《高等数学》第1章函数与极限1-3函数的极限
电子教材-高等数学二-第一章 函数与极限
第一章 函数与极限
高等数学主要研究对象是变量及其之间的相互关系．极限是研究变量的一种基本的和重要的方法．本章主要讨论函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的基本性质．
第一节 函数
一 预备知识：
1.集合
由事物组成的集体，无论它们是由其成员直接表示出来的，还是由它们成员所具有的某些本质属性表示出来的，都称为集合．
集合是数学中的一个原始概念，以上的定义属描述性的．几乎所有的数学分支都与集合密切相关，我们所学的这门课与实数集就是紧密相关的．
某事物a是集合A的一个成员，则称a为A的一个元素，记作aA．若事物a不是A的元素，记作aA．
一个集合认为是已知的，如果对任何事物能判断它是否属于这个集合．若能写出这个集合的所有元素，则我们用一个括号将它们括起来表示这个集合，例如由元素12,,,naaaL组成的集合，可记作
12,,,nAaaaL，
而对不易列举出其所有元素的集合，通常用以下记号表示：设集合A是由某种性质P的元素x所组成，就记作
{|}AxxP具有性质．
例如 {|}Nnn为自然数代表全体自然数组成的集合， {|}Rxx为实数代表全体实数所组成的集合，{|}Zxx为整数代表全体整数所组成的集合， {|}Qxx为有理数代表全体有理数所组成的集合．
若集合A的元素都是集合B的元素，即若xA ,则xB，就称A是B的子集，记作AB或BA，例如
NZ，ZQ，QR．
若AB，且BA，则称集合A等于集合B，记作AB．
一个极端的情形是集合中不含任何元素，这种集合称为空集，记作．
2.邻域
邻域也是我们以后常要用到的一个重要概念．
设aR，R且0，数集xxa称为点a的邻域，记作()aU；点a叫做该邻域的中心，叫做该邻域的半径，如图1-1．
高等数学第一章公式
1 高
等
数
学 公式
与
定理
（第六版 上册）
2 第一章 函数与极限
第一节：初等函数
幂函数：axy(是常数）Ra
指数函数：xay（a>0且)1a
对数函数：y=xalog (a>0且a1，特别当a=e时，记为y=lnx)
三角函数: 如y=xsin等
反三角函数：如y=arctanx等
第二节：数列的极限
收敛数列的性质：
定理1 (极限的唯一性)如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。
定理2 (收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
定理3 (收敛数列的保号性)如果,limaxnn且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0，当n>N时，都有.nx>0(.nx<0)
定理4 (收敛数列与其子数列的关系)如果数列{.nx}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.
3 第三节 函数的极限
函数极限的性质
定理1 (函数极限的唯一性) 如果)(lim0xfxx存在，那么这极限唯一.
定理2 （函数极限的局部有界性）如果)(lim0xfxx=A存在，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<{0xx }
定理3 （函数极限的局部保号性）如果)(lim0xfxx=A，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得00xx时，有0)(xf（或0)(xf）
定理3′ 如果)0()(lim0AAxfxx,那么就存在着nx的某一去心邻域),(00xU当)(00xUx时，就有2)(0Axf.
