两个重要极限
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2.6两个重要极限
存在, 那末 lim f (x) 存在, 且等于A .
x→x0 (x→∞)
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例1 求 lim (
n→∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+⋯+
1 <
1 n +n
2
).
解
∵
n n +n
2
<
1 n +1
2
+⋯+
= 1,
n n +1
2
n +n
2
,
又 lim
n n2 + n
n→∞
n→ ∞
lim
由夹逼定理得
A 2 = 3 + A,
解得 A = 1 + 13 . 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 + 13 1 − 13 , A= 2 2
(舍去) 舍去)
∴ lim xn =
n→∞
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二、两个重要极限
sin x =1 (1) lim x→0 x
π 设单位圆 O, 圆心角 ∠AOB = x, ( 0 < x < ) 2
C B
o
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1 x lim 可以证明 (1+ ) = e. x→∞ x
lim 同时还有 (1+ x) = e.
x→0
1 1 1t x 证明 令 t = , lim(1+ x) = lim(1+ ) = e. t →∞ t x x→0
1 x
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2.6 两个重要极限
2
).
解
因为
n 1 1 n , < +⋯+ < 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼准则得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + +⋯+ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
显然 f ( n + 1) > f ( n), 所以 f ( n ) 是单调递增的 ;
1 1 1 1 f ( n) < 1 + 1 + + ⋯ + < 1 + 1 + + ⋯ + n −1 2! n! 2 2
所以 f ( n )是有界的 ; 1n 所以 lim xn 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828⋯ ) n→ ∞ n→∞ n
这个重要极限, 可写成 这个重要极限
lim u u→0
sinu
= 1 其中, u可以为函数.
例2.
sin kx 求 lim x →0 x
sin kx sin kx 解:lim = lim k ⋅ x →0 x →0 x kx
sin kx = k ⋅ lim x → 0 kx
= k·1= k
例3.
∵ f ( x ) g( x ) = f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
∴ − M f ( x ) ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
).
解
因为
n 1 1 n , < +⋯+ < 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼准则得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + +⋯+ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
显然 f ( n + 1) > f ( n), 所以 f ( n ) 是单调递增的 ;
1 1 1 1 f ( n) < 1 + 1 + + ⋯ + < 1 + 1 + + ⋯ + n −1 2! n! 2 2
所以 f ( n )是有界的 ; 1n 所以 lim xn 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828⋯ ) n→ ∞ n→∞ n
这个重要极限, 可写成 这个重要极限
lim u u→0
sinu
= 1 其中, u可以为函数.
例2.
sin kx 求 lim x →0 x
sin kx sin kx 解:lim = lim k ⋅ x →0 x →0 x kx
sin kx = k ⋅ lim x → 0 kx
= k·1= k
例3.
∵ f ( x ) g( x ) = f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
∴ − M f ( x ) ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
两个重要极限
x 0 x 0
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
两个重要极限
x
元
。
现在若以天为单位计算复利，则x年末资金变为：
Q
1
r 365
365
x
元
；
若以
1 n
年为单位计算复利，则x年末末资金变为：Q
1
r n
nx
元
；
若令 n ，即每时每刻计算复利（称为连续复利）则x年末末资金为：
lim
n
Q
1
r n
nx
=
Q
lim
n
1
r n
n r
rx
=Q erx 元 。
高等数学
或若
lim
xa
x
0
a可以是有限数x 0
， ，
则
1
1
x
x
lim1 x lim 1 x e 。
xa
x0
例1.5 求
lim
x
1
2 x
x
。
解 令 2 t ，则 x 2 当 x 时 t 0 ，于是
x
t
lim
x
1
2 x
x
lim t0
1 t
2 t
ltim0
1 t
1 2 t
x0 x
t0 sint
两个重要极限
1.2 第二个重要极限：
lim
x
1
1 x
x
e
注意：这个重要极限也可以变形和推广：
(1) 令 1，则t x
时 x 代入后得t 到 0
1
lim1 t t
t0
e
；
(2) 若limxa Nhomakorabeax
a可以是有限数x 0
， ， 则
两个重要极限公式
两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。
利用无穷小的性质求极限。
利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
2-3节两个重要极限
222 xxx222
xx 22
22
11
1122
111llliiimm 222xxx00
1 。
ssiinn222 xx 22
xx 22
22
22xx00
xx 22
22
2
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例53． 求lim x0
1 cos x x2
。
解解：：解解：l：imlliimm1 x0xx00
11coccsooxss x 2xx22
xx
11lliimmssiinn
222ssisniinn222xxx
limlliimm
xxx000
lim sin x lim 1 1 。 x0 x x0 cos x
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例例22． 求lim sin kx (k0)。 x0 x
解解解：：：lilmimssininkkxxkklliimm ssiinn kx
x
3
2
x2 3
3
lim1 x
x
3
2
2
e3.
