两个重要极限-重要极限
两个重要极限
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
两个重要极限
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
sin x 1. lim =1 x0 x
1 0.75 0.5 0.25
f ( x)
5
s i nx x
10 15
-15
-10
-5
o
-0.25 -0.5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
例10
解
求极限
2x 3 x lim( ) . x 2 x 1
2x 3 x 2 l i m( ) l i m(1 )x x 2 x 1 x 2x 1
2 x 1 2 x 2 2 x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 x 1 1 2 2
e
2x x 2 x 1 lim
e.
2 (1 ) 2x 1 lim 1 x 2 2 (1 ) 2x 1
2 x 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
3 1 另解: 2x 3 x 2x )x l i m( ) l i m( x 2 x 1 x 1 1 2x 3 x 3 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2 x lim x 1 x 1 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2x
4x 1 5 x
解
4 2 (2)求 lim(1 ) x 3x 3x 3x 4 2 4 4 2 e2 lim(1 ) lim(1 ) x x 3x 3x
e .3 x
第五节 两个重要极限
类型5： 幂指式的极限，先利用幂的有关运 算把式子变换成含有标准式，再用公式
求.
练习
3 x 2x 求 lim( ) . x 2 x
极限的常用计算方法
1.代入法
x 4 3x 8 lim 2 x 2 x x 3
0 2.多项式的 型，分子分母同时分解， 0 约掉同为无穷小的公因
第5节 两个重要极限
sin x 1. lim 1. x 0 x
sin x 观察函数 当 x 0时的变化趋势 . x
y sin x x
sin x 重要极限lim 1的使用要求: x 0 x
1、式中含有三角函数的分式； 2、分母与正玄函数的角变量相同； 3、角变量趋近于0. sin x 重要极限lim 1的推广(类型四) : x 0 x 公式 要求
x
1 2
例5
计算li m 1 x .
x 0 2 x
解 方法1 令 u = -x,因为 x 0 时 u 0，
( 所以 l i m 1 x l i m 1 u)
x 0 2 x u0
2 u
lim
u0
1
(1 u)
1 . 2 2 1 e u
x 0
2 5 x
答案： e
6
有时，所给函数在自变量的某个趋向 下，底的极限为1，指数的极限为无穷，
人们称这类极限为1 ”型未定式. “
1 重要极限lim 1 e的使用要求: x x
(1)幂指式的底是由1与一个接近于0的变量和 (2)底中的变量与指数间互为倒数.
sin x x 0 lim lim 1 ( 型) x 0 x 0 sin x x 0 sin 推广： lim lim 1(上下一致) 0 0 sin
两个重要极限课件
解答
解答二
$lim_{x to infty} frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 1$
解
当$x$趋向于无穷大时，$x^2$趋向于无穷 大，而$1$和$-1$相对于$x^2$来说是微小 的。
解答
解答三
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$是正确的。
解
根据三角函数的性质和极限的运算法则，当 $x$趋向于零时，$sin x$与$x$等价无穷小，
两个重要极限的应 用
在求极限中的应用
第一个重要极限
当x趋向于0时，sin(x)/x的极限是1。 这个极限在求某些复杂函数的极限时 非常有用，例如当x趋向于0时， (1+x)^(1/x)的极限就是e。
第二个重要极限
当x趋向于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限是e。这个极限在求某些复杂函数 的极限时也非常有用，例如当n趋向 于无穷大时，n*(1-1/n)^n的极限就 是1/e。
学习目标
掌握两个重要极限的公式和证明过程，理解其数学意义。
01
02
能够运用极限理论解决实际问题，培养数的兴趣和热爱，提高数学素养和数学审美能力。
03
01
两个重要极限的介 绍
