞ ) 2 ]2 = [lim(1 + x x →∞ 2
) 2 ]2 = e 2 （构造法）
x 2
1
【例 2】lim(1 + x ) x
x →0
1 z ⎛ 2
x x 1 z = 1
解： lim(1 + x ) x
x = lim(1 + )
= e （换元法） x →0
z →∞
z
1 （推导公式： lim(1 + x ) x
x →0
= e ）
【例 3】 lim(1 - 1
) x
x →∞
x 解： lim(1 - 1 ) x = lim[(1 + 1 )-x ]-1 = [lim(1 + 1 )-x ]-1 = e -1 = 1
（构造法）
x →∞
【例 4】 x lim(
x →∞ x →∞ - x x ) x x + 1 x →∞ - x e
解： lim( x ) x = lim( 1 ) x = lim
1 = 1
（构造法） x →∞ x + 1 x →∞ 1 + 1
x →∞ ⎛ 1 ⎫ x e 1 + ⎪ x ⎝ ⎭
4、强化练习
（1） lim(1 + 5 ) x （2） lim(1 + x ) x （3） lim(1 - 2) x (4) lim(
2x
) x
x →∞
x
5 x →0
1 x x →∞
x
1 x x →∞ x + 1
解：（1） lim(1 + x →∞ ) x = lim[(1 + x
x →∞ ) 5 ]5 = [lim(1
+ x x →∞ 5 ) 5 ]5 = e 5 x 5
2
⎡ 1 ⎤ 2 ⎡ 1 ⎤ 2 ⎡ 1 ⎤ 2
（2） lim(1 + x ) x = lim ⎢(1 + x ) x ⎥ = ⎢lim(1 + x ) x ⎥ = ⎢lim(1 + ) z ⎥ = e 2
x →0
2 x →0 ⎣ ⎦ 1 - x ⎣
x →0 ⎦ ⎣z →∞ z ⎦ 1 - x 1 (3) lim(1
- x →∞ ) x = lim[(1 + ) x
x →∞ - x 2 2
]-2 = [lim(1 + ) x →∞ - x 2
2 ]-2 = e -2 = e 2
(4)
lim( x + 2) x
= lim(
1 + 2
x ) x
lim 1 + = x →∞⎝ 2 ⎫ x
⎪ ⎭
lim[(1 + x →∞ = 1
) 2 ]2
x 2
[lim(1 + x →∞ = 1
) 2 ]2
x 2
= e 2
= x →∞ x + 1 x →∞ 1 + 1
⎛ 1 ⎫ x
e e e lim 1 + ⎪
x x →∞⎝ ⎭
四、小结:
本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从
x x e
x
1
而求得极限。
五、布置作业:
（1） lim(1 + 3 ) x （2） lim(1 + 2x ) x （3） lim(1 - 1 )2 x (4)
lim( x + 3) x
x →∞
x
x →0 x →∞
x
x →∞
x + 1。