1-7两个重要极限练习题
1-7极限存在准则、两个重要极限
lim f ( x) A
x x0 ( x )
应用
1.求下列数列的极限
(1) xn 1 1 n
(2) xn 2 3
n n n
4
n n (3) xn 2 2 2 2n 1 2n 2 2n n
(4) xn (a1 a2 ak )n , ai 0(i 1,2,, k )
2
6
准则II : 单调有界数列必有极限 .
单调增加数列{xn }： 如果满足： x1 x2 xn xn1 单调减少数列{xn }：
如果满足： x1 x2 xn xn1
应用
证明 : lim(1 ) e
x 1 x x
7
1、证明 : lim(1 ) e
n n
lim xn a
n
准则I : 如果 (1)当x U 0 ( x0 , r )(或 x M )时, 有 g ( x ) f ( x ) h( x )
3
（2）lim g ( x) A, lim h( x) A
x x0 ( x ) x x0 ( x )
1 x x
2、 lim(
x
1 x 2 x x
)
9
课堂练习：
1、 lim(1 )
x
2 x x
2x 1
)
柯西(Cauchy)极限存在准则： 数列{xn }收敛 0, N 0, st : m N , n N 时, 有 xn xm
10
作业：P71 1(1)(4)(6) 2(2)(4) 4(2)(3)
11
极限存在准则
两个重要极限
1-7极限存在准则+两个重要极限
解
n n 1 1 , n n n2 1 n2 n n2 1
2
n 又 lim 2 lim n n n n
lim n n2 1 lim 1 1
1 1 1 n
பைடு நூலகம்
1,
单调数列
n
n
lim (
n
1 1 n2 1 n2 2
lim
x0
sin x 1 x
D
A
xn 是有界的 ;
lim x n 存在.
n
2 lim x n 1 lim ( 3 x n ), n n
设单位圆 O , 圆心角 AOB x , (0 x ) 2
2 xn1 3 x n , x n1 3 x n ,
lim
x2 0, x 0 2
lim(1 cos x ) 0,
x0
lim cos x 1,
x0
又 lim 1 1,
x0
lim
x 0
sin x 1. x
x x sin 2 1 2 2 lim 解 原式 lim x0 x2 2 x 0 x 2 ( ) 2 x sin 1 2 )2 1 2 lim( 1 2 x 0 x 2 2 1 . 2
1
2 0 lim (1 ) e .
某过程
3
作单位圆的切线，得ACO .
A 2 3 A,
解得 A
lim x n
n
1 13 . 2
1 13 1 13 (舍去) , A 2 2
扇形 OAB的圆心角为 x , OAB的高为 BD ,
1-7存在准则两个重要极限
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1 1 ) 1.
x [x]
x [x]
x [x]
lim (1 1 )[ x] x [x] 1
lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
x [x] 1
x [x] 1
lim (1 1 )x e.
x
x
令 t x,
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim (1 1 )t
7、 lim(1 x )2x _________. x x
8、 lim(1 1 ) x _________.
x
x
二、求下列各极限:
1、 lim 1 cos 2x x0 x sin x
2、 lim(tan x)tan 2x x 4
3、 lim( x a ) x x x a
4、 lim( n2 1)n n n 1
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2( x)2 x2 , 22 2
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
2、 lim sin 2x __________. x0 sin 3x
3、 lim arc cot x __________.
数列极限的例题和习题
第1-7节 数列极限的例题和习题下面的例题和习题都是数列极限理论中的著名习题，初学者能够完全读懂其中例题的证明是不容易的，能够独立完成后面那些习题就更不容易.因此，你可以先粗读一下(因为不管你读懂多少，都暂时不会影响到你学习微积分)，有兴趣的读者等有空时或假期中再去细读它.读一读它，你会在做题方法上受到严格的训练.称一个数列),2,1( =n x n 为无穷小量，即lim 0n n x →∞=，用“N ε-”说法，就是它满足条件：称一个数列),2,1( =n x n 为无穷大量，即lim n n x →∞=∞，用“M N -”说法，就是它满足条件：特别，lim nx =+∞，就是它满足条件：而lim nn x →∞=-∞，就是它满足条件：无穷大量与无穷小量是两个对偶的概念，即当0(1,2,)n x n ≠= 时，若n x 是无穷大量，则1n x 是无穷小量；若n x 是无穷小量，则1nx 是无穷大量. 在第0章(看我做题)中，那些有关数列极限的习题，如果说可以凭借直觉和四则运算规则能够做出来的话，那么下面这些结论，就必须用“N -ε”说法才能够证明.你看一看其中的证明，可以学习到如何用“N -ε”说法做数列极限证明题的方法.例1 设有数列),2,1( =n x n .证明：若有极限n n x ∞→lim ，则算术平均值的数列12(1,2,)nn x x x y n n+++==也有极限且12limlim nn n n x x x x n→∞→∞+++= .证 设lim n n x a →∞=. 考虑1212()()()n n n x x x x a x a x a y a a n n+++-+-++--=-=任意给定正数ε. 因为lim n n x a →∞=，所以有正整数1N 使1||()2n x a n N ε-≤≥. 于是，第1章 函数的极限和连续函数25251212()()()n n n x x x x a x a x a y a a n n+++-+-++--=-= 11121()()()()()N N n x a x a x a x a x a n--+-++-+-++-=11211()()()(1)2N x a x a x a n N n n ε--+-++--+≤+⋅1121()()()2N x a x a x a n ε--+-++-≤+再取正整数1N N ≥足够大，使当N n ≥时，右边第一项也小于2ε. 