高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点
高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数
解: 当 1≤ x < 0 时, y = x ∈( 0, 1] , 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 则 x = e , y ∈( ∞, 0]
y
2e
2
1 1 o 1 2x
当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
o 1
y = th x x
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(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π 2π
o π 2π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
( 自学, P17 – P21 )
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非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当
y
2 1o 1 2 3 4
y
1
o
1
x
x
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例5. 求 y =
x2 , 1≤ x < 0 ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x1 2e , 1< x ≤ 2 y
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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同济高数大一上学期知识点
同济高数大一上学期知识点一、函数与极限1. 函数的定义与性质1.1 函数的概念1.2 奇偶函数与周期函数1.3 反函数与复合函数2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义与表达式2.2 极限的唯一性与有界性2.3 极限的四则运算法则2.4 集合与极限的关系3. 无穷大与无穷小3.1 无穷大的定义与性质3.2 无穷小的概念与性质3.3 无穷小的比较与运算3.4 引理与重要极限4. 两个重要的极限4.1 e的极限与自然对数4.2 sin和cos的极限与圆周率二、导数与微分1. 导数的引入1.1 导数的定义与几何意义1.2 导数存在的条件与计算法则2. 导数的运算法则2.1 常数函数与幂函数的导数 2.2 反函数与复合函数的导数 2.3 三角函数的导数2.4 隐函数与参数方程的导数3. 高阶导数与导数的几何意义 3.1 高阶导数的定义与计算 3.2 导数与函数的图象4. 微分与近似计算4.1 微分的定义与性质4.2 微分中值定理与应用4.3 泰勒公式的概念与应用三、一元函数的应用1. 最值与驻点1.1 极值与最值的概念1.2 函数的极值判定1.3 连续函数的最值定理1.4 驻点的概念与判定2. 函数的图象与曲线的参数方程 2.1 函数的图象与曲线2.2 参数方程的概念与性质2.3 参数方程与函数图象的关系 2.4 高阶导数与曲线的凹凸性3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的定义与性质3.2 基本积分法与换元积分法 3.3 定积分的定义与几何意义 3.4 牛顿-莱布尼茨公式的应用4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念4.2 一阶微分方程的求解4.3 高阶线性微分方程的求解综上所述，本文介绍了同济大学高等数学第一学期的知识点，包括函数与极限、导数与微分、一元函数的应用等。
这些知识点是大一上学期数学学习的基础内容，对建立数学思维和解决实际问题具有重要意义。
通过深入学习这些知识点，可以为后续的高等数学学习打下坚实的基础。
同济大学第五版高数
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
例2 确定函数 f ( x) 2x 3 9x 2
12x 3的单调区间.
解 D : (,).
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
六、应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
(4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
证
(1)
f ( x0 )
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) 0,
故f ( x0 x) f ( x0 )与x异号，
同济版本高数上第一章部分知识总结
一、映射1、映射的概念映射：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从x到y的映射，记作：f：X→Y举例：注意事项：一、无论是定义域还是值域都是非空集合二、定义域内值必须在值域内有对应的数，而值域内可以不一定。
比如上图中定义域中1到4必然都有对应的数在值域内，但是值域内有5个数，必然会留下一个数，不需要全部对应完毕。
三、对于定义域内部的每个x来说，在值域内对应的值都是有且唯一的，不可“一对多”，而值域内数则可以“多对一”，多个定义域内的值可以同时对应同一个值域内的值。
2、特殊映射满射（X到Y上的映射）：值域中的每一个值都被对应。
根据映射概念可知，既然值域内部值都被对应，相应定义域内部的值也应当都已对应。
而且我们应该知道此时定义域内的值的数量应该等于或许大于值域内值的数量。
单射：定义域内对应值域内的值不同。
即x1≠x2，则f(x)1≠f(x)2一一映射：映射是满射又是单射3、逆映射若将原映射的定义域与值域进行对调，则新构成的映射称作：逆映射。
记作：f−1。
其中，新构成的这个映射，定义域 D f−1=R f，即新的定义域为原映射的值域。
而新的值域则是R f−1=X，因为此时逆映射的定义域需为定义域所在集合全部都是，也就是意味着需要构成逆映射的原映射必须为单射。
若g:X→Y1，f:Y2→Z ，则由g与f可构成复合映射，即：f∘g: X→Z。
这个对应法则确定了一个X到Z的映射，表示 f[g(x)]。
由定义可知，g的值域必须在f的定义域内。
且f∘g与g∘f意义不同。
二、函数1、函数的概念函数：若数集D⊂R，则称映射f:D⊂R为定义在D上的函数，通常简记为：y=f(x),x∈D其中，x称作自变量，y称作因变量，D称作定义域。
注意：一、y=f(x)表示在对应法则f的作用下，定义域内所对应的值，因此写作f(x)。
实际上，y与f(x)的意义一样。
高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲
⾼等数学（同济⼤学教材第五版）复习提纲⾼等数学（同济⼤学教材第五版）复习提纲第⼀章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限第⼆章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算第三章微分中值定理与导数的应⽤：熟练掌握本章的实际应⽤，研究函数的性态，证明相关不等式第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分⽅法，尤其要⽤凑微分以及⼀些需⽤⼀定技巧的函数类型第五章定积分：正确理解概念，会多种积分⽅法，有变限函数参与的各种运算第六章定积分的应⽤：掌握定积分的实际应⽤第七章空间解析⼏何和向量代数：熟练掌握本章的实际应⽤⾼等数学（1）期末复习要求第⼀章函数、极限与连续函数概念理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。
2．函数的性质知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的⽅法。
3．初等函数了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。
4．建⽴函数关系会列简单应⽤问题的函数关系式。
5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。
6．极限四则运算掌握⽤极限的四则运算法则求极限. 7．⽆穷⼩量与⽆穷⼤量了解⽆穷⼩量的概念、⽆穷⼩量与⽆穷⼤量之间的关系，⽆穷⼩量的性质。
8．两个重要极限了解两个重要极限，会⽤两个重要极限求函数极限。
9．函数的连续性了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的⼏个性质（最⼤值、最⼩值定理和介值定理）。
