两个重要极限学习资料
2.6两个重要极限
存在, 那末 lim f (x) 存在, 且等于A .
x→x0 (x→∞)
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例1 求 lim (
n→∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+⋯+
1 <
1 n +n
2
).
解
∵
n n +n
2
<
1 n +1
2
+⋯+
= 1,
n n +1
2
n +n
2
,
又 lim
n n2 + n
n→∞
n→ ∞
lim
由夹逼定理得
A 2 = 3 + A,
解得 A = 1 + 13 . 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 + 13 1 − 13 , A= 2 2
(舍去) 舍去)
∴ lim xn =
n→∞
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二、两个重要极限
sin x =1 (1) lim x→0 x
π 设单位圆 O, 圆心角 ∠AOB = x, ( 0 < x < ) 2
C B
o
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1 x lim 可以证明 (1+ ) = e. x→∞ x
lim 同时还有 (1+ x) = e.
x→0
1 1 1t x 证明 令 t = , lim(1+ x) = lim(1+ ) = e. t →∞ t x x→0
1 x
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25两个重要极限-文档资料
当 x 0 时, u 0
arcsin x u lim lim 1 x 0 x 0 sin u x
x( x 4) ex4.计算 lim . x 2 sin x
2
Solution.
x ( x 2 4) x ( x 2)( x 2) lim lim x 2 sinx x2 sinx
此两公式，第 七节要 用上
1 ln( 1 x) x 解: (1) lim lim ln( 1 x ) ln lim ( 1 x ) x 0 x 0 x x 0
x0
u(x)0
1 x
lim 1 u ( x)
v( x)
e
limu(x).v( x)
第2个条件可 . 以不满足
推广：
u ( x ) 0
lim 1 u ( x)
v( x)
e
limu(x).v( x)
u(x)0
.
证明此公式要用 lim f ( x) g ( x ) lim f ( x)limg ( x ) 到运算法则： 例1 求极限
于是有sin x BD,
x 弧 AB,
tan x AC ,
利用三角形OAB面积<扇形OAB面积<三角形面积OAC
1 1 1 sin x x tan x, 2 2 2
两倍同除以sinx
再利用夹逼定理证之
二、两个重要极限
sin x 重要极限一 lim 1. x 0 x
（证明不做要求）
（要什么凑什么） tan ax 思考：求 lim （公式） x 0 bx
小结：
结论1 sin nx n si n x lim lim 1 x 0 mx x 0 x m 结论2
1-6 两个重要极限
n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
单调数列
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
二、两个重要极限
证:
当
x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 12时31 分20.1 2.1000: 31Dece mber 10, 2020
•
8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月10日 星期四 12时31 分35秒 00:31:3 510 December 2020
•
9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 12时31 分35秒 上午12 时31分 00:31:3 520.12. 10
x0 x
(2) lim sin 5x x0 sin 8x
(4) lim
x0
1
cos x2
x
arcsin x
(5) lim
x0
x
(3) lim tan x x0 x
(6) lim sin x x x
说明：1. 以下结论也可直接作为公式使用
lim tan u 1 u0 u lim arcsin u 1 u0 u
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/10/
2020 12:31:35 AM00:31:352020/12/10
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/10/
谢 谢 大 家 2020 12:31 AM12/10/2020 12:31 AM20.12.1020.12.10
数学分析3-4两个重要的极限
1
1
x
e
.
x x
当 x 0时, 设 x y , y 0, 则
1
1 x
x
1
1 y y
1
1 y . y 1
因为当 x 时，y , 所以
lim 1 x
1 x
x
lim
y
1
1 y11 y 1
1 y 1
e
.
这就证明了
lim 1 x
1 x
x
e
.
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1 n2
e.
n 1
再由迫敛性,
求得 lim 1 n
1 n
1 n2
n
e.
