极限存在准则两个重要极限公式
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极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式首先，我们来介绍极限保号公式。
设函数f(x)在点a的一些邻域内有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。
现在我们来证明极限保号公式：假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。
如果limx→af(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。
证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<ε。
现在我们取ε=M，那么存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<M。
这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，=，f(x)-L+L，≤，f(x)-L，+，L，<M+，L。
我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，≤M+，L，但是我们已经知道，在点a的一些邻域内存在保号常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。
所以有，L，≤M。
这就是极限保号公式的证明。
接下来我们来介绍夹逼准则。
设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有g(x)≤f(x)≤h(x)。
如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么limx→a f(x)=L也存在。
证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ1，那么有，g(x)-L，<ε。
两个重要极限
x 0 x 0
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
极限存在准则两个重要极限
sin x 即 cos x < < 1, x
π 上式对于 − < x < 0也成立. 2
当 0 < x < 时, 2
π
2 x x 2 x , = 2 sin 2 < 2( ) = 0 < cos x − 1 = 1 − cos x 2 2 2
x2 Q lim = 0, x →0 2
∴ lim cos x = 1,
x
+9
1 x x
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x sinx ∴lim = 1. x→0 x
注
此结论可推广到
sinϕ( x) lim =1 x→a ϕ( x)
条件是x → a时,ϕ( x) → 0，其中a可为 有限值， 有限值，也可为∞
极限存在准则两个重要极限公式
x x0
(x )
(x )
lim f (x) A
x x0 (x )
准则I和准则I′统称为夹逼准则.
注意:利用夹逼准则求极限的关键:构造出 yn 与 zn ,
且 yn与zn的极限是易求的.
2020/6/15
2
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解： 因为 n < 1 + L + 1 < n
单调下降有下界数列必有极限 说 明:
(1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定
有界，但有界的数列不一定收敛．
(2) 利用准则I I来判定数列收敛必须同时满足 数列
单调和有界这两个条件．
2020/6/15
9
(3) 准则 I I只能判定数列极限的存在性，而未给出 求极限的方法．
例如，数列 xn (1)n ，虽然有界但不单调； 数列 xn n ，虽然是单调的，但其无界， 易知，这两数列均发散．
sin x
=
1
5
x® 0 x
例2 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim 1 x0 cos
x
1
例3 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
注: 利用变量代换，可得更一般的形式 lim sin (x) 1 (x)0 (x)
(4) 对于准则I I函，数极限根据自变量的不同变化过程 (x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如，
1.6.极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则
二、两个重要极限
1
本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式：
lim
x 0
sin x x
1
lim (1
x
1 x
) e
x
为此先介绍判定极限存在的准则.
2
一、极限存在准则
1. 两边夹准则
准则Ⅰ 如果数列 { xn }, { yn }及{ zn } 满足下列条件:
n n
2
n 1
2
,
又 lim
n n n
2
n
lim
n
1,
lim
n n 1
2
n
lim
1 1 1 n
2
n
由两边夹定理得
1 n n
2
lim (
n
1 n 1
2
1 n 2
2
) 1.
7
注
利用两边夹准则是求极限的一个重要手段,
将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简, 找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x) 和h(x)即可.
( )2 2
13
例
lim n sin
n
2 n
sin lim 2
n
2 n
2
2 n
例
求 lim3.
3
解
sin 3 ( x a )
x a
例
lim
sin
3 3
x
x 0
3x
sin x 1 lim 3 x0 3 x 3 1
(1
1
一、极限存在准则
二、两个重要极限
1
本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式：
lim
x 0
sin x x
1
lim (1
x
1 x
) e
x
为此先介绍判定极限存在的准则.
2
一、极限存在准则
1. 两边夹准则
准则Ⅰ 如果数列 { xn }, { yn }及{ zn } 满足下列条件:
n n
2
n 1
2
,
又 lim
n n n
2
n
lim
n
1,
lim
n n 1
2
n
lim
1 1 1 n
2
n
由两边夹定理得
1 n n
2
lim (
n
1 n 1
2
1 n 2
2
) 1.