这样，当N n ≥时，就会有||22n y a εεε-≤+=，即证明了有极限12limlim nn n n x x x a x n →∞→∞+++==请注意．．．：有极限12lim n n x x x n→∞+++ ，不一定有极限lim n n x →∞！考虑数列 1(1):1,0,1,0,1,0,,,2nn x --【应用】作为例1的应用，例如⑴ 1111123lim lim 0n n n n n →∞→∞++++== ； ⑵limlim 1n n →∞=. 例2 若),2,1(0 =>n x n 且有极限lim n n x →∞，则几何平均值的数列),2,1(21 ==n x x x z n n n也有极限且lim n n n x →∞=.证 根据极限单调性，必有lim 0n n x →∞≥. 首先设lim 0n n x →∞=，ε为任意给定的正数.先取正整数1N 使12()n x n N ηε≤=>，则1()2n N nn εηη-=→=→∞(你知道为什么吗？见第0章题33)因此，必有正整数1N N ≥，使当N n ≥ε≤，即0lim n n n x →∞==【注】假若你知道“几何平均值不超过算术平均值”的话, 根据例1的结论, 则有1200()nx x x n n+++→→∞26所以lim 0lim n n n x →∞==.其次，设lim 0n n x a →∞=>，ε为任意给定的正数(不妨认为1<ε).因为lim1nn x a→∞=，所以有正整数N 使11()nx n N aεε-≤≤+> 从而有(1)(1)n N n Nn n n z a εε---≤=≤+ 让∞→n ，则得1lim1nn z aεε→∞-≤≤+ (你知道为什么吗？见第0章题33)由于正数ε可以任意地小，故有lim 1n n za→∞=，即lim lim n n n a x →∞==【应用】作为上述结论的应用，若0(1,2,)n x n >= 且有极限1lim n n nxx +→∞，则也有极限nlim n 1limn n nx x +→∞=这是因为1(2)1lim lim n n n n n n n nx x x x +→∞→∞-==例 请你根据lim n 1limn n nx x +→∞=，求极限：⑴n (答案：e )； ⑵n (答案：e 4).例3 设有数列),2,1( =n x n .⑴ 若lim 0n n x →∞=，则必有单调增大数列n y ，使lim n n y →∞=+∞且lim()0n n n y x →∞=；⑵ 若lim n n x →∞=+∞，则必有单调减小数列n y ，使lim 0n n y →∞=且lim()n n n y x →∞=+∞.证 下面证明⑴.你可用类似的方法证明⑵.设lim 0n n x →∞=. 根据数列极限的定义，必有正整数1N 使11||()2n x n N ≤≥；同理，必有正整数12N N >使221||()2n x n N ≤≥. 一般地，必有正整数1k k N N +>使第1章 函数的极限和连续函数2727111(;1,2,)2n k k x n N k ++≤≥= 现在，当1n N <时，取0n y =；当12N n N ≤<时，取1=n y ；一般地，当1k k N n N +≤<时，取),2,1( ==k k y n .显然，数列n y 是单调增大的且lim n n y →∞=+∞； 另一方面，由于1||||||(;1,2,)2n n n n k k kky x y x N n N k +=≤≤<= 所以有0lim ||lim02n n kn k ky x →∞→∞≤≤=(见第0章题32)即lim()0n n n y x →∞=.【注】这里是根据数列极限的定义, 构造出了一个满足题中要求的数列n y .在数学中, 称这种证明方法为“构造性证明”.例4 海因定理(函数极限与数列极限的关系)(1)有极限lim ()x af x A →=的充分必要条件是：对于以a 为极限的任何数列()n x a ≠，都有极限lim ()n n f x A →∞=;(2)有极限lim ()x f x A →∞=的充分必要条件是：对于任何数列()n x n →∞→∞，都有极限lim ()n n f x A →∞=.证 为简单起见，下面证明结论(1).你可用类似的方法证明结论(2).设ε为给定的任意正数.若lim ()x af x A →=，则有正数δ，(※) 当0||x a δ<-≤时，有|()|f x A ε-≤又因为n x a ≠且lim n n x a →∞=，所以有正整数N ，当N n ≥时，0||n x a δ<-≤；根据结论(※)，|()|n f x A ε-≤即lim ()n n f x A →∞=.反之，设上面(1)中的条件满足.(反证法)假若A 不是函数()f x 在点a 的极限，用“δε-”的话说，就是：至少有一个正数0ε，不论取正数δ多么小，总有对应的点δx ，使 0||x a δδ<-≤，但0|()|f x A δε->.于是，当取正数1(1,2,)n n n δ== 时，就会有相对应的点),2,1( =n x n ，使10||n x a n<-≤，但0()0n f x A ε->>. 这说明，虽然有lim n n x a →∞=，但A 不是数列)(n x f 的极限，这与假设lim ()n n f x A →∞=矛盾.【注】海因定理就像是架在函数极限与数列极限之间的一座“桥梁”，沟通了两者之间的关系.因此，不仅可以把数列极限看作函数极限的特例，而且函数极限的某些结论，根据海因定理，28可以用数列极限的相应结论来证明.在有的微积分教科书中，先讲数列极限的理论，然后根据海因定理，把有关数列极限的结论转移到函数极限上.回答问题⑴ 一个数列),2,1( =n x n 的前面有限个项(如),,,21m x x x ，对该数列是否有极限或有极限时的极限值有影响吗？⑵ 正数数列的极限一定是正数吗？⑶若),2,1( =>n y x n n 且有极限n n x ∞→lim 与n n y ∞→lim ，则有>∞→n n x lim n n y ∞→lim 还是有n n n n y x ∞→∞→≥lim lim ？⑷ 有界数列一定有极限吗？无界数列一定没有极限吗？⑸ 若数列n x 和n y 都没有极限，那么数列)(n n y x +与n n y x 一定也没有极限吗？ ⑹ 若数列n x 有极限，而数列n y 没有极限，那么你对数列)(n n y x +是否有极限，可以做出什么结论？⑺ 若lim n n x c →∞=，则必有lim n n x c →∞=吗？反之如何？答案：⑴没有；⑵不一定，例如正数数列1n的极限是0；⑶n n n n y x ∞→∞→≥lim lim ；⑷有界数列不一定有极限，例如n n x )1(-=就没有极限；无界数列一定没有极限，因为有极限的数列是有界数列；⑸不一定，例如1)1(,)1(--=-=n n n n y x ，则)(n n y x +与n n y x 都有极限；⑹一定没有极限.(反证法)若)(n n y x +有极限，则n n n n x x y y -+=)(也有极限，与数列n y 没有极限矛盾.⑺是，因为||||n n x c x c -≤-；反之不成立.习题·提示和选解1.下面的习题都出现在第0章(看我做题)中，你不会做时，可去再看一下那里的做法.证明：⑴lim 1n →∞⎛⎫++= ； ⑵ {}b a b a nnnn ,max lim =+∞→(其中0,0>>b a )； ⑶ 1lim =∞→nn n ； ⑷lim 0!nn a n →∞=；⑸135(21)lim 0246(2)n n n →∞⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅ ；⑹ lim 1n .2.证明：⑴ 211lim 36k nn k k n k =→∞==+∑； ⑵ 2311lim 39k n n k k n k=→∞==+∑；⑶lim 1k n n k =→∞==；⑷ lim 1k n n k =→∞==. 提示:用夹挤规则证.第1章 函数的极限和连续函数29293.证明：若lim n n x →∞=+∞，则也有12limnn x x x n→∞+++=+∞ .提示：参考例1的证明.4.设有lim ,lim n n n n x a y b →∞→∞==. 证明：1211limn n n n x y x y x y ab n -→∞+++=提示：设(lim 0),(lim 0)n n n n n n n n x a y b ααββ→∞→∞=+==+=，则1111()()k n k k n k n k k k n k x y a b ab a b αββααβ-+-+-+-+=++=+++于是，121111k nn n n k n k k x y x y x y x y =--+=+++=∑ 11111k nk nk nn k k k n k k k k nab a b βααβ===-+-+====+++∑∑∑5.设0(1,2,)n y n >= 且12()n n y y y s n +++=→+∞→∞ .证明：若有极限lim n n x →∞，则也有极限112212limlim n nn n n n x y x y x y x y y y →∞→∞+++=+++提示：设lim n n x c →∞=，则(lim 0)n n n n x c αα→∞=+=. 于是，11221112()k nk n k kk kn nk k nnnx y c y x y x y x y y y y s s α====++++==+++∑∑ 1k nk kk ny c s α===+∑6.设0(1,2,)n y n >= 且12()n n y y y s n +++=→+∞→∞证明：若有极限limnn nx y →∞，则也有极限 1212limlim n n n n n nx x x xy y y y →∞→∞+++=+++提示：用n n x y 替换上一题中的n x .7.施笃兹(Stolz)定理 若数列n x 与n y 满足条件： (i)-<<<<< 121n n y y y y , 且lim n n y →∞=+∞;(ii)有极限11lim n n n n n x x y y -→∞---;则也有极限limn n nx y →∞，且11lim lim n n n n n n n n x x x y y y -→∞→∞--=-.证 令111,(2,)n n n z y z y y n -==-= ，则0(2)n z n >≥且3012()n n n s z z z y n =+++=→+∞→∞再令111,(2,3,)n n n w x w x x n -==-= ，则1212n nn n w w w x z z z y +++=+++ （※） 根据假设条件(ii)，有极限lim n n nw z →∞11lim n n n n n x x y y -→∞--=-，而根据上式(※)和题6，则有极限121121lim lim lim lim n n n nn n n n n n n n n n x w w w w x x y z z z z y y -→∞→∞→∞→∞-+++-===+++- 【注】作为施笃兹定理的应用，则有112limp p pp n n n +→∞+++ (p 为正整数)11lim (1)p p p n n n n ++→∞=-- 1111lim(1)(1)(1)2!pn p p p p p n p p n n p n n →∞++-+=+⎡⎤--++-+-⎢⎥⎣⎦11p =+ 8.设有数列(1,2,)n x n = .证明：若2lim()0n n n x x -→∞-=，则1lim0n n n x x n-→∞-=证 设ε为任意给定的正数.因为2lim()0n n n x x -→∞-=，所以有正整数K ，使22n n x x ε--≤（n K ≥）于是，当n K ≥时，1212()()n n n n n n x x x x x x -----=---[]21323()(1)()()n n n n n n x x x x x x -----=-+----221323()(1)()(1)()n n n n n n x x x x x x -----=-+--+--213()(1)()n n n n x x x x ---=-+--[]22434(1)()()n n n n x x x x ----+---- 221324()(1)()(1)()n n n n n n x x x x x x -----=-+--+--+1111(1)()(1)()n K n K K K K K x x x x ---+--+--+--因此，当n K ≥时，11()2n n K K x x n K x x ε---≤-+-，从而有11122n n K K K K x x x x x x n K n n n nεε-------≤+≤+()n K ≥ 再取正整数N ()K ≥足够大，使当n N ≥时，12KK x x n ε--≤. 