推论 如果在0x的某去心邻域内)0)x0)(0（或（fxf，而且Axfxx)(lim0，那么）或（00AA
定理4 （函数极限与数列极限的关系） 如果极限)(lim0xfxx存在，{nx}为函数)(xf的定义域内任一收敛于0x的数列，且满足：)(*0Nnxxn,那么相应的函数数列)(nxf必收敛，且).(lim)(lim0xfxfxxn
第一章函数与极限三峡大学高等数学教案
第一章 函数与极限
教学目：
1、 理解函数概念，驾驭函数表示方法，并会建立简洁应用问题中函数关系式。
2、 理解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、 理解复合函数及分段函数概念，理解反函数及隐函数概念。
4、 驾驭根本初等函数性质及其图形。
5、 理解极限概念，理解函数左极限与右极限概念，以及极限存在与左、右极限之间关系。
6、 驾驭极限性质及四那么运算法那么。
7、 理解极限存在两个准那么，并会利用它们求极限，驾驭利用两个重要极限求极限方法。
8、 理解无穷小、无穷也许念，驾驭无穷小比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、 理解函数连续性概念〔含左连续与右连续〕，会判别函数连续点类型。
10、理解连续函数性质和初等函数连续性，理解闭区间上连续函数性质〔有界性、最大值和最小值定理、介值定理〕，并会应用这些性质。
教学重点：
1、 复合函数及分段函数概念；
2、 根本初等函数性质及其图形；
3、 极限概念极限性质及四那么运算法那么；
4、 两个重要极限；
5、 无穷小及无穷小比较；
6、 函数连续性及初等函数连续性；
7、 区间上连续函数性质。
教学难点：
1、 分段函数建立与性质；
2、 左极限与右极限概念及应用；
3、 极限存在两个准那么应用；
4、 连续点及其分类；
5、 闭区间上连续函数性质应用。
§1. 1 映射与函数
一、集合
1. 集合概念
集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质事物总体. 用A, B, C….等表示.
元素: 组成集合事物称为集合元素. a是集合M元素表示为aM.
集合表示:
列举法: 把集合全体元素一一列举出来.
例如A{a, b, c, d, e, f, g}.
描绘法: 假设集合M是由元素具有某种性质P元素x全体所组成, 那么M可表示为
A{a1, a2, , an},
《高等数学》笔记-知识归纳整理
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第一章 函数与极限
第一节 函数
1.区间
(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成
区间.这两个实数叫做区间的端点.
.,,baRba且
}{bxax
开区间),(ba记作
}{bxax
闭区间],[ba
记作
oxa
b
oxa
b}{bxax
}{bxax左闭右开区间左开右闭区间),[ba记作
],(ba记作
}{),[xaxa}{),(bxxb
oxa
ox
b
注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间
2 邻域.0,
且是两个实数与设a
,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径
.}{),(
axaxaU
xa
a
a,}{邻域的称为点数集
aaxx
记作
二、函数的概念
1.函数的定义
函——信函
单值对应多值函数
不是函数自变量因变量对应法则(
()
)0x
)(
0xffx
yD
W------函数的定义域D 和
函数的对应规律f
函数的值域称为派生要素。2. 函数的两个要素
w={y│y=f(x), x ∈D}x a
a
a
,
邻域
的去心的
点
a
)
,
(
a
U
记作
.}0{),(
axxaU
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❖
定义域的求法
❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。
（即使实际问题故意义的取值范围）。如时光、长度、
分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必
再求。否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的
函数值唯一确定）。
1. 在分式中，分母应不为0；
2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；
3. 在对数式中，真数不能为0和负数；
▪4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；
▪5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数
式等，则应取各部分定义域的交集。
5lg1
xy
0505lg
xx要使原函数故意义，则例
《高等数学》教学大纲
《高等数学》教学大纲
课程编号：
课程性质：专业基础课
课程类别：必修课
先修课程：
学 分：4
总学时数： 144
周学时数： 4
开课单位：计算机科学系
一、课程简介
高等数学是理工科(非数学)本科专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。
通过本课程的学习，使学生会获得高等数学各方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础；逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，培养学生综合运用所学数学知识去分析问题和解决问题的能力。
二、培养目标
(一)知识培养目标
通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、微分方程；4、向量代数与空间解析几何；5、多元函数微积分学；6、无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。
(二)能力培养目标
引导学生在生活实践中使用数学，在其它课程中应用数学，增强运用数学方法、借助计算机来分析和解决实际问题的能力；形成积极应用数学的氛围，在教学活动中，渗透素质教育，使学生提高逻辑思维能力，注重培养严谨求实的科学态度，树立科学的世界观。
三 、课程内容（请细化到每一节的内容）
第一章 函数与极限
§1.1 映射与函数
【学时】：4 【了解】: 1.函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。
2.反函数的概念。
3. 建立简单应用问题中的函数关系式的方法。
【掌握】: 1. 函数的概念，函数的表示方法。
2. 复合函数及分段函数的概念。
3. 基本初等函数的性质及其图形
【重点】: 1.复合函数及分段函数的概念。
2．基本初等函数的性质及其图形。
【难点】: 分段函数的建立与性质
§1.2 数列极限
【学时】：2
【了解】: 数列的极限与其子数列的极限之间的关系
高职高等数学-Ch1函数与极限
. . . .