7
注
利用两边夹准则是求极限的一个重要手段,
将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简, 找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x) 和h(x)即可.
( )2 2
13
例
lim n sin
n
2 n
sin lim 2
n
2 n
2
2 n
例
求 lim3.
3
解
sin 3 ( x a )
x a
例
lim
sin
3 3
x
x 0
3x
sin x 1 lim 3 x0 3 x 3 1
(1
1
极限存在准则 两个重要极限
显然 xn+1 > xn , ∴ {xn } 是单调递增的 ;
12/19/2010 10:04 PM
1 1 1 1 2 n −1 xn = 1+ 1+ (1− ) +L+ (1− )(1− )L(1− ). 2! n n! n n n
n→∞
12/19/2010 10:04 PM
令 lim xn = A, 对递推公式
n→∞
xn = a + xn−1 的两边取极限
lim xn = lim a + xn−1 ⇒ 1 ± 1 + 4a 4a , A = a + A ⇒ A − A−a = 0⇒ A = 2
2
n→∞
n→∞
存在, 因为 xn > 0, 且 lim xn存在,则 lim xn = A ≥ 0,
类似地, 类似地,
xn +1 1 = 1 + n+1
n +1
1 1 = 1 + 1 + (1 − ) +L 2! n+1
1 1 2 n−1 )(1 − )L(1 − ) + (1 − n! n+1 n+1 n+1 1 1 2 n (1 − )(1 − )L(1 − ) + ( n + 1)! n+1 n+1 n+1
1 − cos x 1 = 1 ⋅ lim = . 2 x →0 2 x
12/19/2010 10:04 PM
sin 3 x . 例11 求 lim x →π tan 5 x 解 令x = π − t ⇒ t = π − x , 当x → π 时 ⇒ t → 0, 则 sin ( 3π − 3t ) sin 3 x lim = lim x →π tan 5 x t → 0 tan ( 5π − 5t )
12/19/2010 10:04 PM
1 1 1 1 2 n −1 xn = 1+ 1+ (1− ) +L+ (1− )(1− )L(1− ). 2! n n! n n n
n→∞
12/19/2010 10:04 PM
令 lim xn = A, 对递推公式
n→∞
xn = a + xn−1 的两边取极限
lim xn = lim a + xn−1 ⇒ 1 ± 1 + 4a 4a , A = a + A ⇒ A − A−a = 0⇒ A = 2
2
n→∞
n→∞
存在, 因为 xn > 0, 且 lim xn存在,则 lim xn = A ≥ 0,
类似地, 类似地,
xn +1 1 = 1 + n+1
n +1
1 1 = 1 + 1 + (1 − ) +L 2! n+1
1 1 2 n−1 )(1 − )L(1 − ) + (1 − n! n+1 n+1 n+1 1 1 2 n (1 − )(1 − )L(1 − ) + ( n + 1)! n+1 n+1 n+1
1 − cos x 1 = 1 ⋅ lim = . 2 x →0 2 x
12/19/2010 10:04 PM
sin 3 x . 例11 求 lim x →π tan 5 x 解 令x = π − t ⇒ t = π − x , 当x → π 时 ⇒ t → 0, 则 sin ( 3π − 3t ) sin 3 x lim = lim x →π tan 5 x t → 0 tan ( 5π − 5t )
两个重要极限公式
两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。
利用无穷小的性质求极限。
利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
1-4极限存在准则与两个重要极限
n 1 所以数列 1 是严格单调增加的； n
n 又由于 1 n 1
1 n 1 n 2
n 1 ( n 1) n 1 1 n , n 2 n 2
( 2) lim f ( x ) A, lim g( x ) A
x x0 x x0
则 lim h( x ) A.
