两个重要极限88785
两个重要极限((经济类《高等数学》)
advanced mathematics
例1 求
sin 2 x lim x 0 2x
解： lim sin 2 x x 0 2x 2 sin x cos x lim x 0 2x sin x lim lim cos x x 0 x x 0
1
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
1 lim x sin . x x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
引例解决：求半径为R的圆的面积 解 如前所述，可以通过求圆的内接正n边形的面积的 极限计算圆的面积，而内接正n边形的面积为
R2 2 An n sin (n 3) 2 n
=？
1 x 提问： (1 ) ? lim x x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)advanceຫໍສະໝຸດ mathematics2、
1 x lim (1 ) =e x x
(1 )
105 106 …
(e 2.71828)
x 10 102 103 104
解
sin 2 x 1 tan 2 x 2. lim lim x 0 x 0 x cos 2 x x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
训练2
sin 4 x (1)求 lim x 0 3x
解
sin 4 x 4 sin 4 x 4 sin 4 x 4 lim lim lim . x 0 x 0 3 4 x 3x 3 x 0 4 x 3
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了数列或函数在无限接近某个值时的行为。
在解决极限问题时，有一些重要的技巧可以帮助我们更好地理解问题和找到解题的思路。
本文将浅谈两个重要的极限解题技巧。
首先是夹逼定理。
夹逼定理是一种用于确定极限存在和确定其值的方法。
当我们想要求解一个复杂的极限问题时，可以通过夹逼定理将其转化为一个更容易求解的问题。
夹逼定理的核心思想是通过将待求极限的函数夹在两个已知的函数之间，来确定极限的存在和值。
具体的操作步骤如下：1. 设待求极限的函数为f(x)，已知上下限函数分别为g(x)和h(x)，即有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
2. 如果已知当x趋向于某个值a时，g(x)和h(x)的极限存在且相等，即lim (x→a) g(x) = lim (x→a) h(x) = L。
那么我们可以得到lim (x→a) f(x) = L。
夹逼定理常用于解决一些无法直接计算的极限问题。
通过找出与待求极限函数相邻的两个已知函数，确定它们的极限存在且相等，从而确定待求极限的值。
当我们要求解极限lim (x→0) x·sin(1/x)时，可以利用夹逼定理将其转化为极限lim (x→0) –|x| ≤ x·sin(1/x) ≤ |x|，由于已知lim (x→0) –|x| = lim (x→0) |x| = 0，因此可以得到lim (x→0) x·sin(1/x) = 0。
第二个重要的极限解题技巧是分子有理化。
有时候，我们在计算一个极限时会遇到分母含有根式的情况，这时候通过分子有理化可以简化计算过程。
分子有理化的思想是通过一定的变换将包含根号的分子转化为一个有理式，从而方便计算极限。
具体的操作步骤如下：1. 先将分子的根式进行有理化。
有理化的方法包括乘以共轭式、利用等式、平方分解等。
2. 完成有理化后，可以将有理化后的分子和原始的分母进行合并，得到一个简化的表达式。
极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 I和准则 I'称为夹逼准则.
注 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与zn ,
并且 yn与zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x
2 n
1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
t t 1
t 1
lim(1 1 )x e
x
x
令t 1, x
lim(1
1
x)x
lim(1
1)t
e.
x0
t
t
1
lim(1 x) x e
x0
三、连续复利
设本金为 A0 ，年利率为 r ，则
一年末的本利和 A1 A（0 1 r)
二年末的本利和 A2 A（1 1 r) A0 (1 r)2
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x
U
0
(
x 0
)
(或
应用数学第4讲---两个重要的极限
x
x 1 (3) lim x x 1
解
x
(4) lim 1 tan x
x 0
cot x
3 (2) 原式= lim 1 x x
x ( 3) 3
3 lim 1 x x
x 3
a
三角形的面积：
h
1 S ah 2
a
为什么只有圆的面积计算的时候还要乘以一个常数 π ?
应用数学 问题一：圆的面积公式问题
要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！
公元263年，我国数学家刘徽 为了精确计算圆周率，使 用了一种“割圆术”的方 法：割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 .