于是，当n N ≥()K ≥时， 11222n n K K x x x x n n εεεε----≤+≤+= 即1lim 0n n n x x n-→∞-=.第1章 函数的极限和连续函数 31319.若正项级数1(0)n n n n x x =∞=≥∑收敛，且通项n x 单调减小，证明lim 0n n n x →∞=.证 因为1(0)n n n n x x =∞=≥∑收敛，所以余和120()m m m r x x m ++=++→→∞ (见下注)对于m n >，由于通项n x 单调减小，所以有12()n m m n m n m x x x x r ++-≤+++≤ ，即 ()mn r x n m n m≤>- 于是，当m n 2≥时，02()222n m m m m n n nn x r r r r n n n n m m ≤≤=≤=-+-任意给定正数ε，先取m 足够大，使2m r ε≤，再取正整数m N 2≥，则当N n ≥时，02n m n x r ε≤≤≤即lim 0n n n x →∞=【注】设级数1n n n x s =∞==∑，余和12,m m m m r x x s s ++=++=- 则lim lim 0m m m m r s s s s →∞→∞=-=-=在求方程的近似解时，常常会得到叠代数列（逐次逼近数列）.当它收敛时，它能够逐步接近精确解.因此，就需要研究叠代数列的收敛性（不必求出数列的极限值），有时还可以进一步求出叠代数列的极限值.例如，10.研究数列n x 的收敛性.若收敛，试求极限lim n n x →∞.⑴ 设0x a =和1x b =为已知实数.令11(1,2,)2n nn x x x n -++== 解 0101211(1)222x x x x b ax x x +---=-==-， 121232222x x x x x x x +--=-=22(1)2b a-=-，323234333(1)222x x x x b ax x x +---=-==-，一般地， 111(1)2n n n n b a x x -----=-. 将以上这些等式依次相加，则得3223112311(1)(1)(1)()2222n n n x x b a --⎡⎤-----=++++-⎢⎥⎣⎦111(1)11(1)11222222()()()()33131222n n n nb a b a b a a b -------⋅+=-=--→--=--⎛⎫- ⎪⎝⎭即1lim()3n n a bx x →∞--=. 因此， 12lim 333n n a b a b a bx x b →∞--+=+=+=⑵ 设10x c =>. 13(1)(1,2,)3n n nx x n x ++==+提示:一方面，103(1,2,)n x n +<<= ；另一方面，对于任何2n ≥，111113(1)3(1)6()33(3)(3)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+--++--=-=++++ 即1()n n x x +-与1()n n x x --具有相同的符号.因此，数列(2)n x n ≥是单调增大或单调减小的有界数列.答案：lim n n x →∞=⑶ 设实数0c ≥.211,(1,2,)222nn x c c x x n +==+= 提示:首先指出，假如有极限lim n n x a →∞=，在2122nn x c x +=+两端取极限，则得二次方程220a a c -+=解得1a =因此，当1c >时，数列n x 没有极限.剩下来就是讨论01c ≤≤的情形.在这种情形下，01(1,2,)n x n ≤≤= 且1(1,2,)n n x x n +≥=.答案：lim 1n n x →∞=-11.设0b a >>. 数列n x 和(1,2,)n yn = 由下式所确定：1111,,2n nn n x y x a y b x y +++====证明它们有公共极限lim lim (,)n n n n x y a b μ→∞→∞== [称它为数a 和b 的算术-几何平均数]证 因为0ba >>，所以21x a x ====， 1121222x y a b b by b y +++==<==第1章 函数的极限和连续函数 33332a b+<，因此得1221x x y y <<<. 我们用相同的方法，可以证明一般的不等式 11(1,2,)n n n n x x y y n ++<<<=根据单调有界原理，有极限lim n n x α→∞= 和 lim n n y β→∞=在12n n n x y y ++=两端让n →∞，则得2αββ+=. 因此，αβ=，即 lim lim n n n n x y αβ→∞→∞===我们就把这个公共极限值记成(,)a b μ.【注】德国数学家高斯(Gauss)求出了这个极限值(,)a b μ，即(,)a b μ2Gπ=，其中2G x π=⎰（椭圆积分,见第6章）12.证明数列1n x =+- 有极限.证 根据单调有界原理，只要证明它是单调减小有下界就行了.事实上，11n n x x +⎛-=+++- ⎝1⎛-++- ⎝2=--0=<即1(1,2,)n n x x n +<= .其次，因为)2(1,2,)k k =<= ，所以22,2<<把这些同向不等式依次相加，则得不等式12++> 因此，()12n x =++-222>->-13.证明：数列1111ln (1,2,3,)23n x n n n=++++-=有极限.此时，设lim n n x C →∞=，则34 1111ln (lim 0)23n n n n x n C n εε→∞=++++-=+= 因此， 1111ln (lim 0)23n n n n C n εε→∞++++=++= 其中常数C 称为“欧拉常数”.证 我们要证明数列n x 单调减小且0(1,2,)n x n >= .事实上，11111ln 23n n x x n n +⎛⎫-=++++- ⎪⎝⎭ 1111ln(1)231n n ⎛⎫-++++-+ ⎪+⎝⎭111ln(1)ln ln 1011n n n n n ⎛⎫=+--=+-> ⎪++⎝⎭（见第1-6节） 即1(1,2,)n n x x n +>= . 