解法2
1 1 x lim1 1 x
原式
lim
x
1
x 2 x
x lim1
x 2
x
x
x x
其中
lim1
2.6两个重要极限
第一个重要极限
sin x lim =1 x→0 x
1. 涉及的基本不等式 sin x , x , tan x的关系） 的关系） （
1 sin x, x, tan x的各自图形如下： ） 的各自图形如下：
2） x与x的比较图如下： x与tan x的比较图如下： sin 的比较图如下： 的比较图如下：
x →0
sin x 2. 现证 lim =1 x →0 x
sin x ≤ x , x ≤ tan x ,
x ∈R x<
π
只需考虑 x → 0的过程 , 故不妨仅在 0 < x < 内讨论 , 2 π x sin x sin x 0< x < , ≤ = 1, ∵ cos x = ≤ 2 x x tan x
1 2 3 1 例如 un = 1 − : 0, , , ,⋯ 2 3 4 n 显然， 单调增， 显然， un单调增，且 0 < un < 1, 故由定理 2.12知 lim un存在
n→∞
且 lim un = 1
n→ ∞
第二个重要极限
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x — — Eular常数 e的计算来源
1 x
=e
lim(1 + x) = ?
x→0
ϕ( x)→0
lim [1 + ϕ( x)]
1 ϕ ( x)
=e
先判断极限类型！ 先判断极限类型！
例1 求极限
1 1） (1 + sin x ) ） lim∞Fra bibliotekx →0
1 sin x
= e
e
2 x
x 2
2 1 lim ） 1 2） 1 + = lim + x →∞ x x →∞
微积分课间2.6 两个重要的极限
t →0
14/17
三、小结
1.两个准则 夹逼准则; 夹逼准则 单调有界准则 . 2.两个重要极限
设 α 为某过程中的无穷小 ,
sin α 0 1 lim = 1; 某过程 α
20 lim (1 + α) = e.
某过程
1 α
思考题
1 x −1
lim x
x →1
= lim [1 + ( x − 1 )]
1 x −1
=e
x→1
(1 型)
∞
lim(1 + x) = e
x→0
1 x
1 x lim(1 + ) = e x →∞ x
复合形式： 复合形式：
1 ϕ(x) ] 若有 : lim ϕ ( x ) = ∞ .则有 lim[ 1 + =e ϕ ( x)
11/17
(2)
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
⑴ 给定极限过程为 1∞ 型 1 ∆ ⑵ 形如 lim (1 + )
§2.6 两个重要的极限
一、极限存在准则 极限存在准则
(夹逼准则 夹逼准则) 准则 1 (夹逼准则) 如果对自变量 t 的某个变
化过程， 满足下列条件: 化过程，f ( t )、g ( t )和 h ( t ) 满足下列条件: 、 和
(1) g(t ) ≤ f (t ) ≤ h(t ) (从某时刻起)； (2)对此过程，有lim g(t ) = limh(t ) = A,
由夹逼定理得
lim (
n→ ∞
= 1,
1 n
+L+
1 n +n
2
) = 1.