x x0
证
由 f ( x ) h( x ) g( x ), 有
f ( x ) A h( x ) A g( x ) A
所以
h( x ) A max{ f ( x ) A , g( x ) A }
解2
lim x
x 1 x1 lim x x 2 1
x
1 x 2 x
x
1 1 1 1 x x l im lim x x x x 2 2 2 2 1 1 x x e 2 e 1 e
x
3 例8 求 lim x 2
解
x . x
x2 4 1 1 2 x 2
2x
1 原式 lim 1 x 2 x
e2
x1 . 例9 求 lim x x 2
,
n1 1 所以数列 1 是严格单调递降的. n
1 1 于是 1 1 n n
n
n 1
1 1 n 1
2
n
1 1 4 1 n 1 从而数列 1 单调增加, 并且有上界， n n 1 由极限存在准则II， lim 1 存在, 记为e . n n
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lim
n
xn
a
由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
2020年6月11日星期四
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我们可将准则II推广到函数的情形：
准则II′ 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
lim cos x 1, 注 lim sin x 1
x0
x0 x
2020年6月11日星期四
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例4 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
n2 n
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10
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思考题：
lim n n
1
n2
n2
1
2
L
n2
1
n
？
解: 利用夹逼准则 . 由
n2
n2 n
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n
2
n2
n
lim
n
1
1
n
1
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n n2 1 n2 2
n2 n
解： n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1
1,
1
1 n2
由夹逼准则得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
第一章
第六节 极限存在准则 两个重要极限
（Existence criterion for limits & Two important limits）
一、极限存在的两个准则 二、两个重要极限 三、内容小结
2020年6月11日星期四
1
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1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
5
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
n
e
(e 2.71828
)
也可以证明，当 x 取实数而趋于 或 时，函数
y
1
1 x
x
的极限都存在且都等于e
，即
lim
x
1
1 x
x
e
利用变量代换，可得更一般的形式
1
lim 1 (x) (x) e
（x ) 0
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n2
n2
1
2
n2
1
n
1
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夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(0,
2
)
时，
BD
1
x
o
C
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim 1 x0 cos
x
1
例5 求
（课本例7）
解: 令 t arcsin x, 则 x sin tt
6
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例1
求
lim
x
1
1 x
2
x
.
解:
原式
lim
x
1
1 x
x(2)
lim
x
1
1 x
x
2
e 2 .
例2
求
lim
x0
1
1
x x 3
lim
x0
1
x 3 x
g
1 3
3
解:
lim
x0
1
1
x x 3
lim
x0
1
x 3 x
g
1 3
3
lim x0
1
x 3
3
x
1 3
1
＝1111
11nn nn
1111
1 n
1
1 n
L
1
1 n
1
n 1 n 1
1 n
n 1
n2 n 1
n 1
＝
1
1
n 1
n 1
xn1
所以，数列
xn
1
1 n
n
是单调增加的．
2020年6月11日星期四
4
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其次，证
xn
1
1 n
n有界．
显然，xn
x1
2
是类单似调于增加xn的 ．1 设1n数n列单调zn性 的1证1n 明n，1可则证得数列
2
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(3) 准则Ⅰ只能判定数列极限的存在性，而未给出 求极限的方法．
例如，数列 xn (1)n ，虽然有界但不单调； 数列 xn n ，虽然是单调的，但其无界， 易知，这两数列均发散．
(4) 对于准则I，函数极限根据自变量的不同变化过程 (x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如，
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
(2) 利用准则Ⅰ来判定数列收敛必须同时满足 数列 单调和有界这两个条件．
2020年6月11日星期四
准则I′ 设函数 f (x) 在点 x0 的某个左邻域内单调 并且有界，则 f (x) 在 x0 的左极限 f (x0 ) 必存在．
2020年6月11日星期四
3
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作为准则Ⅰ的应用，我们讨论一个重要极限：
lim
n
1
1 n n
?
首先，证
xn
1
1 n
n
是单调的．
xn
1
1 n n
e 3
2020年6月11日星期四
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2. 夹逼准则
准则II (1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1, N2 ,
当
时,
当n N2 时, zn a
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
x x0
x x0
(x )
(x )
lim f (x) A
x x0 (x )
准则II和准则II′统称为夹逼准则.
注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn 与 zn , 并且 yn与zn的极限是容易求的.
2020年6月11日星期四
9
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例3 求 lim( 1 1 1 ).
yn
1
1 n n
zn
1
1 n
n1
n 1 n1 n
1 n n1 n 1
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2020年6月11日星期四