另一方面，根据[]111111111ln(1)ln(1)ln 23k n k n k n k k k k k n k k ======++++=>+=+-∑∑∑ ln(1)ln n n =+> [11ln 1k k ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭,见第1-6节] 则有0(1,2,)n x n >= . 根据单调有界原理，必有极限lim n n x C →∞=. 14.证明：[]lim sin (2e !)2n n n →∞π=π. 证 因为1111e 11!2!3!!!n n n nθ=++++++ (01)n θ<<，所以 111111e 11!2!3!!(1)!(1)!(1)n n n n n θ+=++++++++++ 1(01)n θ+<< 因此，121111!e !11!2!!1(1)n n n n n n θ+⎡⎤⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦ 上式右端第一项是正整数，而第二项1211(1)n n R n n θ+=+++满足lim 0,n n R →∞=lim()1n n nR →∞=.注意到sin x 是以2π为周期的周期函数，所以[][]lim sin(2e !)lim sin(2)n n n n n n R →∞→∞π=πsin 22lim 2n n n n R nR R →∞⎡⎤π=π⎢⎥π⎣⎦2=π [注意，lim()1n n nR →∞=，0sin lim 1x x x→=]。
两个重要极限练习题(供参考)
1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xx sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()sin(limsin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得一．1sin lim0=→x xx ．1sin lim 0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 求xxx tan lim0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x ．例2 求x xx 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→ttt x x x t x 令．例3 求20cos 1lim x xx -→．解 20cos 1limx xx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例4 求xxx arcsin lim0→．解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0．所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→ttt ．例5 求30sin tan lim xxx x -→． 解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→ =21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ． 考察极限e xx x =+∞→)11(lim当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )11(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.8...．当x →-∞时，函数x x)11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得二．x x x)11(lim +∞→=e ．xx x)11(lim +∞→=e 的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则[()]()[()])(10)(11lim1lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．变形 令x1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101lim ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．例6 求x x x)21(lim -∞→．解 令－x 2=t ，则x =－t2．当x →∞时t →0，于是 x x x)21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例7 求xx x x )23(lim --∞→．解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0， 于是 xx xx )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1．例8 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ． 当x →0时t →0，于是 x x x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
(完整版)1-7两个重要极限练习题
1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xx sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得一．1sin lim0=→x xx ．1sin lim 0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 求xxx tan lim0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x ．例2 求x xx 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→ttt x x x t x 令．例3 求20cos 1lim xxx -→． 解 20cos 1limx xx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例4 求xxx arcsin lim0→．