第一个重要极限
总结词
第一个重要极限是当x趋近于0时，sinx/x的极限值。
详细描述
01
03 02
回顾
01 第一个重要极限：lim x->0+ sin(x)/x = 1
02 =第二e 个重要极限：lim x->0+ (1+x)^(1/x)
03
两个重要极限的证明方法和思路
04
两应个用重和要实极例限在微积分、概率论等领域的
两个重要极限-重要极限
两个重要极限-重要极限
1、无穷小
如果f(x)在x→x0时的极限为0，则称f(x)为x→x0时的无穷小。
在x趋于x0的同一变化过程中，f(x)有极限的充要条件为f(x)=A+α（α为无穷小）。
2、无穷大
如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大，反之亦然。
3、极限运算法则
（1）有限个无穷小的和（或乘积）也是无穷小。
（2）有界函数和无穷小的乘积是无穷小。
（3）两个函数的和（或乘积）的极限等于两个函数的极限的和（或乘积），当然，比值也如此，只是需要额外要求分母上的极限不能为0。
（3‘）函数的n次幂的极限等于函数的极限的n次幂（n为正整数）。
（4）如果函数A(x)≥B(x)，则A的极限也大于等于B的极限。
4、极限存在准则
（1）设数列X处于两个数列之间，即Yn≤Xn≤Zn，如果数列Y和Z 都有极限为a，则X也有极限为a。
（1’）设函数f(x)，在x0的某去心邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，如果g和h都有极限为A，则f(x)也有极限为A。
上述两条准则统称为夹逼准则。
（2）单调有界数列必有极限。
（3）柯西极限存在准则。
函数两个重要极限公式
函数两个重要极限公式函数两个重要极限公式：第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。
极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
2.6两个重要极限
第一个重要极限
sin x lim =1 x→0 x
1. 涉及的基本不等式 sin x , x , tan x的关系） 的关系） （
1 sin x, x, tan x的各自图形如下： ） 的各自图形如下：
2） x与x的比较图如下： x与tan x的比较图如下： sin 的比较图如下： 的比较图如下：
x →0
sin x 2. 现证 lim =1 x →0 x
sin x ≤ x , x ≤ tan x ,
x ∈R x<
π
只需考虑 x → 0的过程 , 故不妨仅在 0 < x < 内讨论 , 2 π x sin x sin x 0< x < , ≤ = 1, ∵ cos x = ≤ 2 x x tan x
1 2 3 1 例如 un = 1 − : 0, , , ,⋯ 2 3 4 n 显然， 单调增， 显然， un单调增，且 0 < un < 1, 故由定理 2.12知 lim un存在
n→∞
且 lim un = 1
n→ ∞
第二个重要极限
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x — — Eular常数 e的计算来源
1 x
=e
lim(1 + x) = ?
x→0
ϕ( x)→0
lim [1 + ϕ( x)]
1 ϕ ( x)
=e
先判断极限类型！ 先判断极限类型！
例1 求极限
1 1） (1 + sin x ) ） lim∞Fra bibliotekx →0
1 sin x
= e
e
2 x
x 2
2 1 lim ） 1 2） 1 + = lim + x →∞ x x →∞
2.5两个重要极限
= e 时，
条件： ） 条件：1）1∞ 型幂指函数 f ( x ) g ( x ) ( f ( x ) > 0 ); 2）括号里第一项为 ，第二项与括号 ）括号里第一项为1， 外的指数互为倒数关系。 外的指数互为倒数关系。 变形： 变形：
推广： 推广：
1 lim 1+ f ( x)→∞ f (x)
2
( 2 + t )t (4 + t ) ( 2 + t )t (4 + t ) ====== lim = lim t → 0 sin π ( 2 + t ) t →0 sin πt = 8 .
令x − 2 = t
π
1 + x sin x − cos x ex5.计算 lim . x →0 x sin x
小结： 小结： 结论1 结论 sin nx n sin x lim lim =1 = x→0 x → 0 mx x m 结论2 结论
tan x 结论3 结论 tan nx n lim =1 lim = x→0 x x→0 m m
例3 求下列函数的极限
1 − cos x (1) lim x →0 x2
.