2.71828
7
6
6
7
应用数学 第二个重要的极限 从上面的图像中，我们看到，随着自变量 x 的增大函数值不断接 近于常数 e ！
1 lim 1 e x x
这个公式还有两个等价公式：
x
lim 1 x e
x0
1 x
1 lim 1 e n n
除了 e 外，欧拉还发现了：
欧拉常数
应用数学 第二个重要极限公式透析
1 lim (1 ) e
（1）极lim(1 ) 的形式,且底数中的
与指数上的 必须是倒数关系； （3）中间必须用 “+”号连接
应用数学 例 2 求下列极限
应用数学 求下列极限 解
(4)
sin x sin x 1 1 lim x sin x x 0 x x 2 lim lim x 0 x 0 2 x sin x sin x sin x 2 2 lim x 0 x x
（完整版）1极限存在准则-两个重要极限
（完整版）1极限存在准则-两个重要极限第一章第六节极限存在准则两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则；2、掌握两个常用的不等式；3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】1、夹逼准则；2、单调有界准则；3、两个重要极限。
【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3分钟）。
首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10分钟）；课堂练习（5分钟）。
【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加，极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、n n x ∞→lim，其中n x =1x =对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→Λ那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证：,,a z a y n n →→Θ使得,0,0,021>>?>?N N ε,1ε<->a y N n n 时恒有当,2ε<->a z N n n 时恒有当取12max{,},N N N =上两式同时成立,,εε+<<-a y a n 即,εε+<<-a z a n 当n N >时，恒有,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞→上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当),(0δx U x o∈ (或M x >)时,有,)(lim ,)(lim )2(),()()()1()()(00A x h A x g x h x f x g x x x x x x ==≤≤∞→→∞→→那么)(lim )(0x f x x x ∞→→存在, 且等于A .准则 I 和准则 I ' 称为夹逼准则。
两个重要极限 无穷小量与无穷大量
第一章二、二、小结小结三、三、布置作业布置作业 一、一、极限存在准则、两个重要极限极限存在准则、两个重要极限第七节机动 目录 上页 下页 返回 结束极限极限存在存在存在准则、两个重要极限准则、两个重要极限()()(),,f x g x h x 若函数满足下列条件：()()()()()001 ;x x g x f x h x ≤≤在附近不含有一、极限存在准则、两个重要极限1.极限存在准则（夹逼定理）()()()02 lim g lim .x x x xx h x A →→==()0lim x x f x A→=则AC 2. 两个重要极限,1cos lim 0=→x x ∵1sin lim 0=∴→xxx 1sin lim 0=→xx x ,,(0)2O AOB x x π∠=<<作单位圆（如右图）圆心角,tan ,,sin AC x AB x BD x ===弧于是有xo BD ,tan sin x x x <<∴,1sin cos <<x xx 即重要的极限102x π<<注意：0()()()()0sin lim 1x x x x ϕϕϕϕ→=在表达式中，处要保持一致。
（2） 所求变量中带有三角函数；（1）（3）01sin limx xx→=解: x x x tan lim 0→⎟⎠⎞⎜⎝⎛=→x x x x cos 1sin lim 0x x x sin lim 0→=x 1lim 0→⋅1=x xx 530sin sin lim→03sin lim 33x x x →=.tan lim0x xx →例1. 求x x x 530sin sin lim →例2.求解：53=01sin lim ∆→∆=∆凑555sin x x 01lim sin ∆→∆=∆例3.cos 1lim 20xxx −→求解2202sin 2lim x x x →=原式220)2(2sin lim 21x x x →=20)22sin (lim 21xx x →=2121⋅=.21=凑()3111sin lim x x x →−−例4 求解：原式()()()2331111sin limx x x x x →++−=−()211lim x x x →=++()33111sin limx x x →−⋅−3=sin limx x x ππ→−0sin lim t t t→−=()0sin lim t t t π→+1−=例5 求例6 求02sin lim x arc xx→解：原式2arcsin x t =012limsin t tt →2=x t π−=解：原式例7 求02lim cot x x x→例8 求22lim sin xxx π→+∞0022lim limcos sin x x x x x →→=⋅212sin lim xx x π→+∞=22sin lim x x x πππ→+∞=022cos lim sin x x x x →=⋅π=解：原式12=解：原式() 0⋅∞() 0⋅∞重要的极限2?)11(lim =+∞→xx x我们可以利用计算器算出它的一些函数值，列出下表，了解当 时函数的变化趋势。
极限运算法则两个重要极限 PPT
那么 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 Ⅰ与准则 Ⅰ'称为夹逼准则、
注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 yn与 zn , 并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解
n n2 n
1 n2 1
2 x2
1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
2
x
1
sin lim(
2
)
2
2 x0 x
1 12 2
1. 2
2
(2) lim(1 1 )x e
x
x
定义 lim(1 1)n e
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的 ;
取 min1 , 2, 则当 0 x x0 时
0 (x) a u a
故 f [ (x)] A f (u) A , 因此①式成立、
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定理7、 lim (x) a , 且 x 满足 0 x x0 1 时,
设
x x0
(x) a , 又 lim f (u) A, 则有
个、
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定理 4 、 若lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
lim[ f (x)g(x)] lim f (x) lim g(x) AB
(优选)极限存在准则两个重要极限公式
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn ,
x 是单调递增的; n
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
lim cos x 1, 注 lim sin x 1
x0
x0 x
2020年7月18日星期六
例3 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
当
时,
当n N2 时, zn a
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
lim
n
xn
a
由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
2020年7月18日星期六
3
我们可将准则I推广到函数的情形：
准则I′ 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
又
n(n 1) 1
n(1 n)
lim
n
2(n2
2n)
2
lim
n
2(n2
n
1)
,
lim(
n
n2
1 n
1
n2
2 n
2
n2
n n
) n
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y0 sin y
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铃
lim sin x =1 lim sina(x) =1(a(x)0)
x0 x
a(x)
例6 求lim sin 3x .