解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→ttt ．例5 求30sin tan lim xxx x -→． 解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→ =21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ． 考察极限e xx x =+∞→)11(lim当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )11(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.718281828...．当x →-∞时，函数x x)11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得二．x x x)11(lim +∞→=e ．xx x)11(lim +∞→=e 的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则[()]()[()])(10)(11lim1lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．变形 令x1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101lim ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．例6 求x x x )21(lim -∞→．解 令－x 2=t ，则x =－t2．当x →∞时t →0，于是 x x x)21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例7 求xx x x )23(lim --∞→．解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0， 于是 xx xx )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1．例8 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ． 当x →0时t →0， 于是 xx x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
《高等数学》 详细上册答案(一--七)
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
1.7 极限存在准则 两个重要极限-习题
1．计算下列极限： ⑴0tan 3limx xx→；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将tan3x 化出sin3x ，利用sin 3tan 3cos3xx x=，得：0tan 3lim x x x →0sin 33lim 3cos3x x x x →=⋅313cos0=⨯=。
⑵1lim sin x x x→∞； 【解】由于1lim sin x x→∞sin 00==，这是“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：1lim sin x x x →∞101sinlim1xx x→=， 这又成为了“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 101sinlim 11xx x→=，亦即1lim sin 1x x x →∞=。
⑶0lim cot x x x →；【解】由于0limcot x x →=∞，这是“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：0lim cot x x x →0limtan x xx→=，这又成为了“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 同样利用sin tan cos xx x=，得： 00lim lim cos tan sin x x x x x x x→→=⋅1cos01=⨯=， 亦即0lim cot 1x x x →=。
⑷01cos 2limsin x xx x→-；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将1cos2x -化出正弦函数，利用2cos 212sin x x =-，得：01cos 2lim sin x x x x →-202sin lim sin x x x x →=0sin 2lim x xx→=212=⨯=。
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1-7两个重要极限练习题教学过程:弓I 入：考察极限si nxlim ---- x 0x当x 取负值趋近于 0时，-X 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是sinx sin( x) lim -- lim —-__-. x 0 X x 0( x)综上所述，得sin X 一.lim 1 . x 0Xlim 沁1的特点： x 0X(1) 它是“0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是(2) 在分式中同时出现三角函数和 X 的幕. 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或),x asin x出arcsinx求 lim ------ .x 0x令 arcsinx=t ，贝U x=sint 且 x问题1:观察当x0时函数的变化趋势:当x 取正值趋近于0时，sin2L 1,即lim 耳巴仝=1 ； x x 0x 推广lim x a sin X x=limx 0sin X =1 xlim = lim x 0 x x 0 cosx x lim s ^nx x 0x COSXlim sinxx 0 lim --- x 0cosx1 1 1.