项和的数列极限时常用夹逼准则 注：1) 求n项和的数列极限时常用夹逼准则。 项和的数列极限时常用夹逼准则。 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。 2) 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。
14/17
三、小结
1.两个准则 夹逼准则; 夹逼准则 单调有界准则 . 2.两个重要极限
设 α 为某过程中的无穷小 ,
sin α 0 1 lim = 1; 某过程 α
20 lim (1 + α) = e.
某过程
1 α
思考题
1 x −1
lim x
x →1
= lim [1 + ( x − 1 )]
1 x −1
=e
x→1
(1 型)
∞
lim(1 + x) = e
x→0
1 x
1 x lim(1 + ) = e x →∞ x
复合形式： 复合形式：
1 ϕ(x) ] 若有 : lim ϕ ( x ) = ∞ .则有 lim[ 1 + =e ϕ ( x)
11/17
(2)
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
⑴ 给定极限过程为 1∞ 型 1 ∆ ⑵ 形如 lim (1 + )
§2.6 两个重要的极限
一、极限存在准则 极限存在准则
(夹逼准则 夹逼准则) 准则 1 (夹逼准则) 如果对自变量 t 的某个变
化过程， 满足下列条件: 化过程，f ( t )、g ( t )和 h ( t ) 满足下列条件: 、 和
(1) g(t ) ≤ f (t ) ≤ h(t ) (从某时刻起)； (2)对此过程，有lim g(t ) = limh(t ) = A,
由夹逼定理得
lim (
n→ ∞
= 1,
1 n
+L+
1 n +n
2
) = 1.
项和的数列极限时常用夹逼准则 注：1) 求n项和的数列极限时常用夹逼准则。 项和的数列极限时常用夹逼准则。 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。 2) 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
1.4两个重要极限
x
于是
3 x lim (1 + ) = lim(1 + t ) t = lim[(1 + t ) t ]3= [lim(1 + t ) t ]3 = e 3 x →∞ t →0 t →0 t →0 x x 3 x 3 3 3 或 lim(1 + ) = [lim(1 + ) ] = e3 x →∞ x →∞ x x
π
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第一个重要 极限 第一个重要
x 1 2 cos 另一方面， x = 1 − 2 sin > 1 − x ，于是有 另一方面， 2 2 1 2 sin x 1 − x < cos x < <1． 2 x
2
1 2 由准则Ⅰ 因为 lim (1 − x ) = 1 ，由准则Ⅰ可得 x →0 2 sin x =1． lim x →0 x
n →∞
ESC
二.第一个重要 极限 第一个重要
sin x =1 1. lim x→0 x
(1.4.1)
证 因为 sin( − x) = − sin x = sin x ，所以 −x −x x 由正值趋于零的情形． 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 作单位园O 作单位园O， 设圆心角 ∠AOB = x ,延长 OB交过 A点的切线于于 D ， 面积＜ 则 ∆AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ 面积． 面积＜ ∆AOD 面积．即 ESC
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第二个重要 极限 第二个重要
lim x 2. x→∞(1+ 1)x = e
表1
(1.4.7)
1 x x → ∞ 时 (1 + ) 之值的变化情况 x
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高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
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sin x 1. lim =1 x0 x
1 0.75 0.5 0.25
f ( x)
5
s i nx x
10 15
-15
-10
-5
o
-0.25 -0.5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
例10
解
求极限
2x 3 x lim( ) . x 2 x 1
2x 3 x 2 l i m( ) l i m(1 )x x 2 x 1 x 2x 1
2 x 1 2 x 2 2 x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 x 1 1 2 2
e
2x x 2 x 1 lim
e.
