1.2函数的极限3—两个重要极限
医学高等数学课件 三两个重要的极限
0
（2）公式中的“x ”可以是趋向于零的代数式。
（3）注意三角函数有关公式的应用。
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一、 两个重要极限
1
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极限 lim(1 1)x e 的直观解释
x
x
通过数值计算的方法来理解.
复习回顾
1. 极限运算法则
(1) 极限四则运算法则
注意使用条件
(2) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 要求分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
xx0
ul
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第一章
第二节 两个重要极限
lim sin x 1. x0 x
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一、 两个重要极限
lim sin x 1. x0 x
0 0
1
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极限 lim sin x 1 的直观理解 x0 x
(1)方法:(图像观察法)
lim
x0
sin 3x 3x
3 cos 3x
3 lim sin 3x lim 3 x0 3x x0 cos 3x
例3. 求
解:
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0
sin
极限存在准则 两个重要极限
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim
大一高数两个重要极限知识点
大一高数两个重要极限知识点大一的学生在学习高数时，会接触到很多重要的知识点，其中有两个极限知识点尤为重要。
极限是数学中一个非常基础且重要的概念，它在高数的学习中发挥着重要的作用。
本文将重点介绍大一学生在高数学习中应重点掌握的两个极限知识点。
一、函数的极限和极限存在条件在学习函数极限时，我们首先需要明确什么是极限。
简单来说，函数f(x)在点x=a处的极限是指当x趋于a时，函数f(x)的取值趋于一个确定的有限值L。
数学中常用的表示方法是：lim(x→a) f(x) = L但是，在讨论函数极限时需要注意函数的定义域，并非所有函数都存在极限。
一个函数在某一点的极限存在的条件是，无论从函数的左边还是右边逼近这一点，函数的值都趋近于同一个值。
例如，对于函数f(x) = x/(x-1)，当x趋近于1时，从左边和右边逼近，函数的值分别是1和-1/2，因此函数在这一点不具备极限。
在求解极限时，我们可以利用一些基本的极限公式，如常数定理、分式定理、指数幂函数定理等。
同时，我们还可以利用夹逼定理、唯一性定理等重要定理来判断函数极限的存在与计算具体的值。
二、无穷大与无穷小在学习极限时，我们还需要了解无穷大和无穷小的概念。
无穷大是指当自变量趋于某个值时，函数的取值无限增加或无限减小。
无穷小则相反，是指当自变量趋于某个值时，函数的取值无限接近于0。
在高数中，我们用符号±∞来表示无穷大。
例如，当x趋于∞时，函数f(x) = x²的取值趋于无穷大，我们可以表示为：lim(x→∞) f(x) = +∞同样，我们用符号±0来表示无穷小。
当x趋于0时，函数f(x)= sinx / x的取值趋于0，可以表示为：lim(x→0) f(x) = 0无穷大和无穷小往往与极限的求解密切相关。
在求解一些复杂的极限问题时，我们需要用到无穷大和无穷小的性质，以及与之相关的一些重要极限公式，如洛必达法则等。
需要特别注意的是，无穷大和无穷小并不是绝对存在的，它们的存在与具体问题密切相关。
极限运算法则两个重要极限
极限运算法则两个重要极限1.极限四则运算法则：极限四则运算法则是指对任意两个函数的极限进行加、减、乘、除运算时的运算规则。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：a) 两个函数的和的极限：lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 + L2b) 两个函数的差的极限：lim(x→a) [f(x) - g(x)] = L1 - L2c) 两个函数的乘积的极限：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = L1 * L2d) 两个函数的商的极限：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = L1 / L2 (当L2≠0时)这些极限四则运算法则可以帮助我们简化极限运算，并且可以通过已知函数的极限值来确定复合函数的极限。
2.极限复合运算法则：极限复合运算法则是指对复合函数的极限进行计算的运算规则。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数，记作f(g(x))或g(f(x))。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：lim(x→a) [f(g(x))] = L1 (若L2 = a)lim(x→a) [g(f(x))] = L2 (若L1 = a)这意味着通过已知函数的极限值，我们可以确定复合函数在特定点的极限值。