求lim 沁.x 0 xsin3x 3sin3x lim ------- = lim x 0 x x 0击，-1 cosx 求 lim -- 2—x 0 x 23x(令3x t) 3ltim Sint 1 cosx _X1叫二叫2si n 2x _____ 2 x 2 .2 x sin — lim - 2x 0 x c 2(-)2 x im.x sin — 2 .xsin —2 x 2limorcs^n^wm 丄 1. X 0 X t 0si nt缶 tanx sinx 求limX 0例6 求 lim(1 2)X.XX所以limtanX sinXX 0X 3sinx Sinx = lim — X 0 X 31 COSX sinx ------ lim ----- 3C0SX_ 0 X 3 考察极限=lim S i nX lim —— X 0 X X 0 COSX lim 1 C 0sx丄 x 0 X 22 1 X-）e当X 取正值并无限增大时，（1丄）X是逐渐增大的，但是不论 X 如何大，（1丄）X的值XX总不会超过3•实际上如果继续增大 X.即当X +时，可以验证（1丄）X是趋近于一个确定X的无理数e=.当X -时，函数（1 — ）x有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e.X综上所述，得 一 1 x二. lim （1 -）x=e .xX丄）x=e 的特lim(1lim （1+无穷小）无穷大案(2) “无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数.推广(1)若lim （X ）= ,（a 可以是有限数X 0, 或 ），则lim 1(X)()=e;(2)若lim X a（x ）=O,（a 可以是有限数 X 0, ），则limX a1 X 帀 limX 0（X ）=e. 变形令1=t,X如果在形式上分别对底和幕求极限，得到的是不确定的结果定型.时to ，代入后得到li m1，因此通常称之为1不问题2:观察当x +时函数的变化趋势:2 2 令一_=t ，贝y x=——xt两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
见首页 § 2-1导数的概念教学过程： 引入： 一、两个实例实例1瞬时速度考察质点的自由落体运动.真空中，质点在时刻 t=o 到时刻t 这一时间段内下落的路程 s 由公式s = — gt 2来确定.现在来求t=1秒这一时刻质点的速度.2当t 很小时，从1秒到1+ t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间 内的平均速度作为质点在t=1时速度的近似.于是当x 时t 0, 2t)壬lim(1 x -)x= lim(1 x t 0例7 求 lim (3x2 x )x-x解令 3 x=1 + u ，则 x=2 — 1•2 xu当x 时u 0,于是lim (3x 2:心叩 21u) u=[lim(1u 01u 円例8 求 lim(1 tanx)cotx•解设 t=tanx.1贝 U — = cotx. t当x 0 时 t 0,于是lim(1 x 0tan x)cotx= lim(1 t)1t)q 2=e -1u) u (1 u)2] u)2]=e -1・小结: 作业:[呵u 叫［仆11t[lim(1上表看出，平均速度仝随着t 变化而变化，当 t 越小时，仝越接近于一个定值一 t9.8m/s .考察下列各式： 1 s=-g 2 (1+思考: 当t 越来越接近于 t)2- I g 12=1g[2 t+( t)2], 2 t ( t)2 t 0时，仝越来越接近于1秒时的 速度”现在取t 0的极限, t1 = 1g(2+ t)， 2 t g=9.8(m/s). lim —lim -g 2 0 t 02 t =1秒时速度为瞬时速度. 一般地，设质点的位移规律是 s=f (t)，在时刻t 时时间有改变量t, s 相应的改变量为 s=f(t+ t)-f(t)，在时间段t 到t+ t 内的平均速度为 -s f t t f t v = 一 -------------- , t t 对平均速度取10的极限，得 .. s .. f t t f t v(t)= li t m ^T li t m 0 -------------------------------------- 1 --- ， 称v(t)为时刻t 的瞬时速。
研究类似的例子 实例2曲线的切线 设方程为y=f(x)曲线为L .其上一点A 的坐标为(X 0,f(X 0)).在曲线上点A 附近另取一点 B,它的坐标是(X 0+ X, f(X 0+ X)).直线 AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作 .由图中的 Rt ACB ，可知割线 AB 的斜率 t an - CB y f x 。
X fx 。
. AC X X在数量上，它表示当自变量从 X 变到X+ X 时函数f(x) 关于变量X 的平均变化率(增长率或减小率). 现在让点B 沿着曲线L 趋向于点A ，此时X 0, 过点A 的割线AB 如果也能趋向于一个极限位置一一 直线AT ,我们就称L 在点A 处存在切线AT .记AT 的倾斜角为 的斜率为为质点在 f(X 0+ x) ，则为的极限，若 90，得切线AT f(x o ) :A ■ X 0 ：C IX 0+ X y -lim tan - lim — X 0 X 0 X 在数量上，它表示函数 f(x)在X 处的变化率. 上述两个实例，虽然表达问题的函数形式 y-f(x)和自变量 要求函数y 关于自变量X 在某一点X 处的变化率. tan lim f(X 0 X)f(X 0) x 0X X 具体内容不同, 但本质都是1.自变量X 作微小变化X ，求出函数在自变量这个段内的平均变化率 y - 」，作为点 X X 处变化率的近似;2.对y 求X 0的极限lim —匕，若它存在，这个极限即为点 X 处变化率的的精确值.X 0 X二、导数的定义 1.函数在一点处可导的概念 定义 设函数y=f(x)在X o 的某个邻域内有定义.对应于自变量 X 在X o 处有改变量X, 函数y=f(x)相应的改变量为 y=f(x o + x)-f(x o ),若这两个改变量的比当X o 时存在极限，我们就称函数 y=f(x)在点X 0处可导, 点X 0处的导数(或变化率)，记作y |X x o 或 f并把这一极限称为函数 y =f(X)在 (x o )或空 XX 0 或 X X oy |XX o =f (Xo)=啊三 dx f(X o X) f (X o ) lim -- x 0X dx X 0 •即 (2-1) 比值一^表示函数y=f(x)在X o 到x o + X 之间的平均变化率，导数 X在点x o 处的变化率，它反映了函数 y=f(x)在点x o 处的变化的快慢. 