1 / 18 第一章 函数与极限
§1-1 函数与极限
一、 函数
1.函数的定义
设x，y是两个变量，D是给定的一个集合，若对于D中的每一个x值，由某一法则f，变量y都有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为(),yfxxD，其中x称为自变量，y称为因变量，x的取值围D称为定义域，y的取值围称为值域。
2.定义域
数轴上使函数有意义的一切点的集合。实际问题中要求根据实际意义具体确定。
3.定义域的求法原则
（1）分母不为零
（2）0xx，
（3）ln,0xx
（4）arcsin,arccos,11xxx
（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集
例1：求211yx的定义域
解：210x
定义域为(,1)(1,)
例2：求24ln1yxx的定义域
解：042x且10x
22x且1x
定义域为(1,2)
4.函数的表示法
（1）表格法
将自变量的值与对应因变量的值列成表的方法。
（2）图像法
在坐标系中用图像来表示函数关系的方法。
（3）解析式法
将自变量和因变量之间的关系用数学公式表示的方法。
解析式分为三类：
. . . .
2 / 18 （a）显函数
函数y由x的解析式直接表示出来，如()yfx
（b）隐函数
函数自变量x和因变量y由(,)0Fxy确定，如sin0xyy
（c）分段函数
函数在其定义域不同围有不同表达式
如符号函数10sgn0010xyxxx或0()0xxfxxxx
二、反函数
1.定义
设函数的定义域为fD，值域为fV。对于任意的fVy，在fD上至少可以确定一个x与y对应，且满足xfy。如果把y看作自变量，x看作因变量，就可以得到一个新的函数：yfx1。我们称这个新的函数yfx1为函数xfy的反函数，而把函数xfy称为直接函数。由于习惯yfx1通常写成1yfx。
大一高等数学教材下册答案
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第一章：函数与极限
1. 函数的定义与性质
1.1 函数的定义
1.2 函数的性质
1.3 基本初等函数
2. 极限与连续函数
2.1 极限的概念
2.2 极限的性质
2.3 无穷小量与无穷大量
2.4 连续函数
3. 导数与微分
3.1 导数的定义
3.2 导数的性质
3.3 微分的概念
3.4 高阶导数
3.5 隐函数求导 3.6 参数方程求导
4. 微分中值定理与导数的应用
4.1 费马定理与罗尔定理
4.2 拉格朗日中值定理
4.3 导数的应用
4.4 曲线的凹凸性与拐点
4.5 高阶导数的应用
第二章：积分与不定积分
1. 不定积分
1.1 原函数与不定积分的概念
1.2 不定积分的基本性质
1.3 牛顿－莱布尼茨公式
1.4 微积分基本定理
2. 定积分
2.1 定积分的概念
2.2 定积分的性质
2.3 几何应用 2.4 牛顿－莱布尼茨公式与定积分的计算
3. 定积分的应用
3.1 曲线的弧长
3.2 曲线的面积
3.3 物理应用
3.4 平均值与均值定理
4. 定积分的计算
4.1 第一换元法
4.2 第二换元法
4.3 分部积分法
4.4 有理函数积分
第三章：多元函数微分学
1. 二元函数与偏导数
1.1 二元函数的概念
1.2 偏导数的定义
1.3 高阶偏导数
2. 多元复合函数与链式法则 2.1 多元复合函数的偏导数
2.2 链式法则与隐函数偏导数
3. 全微分与多元函数的微分
3.1 多元函数的全微分
3.2 多元函数的微分中值定理
4. 多元函数的极值与条件极值
4.1 多元函数的极值
4.2 条件极值与拉格朗日乘数法
高等数学第一章《函数与极限》
第一章 函数与极限
一、内容提要
（一）主要定义
【定义1.1】 函数 设数集,DR如果存在一个法则，使得对D中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称:fDR为定义在D上的函数,记作
(),yfxxD.
x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域.