第⼆章导数与微分1．导数概念：导数定义、导数⼏何意义、函数连续与可导的关系、⾼阶导数。
理解导数概念；了解导数的⼏何意义，会求曲线的切线和法线⽅程；知道可导与连续的关系，会求⾼阶导数概念。
2．导数运算熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。
高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
1-1函数与映射
在[1，+ ]，有界；在(0, 1)无界。
2019年12月24日星期二
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18
2）单调性
设函数 f (x)的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2, 当 x1 x2时,
恒有 (1) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调增加的 ;
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21
设D关于原点对称 , 对于x D, 有
f (x) f (x) 称 f (x)为奇函数 ;
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
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4）周期性 设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
y sin x2 y u u sin v v x2
或 y u u sin x 注：不是任何函数都可以复合成一个函数。 如： y u 与 u sin x 不能进行复合。
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4. 函数的运算
和、差、积、商。 注：只有具备公共定义域的函数才能运算 。
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
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3）奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点
第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点：(1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。
定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。
对应法则是正确理解函数概念的关键。
函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。
函数关系也不同于因果关系。
例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。
y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。
如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。
(2) 函数与函数表达式不同。
函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。
(3) f(x)与f(a)是有区别的。
f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。
(4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。
二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点：(1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。
(2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。
(3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。
如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。
存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。
f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。
(4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
三、关于复合函数要注意的是，函数的复合是有条件的，并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。
一个函数是否为复合函数与该函数的对应法则的表示方法有关。
例如，和的对应法则相同，但对应法则的表示方法是不同的，前者不是复合函数，后者可以看成是由，，复合而成的复合函数。
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第一章函数与极限
一、对于函数概念要注意以下几点：
(1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。
定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。
对应法则是正确理解函数概念的关键。
函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。
函数关系也不同于因果关系。
例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。
y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。
如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。
(2) 函数与函数表达式不同。
函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。
(3) f(x)与f(a)是有区别的。
f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是
f(x)当x=a时的函数值。
(4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。
二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：
对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点：
(1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。
(2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。
(3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。
如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。
存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。
f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。
(4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
三、关于复合函数
要注意的是，函数的复合是有条件的，并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。
一个函数是否为复合函数与该函数的对应法则的表示方法有关。
例如，和
的对应法则相同，但对应法则的表示方法是不同的，前者不是复合函数，后者可以看成是由，，复合而成的复合函数。
四、分段函数
分段函数往往不是初等函数，因为他们没有用一个式子来表示。
但不能说分段函数都不是初等函数，例如：是分段函数，也是初等函数，因为它可以用一个数学式子表示。
五、简单的经济函数
在生产和经营活动中，成本、收入、利润关于产品的产量或销量x的函数关系分别称为总成本函数，记为c(x)；总收入函数，记为R(x)；总利润函数，记为L(x)。
一般说来，
c(x)=固定成本+可变成本
R(x)=px
L(x)=R(x)-c(x)
其中，p为产品的销售单价；x为销量。
商品的市场需求量和市场供给量，相对商品价格p的函数关系，分别称为商品的需求函数和供给函数。
六、关于极限概念
(1) 如果当时，恒成立，则称数列当以为极限，记为.