k lim 1 + x→ ∞ x
x
=e
k
例2 求下列极限
x + 1 ( 3) lim x→∞ x − 1
2 x (1)lim(1 − ) x →∞ x −1
x
x2 x (2) lim( 2 ) x →∞ x − 1
( 4 ) lim 1 − x 2
x→ 0
于是有sin x = BD,
x = 弧 AB,
tan x = AC,
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2.5.1两个重要极限（第一课时）
——新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标
1.复习该章的重点内容。
2.理解重要极限公式。
3.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程 1、复习导入
（1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x
x ==⇔=-
+→→→)(lim )(lim )(lim 000
（2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则
）（00)
(1
x x x f →→ （3）极限的四则运算：
[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=± [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ⋅=⋅ )
(lim )
(lim )()(lim
x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g （4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论） （5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论）
（6）[]0lim =⨯有界变量无穷小量（无穷小量的性质）
eg: 0sin 1lim sin lim
=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=∞→∞
→x x x x x x 那么，？
=→x
x
x sin lim
0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim
0=→x
x
x 公式的特征：（1）0
型极限；
（2）分子是正弦函数；
（3）sin 后面的变量与分母的变量相同。
3、典型例题
【例1】 求 kx
x
x sin lim
0→()0≠k
解：kx x x sin lim 0→=k
k x x k x 1
11sin lim 10=⨯=→ 【例2】 求 x
x
x tan lim 0→
解：x x x tan lim
→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=⨯=⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim
0=→x x
x ） 【例3】 求 x
x
x 5sin lim 0→
解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=⋅=⋅=⋅=→→→x
x
x x x x x x x 4、强化练习
（1）x x x 3sin lim
0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x
x
x 2tan lim 0→
解：（1）x x x 3sin lim 0→=3
1
131sin lim 310=⨯=→x x x （2） k k kx
kx
k kx kx k x kx x x x =⋅=⋅=⋅=→→→1sin lim sin lim sin lim
000 （3）3513555sin lim 35
3555sin lim 35sin lim 000
=⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→x
x x x x x x x x
（4）x x x 2tan lim
0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=⨯⨯=⋅⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛→→→x x x x x x x x x 四、小结:
本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子sin 后面的变量与分母的变量相同。
五、布置作业: （1）x x x 5sin lim 0→（2）x x x 3sin lim 0→ （3）x x x 25sin lim 0→ (4) x
x
x 3tan lim 0→
2.5.2两个重要极限（第二课时）
————新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标 1.理解重要极限公式。
2.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程 1、复习导入：
本节课我们学习一个重要的极限公式。
首先我们一起复习一下指数运算。
(1)()n n n b a b =a (2) m n m n a a a ⋅=+ (3) ()m
n nm a a =
2、掌握重要极限公式
e x
x x =+∞→)1
1(lim 3、典型例题
【例1】 x x x
)21(lim
+∞
→
解：22222])2
1
1(lim [])211[(lim )21(lim e x x x
x
x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→（构造法） 【例2】x
x x 10
)1(lim
+→ 解：e z
x z z x z x
x =+=+∞
→=
→)11(lim )1(lim 1
10（换元法） （推导公式：e x x
x =+→10
)1(lim ） 【例3】 x x x
)1
1(lim -∞→
解：e
e x x x x x x x x x 1])11(lim [])11[(lim )11(lim 111==-+=-+
=----∞→--∞→∞→（构造法） 【例4】 x
x x x )1
(
lim +∞
→ 解：e x x x x x x x x x x 1
111lim )111(lim )1(
lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=+∞→∞→∞
→（构造法） 4、强化练习
（1）x x x )51(lim +∞→（2）x x x 2
0)1(lim +→（3）x x x )21(lim -∞→ (4) x
x x x )12(lim +∞→ 解：（1）55555])5
1
1(lim [])511[(lim )51(lim e x x x
x
x x
x x x =+=+=+∞→∞→∞→ （2）222
1
02
102
0)11(lim )1(lim )1(lim )1(lim e z x x x z z x x x x x
x =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+∞→→→→ (3) 2222221])2
11(lim [])211[(lim )21(lim e
e x x x x
x x x x x ==-+=-+=----∞→--∞→∞→ (4)
e e e e x e x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x ==+=+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→22
222]
)211(lim [])211[(lim 11lim 21lim )1121(lim )12(lim 四、小结:
本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从而求得极限。
五、布置作业:
（1）x x x )31(lim +∞→（2）x x x 1
0)21(lim +→（3）x x x
2)11(lim -∞→ (4) x x x x )13(lim ++∞→。