如果当X o 时丄的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点X o 处不可导或导数不存在.X在定义中，若设 X=x o + X ，则(2-1)可写成y IX X o 则表示了函数 …、 f X f X of (x o)= lim --------x xo X X o(2-2)根据导数的定义，求函数 y=f(x)在点X o 处的导数的步骤如下: 第一步 求函数的改变量 y=f(x o + x)-f(x o )； 第二步求比值丄竺一X)心0)；XX第三步 求极限f (x o )= lim —•x 0X例1 求y=f(x)=X 2在点X=2处的导数. 解y=f(2+ x)-f(2)=(2+ X )2-22=4 X +( X )2； A 2 y 4 X X ,— ------------- =4+ X; X X |X =2=4 • lim --------x ——匚^丄存在时，称其极限值为函数 y=f(x)在点X o 处的左导数，记作x 0X f (x 0)；当lim ——x ——存在时，称其极限值为函数 y=f(x)在点X o 处的右导数， X 0 X l X m ^f=l X m o (4+x)=4 • 所以y 记作f(X 0)• 据极限与左、右极限之间的关系 f(X 0)存在 f(X 0),f (X o )，且 f (X 0)= f (X o ) = f (X 0)• 2.导函数的概念 如果函数y=f(x)在开区间(a ,b)内每一点处都可导， 就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可 导.这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值X o 都有对应着一个确定的导数 f (x o ),这样就在 开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为 f(x)的导函数，记作等f(X)或y等.根据导数定义，就可得出导函数,.. .. f X X f Xf (x)=y = lim 丄- lim -X 0 X X 0 导函数也简称为导数.注意(1) f (x)是X的函数，(2)f(x)在点处的导数例2求y=C (C为常数)的导数.因为 y=C-C=0, —y =0，所以 y = lim —=0 .X X x 0 X(C) =0常数的导数恒等于零).3求 y=x n(n N, x R)的导数.因为 y=(x+ x)n-x n=nX n'1 x+ C n2x n■2( x)2+...+( x)n,y= nx n-1 + C2x n-2 x+...+( x)n-1,X (2-3)而f(X0)是一个数值f(X0)就是导函数f(X)在点X0处的函数值.从而有y = lim —= lim [ X 0X X 0(X n ) =n X n-1.可以证明，一般的幕函数 (X ) = X -1.例如(J x ) =(x- ) =lx2nx n-1 +C 2x n-2 x+...+( x)n-1]= nx n-1y=x , ( R, x>0)的导数为1；(丄)=(X -1) =-X '2 =X例4 求y=sinx, (x R)的导数.解 y =sin(x X) sinx X X在§ 1-7中已经求得ylim 」-=cosx ,x 0x即(sinx) =cosx.用类似的方法可以求得 y=cosx, (x R)的导数为(cosx) =-s inx.例 5 求 y=log a x 的导数(a >0, a 1, x>0). 解 对a=e 、y=lnx 的情况，(lnx)=-.x在§ 1-7中已经求得为对一般的a ，只要先用换底公式得y=l0g a X = M ，以下与§ 1-7完全相同推导，可得In a(log a x) =—1—.x l n a三、导数的几何意义方程为y=f(x)的曲线，在点 A(x o ,f(x o ))处存在非垂直切线 AT 的充分必要条件是 f(x)在X 0存在导数f (x 0)，且AT 的斜率k=f (X 0).导数的几何意义 --- 函数y = f(x)在X 0处的导数f(X 0)，是函数图象在点(X 0,f(X 0))处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为故所求的切线方程为y+ln2=2(x-丄)，即 y=2x-1-ln2 .2四、可导和连续的关系如果函数y=f(x)在点x o 处可导，则存在极限y=f (x o ),则一(x o )+ ( lim =0)，或 y = f (x o ) x+ x ( lim =0),x xx 0 x 0所以 lim y= lim [f (x o ) x+ x]=0.X 0这表明函数y=f(x)在点x o 处连续.但y=f(x)在点x o 处连续，在x o 处不一定是可导的. 例如：(1) y=|x|在x=0处都连续但却不可导.§4-2换元积分法y-f (x o )=f (x 0)(x-x o )(2-4)过切点A (x o ,f(x o ))且垂直于切线的直线，称为曲线 y=f(x)在点A (x o ,f(x o ))处的法线，则当切线非水平(即f (x o ) 0)时的法线方程为1y-f (x o )=- (x-x o )f (X o )例6求曲线y=s inx 在点(_,丄)处的切线和法线方程.6 2=73— --21 J 3 y ―- =—(X--),2 2 6 y12A /5( \y -- = - — (x -—).236例7求曲线y=Inx 平行于直线y=2x 的切线方程.解 设切点为A(x o , y o ),则曲线在点A 处的切线的斜率为 y (x o ),1解(sinx)x飞=C0Sx所求的切线和法线方程为法线方程y (x 0)=(ln x)(2-5)Xxo‘X o因为切线平行于直线 y =2x,,所以 丄=2,即x o = 1；又切点位于曲线上，因而y o =ln 」=-In2 .X o 2 2l X m直的.(2) y = V x 在x=0处都连续但却不可导注意在y 点,|X(0,0)处还存在切线，只是切线是垂学生思考:2设函数f(x)= x‘x 1, x 0，讨论函数x 0■:X(X)在 x=0处的连续性和可导性.小结：明确导数就是函数相对 作业：见首页OJi~的变1化率。