(2) 如果当时，恒成立，则称函数时以A为极限，记为
类似地，如果当时，恒成立，则称函数以A为极限，记为。
应当注意，数列的极限与函数的极限是
有区别的，它们的区别在于：数列的自变量n的变化过
程是间断的(只取正整数)，且只有一个过程：；而函数
的自变量的变化过程是连续的，变化过程
有：
数列的极限与函数当时的极限又有一定的联系：
当存在时，必定存在，且，但当不存在时，却可以存在。
七、左右极限
当和存在时，分别称和
为f（x）在点的左极限和右极限，
它们统称为单侧极限。
条件是左、右极限、都存在，且。
八、无穷小与无穷大
(1)无穷小是指在自变量的某种趋向下，对应的函数值的变化趋势(趋向于零)，而有界函数是指自变量在某一范围内，对应的函数值的变化情形。
如果函数f(x)当
时是无穷小，则f(x)在点附近必定有界，但离点远一些的地方是否有界就不能肯定了。
(2)无穷大是指在自变量的某种趋向下，对应的函数值的变化趋势。
如果函数f(x)是无穷大，则f(x)必定无界；但反过来，当f(x)无界时，f(x)可不一定是无穷大。
(3)具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小的和；反过来，如果函数f(x)可表示为常数与无穷小之和，则该常数就是这函数的极限。
(4)如果f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小；如果f(x)是无穷小，且，则1／f(x)是无穷大。
(5) 设和是同一极限过程中的两个无穷小。
如果,则称是比
高阶的无穷小，记作；如果，则称是比低阶的无穷小；如果，则称与是同阶
无穷小；如果，则称与是等价无穷小，记作如果
，则称是的k阶无穷小。
当时，常见的等价无穷小
有：
(6)设且存在，则(等价无穷小代替定理)。
九、极限存在准则和两个重要极限
(1)两个准则是：夹逼准则和单调有界准则。
(2)两个重要极限：若为某个过程中的无穷小，则
十、极限的一些性质
(1)惟一性若变量有极限，则极限惟一；
(2)有界性有极限的变量必有界；
(3)保号性
①某时刻后f(x)≥0(或≤0)=> limf(x)≥0(或≤0)；
②limf(x)>0(或<0)=>某时刻以后f(x)>0(或<0)；
③某时刻以后，。
十一、求函数极限的方法
(1)利用极限定义，验证某常数为已知变量的极限
(2)利用函数的连续性求极限；
(3)利用极限的四则运算求极限；
(4)利用无穷小的性质求极限；
(5)利用两个重要极限求极限；
(6)利用夹逼准则和单调有界准则求极限。
十二、函数连续性定义有三种说法
(1)设函数y=f(x)在点的某邻域内有定义，如果当自变量的增量(由值起)趋于零时，对应的函数值的增量也趋于零，
即或，则称y=f(x)在点连续；
(2)设y=f(x)在点的某邻域内有定义，当时，函数f(x)的极限存在，且等于处的函数值，即或，则称y=f(x)在点连续；
(3)设y=f(x)在点的某邻域内有定义，如果
,恒有成立，则称y=f(x)在点连续。
由于连续性有上述三种说法，这就带来许多方便，通常可以根据具体情况采用某一种较合适的形式。
一般说来，第一种说法多用于检验函数的连续性；第二种说法多用于讨论间断点；而第三种说法多用于理论上的推导。
十三、函数的间断点及其分类
若函数f(x)在点不连续，则称是f(x)的间断点。
若及
都存在，则称为第一类间断点，否则称为第二类间断点。
第一类间断点又细分为可去间
断点()及跳跃间断点()。
第二类间断点包括无
穷间断点(及中至少有一个为)及振荡间断点(在处，极限不存在，永远振荡)。
十四、基本初等函数在其定义域上是连续的，初等函数在其定义区间上是连续的
定义区间与定义域有所不同，定义区间是含于定义域内的，是一个区间，定义域不一定是区间。
例如，初等函数的定义域为x＝－2及。
是f(x)的定义区间，x＝－2是f(x)的定义域内的一个孤立点。
x＝－2显然是f(x)
的一个间断点。
可以说f(x)f在它的定义区间x=－2及上连续，但不能说f(x)在
它的定义域x＝－2及上是连续的。
十五、闭区间上连续函数的基本性质
主要是最大值最小值定理及介值定理。
定理的条件是“f(x)在闭区间上连续”。
该条件是充分的但不必要。
十六、关于无穷小的运算
无穷小的运算对求极限有着很大的用处。
(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小；
(2)无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小。
但是无穷小的除法则成为的不定型，没有确定的结果。
由的极限情况得到无穷小阶的比较。
所谓无穷小阶的比较就是各变量在同一过程中趋于零的快慢程度。
十七、关于连续函数的运算
连续函数的运算包括和、差、积、商、复合、取反函数等。
它们在一定条件下经过运算都是连续的。
有了这些运算可以推得很多函数的连续性。
学习时要注意这些定理成立的条件，特别是复合函数及反函数连续的条件。