【定义1.2】 数列极限 给定数列xn及常数a,若对任意0,总存在正整数N,使得当nN时,恒有xan成立,则称数列xn收敛于a,记为axnnlim.
【定义1.3】 函数极限
（1）对于任意0,存在0,当00xx时,恒有Axf.则称A为fx当0xx时的极限,记为Axfxx)(lim0.
（2） 对于任意0,存在0X,当xX时,恒有fxA().则称A为fx当x时的极限,记为lim()xfxA.
（3）单侧极限
左（右）极限 任意0,存在0,使得当000(0)xxxx时,恒有Axf.则称当00()xxxx时)(xf有左（右）极限A,记为00lim()(lim())xxxxfxAfxA 或00(0)((0))fxAfxA.
单边无穷极限 任意0,存在0X,使得当xX（xX）时,
恒有fxA(), 则lim()xfxA（lim()xfxA） .
【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()fx当0xx(或x)时的极限为零（|()|fx无限增大）,那么称函数()fx为当0xx(或x)时的无穷小（无穷大）.
【定义1.5】 等价无穷小 若lim0,lim0,lim1,则与是等价的无穷小.
【定义1.6】 连续 若)(xfy在点0x附近有定义,且)()(lim00xfxfxx,称()yfx在点0x处连续.否则0x为()fx的间断点.
《高等数学》(1-3章)教学教案(全)
1 高等数学教学教案
第1章 函数、极限与连续
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第1章 第1节 函数 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 反函数、复合函数 教学难点 反三角函数
参考教材 同济七版《高等数学》 作业布置 课后习题
大纲要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形。
教 学 基 本 内 容
一．预备知识
1.集合
（1）集合的定义：一般说来，由一些确定的不同的研究对象构成的整体称为集合. 构成集合的对象，称为集合的元素.
（2）集合的表示.
（3）集合的元素的性质：确定性、互异性、无序性.
（4）高等数学中常用数集及其记法.
2．区间与邻域
（1）有限区间与无限区间及其记法.
（2）邻域：集合00,xxx表示开区间00(,)xx，称之为点0x的邻域，记作0(,).Ux0x称为邻域中心，称为邻域半径.
（3）去心邻域：集合000,xxx，表示0000(,)(,)xxxx，称之为
1 点0x的去心邻域，记作0(,).oUx
3．映射
（1）定义：设XY、是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x按照法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射,记作
:fXY,
其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作()fx,即
()yfx,
而元素x称为元素y (在映射f下)的一个原像； 集合X称为映射f的定义域, 记作fD， 即
fDX.
X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为fR, 或()fX, 即
高数第一章 函数与极限
第一章 函数与极限
初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法，本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的一些性质。
一、本章主要内容：
1、数列极限的 定义，函数极限的定义，函数的左右极限。
2. 极限的性质，函数的极限与其左右极限的关系，极限的唯一性，局部有界性，保号性。
3. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。
4．极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。
5．极限存在的两个准则与两个重要极限，
（1） 单调有限准则，重要极限
（2） 夹逼准则，重要极限
6．函数的连续性概念和间断点的类型
7．闭区间上连续函数的性质：最大（小）值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。
二、内容提要框图
三 本章重点
1. 正确理解函数与复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图象．
2. 建立极限概念与理解ε －N方法, 函数极限的概念与ε －δ方法
3. 无穷小的概念与性质 4. 单调有界法则与两个重要极限及其应用
5. 初等函数的连续性及其应用
四本章难点
1. 反函数概念，由实际问题建立函数关系式与求分段的
复合函数的关系式．
2. ε －N, ε －δ极限定义证明法
3. 理解无穷小，无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别
4. 两个重要极限公式，分清各公式的特点及适用时机．
5. 闭区间上连续函数的几条性质．
第一节 映射与函数
学习指导
1．教学目的
读者应理解集合、映射的概念；理解函数概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，了解反函数概念。
2．基本练习
会求函数的定义域，会求函数的反函数。会判断函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；熟练掌握基本初等函数的图形和性质。会把复合函数分解成基本初等函数的组合。