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例7 (复利息问题)设银行将数量为A0的款贷出,每期利
率为 r.若一期结算一次,则t 期后连本带利可收回
t 1, 本利和： t 2, 本利和： t 3, 本利和：
A0 A0r A0 1 r
来值是复利问题:
At A0e rt
与此相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴 现问题。这时利率r称为贴现率。
由复利公式，容易推得离散的贴现公式为:
A0 At (1 r)t
A0
At (1
r )mt m
连续的贴现公式为：
A0 At e rt
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例8 设年利率为6.5％，按连续复利计算，现投资 多少元，16年之末可得1200元？
求
lim
n
1
1 n
1 n2
n
.
解
因为
1
1 n
1 n2
n
1
1 n
n
两个重要极限的证明
两个重要极限的证明嘿，小伙伴们！咱们今天来聊聊两个超级重要的极限。
这两个极限在数学里可有着举足轻重的地位呢！第一个重要极限是：当 x 趋近于 0 时，lim(sin x / x) = 1 。
第二个重要极限是：当 x 趋近于无穷大时，lim(1 + 1/x)^x =e 。
第一个重要极限的证明咱们先来看第一个重要极限的证明哈。
我们知道，单位圆中，角 x 对应的弧长是 x ，而对应的弦长是2sin(x/2) 。
因为弧长大于弦长，所以 x > 2sin(x/2) ，即 sin(x/2) x/2 。
同时，根据三角形的面积关系，扇形的面积是 1/2 x ，三角形OAB 的面积是 1/2 tan x ，而扇形的面积大于三角形的面积，所以1/2 x > 1/2 tan x ，即 x tan x 。
所以 cos x sin x / x 1 ，当 x 趋近于 0 时，cos x 和 1的极限都是 1 ，根据夹逼准则，就可以证明 lim(sin x / x) = 1啦！第二个重要极限的证明看看第二个重要极限。
我们设 y = (1 + 1/x)^x ，对其取对数，得到 ln y = x ln(1 +1/x) 。
然后令 t = 1/x ，则 x = 1/t ，ln y = (1/t) ln(1 + t) 。
根据洛必达法则，对 (ln(1 + t))/t 求极限，当 t 趋近于 0 时，其极限为 1 。
所以当 x 趋近于无穷大时，ln y 的极限是 1 ，那么 y 的极限就是 e ，就证明了 lim(1 + 1/x)^x = e 。
怎么样，这两个重要极限的证明是不是很有趣呀！。
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
2-3节两个重要极限
222 xxx222
xx 22
22
11
1122
111llliiimm 222xxx00
1 。
ssiinn222 xx 22
xx 22
22
22xx00
xx 22
22
2
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例53． 求lim x0
1 cos x x2
。
解解：：解解：l：imlliimm1 x0xx00
11coccsooxss x 2xx22
xx
11lliimmssiinn
222ssisniinn222xxx
limlliimm
xxx000
lim sin x lim 1 1 。 x0 x x0 cos x
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例例22． 求lim sin kx (k0)。 x0 x
解解解：：：lilmimssininkkxxkklliimm ssiinn kx
x
3
2
x2 3
3
lim1 x
x
3
2
2
e3.