2 (1 ) 2x 1 lim 1 x 2 2 (1 ) 2x 1
2 x 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
3 1 另解: 2x 3 x 2x )x l i m( ) l i m( x 2 x 1 x 1 1 2x 3 x 3 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2 x lim x 1 x 1 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2x
4x 1 5 x
解
4 2 (2)求 lim(1 ) x 3x 3x 3x 4 2 4 4 2 e2 lim(1 ) lim(1 ) x x 3x 3x
e .3 x
4 5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
高等数学
advanced mathematics
两个重要极限
Two important limits
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
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知识目标
1、掌握两个重要极限的公式 2、掌握两个重要极限在经济方面的应用
能力目标
会利用两个重要极限求指定函数和经济贸 易方面实际问题的极限
sin(x 2 9) lim lim( x 3) 2 x 3 x 3 x 9
6
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
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例
求
1 sin 1 x 1. lim lim x sin 解： x x 1 x x 1 训练4 求 lim 2 x sin . x 3x 1 sin 2 1 2 3 x 2 x sin lim . 解： lim x 3 3 x x 1 3 3x
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训练3：
sin (x 2 9) (1) lim x 3 x3
1 cos x (2) lim . 2 x 0 x
sin(x 2 9) sin(x 2 9) lim ( x 3) 解：lim 2 x 3 x 3 x 3 x 9
小结：. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
高等数学
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辩一辩：
sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x
sin x 1 ; 5. lim _____ x 0 x
1 1 2. lim x sin ____ ; x x 1 n e 1 4. lim (1 ) ____ ; n n
0 类型是 型； 0
lim
sin
0
1
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训练1: 求下列函数的极限
x sin 2 =1 （ 1 ） lim x 0 x 2 1 sin x （3） lim x 1 =1 x
sin( x 1) （2） lim =1 x 1 x 1
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例1 求
sin 2 x lim x 0 2x
sin t lim (令t 2x) t 0 t
1
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归纳：
sin u lim 1 u 0 u
sin 5 x 5 ( 2) lim sin 5 x cot 2 x lim x 0 x 0 tan 2 x 2
sin x 1 x sin x 11 x (3) lim lim 0 x 0 x sin x x 0 sin x 1 1 1 x
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e 8 .
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训练5
(1)求
4 x lim(1 x ) x 0 5
1 x
5 4x
1
4x 4 m(1 x ) lim [1 ( )] 解 lxi 0 5 5 x 0
e e
3 2 1 2
e.
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2 x x ( ) 训练：求 (1) lim x 3 x
3 x ( 2) li m ( ) x 6 x
π 2
x 1 2
(3) l i m (si nx ) tan x
x
ax bx cx x ( 4) l i m ( ) ( a , b, c 0 ) x 0 3
(3) lim(1 x)
x 0
1 x
=e
( 4) lim(1 2 x )
x 0
1 2x
=e
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归纳：
lim (1
1
) =e
（1）极限类型为 （2）必须是(1 中的
1
1
1
1 lim x sin . x x
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2、
1 x lim(1 ) e x x
(1 )
1 2x (1) lim (1 ) =e x 2x
1 x (2) lim(1 ) =e x x
1
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例11. 求
解:
原式
1 cos 1 ) 2 ] 2 lim [(sin = x x x
x
lim (1 sin 2 ) x
x
x 2
(1 sin 2 ) x
1 sin 2 x
e
高等数学
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sin x （4） lim =0 x x
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训练2： 求下列极限
sin 5 x (1) lim x 0 x
tan 2 x (2) lim . x 0 x
sin 2 x (4) lim x 0 sin 3 x
1 e 6. lim (1 x ) ____ ;
x 0 1 x
sin 4 x (3) lim x 0 3x
tan 3 x (5) lim . x 0 sin 2 x
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练习:
tan 3 x sin 7 x 3 7 2 tan 3 x sin 7 x lim( ) (1) lim 2 2 x 0 tan 2 x x 0 tan 2 x tan 2 x
1 x lim(1 ) . x 2x
1 1 1 x 1 2 x 2 lim (1 ) lim(1 ) e2 x lim (1 ) . x x
4 x 2 x x 4
4 4 2x lim (1 ) lim[(1 ( ) ] x x x x
) 的形式，且底数
和指数中的
是“倒数关系”；
（3）中间必须用 “+”号连接
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
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例7 求 解