以上是对极限四则运算法则和极限复合运算法则的详细解释。
这两个极限运算法则在微积分中具有重要的应用，能够帮助我们确定函数在特定点处的极限值，进而推导出更复杂的极限运算。
理解和掌握这两个极限运算法则对于解决微积分中的问题和应用具有重要意义。
两个重要极限
两个重要极限、无穷小量的比较一、教学内容两个重要极限、无穷小量的比较； 二、教学目的1．掌握用两个重要极限求极限的方法 2．掌握利用等价无穷小求极限的方法； 三、教学重点 1．两个重要极限 四、教学难点 1．两个重要极限§4 两个重要极限一 夹逼定理定理1 如果函数)(x f ，)(x g 及)(x h 满足下列条件：（1）δ<-0x x （且 0x x ≠ ），（或 M x >）时，有)()()(x h x f x g ≤≤成立。
（2）A x h A x g x x x x x x ==∞→∞→→→)(lim ,)(lim )(0)(0，那么，)(lim )(0x f x x x ∞→→ 存在，且等于 A 。
2、两个重要极限 （1）limsin x xx→=01证明：记 f x x x()sin = ， 由于 f x f x ()()-=， 我们不妨只究 1sin lim 00=+→xxx 这一情形加以证明，如下图所示：从几何图形上可清楚地看出：弦弧弦CD x BC x AB x =<=<=sin tan 于是有两边夹的不等式cos sin x x x<<1而 lim cos x x →=01 事实上， 当 x →+00，有：11122122121222←>=-⋅≥-⋅=-→cos (sin )()x x x x 据两边夹准则， 我们有： lim sin x x x→+=001而 f x x x()sin = 是偶函数， 故 lim sin x x x→-=001由函数的左右极限的性质知， lim sin x x x→=01单调有界准则 单调有界数列必有极限。
（2）lim()n nne →∞+=11 极限还可推广到更一般的情形：e xxx =+∞→)11(lim 原极限可变成一种新的形式 e z zz =+→1)1(lim例 求 xx x x 2)1222(lim ++∞→解：12111222++=++x x x ，令 121+=x z ，而0→⇔∞→z x ，且)11(21-⋅=z x例 求极限 xxx )11(lim 2-∞→ 解：令tx =-，x t →∞⇔→∞e ttt t t tx x t t t x 1)11(lim 1)11(1lim )11(lim )11(lim =+=+=-+=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x )11(lim )11(lim )11()11(lim -⋅+=-+=∞→∞→∞→原式11=⋅=ee四、无穷小与无穷大 1、无穷小 无穷小的定义：0>∀ε，0>∃δ（或0>X ），当δ<-<00x x (或X x >)时，有 ε<)(x f 成立，则称函数)(x f 为当0x x →（或∞→x ）时的无穷小，记作)0)(lim (0)(lim 0==∞→→x f x f x x x 或定理 在自变量的同一变化过程 x x →0(或 x →∞ )中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式， 则该常数就是函数的极限。
函数两个重要极限公式
函数两个重要极限公式函数两个重要极限公式：第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。
极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
极限存在准则 两个重要极限
P40,练习2.5
P40,练习2.5
2 （ 9）
x
lim (tan x )tan2 x
4
2tan x
2
(1 (tan x 1))1tan 解 原式 lim
x 4
x
lim
x 4
[1 (tan x 1)]
1 tan x 1
2 tan x (tan x 1) 1 tan 2 x
n n
a 2 a
a2 a 2 0
a2 2 a
a2
备用题
1.设 xn1
1 a ( xn ) ( n 1 , 2 , 2 xn
) , 且 x1 0,
a 0 , 求 lim xn .
n
利用极限存在准则
a xn xn
解： xn1
1 a ( xn ) 2 xn
例2. 证明
证: 利用两边夹法则 . 由
1 1 n 2 2 n π n 2π
2 n 1 2 2 n nπ n π
且 g (n)
h(n )
2
1 n lim 2 lim n n π n 1 π 2
n
1
1 1 1 lim n n2 π n2 2 π n2 n π 1 n
2 2sin 2sin lim 解: 原式 = lim 2 x0 x 0 4x x 2 4 x sin 1 2 1 2 lim 1 2 x0 x 2 2
2 x 2 2
x 2
cos 2 1 2sin2
2sin2 1 cos 2
极限存在准则两个重要极限公式
1. 夹逼准则(两边夹法则;三明治法则)
准则I (1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
x2
x 2
1 2
lim
x0
sin2 x 2
x 2
2
1 2
lim
x0
sin x
x 2
2
2
1 12 2
1 2
2020/6/15
8
2. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
注意:利用夹逼准则求极限的关键:构造出 yn 与 zn ,
且 yn与zn的极限是易求的.