x tan 5x
解 令x = t, 当x 时,t 0,
lim sin 3x = lim sin(3 3t) x tan 5x t0 tan(5 5t)
a(x)
例例11 求 lim tan x x0 x
解 lim tan x =lim sin x 1 = lim sin x lim 1 =1 x0 x x0 x cosx x0 x x0 cosx
例例22 求 lim 1cosx
解
x0 x2
lim 1cosx x0 x2
=
=
1 2
lim x0
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•第二个重要极限
•应注意的问题
lim (1 1)x = e x x
1
在极限 lim[1a(x)]a(x) 中 只要a(x)是无穷小 就有
1
lim[1a(x)]a(x) = e
这是因为
令
u
=
a
1 (x)
则 u
于是
1
lim[1a(x)]a(x)
= lim (1 1)u = e
x0
解原式
1 (3)
= lim[1 (x)]x
= e3
x0
例10 求 lim (1 cosx)2secx.
x
2
解原式
1 2
= lim (1 cosx)cosx
x
= e2
2
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铃
设
xn
=
(1
1 n
)n
可以证明数列{xn}是单调有界的 根据准则II 数列
{xn}必有极限 这个n n
我们还可以证明 lim (1 1)x = e x x
e是个无理数 它的值是
e=2 718281828459045 指数函数y=ex及对数函数y=ln x 中的底就是常数e
§1.6 两个重要极限
一、准则 I 及第一个重要极限 二、准则 II 及第二个重要极限
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一、准则 I 及第一个重要极限
•准则 I （夹逼定理）
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2)
lim
n
yn
=
a
lim
n
zn
=
a
那么数列 {xn }的极限存在
解 lim sin mx = lim sin mx mx nx = m . x0 sin nx x0 mx nx sin nx n
例4
求lim x0
tan
x sin x3
x
.
解
lim
x0
tan
x sin x3
x
=
lim
x0
tan x
x
1
cos x2
x
=
lim
x0
tan x
x
lim
x0
1 cosx x2
2
)
(
显然 BC AB AD 因此 sin x x tan x
从而
cosx sin x 1 x
(此不等式当 x0 时也成立)
因为 lim cosx =1 x0
D B
根据准则 I
lim sin x =1 x0 x
1 x
OCA
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•第一个重要极限
•应注意的问题
lim sin x =1 x0 x
就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统 称为单调数列
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•准则II 单调有界数列必有极限
•说明 前面曾证明 收敛的数列一定有界 但有界的数列不
一定收敛 现在准则II表明 如果数列不仅有界 并且是单 调的 那么这个数列一定是收敛的
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•第二个重要极限
=1 2
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lim sin x =1 lim sina(x) =1(a(x)0)
x0 x
a(x)
例5 求lim arcsin x . x0 x
解 令y = arcsinx, 则x = siny, 当x 0时, y 0,
lim arcsin x = lim y = 1
x0 x
sin
x 2
x 2
lim
x0
2 =
2 sin 2 x2
x 2
==1212lximlxi0ms0(isn12i2n)2x22x222x
1 12 = 1
22
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lim sin x =1 lim sina(x) =1(a(x)0)
x0 x
a(x)
例3 求lim sin mx .(m 0, n 0) x0 sin nx
x x 1
解原式 = lim (1
x 14 2
4 )4
x x 1
= lim[(1
4
x1
) 4 ]4 lim (1
4
)2
x
x 1
x x 1
= e4
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lim (1 1)x = e x x
1
lim[1a(x)]a(x) = e (a(x)0)
3
例9 求lim (1 x) x .
u u
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lim (1 1)x = e x x
1
lim[1a(x)]a(x) = e (a(x)0)
例7 求 lim (1 k )x.(k为自然数，k 0)
x
x
解原式
= lim (1
k
)
x k
k
= lim[(1
k
)
x k
]k
= ek
x
x
x
x
例8 求 lim ( x 3)x1.
在极限
lim
sina(x) a(x)
中
只要a(x)是无穷小
就有
lim
sina(x) a(x)
=1
这是因为 令u=a(x) 则u 0 于是
lim
sina(x) a(x)
=lim sin u =1 u0 u
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lim sin x =1 lim sina(x) =1(a(x)0)
x0 x
且
lim
n
xn=a
•准则 I
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件
(1) g(x)f(x)h(x)
(2)lim g(x)=A lim h(x)=A
那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A
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•第一个重要极限
lim sin x =1 x0 x
简要证明
参看附图
设圆心角AOB=x( 0 x
= lim sin 3t t0 tan 5t
= lim sin 3t 5t 3 t0 3t tan 5t 5
=3 5
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二、准则 II 及第二个重要极限
•单调数列
如果数列{xn}满足条件 x1x2x3 xnxn1
就称数列{xn}是单调增加的 如果数列{x n}满足条件 x1x2x3 xnxn1