解法2
1 1 x lim1 1 x
原式
lim
x
1
x 2 x
x lim1
x 2
x
x
x x
其中
lim1
两个重要极限-重要极限
两个重要极限-重要极限
1、无穷小
如果f(x)在x→x0时的极限为0，则称f(x)为x→x0时的无穷小。
在x趋于x0的同一变化过程中，f(x)有极限的充要条件为f(x)=A+α（α为无穷小）。
2、无穷大
如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大，反之亦然。
3、极限运算法则
（1）有限个无穷小的和（或乘积）也是无穷小。
（2）有界函数和无穷小的乘积是无穷小。
（3）两个函数的和（或乘积）的极限等于两个函数的极限的和（或乘积），当然，比值也如此，只是需要额外要求分母上的极限不能为0。
（3‘）函数的n次幂的极限等于函数的极限的n次幂（n为正整数）。
（4）如果函数A(x)≥B(x)，则A的极限也大于等于B的极限。
4、极限存在准则
（1）设数列X处于两个数列之间，即Yn≤Xn≤Zn，如果数列Y和Z 都有极限为a，则X也有极限为a。
（1’）设函数f(x)，在x0的某去心邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，如果g和h都有极限为A，则f(x)也有极限为A。
上述两条准则统称为夹逼准则。
（2）单调有界数列必有极限。
（3）柯西极限存在准则。
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2.5.1两个重要极限（第一课时）
——新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标
1.复习该章的重点内容。
2.理解重要极限公式。
3.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点
重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程
1、复习导入
（1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=-
+→→→)(lim )(lim )(lim 000 （2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则）（00)(1
x x x f →→
（3）极限的四则运算：
[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±
[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ⋅=⋅
)(lim )
(lim )()(lim x g x f
x g x f = ()()0lim ≠x g
（4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论）
（5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论）
（6）[]0lim =⨯有界变量无穷小量（无穷小量的性质） eg: 0sin 1
lim sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∞→∞→x x x x x x
那么，？=→x
x x sin lim 0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim 0=→x
x x 公式的特征：（1）0
0型极限； （2）分子是正弦函数；
（3）sin 后面的变量与分母的变量相同。
3、典型例题
【例1】 求 kx
x x sin lim
0→()0≠k 解：kx x x sin lim 0→=k
k x x k x 111sin lim 10=⨯=→ 【例2】 求 x x x tan lim 0→ 解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=⨯=⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim
0=→x
x x ） 【例3】 求 x
x x 5sin lim 0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=⋅=⋅=⋅=→→→x x x x x x x x x 4、强化练习
（1）x x x 3sin lim
0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x
x x 2tan lim 0→ 解：（1）x x x 3sin lim 0→=3
1131sin lim 310=⨯=→x x x （2） k k kx kx k kx kx k x kx x x x =⋅=⋅=⋅=→→→1sin lim sin lim sin lim 000 （3）3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim 000
=⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→x x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=⨯⨯=⋅⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→→x x x x x x x x x 四、小结:
本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子sin 后面的变量与分母的变量相同。
五、布置作业:
（1）x x x 5sin lim 0→（2）x x x 3sin lim 0→ （3）x x x 25sin lim 0→ (4) x
x x 3tan lim 0→
2.5.2两个重要极限（第二课时）
————新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标
1.理解重要极限公式。
2.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点
重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程
1、复习导入：
本节课我们学习一个重要的极限公式。
首先我们一起复习一下指数运算。
(1)()n n n b a b =a
(2) m n m n a a a ⋅=+
(3) ()m
n nm a a = 2、掌握重要极限公式
e x
x x =+∞→)11(lim 3、典型例题
【例1】 x x x
)21(lim +∞
→ 解：22222])2
11(lim [])211[(lim )21(lim e x x x
x x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→（构造法） 【例2】x x x 10)1(lim +→
解：e z
x z z x z x x =+=+∞
→=→)11(lim )1(lim 110（换元法） （推导公式：e x x x =+→10)1(lim ） 【例3】 x x x )11(lim -∞
→ 解：e e x x x x x x x x x 1])11(lim [])11[(lim )11(lim 111==-+=-+=----∞→--∞
→∞→（构造法） 【例4】 x x x x )1
(lim +∞→ 解：e x x x x x x x x x x 1111lim )111(lim )1(lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=+∞→∞→∞→（构造法） 4、强化练习
（1）x x x )51(lim +∞→（2）x x x 2
0)1(lim +→（3）x x x
)21(lim -∞→ (4) x x x x )12(lim +∞→ 解：（1）55555])5
11(lim [])511[(lim )51(lim e x x x
x x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→ （2）2221021020)11(lim )1(lim )1(lim )1(lim e z x x x z z x x x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+∞→→→→ (3) 2222221])211(lim [])211[(lim )21(lim e e x x x x
x x x x x ==-+=-+=----∞→--∞→∞→ (4)
e e e e x e x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x ==+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→22222])211(lim [])211[(lim 11lim 21lim )1121(lim )12(lim 四、小结:
本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从
而求得极限。
五、布置作业:
（1）x x x )31(lim +∞→（2）x x x 1
0)21(lim +→（3）x x x 2)11(lim -∞→ (4) x x x x )1
3(lim ++∞→。