2020/6/15
2
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解： 因为 n < 1 + L + 1 < n
n2 + n
n2 + 1
n2 + n
n2
又 lim n
n lim n2 n n
(4) 对于准则I I函，数极限根据自变量的不同变化过程 (x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如，
准则I I′ 设函数f (x) 在点 x0 的某个左邻域内单调
并且有界，则
2020/6/15
f (x)
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sin x lim 1 一．x 0 x
两个重要极限
y
1
0 “ ”未定式 0
0
x
x
sin x x
1
0.5 0.95885
0.05 0.99958
0.01
0.001
0.84147
0.99998 0.9999998
sin x lim 1 于是得到第一个重要极限：x 0 x
显然 lim
1 u x
e
解: （1） lim
sin 5 x sin 5 x lim 5 1 5 5 x 0 x 0 x 5x sin 3( x 2) sin(3 x 6) sin 3( x 2) lim 3 （2） lim lim x 2 x 2 x 2 3( x 2) x2 x2
sin u( x ) lim 1 u( x )
2.第二个重要极限
" 1 " 未定式有两种形式
1 x
1
0
推广
1 x 0 2 lim(1 x ) e lim(1 ) e x 0 x x 如果当x x0或者x 时，u x 0，那么
lim 1 u x
1 3 3
tan x sin x sin x 1 2 tan x 2 lim 2 lim 2 lim （3） lim x 0 x 0 x 0 x 0 x x cos x x cos x x
2 1 1 2
sin 3 x 2 x 3 x sin 3 x 3 3 lim （4） lim 1 1 x 0 x 0 sin 2 x 3 x sin 2 x 2 x 2 2
x 1 x 0 sin x
u( x ) 0，则 推广形式为：如果 x x0 ，或 x 时，
lim sin u( x ) 1 u( x )
例1:求下列极限
sin 5 x sin(3 x 6) 2tan x （1） lim ； （2） lim ；（3） lim ； x 0 x 2 x 0 x x2 x sin 3 x x2 5 x 6 2 （4） lim ； (5)lim ； (6)lim x sin x 0 sin 2 x x 2 sin( x 2) x x
1 y (1 ) x x
2.8
2.9
e 2.75
1 x lim(1 ) e x x
在 lim(1
x
1 x 1 ) e 中，令u ，则变形为 x x
lim(1 u) e
u0
1 u
即
" 1 "
lim(1 x ) e
x 0
1 x
1 x
未定式有两种形式
1 u x
e
这里u x sin x
当x 0时，u( x) sin x 0
lim 1 sin x
x 0 1 sin x
e
小结
sin x 1 1.第一个重要极限 lim x 0 x u( x ) 0，则 推广形式为：如果 x x0 ，或 x 时，
二．第二个重要极限 lim(1
x
1 x ) e x
" 1 "
未定式
y
e
2.7
y (1
2.65
1 x ) x
2.6
2.55
x
20 40 60 80
1 lim (1 ) x e x x
y
3.05
x
-100 -80 -60 -40 -20 2.95
1 x lim (1 ) e 2.85 x x
x2 5 x 6 ( x 2)( x 3) ( x 2) (5)lim lim lim ( x 3) x 2 sin( x 2) x 2 x 2 sin( x 2) sin( x 2)
1 (1) 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 2 sin sin 2 x 2 2 x lim (6)lim x sin lim x x 2 x x 1 x x
10
1 x lim(1 ) e x x
20
lim(1 x ) e
x 0
都称为第二个重要极限
第二个重要极限可以推广为以下形式:
如果当x x0或者x 时，u x 0，那么
lim 1 u x
如 lim 1 sin x
x 0 1 sin x